Ellära

En liten introduktion till
ELLÄRA
v 0.1
Patrik Eriksson 2003
Longum iter est per praecepta, breve et efficax per exempla
Vägen görs lång genom regler, kort och effektiv genom exempel.
/Seneca Philosophus, Epistulae
Spänning
Vi tänker oss att den neutrala fördelningen av fria elektroner i ett material omgrupperas. Vi får ett område
med överskott och ett område med underskott av elektroner. För att denna förflyttning skall ske krävs att
någon form av arbete uträttas. Eftersom elektronerna strävar att åter inta neutral fördelning måste någon
form av verkan finnas mellan dessa bägge områden. Detta kallar vi potentialskillnad eller elektrisk spänning.
(Betecknas U)
Definition:
Om arbetet W uträttas då laddningen Q förflyttas från punkt A till B är spänningen mellan A och B:
U=
W
Q
U=
Nm
= Volt
As
As = Ampèresekund = 1 Coloumb.
En laddning på 1C som kräver arbetet 1Nm för att förflyttas från A till B ger spänningen 1 Volt mellan
punkterna A och B.
Den elektriska spänningen kan jämföras med begreppet lägesenergi inom mekaniken.
Anordningar, sådana att de mellan två områden, poler, kan skapa och vidmakthålla ett visst konstant överresp. underskott av laddningar, kallas strömkällor. Ett exempel härpå är ett vanligt ficklampsbatteri.
Ström
Om vi så ansluter en elektrisk ledare mellan den nyligen nämnda strömkällans poler kommer spänningen,
dvs laddningsöverskottet vid den ena polen att skapa en ström av laddning ut i ledaren, mot den andra
polen, strävande efter att skapa en så jämn laddningsfördelning som möjligt.
Begreppet elektrisk ström (Betecknas I) är ett mått på den laddningsmängd som förflyttas, och med vilken
hastighet detta sker.
Definition:
I=
Q
t
I=
As
= Ampère
t
Ampèresekund = 1 Coloumb
En laddning på 1C som passerar ett tvärsnitt av ledaren på tiden t = 1s. ger upphov till strömmen
1Ampère. (Därav begreppet As = Amperesekund)
Analogt med t.ex. ett vattenflöde kan man uttrycka det som så att spänningen är trycket, strömmen är
mängden
Resistans
Då laddningar vandrar från en pol till en annan i en sluten krets sker en energiomvandling. Laddningarna
kolliderar med atomerna i ledaren, vilket ger upphov till en energiförlust. Den i strömkällan upplagrade
energin i form av potential omsätts i ledaren till värme.
Antalet fria elektroner varierar mellan olika material, och om antalet är litet innebär detta en liten ström.
Liten tillgång på fria elektroner innebär ett hinder för strömmen, och detta hinder kallar vi resistans.
(Beteckning R)
Definition:
R=
U
I
R=
V
=Ω
A
V = spänningen i Volt
A = strömmen i Ampère
Ω = resistansen i Ohm
En ström på 1 Ampère i en ledare ansluten till en spänning 1 Volt ger en resistans i ledaren på 1 Ohm.
Schemasymboler för resistans, samt variabel resistans. (potentiometer)
Ohms Lag
R=
U
I
Detta är ellärans absolut viktigaste lag!
Förutsatt att resistansen är konstant för en given ledare är förhållandet mellan spänning och ström
proportionellt. Om spänningen över ett visst motstånd ökar till det dubbla ökar sålunda strömmen också till
det dubbla.
Förr eller senare kommer ni att råka på begreppet impedans, vilket också är en resistans, men det räknar
man med i det mer allmänna fallet där vi har varierande strömmar, växelström.
Tills vidare kan vi hålla i sinnet att resistans = likströmsresistans och impedans = växelströmsresistans.
(Likström är ju som växelström, fast med frekvensen noll.)
Kirchoffs spänningslag
(Kirschoff II / KVL)
Kallas även Kirchoffs andra lag.
”Summan av potentialändringarna i en godtycklig sluten krets är lika med noll.”
Summera alla potentialändringar genom en ”vandring” längs den slutna kretsen. Markera med tecken
vilken sida av varje kretskomponent som har högre resp. lägre potential.
Exempel:
U 1 U R 1 U 2 U R 2 =0
Sätt U1 till 5 volt, U2 till 10 volt, R1 till 30 ohm och R2 till 20 ohm.
Detta ger:
5  U R1  10 U R2 = 0
15  U R1  U R2 = 0
Vad får vi för spänning över motstånden?
Vi tar hjälp av strömmen I för att klura ut detta.
5  10
U
= 0,3 A ..
= I ger oss strömmen I i kretsen
R
30 20
Ohms lag ger oss även U = R⋅I vilket ger
Ohms lag
För R1: U = 30 ⋅0,3 = 9
För R2 U = 20 ⋅0,3 = 6
Observera att vi hade minustecken framför spänningarna över motstånden, så vi får alltså -9 volt över R1,
samt –6 volt över R2. Minustecknet innebär alltså att spänningen över motstånden är motriktad den över
spänningskällorna.
(Spänningen ökar över en spänningskälla, den minskar över ett motstånd.)
5+(-9)+10+(-6)=0
Kirchoffs strömlag
(KI / KCL)
Kallas även Kirchoffs första lag.
”Summan av strömmarna in och ut från en viss knutpunkt = 0”
