Centralrörelse

Centralrörelse
9
9–1
CENTRALRÖRELSE
9.1
Inledning
Newtons intresse för planeternas rörelse ledde
fram till hans lagar och den allmänna gravitationslagen. Dessa resultat är ett specialfall av
det allmänna problemet med centralrörelse,
dvs där två partiklar rör sig under inverkan
av en kraft f (r)r̂.
I de flesta fall där två partiklar växelverkar
med varandra är kraften mellan dem i huvudsak en centralkraft. I de viktigaste fallen,
dvs gravitationskraften och coulombkraften,
är f (r) ∝ 1/r 2. Andra former på f (r) uppträder ibland, t ex i några problem rörande
strukturen och växelverkan hos atomkärnor,
komplexa atomer och molekyler. I detta kapitel skall vi presentera de allmänna metoderna
för att behandla problem där två partikel rör
sig under inverkan av en centralkraft.
9.2
Vi inför nu masscentrumskoordinater och
relativa koordinater enligt
m1 r 1 + m2 r 2
m1 + m2
r = r1 − r 2
R
=
Från rörelseekvationerna ovan ger detta
M R̈ = 0
där M = m1 + m2 , eller
R = R0 + V t
dvs tyngdpunkten rör sig som en fri partikel.
Vidare är
1
1
r̈ 1 − r̈2 =
+
f (r)r̂
m1 m2
eller om vi inför den reducerade massan
1
1
1
+
=
µ
m1 m2
får vi ekvationen för den relativa rörelsen
µr̈ = f (r)r̂
Problemställning
Betrakta ett isolerat system av två partiklar Denna ekvation är identisk med rörelseekvavilka växelverkar via en centralkraft f (r). Låt tionen för en partikel med massan µ vilken
massorna för partiklarna vara m1 och m2 och rör sig under inverkan av en kraft f (r)r̂.
Från R och r kan vi omvänt finna r1 och
låt deras lägen vara r 1 och r2 . Vi har
r2 där
r = r 1 − r 2 ; r = | r| = | r 1 − r 2 |
m2
r1 = R +
r
m1 + m2
m1
r2 = R −
r
m1 + m2
m2
z
2
1
Här är m1m+m
r och − m m
r ortsvektorerna
2
1 +m2
•
r2
r
för m1 och m2 relativt tyngdpunkten.
R
Lösningen till
• m
6
l
3ll
1
r
-y
1
µr̈ = f (r)r̂
1
x
Rörelseekvationerna för partiklarna blir
m1 r̈1 = f (r)r̂
beror på formen av f (r).
9.3
Allmänna egenskaper för centralrörelse
Ekvationen ovan är en vektorekvation och innehåller alltså tre komponenter. Genom att
Kraften är attraktiv om f (r) < 0 och repulsiv använda konserveringslagar kan vi reducera
denna till en enda ekvation
om f (r) > 0.
m2 r̈2 = −f (r)r̂
Centralrörelse
9.3.1
9–2
Lösningen är begränsad till ett Vi ser att dessa ekvationer är specialfall av
plan
rörelseekvationerna eftersom
Centralkraften f (r)r̂ ligger längs r och ger
därför inget kraftmoment m a p origo på massan µ
τ = r × F = r × f (r)r̂ = 0
⇒
d
(µr 2 θ̇) = 2µr ṙθ̇ + µr 2 θ̈ =
dt
= µr(r θ̈ + 2ṙ θ̇) = 0
=
och
Detta ger rörelsemängdsmomentet m a p
masscentrum L = r × p
dL
=0
dt
d`
dt
L = L0
dE
dU
1
= µ(2ṙr̈ + 2r ṙθ̇2 + 2r 2 θ̇θ̈) +
ṙ = 0
dt
2
dr
dvs
ṙ(µr̈ − µr θ̇2 − f (r)) = 0
där L0 är en konstant vektor. Detta betyder
där vi använt sambandet r θ̈ = −2ṙ θ̇ från ekatt rörelsen är begränsad till ett plan, ty
vationen ovan. Från energins konservering får
r · L = r · ( r × p) = 0
vi alltså ekvationen för den radiella rörelsen
så r (och p) är alltid vinkelrät till den konµ(r̈ − r θ̇2 ) = f (r)
stanta vektorn L0 .
Eftersom rörelsen är begränsad till ett plan vilket är samma som ovan. Från uttrycket för
kan vi införa ett koordinatsystem så att rörelsemängdsmomentet kan vi lösa ut θ̇ som
rörelsen ligger i xy-planet. Inför vi polära koordinater blir rörelseekvationen
`
θ̇ = 2
µr
µ(r̈ − r θ̇2 ) = f (r)
vilket ger energin
µ(r θ̈ + 2ṙθ̇) = 0
9.3.2
Energi och rörelsemängdsmoment är konserverade storheter
E=
Vi har reducerat problemet till två dimensioner, genom att använda oss av resultatet
att L har konstant riktning. Dessutom måste
|L| vara konstant och eftersom kraften är konservativ även den totala energin E.