En punkt i ett nät där två eller flera ledare förenas kallas knutpunkt eller nod. Strömmarna som passerar in
i denna punkt är lika med dem som passerar ut.
När man betraktar ett nät utifrån Kirchoffs strömlag väljer man en referensriktnig för samtliga strömmar.
Denna kan väljas godtyckligt, då man vid senare beräkningar bara får ett negativt värde om
referensriktingen inte överensstämmer med den fysikaliska.
I3 + I2 +(-I1) + (-I4) = 0
∑ I=0
Beroende och oberoende källor
En ideal strömkälla skulle vara kapabel att leverera hur stor ström som helst och ändå hålla polspänningen
konstant. I praktiken fungerar inte detta, eftersom varje strömkälla har sina fysiska begränsningar.
En strömkälla, låt vara ett batteri eller laboratorieaggregat, kan betraktas som en spänningskälla E och en
inre resistans Ri.
Ju bättre strömkälla, desto mindre är Ri. Vid obelastad strömkälla går ingen ström genom kretsen,
spänningsfallet över Ri är noll, och spänningen ut på strömkällans poler är lika med E. Men när
strömkällan belastas med RL, och kretsen sluts går en ström genom både Ri och RL. Vi får en
potentialförändring utmed kretsen allt enligt Kirchoff II (Kirschoffs spänningslag / KVL). Sålunda kommer
spänningen över strömkällans poler, och därmed också lasten, att sjunka omvänt mot strömmen.
UL = U0 – IL * Ri
Tomgångsspänningen = E
I praktiken använder man sig av spänningsregulatorer i strömkällorna, vilket är en aktiv krets som justerar
spänningen till att hålla sig konstant oberoende av strömuttaget.
Mätinstrument / Spänningsmätning
Vridspoleinstrumentet är det ”traditionella” mätinstrumentet med en
visare som påverkas av en spole i ett magnetfält. När en ström
flyter i spolen vrider denna sig, och ger ett mot strömmen
proportionellt utslag. Med enbart vridspoleinstrumentet kan man
för det mesta bara mäta mycket små spänningar och strömmar,
spolen skadas av att utsättas av för höga strömmar. I praktiken
utökar man instrumentets mätområde med yttre resistorer.
Instrumentet kan användas på två sätt; som voltmeter och ampèremeter.
Voltmetern mäter spänningen över tvenne punkter. Sålunda kopplar
man instrumentet parallellt med mätobjektet. Viktigt är att
instrumentets egen resistans är hög i förhållande till mätobjektet för
att minska dess egenpåverkan och därmed mätfelet. Genom att
koppla ett seriemotstånd till mätinstrumentet utökar man dess
mätområde. (och ökar egenresistansen)
Förenklad bild av ett vridspoleinstrument
Amperemetern mäter strömmen genom en punkt. I detta fall kopplar man instrumentet i serie med
mätobjektet. I detta fall vill man att instrumentets egenresistans är låg i förhållande till mätobjektet.
Genom att koppla ett s.k.shuntmotstånd parallellt med instrumentet utökar man dess mätområde. (och
sänker egenresistansen)
Bägge dessa funktioner; ampère- och voltmeter, återfinner vi
inbyggda tillsammans med serie- och shuntmotstånd i en vanlig
multimeter. Ofta är dessa dessutom försedda med funktioner för
motståndsmätning och andra finesser. Vidstående bild visar en
klassisk multimeter; AVO-meter mk8.
Riktigt bra instrument för spänningsmätning har en inbyggd
förstärkare med mycket stor inresistans, vilket gör att man i praktiken
kan försumma instrumentets inverkan på mätobjektet. Dessa kallades
förr förstärkarvoltmetrar eller rentutav rörvoltmetrar,och har en
inresistans på flera MΩ.
AVO-meter mk8
Digitala instrument används i allt större utsträckning. Dessa har samma funktion som de analoga
vridspoleinstrumenten, men har numerisk display istället för visare. Dessa instrument har aktiv elektronik
som möjliggör hög känslighet och liten belastning av mätobjektet.
En ideal A-meter är lika med en kortslutning, och en ideal V-meter är lika med avbrott (en öppen krets, oändlig
resistans.
Det som sagts hittills gäller likström. Växelströms- och växelspänningsmätning går till på ett likartat vis,
men här måste vi fundera på vad det är vi mäter. Växelströmmen är ju stadd i ständig förändring, och
toppvärdet har vi ju endast momentant. Vanligast är att man mäter på ett likriktat medelvärde.
T
1
Likriktat medelvärde Umm: U m m = ∫ ∣ u ∣ dt
T 0
Vid sinusformad växelspänning skiljer sig det
likriktade medelvärdet från effektivvärdet med en
faktor 1,11.
Det finns olika varianter av mätinstrument för växelspänningsmätning:
Toppvärdeskännande voltmeter
Topp-till-topp-kännande voltmeter
Sant effektivvärdeskännande voltmeter
Det sanna effektivvärdet hos en varierande spänning innefattar både AC (växelspänning)- och DC
(likspänning)- komponent. Då många mätinstrument enbart mäter AC-delen får man tänka till en smula
och mäta upp bägge.

Effektivvärde
u
=
2
=
toppvärde
2
 toppvärde för sinusformade signaler 
DC-Nät
Nätets anatomi
En praktisk strömkrets förefaller ofta ganska komplex med ett stort antal komponenter och förbindelser.
För att analysera och förstå ett nät, i det här fallet ett likstömsnät, kan man likt matematikens ekvationer
dela upp det i flera beståndsdelar, vilka lättare låter sig betraktas.
Strukturen hos ett likströmsnät kan sålunda delas upp i sina abstrakta beståndsdelar; gren, nod, slinga och
maska enligt följande:
Gren
Ledare eller annan kretskomponent. Dessa
utgör själva innehållet i nätet.
2
1
3
nod
gren
4
5
Fig. 1. nätets beståndsdelar
Nod
En punkt där två eller flera grenar av nätet är
sammankopplade.
Slinga
Sammankopplade grenar som bildar en sluten
krets.
Ex. 1-2-3-1 eller 1-4-5-3-1.
Maska
Slinga som inte innesluter någon gren.
Ex. 1-2-3-1 eller 5-4-3-5.
Om man har ett komplicerat nät får man lätt problem att överblicka detsamma, och vid beräkningar får
man ett så stort antal ekvationer så det blir tidsödande att lösa. Därför tillämpar vi några enkla regler för
hur vi snabbt och enkelt kan förenkla en krets eller delar därav.
Seriekoppling
Seriekoppling av resistorer går till
såtillvida att ett antal resistanser i serie
kan ersättas med endast en ekvivalent
resistans. Denna utgör då summan av
de seriekopplade resistorerna.
Detta åskådliggör vi till exempel genom att tillämpa Kirchoffs spänningslag på en krets bestående av en
strömkälla U kopplad till en strömkrets bestående av tre resistanser i serie; R1, R2 och R3. R1, R2 och R3
skall ersättas med en resistans R’ sådan att strömmen I’ i den ekvivalenta kretsen blir lika stor som I i den
ursprungliga.
U − I ' ⋅R ' =0
U − I ⋅R1− I ⋅R2− I ⋅R3=0
U = I ⋅R1 I ⋅R2 I ⋅R3
U = I ' ⋅R ' I ' = I
U = I  R1 R2 R3 
U = I ⋅R '
R ' = R1 R2 R3
Generellt gäller då att:
R' = R1 R2 R3..... Rn
Seriekopplade spänningsgeneratorer följer samma mönster som enligt Kirchoffs spänningslag.
Spänningskällor i serie adderas till sin ekvivalent.
Seriekopplade strömgeneratorer förekommer inte som modell.
Parallellkoppling
Parallellkoppling av resistorer har en problemställning
liknande seriekopplingen. Ett antal parallella resistanser
kan ersättas med endast en ekvivalent. Vi åskådliggör
detta med ett exempel liknande det förra, då vi vill att
strömmen skall vara densamma i bägge kretsarna.
Först använder vi Kirchoffs strömlag:
I = I1 I2 I3
Enligt KII : I1=
U1
R1 R2
U2 = R2⋅I1
⇒ U2 = U1⋅
R2
R1 R2
Sedan jobbar vi vidare med Kirchoffs spänningslag:
U
R1
U
U = I2⋅R2 ⇒ I2=
U = I ' ⋅R '
R2
U
U = I3⋅R3 ⇒ I3=
I=I '
R3
U
U
U
1
1
1
⇒ I1  I2 I3=


=U ⋅


R1 R2 R3
R1 R2 R3
U = I1⋅R1 ⇒ I1=

 =  UR'  = I
Division med U ger:
1
1
1
1
=


R ' R1 R2 R3
Och detta kan generaliseras till:
1
1
1
1
1
=


. . . . .
R ' R1 R2 R3
Rn
Parallellkopplade strömgeneratorer följer samma mönster enligt Kirchoffs strömlag. Strömkällor i
parallellkoppling adderas till sin ekvivalent.
Parallellkopplade spänningsgeneratorer förekommer inte som modell.
Spänningsdelning
En standardföreteelse i elektriska nät är spänningsdelaren. Medelst en koppling som i den följande figuren
medges delning av spänningen U1 med hjälp av motstånden R1 och R2 så att en lägre spänning U2
erhålles. Här använder vi vad som kallas spänningsdelningslagen, och den kan vi räkna fram på följande
sätt:
Sålunda får vi den formel som kallas spänningsdelningslagen.
U2=U1⋅
R2
R1 R2
Observera att om kretsen belastas på utgången kommer U2 att sjunka, och vi måste räkna med denna last
RL i parallellkoppling med R2. Om lastens resistans är mycket större i förhållande till R2 kan vi i allmänhet
bortse från inverkan av denna och I2, men annars måste den räknas med.
Strömdelning
Enligt Kirchoffs strömlag är summan av strömmarna in i en punkt lika med strömmarna ut ur densamma.
Ett nät där två resistorer är parallellkopplade kommer strömmen i varje gren att vara proportionell mot
motståndet.
Enligt parallellkopplingslagen är R1 och R2 ekvivalenta med en resistans R’ :
R1 R2
R1⋅R2
1
1
1
1
R2
R1
1
=