Rörelsemängdsmomentet har beloppet
där
där
eller
1 2 1 `2
1
+ U (r) = µṙ 2 + Ueff (r)
µṙ +
2
2
2 µr
2
Ueff (r) =
1 `2
+ U (r)
2 µr 2
Uttrycket för energin liknar nu den för en
partikel vilken rör sig i en dimension under
inverkan av potentialen Ueff (r). Här kallas
|L| = ` = |r × µv | = |rr̂ × µ(vr r̂ + vθ θ̂)| = Ueff för den effektiva potentiella energin, där
`2 /2µr 2 kallas för centrifugalpotentialen.
= µrvθ = µr 2 θ̇
Den formella lösningen ges nu av
Den totala energin för µ är
s
dr
2
=
(E − Ueff )
1 2
1
2
2 2
dt
µ
E = µv + U (r) = µ(ṙ + r θ̇ ) + U (r)
2
2
U (r) − U (r0 ) = −
Z
r
r0
0
f (r )dr
0
Z
r
r0
q
dr
2
µ (E
− Ueff )
= t − t0
Centralrörelse
9–3
U (r)
Denna ekvation ger oss r som funktion av
tiden t. Löser vi denna kan vi sedan få θ
genom ekvationen
6
E>0
dθ
`
= 2
dt
µr
eller
Z
θ − θ0 =
t
t0
dθ
1
`
= 2q
2
dr
µr
(E − Ueff )
µ
9.4
Energidiagram
Vi kan skriva den totala energin som
E=
där
r
E<0
`
dt
µr 2
Ofta är vi intresserade av partikelns bana dvs
r = r(θ) istället för tidsberoendet r(t), θ(t).
Denna ges av ekvationen
Den effektiva potentiella energin blir alltså
Ueff =
Vi kan använda detta resultat för att kvalitativt förstå den radiella rörelsen genom att
använda oss av ett energidiagram.
Ex. 9.1 Fria partiklar. Två fria partiklar
m1 och m2 rör sig mot varandra med
hastigheten v 1 och v 2 på avståndet b från
varandra. Diskutera rörelsen utgående
från den effektiva potentialen Ueff =
`2 /2µr 2 .
Vi kan nu kvalitativt diskutera planetrörelse, där vi har den attraktiva gravitationskraften
Gm1 m2
f (r) = −
r2
eller
U (r) = −
Gm1 m2
r
`2
Gm1 m2
−
2
2µr
r
och har det kvalitativa utseendet enligt figuren ovan. Vi ser att för ` 6= 0 kommer den
repulsiva centrifugalpotentialen att dominera
för små r, medan den attraktiva gravitationspotentialen dominerar för stora r. Den
kinetiska energin för den radiella rörelsen är
1 2
µṙ + Ueff (r)
2
1 `2
Ueff (r) =
+ U (r)
2 µr 2
-
r2
r1
K = E − Ueff ≥ 0
Från potentialens form får vi följande kvalitativa slutsatser.
1. E > 0: r har ett minsta värde för ` 6= 0,
och en vändpunkt där K = 0, men r går
sedan mot oändligheten.
2. E = 0: detta fall liknar 1)
3. E < 0: rörelsen är bunden för både
stora och små r-värden. Det finns två
vändpunkter r1 och r2 där K = 0. De
båda partiklarna bildar ett bundet system.
4. E = Emin detta ger r = r0 dvs en cirkelbana.
9.5
Planetbanor
Låt oss nu betrakta gravitationsväxelverkan
där
U (r) = −
GM m
C
=− ;
r
r
C = GM m
Centralrörelse
9–4
där M är solens massa och m massan för en
planet. Vi försummar här växelverkan med
andra planeter, samt det faktum att solen
eller planeterna inte är perfekta sfärer. Dessa
avvikelser är i allmänhet små och kan behandlas via störningsräkning.
Banekvationen kan nu skrivas
dθ
1
`
q
=
=
2
2
dr
µr
(E − Ueff )
µ
=
r
p
2µEr 2
`
− `2 + 2µCr
θ − θ0 = `
dr
=
2
r 2µEr + 2µCr − `2
p
µCr − `2
= arcsin p 2 2
r µ C + 2µE`2
y 2 − Ax2 − Bx = konst
vilket är ekvationen för en hyperbel.
2. = 1 eller E = 0. Banekvationen blir
y2
r0
x=
−
2r0
2
vilket är ekvationen för en parabel.
3. 0 ≤ < 1 eller −µC 2 /2`2 ≤ E < 0.
Banekvationen har formen
Integrering ger
Z
1. > 1 eller E > 0. Koefficienten framför
x2 -termen är negativ och banekvationen
har formen
!
y 2 + Ax2 − Bx = konst
vilket är ekvationen för en ellips.
Låt oss betrakta en elliptisk bana närmare.