⇒
=

⇒
=
⇒ R' =
R' R1 R2
R' R1⋅R2 R1⋅R2
R'
R1⋅R2
R1 R2
Ohms lag ger då:
U = I1⋅R1= I ⋅R ' = I ⋅
Division med R1 ger:
I1= I ⋅
R2
R1 R2
R1⋅ R2
R1 R2
Division med R2 ger:
I2= I ⋅
R1
R1 R2
NÄTTEOREM
Nodanalys
Maxwells potentialekvation, s.k. nodekvation går ut på att analysera ett nät med utifrån potentialerna i
nätets noder.
Gör så här:
1. Inför en potential i varje nod utom en som man antar vara jordad (nollpotential).
2. Sätt med hjälp av KCL (Kirchoffs strömlag) upp en ekvation för varje nod.
3. Uttryck strömmarna i termer av nodspänningar.Sätt in alla kända resistans- och strömvärden och
bearbeta ekvationssystemet.
Exempel:
Vi önskar räkna ut strömmen IL genom motståndet RL.
Alla kretsens knutpunkter är noder.
Vi sätter en av dem till jord och använder den
som referenspunkt. Av de olika kvarvarande
noderna a, b och c är det endast en vars
potential mot referensjorden är obekant, och
det är punkten b.
De övriga noderna a = E1 = 10v och c = E2 =
15v.
Enligt KCL får vi:
Strömmarna uttryckta som potentialer:
I1  I 2  I 3 = 0
I1 =
E1 − U b E1 U b
1
1
=
−
= E1⋅
− Ub ⋅
R1
R1
R1
R1 R1
I2=
E 2 − Ub E 2 U b
1
1
=
−
= E2⋅
− Ub⋅
R2
R2
R2
R2 R2
IL =
Ub
1
= Ub ⋅
RL
RL
Vi ställer upp ekvationssystemet som följer:
I1  I 2 − I 3 = 0  E1 ⋅
E1 ⋅
1
1
1
1
1
− Ub ⋅
 E2⋅
− Ub ⋅
− Ub ⋅
=0
R1
R1
R2
R2
RL
1
1
1
1
1
 E2⋅
= Ub ⋅



R1
R2
R1 R 2 R 3
10 15
1
1
1

= U b ⋅ 
 
6 11
6 11 2
50
200 66
200
= Ub ⋅
 Ub =
⋅
 U b = 4v
66
66 50
66
Strömmen IL räknar vi fram genom ohms lag:
IL =
Ub 4
= = 2A
RL 2
Maskanalys
Här använder vi oss av Maxwells maskekvation.
Denna metod är snarlik nodanalysen, men vi analyserar nätet utifrån nätets maskor istället för dess noder,
och vi använder oss av strömmar istället för potentialer.
Gör så här:
1. Inför i varje maska en cirkulerande ström. Alla medsols!
2. Ställ med hjälp av KVL (Kirchoffs spänningslag) upp en ekvation för varje maska. Ta med alla
cirkulerande strömmar som flyter genom en gren varje gång denna passeras.
3. Sätt in kända värden och bearbeta ekvationssystemet.
Exempel:
Samma som föregående; hur stor är strömmen ILsom flyter genom RL?
Här ansätter vi en medsols
roterande (oavsett faktisk
strömriktning) ström i varje
maska, och vi kallar dessa I1
och I2.
Vidare använder vi KVL för
att ställa upp följande
ekvationer:
maska 1:
10 − 6 ⋅ I 1 − 2 ⋅ I1 − I 2 = 0
maska 2:
− 2 ⋅ I 2 − I 1 − 11 ⋅ I 2 − 15 = 0
Detta ger oss ekvationssystemet:
8 ⋅I1 − 2 ⋅I 2 = 10
2 ⋅I 1 − 13 ⋅I 2 = 15
Och så är det bara att lösa ekvationssystemet. Om man vill så kan man ju lösa det med lite matrisräkning.
Detta underlättar radikalt om man har betydligt komplexare kretsar att analysera.
8
2
2
13
10
15
8
−8
−2
0
−8
−2
52
50
10
− 60
10
− 50

I 2 =− 1A
I1 = 1A
Och i det här fallet är strömmen IL genom RL:
I L = I 1 − I 2   I L = 1 − − 1 = 2A
Superposition
När man superpositionerar beräknar man nätet utifrån en ström/spänningskälla i taget och summerar
resultatet på slutet.
Gör så här:
1. Nollställ alla spännings- och strömkällor utom en enligt följande:
a) Spänningskällor ersätts av kortslutningar
b) Strömkällor ersätts av avbrottBeräkna nätet.
2. Välj nästa källa, nollställ de övriga, beräkna osv.
3. När alla källor har behandlats så summerar man strömmar och spänningsbidrag med respektive tecken.
Exempel:
Vi använder oss av samma nät som i tidigare exempel, och vi vill veta strömmen IL genom motståndet RL.
Vi börjar med att helt enkelt kortsluta E2 enligt
följande:
Först räknar vi med KCL:
I 1 = I 2  IL
⇔
IL = I 1 − I 2
Sedan använder vi oss av Ohms lag, samt principerna
för serie- och parallellkoppling:
I1 =
E1
=
R tot
E1
10
=
= 1,3 A
RL ⋅R 2
2 ⋅11
6
R1
2  11
RL  R 2
Till sist använder vi strömgreningslagen för att räkna ut
IL1:
I L1 = I ⋅
R2
11
= 1,3 ⋅
= 1,1 A
RL  R 2
2  11
Sedan vänder vi på begreppen och kortsluter E1, och får då följande:
Först räknar vi med KCL:
I 2 = I1  I L
⇔
I L = I 2 − I1
Sedan använder vi Ohms lag, samt principerna för
serie- och parallellkoppling:
I2=
E2
=
R tot
E2
15
=
= 1,2 A
RL ⋅R1
6 ⋅2
11 
R 2
6 2
RL  R1
Sedan använder vi strömgreningslagen för att räkna ut
IL2:
I L2 = I ⋅
R1
RL  R1
= 1,2 ⋅
6
2 6
= 0,9 A
Till sist lägger vi ihop delströmmarna IL1 och IL2:
I L = I L1  IL2 = 1,1 A  0,9 A = 2A
Tvåpoler
Med hjälp av tvåpolsatsen kan man betydligt förenkla analys och kalkyler på komplexa nät. Om man har
ett godtyckligt aktivt nät med konstanta källor och resistanser och detta belastas mellan två godtyckliga
punkter, här kallade A och B, utgör nätet betraktat från dessa punkter A och B, en aktiv linjär tvåpol. Detta
nät kan betraktas som en ”svart låda” med linjär karaktäristik mellan punkterna A och B avseende
spänningen relativt strömmen.
Thevenins teorem
Varje sådan tvåpol kan sägas vara ekvivalent med en spänningskälla (emk) i serie med en resistans. Emk:n
E0 = nätets tomgångsspänning över A och B (öppen utgång). Resistansen Ri = tvåpolens inre resistans
sett från punkterna A och B då Emk:n tänkes ersatt med en kortslutning. I den ekvivalenta tvåpolen
brukar man säga E0 = Eth och Ri = Rth (Thevenin).
Exempel:
Bestäm den ekvivalenta tvåpolen till följande krets:
Den ekvivalenta tvåpolens emk = tomgångsspänningen mellan
A och B.
U AB = E ⋅ R
R2
1 R 2
Den ekvivalenta tvåpolens inre resistans bestäms
genom följande förfarande:
Den ekvivalenta tvåpolen utgörs då av följande:
E th = E ⋅ R
R2
1 R 2
R ⋅R
R th = R 1 R2
1
2
Nortons teorem
Nortons teorem är av samma rot
och stam som Thevenin. Enligt
Nortons teorem kan varje
godtycklig, aktiv, linjär tvåpol
ersättas av en en ekvivalent krets
bestående av en strömgenerator
In parallellt med en inre resistans
Rn. (Norton)
Egenskaperna sett från de bägge
polerna A och B skall alltså vara
desamma i bägge fallen.
Vid kortslutning gäller:
Norton:
Thevenin:
E
I = In
I = R th
th
Vid tomgång gäller:
Thevenin:
U = Eth
Norton:
U= In ⋅R n
Ekvivalens kräver att U och I är lika i bägge fallen. Detta ger:
U thevenin = U norton  Eth = I n ⋅ R n
E
I thevenin = I norton  I n = R th Sålunda krävs även att
th
Konvertering från spänningsgenerator till strömgenerator:
E
I n = R th
th
Konvertering från strömgenerator till spänningsgenerator:
Eth = I n ⋅ R n
R th = R n
VÄXELSTRÖM
Så skall vi lämna den relativt stabila likströmmens värd, sätta snurr på saker och ting och gräva fram
komplexmatten i tillämpningens ljus.
Till skillnad från likströmmen så varierar växelströmmen polaritet i ett periodiskt förlopp. I våra kraftnät
härrör denna periodicitet från generatorns spolar som rör sig cirkulärt genom ett magnetfält. Just denna
cirkulära rörelse är upphovet till det vi kallar sinusformad växelspänning.
Vi ritar upp ett definitionsexempel enligt följande:
û = amplituden
ω = vinkelfrekvensen (rad/s)
T = periodtid (s)
f = frekvens i Hz
1
f=
T
ω=2 ⋅π⋅f

u1 = u⋅ sin ⋅ t 

u 2 = u ⋅sin ⋅t 
 = fasvinkeln i grader
Visardiagram
Ett annat, och i dessa sammanhang mycket praktiskt sätt att representera en sinusformad storhet som
växelström är att använda ett s.k. visardiagram.
I stället för ett ordinärt x/y diagramanvänder vi oss av en roterande visare där visarens längd kommer att
motsvara spänningens toppvärde, och dess argument ersätter tidsaxeln. Växelspänningens frekvens är
alltså hur snabbt visaren roterar, därav får begreppet vinkelhastighet en synnerligen verklig förankring.