Vi har då
eller
µC 2
0≤<1 − 2 <E<0
q
2`
µCr − `2 = r µ2 C 2 + 2µE`2 sin(θ − θ0 )
Från ekvationen för banradien har vi
r0
Här är θ0 en integrationskonstant vilken kan
r=
väljas godtyckligt, t ex θ0 = π/2. Detta ger
1 − cos θ
r0
Maximala värdet för r inträffar för θ = 0
r=
r0
1 − cos θ
rmax =
1−
där vi infört parametrarna
Minimala värdet inträffar vid θ = π
`2
`2
r0
r0 =
=
rmin =
µC
µGM m
1+
och
Längden på storaxeln blir
s
2E`2
1
2r0
1
= 1+
A
=
r
+r
=
r
=
+
min
max
0
µC 2
1+ 1−
1 − 2
Här representerar r0 radien i en cirkulär bana, Sätter vi in uttrycken på parametrarna r0 =
p
och kallas eccentriciteten och ger banans `2 /µC och = 1 + 2E`2 /µC 2 blir
form. Ekvationen för r kan även skrivas i
2`2 µC 2
C
C
kartesiska koordinater där x = r cos θ, y =
A=−
=− =
2
µC
E`
E
|E|
r sin θ, dvs r − r cos θ = r0 ger
q
Längden på storaxeln beror endast på energin
x2 + y 2 − x = r0
|E|. Vi har också
rmax
1+
=
rmin
1−
(1 − 2 )x2 − 2r0 x + y 2 = r02
När ≈ 0 är rmax ≈ rmin och ellipsen är
Denna ekvation beskriver en hyperbel, para- nära en cirkel. För → 1 blir ellipsen väldigt
långsträckt. Ellipsens form beror bara av .
bel eller ellips.
eller
Centralrörelse
9.6
Keplers lagar
9–5
ty A = −C/E. Vidare är
Kepler härledde följande tre lagar ur Tyko
Brahes omfattande mätdata
µ
mM
1
=
=
C
(M + m)GM m
G(M + m)
1. Varje planet rör sig i en elliptisk bana dvs
med solen i ena brännpunkten.
2. Ortsvektorn från solen till en planet
sveper över lika yta under samma tid.
T2 =
π2
π2
A3 ≈
A3
2G(M + m)
2GM
där det sista sambandet följer av att solmass3. Omloppstiden T för en planet runt solen an är mycket större än planeternas massor. Vi
beror på storaxeln för ellipsen som T 2 = ser alltså att konstanten k i Keplers tredje lag
kA3 där k är samma för alla planeter.
är approximativt konstant. Från ekvationen
Kepler’s första lag har vi redan härlett. ovan kan vi väga solen om vi känner värdet
Elliptiska banor följer av gravitationslagen. av G och genom att mäta T och A för någon
Den andra lagen är en konsekvens av cen- planet.
Vi har visat att Keplers lagar följer ur Newtralrörelse, vilken visades i kapitel 6.
tons
lagar och gravitationslagen. Historiskt
För att visa den tradje lagen har vi
härledde Newton gravitationslagen ur Keplers
dθ
lagar. I praktiken väntar vi oss att planeter` = µr 2
nas rörelser kommer att avvika något från
dt
Keplers
lagar, eftersom vår modell för plandvs
etrörelsen är en idealisering av verkligheten.
`
1
dt = r 2 dθ
I praktiken kommer t ex jorden, förutom av
2µ
2
solen, att påverkas av gravitationskrafter från
Men r 2 dθ/2 är ett litet ytelement av ellipsen i
de övriga planeterna i solsystemet. Efterpolära koordinater. För en period sveps hela
som massan även för den tyngsta planeten
ytan för ellipsen, dvs
endast är några få procent av solens massa,
`
kommer detta att ge en liten men mätbar
T = S = πab
avvikelse från Keplers lagar. Denna avvikelse
2µ
kan beräknas, och den överensstämmer med
där
är halva storaxeln och b = mycket precisa astronomiska observationer.
√ a = A/2 √
a 1 − 2 = r0 / 1 − 2 . Nu är
Det var faktiskt på detta sätt som planeterna
Neptunus och Pluto upptäcktes, genom deC
a=
ras påverkan på de andra planeternas banor.
−2E
Efter det att planeten Uranus upptäcktes
och
år
1781 observerades dess bana i sextio år
2E`2
2
och man fann avvikelser i denna, vilka inte
1− = −
µC 2
kunde förklaras även sedan hänsyn tagits till
dvs med r0 = `/µC 2 får vi
växelverkan med andra planeter. På detta
sätt upptäcktes planeten Neptunus, och dess
`
läge utanför Uranus kunde förutses. Pluto
b= √
−2µE
upptäcktes på liknande sätt först 1930.
och
T2 =
4µ2 2 2 2
C2
π 2µ 3
2
π
a
b
=
π
µ
=
A
`2
−2E 3
2C