Betrakta uttrycket u = u ⋅ sin  ⋅ t   . Vid tiden t=0 blir
u 0 = u ⋅sin 

Visaren  får i begynnelseläget följande läge:
u



Om inget annat anges tänker vi oss att uttrycket u = u ⋅ sin  w ⋅ t  representeras av en visare u
som bildar vinkeln  med den positiva x-axeln. Positiva x-axeln kallar vi i detta sammanhang för
referensriktning.
Beteckningssätt:
Det sinusformade uttrycket:

u = u⋅ sin ⋅t  
(våg-form)

representeras av en visare  som vi betecknar på följande sätt:
u

(visar-/polär form)
u = u ⋅∢ 
eller på följande sätt:

u = u ⋅ e j ⋅
(phasor form)

Detta utläses ”Visaren  har längden/beloppet û och bildar vinkeln  med referensriktningen”.
u
På rektangulär form kan vi uttrycka det som:
u=a  jb
(rektangulär form)
Observera att vi i elektroniken använder j istället för i när
vi åsyftar det imaginära talplanet, detta för att inte blanda
ihop det med i = varierande ström.

(pythagoras sats)
u= a 2  b2
 = arctan
b
a

a = u⋅ cos 

b = u⋅sin 
Observera
Genom att gå över till visarform har vi inte med tiden i uttrycket längre. Vi har gått över från
tidsdomän till frekvensdomän.
Genom att införa visarrepresentation kan vi enkelt behandla växelströmskretsar. Att behandla dessa
förefaller komplicerat, eftersom spänningen hela tiden växlar storlek och riktning, men genom att på
detta sätt införa en matematisk storhet med vektorkaraktär så kan vi räkna med den precis som med
vanlig vektorräkning. När beräkningen är slutförd har man som resultat en spänning i vektorform, som
enkelt kan återföras till tidsdomänen.
Addition och subtraktion kan utföras geometriskt/analytiskt med visardiagram inte helt olika mekanikens
kraftreduktionsdiagram. Man kan välja att rita enligt polygon- eller parallellogrammetoden, men
resultatet blir givetvis detsamma.
...och om vi har omvänt tecken på den ena spänningskällan:
Komponenter och växelströmsegenskaper
Några olika komponenter, resistorn, kondensatorn och spolen kan sammanställas med avseende på sina
växelströmsegenskaper:
Resistor
Kondensator
Spole
Resistans
Ohm Ω
Kapacitans
Farad F
Induktans
Henry H
u= R ⋅i
Frekvensoberoende
u och i ligger i fas
u=
1
∫ i dt
C
Frekvensberoende
u ligger 90° efter i (-90°)
u= L⋅
di
dt
Frekvensberoende
u ligger 90° före i (90°)

u = U⋅sin  ω⋅t 

u= U⋅sin ω⋅ t−90° 

u= U⋅sin  ω⋅t 90° 

i = I⋅sin ω⋅t 

i= I⋅sin ω⋅t 

i = I⋅sin ω⋅t 
ZR = R
ZC =
1
−j
⇒ ZC =
j⋅ω⋅C
ω⋅C
XC=
1
ω⋅C
Z L = j⋅ω⋅L
X L =ω⋅L
Ideal resistor
Den ideala resistorn är fullkomligt frekvensoberoende, och ström såväl som spänning följs åt i samma
fas. Strömmen över resistansen kan vi teckna:


u
i= ∢0
R
Ο
Kondensatorer
Kondensatorns grundläggande egenskap kallas kapacitans och är dess förmåga att lagra elektrisk
laddning. Kondensatorn kan ses som två plattor med en spalt av luft eller annat icke-ledande material
emellan. Avståndet mellan plattorna och plattornas storlek avgör kondencatorns kapacitans, som äts i
Farad. En Farad uttrycks 1F och är en mycket stor enhet, varför den i praktiken uttrycks som mikronano- och pikofarad, dvs 10-6 , 10-9 och 10-12 Farad.
För att minska avståndet mellan kondensatorns elektroder använder man andra isolerande material än
luft mellan dem. Dessa material kan göras mycket tunna, och besitter dessutom en förmåga som kallas
permitivitet. Detta innebär att elektronerna i sina banor i materialets atomer förskjuts, så att en sorts
negativ tyngdpunkt bildas. Atomen blir då en elektrisk dipol, och dessa kan då vrida sig och antaga
samma riktning som det elektriska fältet mellan elektroderna. Detta gör att verkan av avståndet mellan
elektroderna minskar, och kapacitansen ökar. Just denna förmåga gör att man kallar isolationsmaterialet
för dielektrikum.
Om man vill räkna ut kondensatorns kapacitans gäller följande formel:
C= ε⋅
A
d
där
C = kapacitansen i Farad
A = arean i m2
d = avståndet mellan elektroderna i m
ε = permitiviteten.
Permitiviteten är egentligen ε0 ⋅ε r där ε 0 = permetiviteten i vacuum 8,85⋅10− 12  och
ε r = dielektricitetskonstanten. Dielektricitetskonstanten är ett relativt tal som beskriver dielektrikumets
permitivitet i förhållande till vacuumets permitivitet.
Dielektricitetskonstanten för några material:
•
•
•
•
•
Luft
Vatten
Glas
Polyester
Keramik
1
80
10
3,3
5-50000
Kondensatorn har ett stort antal användningsområden. Som kopplingskondensator blockerar den en
likspänning, men leder en växelspänning vidare. Som avkopplingskondensator kortsluter den en
växelspänning som är överlagrad på en likspänning. I filter och resonanskretsar används kondensatorn,
ofta tillsammans med motsånd och/eller en spolesom frekvensbestämmande komponent. Man använder
kondensatorns upp- och urladdningstid som tidsbestämmande konstant. T.ex. astabila vippor.
Kondensatorn har en frekvensberoende resistans som kallas kapacitiv reaktans.
Denna uttrycks som:
Xc =
1
 ω⋅C
där
Xc = reaktansen i Ω
ω = vinkelfrekvensen 2 ⋅ π⋅f  hertz   i Rad/s
C = kapacitansen i F
Ideal kondensator
Som nämnts tidigare skulle en ideal kondensator bara ha en kapacitiv reaktans och ingen resistans eller
induktans. Väl dimensionerade kondensatorer gör dock att vi åtminstone vid lite lägre frekvenser kan
räkna med dem som ideala.
Spänningen över kondensatorn är proportionell mot integralen ∫i dt.
Vi kan ställa upp detta analytiskt enligt följande:


i
1
1 
i
u c = ∫ i dt =
⋅cosω t =
⋅sin  ω t− 90 ο 
i sin ω t =
∫
C
C
ωC
ωC
Sålunda finner vi att spänningen över kondensatorn är omvänt proportionell mot vinkelhastigheten
(frekvensen) och 90 grader (eller π/2) efter strömmen som är riktfas
Reaktansen, dvs det frekvensberoende motståndet är omvänt proportionellt mot vinkelhastigheten.
1
XC=
ωC
Verklig kondensator
Detta gäller givetvis en ideal kondensator. I praktiken får varje kondensator en resistiv och induktiv
påverkan från anslutningar osv. så kretsens verkliga växelströmsresistans, impedansen kommer att skilja
en smula.
Upp- och urladdning av en kondensator tar alltid en viss tid. Med tidskonstanten τ (tau) menar man den
tid det tar för laddningen att nå till 1-e-1 (ca 63.2%) av den nya spänningen.
Denna uttryckes som:
där
τ= R ⋅C
τ = tiden i sekunder
R = serieresistansen i Ω
C = kapacitansen i Farad
Serieresistansen avser resistansen i anslutningar, elektroder och eventuella förluster i dielektrikumet.
Spolar
Spolen kallas även induktor och dess grundläggande egenskap kallas induktans. Denna anges i enheten
Henry (H). Spolen utgörs i princip av en ledare lindad ett antal varv, med eller utan kärna.
Spolens induktans är den egenskap som motverkar alla förändringar i strömmen som går igenom den.
Vid strömförändringar i spolen uppstår en motriktad spänning som kallas mot-emk. En spole med
intuktansen 1H har en mot-emk på 1V då strömmen förändras med 1A/s.
Spolar har ett antal användningsområden, bland annat i avstämda filter och svängningskretsar för att
blockera eller välja ut vissa frekvenser. De kan även användas för likströmsfiltrering och energilagring i
olika typer av nätaggregat.
Spolen har en frekvensberoende resistans som kallas reaktans, och en likspänningsresistans i själva
tråden. Den induktiva reaktansen XL uttrycks:
X L =ω⋅L
där
XL = spolens reaktans i Ω
ω = vinkelfrekvensen (2πf) i rad/s
L = induktansen i Henry
Ideal spole (induktor)
En ideal spole skulle ha en resistans = 0. Helt klart finns inga sådana spolar i verkligheten, men med
lämplig utformning av spolen, och i våra relativt lågfrekventa resonemang kan vi räkna med att
resistansen är försumbar.
Som nämndes sist är spänningen över en spole proportionell mot strömderivatan di/dt. Sålunda ser vi att
vid strömmens toppvärden, dvs di/dt=0 är spänningen noll, och vid di/dt:s maxvärde, är spänningen max.
Ur grafen kan vi då analogt se att spänningen ligger 90 grader, eller π/2 rad före strömmen, som vi anger
som riktfas.
Och om man vill stila lite grann kan man ju ställa upp det analytiskt:
Spänningen över spolen är lika med induktansen gånger strömderivatan di/dt enligt följande:



d 
L ⋅ ⋅ i ⋅ sin   t  = i  L ⋅cos   t  = i  L ⋅sin  90 ο −  t  = i  L ⋅sin   t  90 ο = u
dt
Som synes får vi en positiv 90 graders fasskillnad mellan û och î som är riktfas.
Spänningen och därmed reaktansen hos spolen är proportionell mot vinkelhastigheten.
X L =ω L
Verklig spole (induktor)
Spolens totala impedans, dvs kombinationen av resistans och reaktans blir ett komplext tal, eftersom
reaktansen är komplex.
ZL = X
L
2 R
2
Spolen har ytterligare en egenskap som benämnes Q-värde efter Q=Quality. Detta är kvoten mellan
spolens reaktans och serieresistans. Lägre resistans ger högre Q-värde och möjliggör bl.a. konstruktion
av brantare filter.
Q=
XL
RS
Transienter
Vad är en transient signal? Definitionsmässigt är det en spänning eller ström som varierar som funktion
av tiden och som är en konsekvens av en plötslig förändring i insignalen / invärdet. Ett exempel på
detta är vid påslag/frånslag av spänning över en kondensator i serie med en resistans.
När man tittar på det transienta förloppet i en viss krets kan man dela upp detta i två delar; den
transienta delen (transient) och den stationära delen (steady state).
Transienter i RC-kretsar
Vi tänker oss en strömkälla i serie med en brytare, en resistans och en kapacitans enligt följande bild:
När brytaren är öppen går ingen ström genom kretsen. Kondensatorn är oladdad. När brytaren sluts vid
t=0 kommer strömmen att rusa in i kondensatorn i dess uppladdningsförlopp. Strömmen i kretsen
kommer att bli som följande:
t
E −
i C = ⋅e R ⋅C
R
Vid t = 0 kommer C att vara irrelevant eftersom exponentuttrycket = 1, och strömmen i kretsen och
därigenom in i kondensatorn kommer att vara lika med E genom R. Likaså är spänningen över
kondensatorn vid t = 0 lika med 0V.
Sedan laddas kondensatorn upp som funktion av tiden, och strömmen iC kommer att gå mot noll när t
går mot ∞. RC i exponentuttrycket är vad som brukar kallas kretsens tidskonstant.
När strömmen in i kondensatorn minskar ökar då spänningen över den, för att till slut plana ut och gå
mot E. När mindre än 1% skiljer Uc från E antager vi att kondensatorn är uppladdad, vilket sker efter
knappt 5 tidskonstanter.
Spänningen över C kan uttryckas:
Observera att när tidskonstanten τ = t = RC så får vi:

uC = E 1 − e
−
t
R ⋅C

u C = E 1 −e − 1  = 0,63*E som nämndes tidigare.
Exempel i verkliga livet:
Som synes beror strömmen i kretsen bl.a. på konstanten R. En ideal kondensator kopplad
direkt till ett batteri skulle alltså laddas oändligt snabbt med oändlig ström. Ideala
kondensatorer finns inte, men direkt kopplade till strömkällan kan de alltså vid tillslag dra
oerhörda mängder ström. I praktiken får detta effekt i t.ex. en förstärkare för billjud, där man
brukar ha mycket stora kapacitanser som energireserv. Att koppla in dessa till strömkällan
direkt kan ge så stora strömmar att säkringarna brinner av! Därför är vissa liknande apparater
försedda med en serieresistans vid uppstarten, för att ladda upp kondensatorerna lite
försiktigare.
När kondensatorn laddats upp fullständigt kan vi antaga att spänningen uc = E. Om vi så kopplar bort
den ursprungliga källan E genom att kortsluta den, laddar vi ur kondensatorn genom R. Detta ger
analogt med tidigare resonemang följande uttryck:
u C = E ⋅e
−
t
R⋅C
Strömmen ic uttrycks på samma sätt som tidigare, fast den här gången går den åt andra hållet.
t
E −
i C = ⋅e R ⋅C
R
En kondensator som laddats upp skulle, om den vore ideal, behålla sin laddning och därmed spänning i
all oändlighet, men alla verkliga kondensatorer har förluster, och denna verkar som ett R genom vilken
kondensatorn sakta urladdas.
Initialvärden
Om nu kondensatorn i föregående krets inte var helt urladdad, utan hade en spänning vid t=0, vad
händer då? Jo kondensatorns uppladdningscykel startar ifrån detta initialvärde. (se figur s.366 i
Boylestad) och vi får följande modifierade uttryck:
u = V   V − V ⋅  1 − e
C
i
f
i
−
t
R ⋅C

=>
u C = V f   V i − V f  ⋅e
−
t
R⋅ C
Transienter i RL-kretsar
Uppladdningsfasen
Om vi tänker oss en ny krets med en induktor istället för en kapacitans, i serie med ett motstånd R , en
brytare och en strönkälla så får vi ånyo en krets med transienta egenskaper, liknande RC-kretsen men
tvärtom så att säga.
Då brytaren sluts vid tiden t=0 ligger helt plötsligt, ett oändligt kort ögonblick, hela E över spolen.
Därigenom kommer ögonblicket efteråt strömmen att omedelbart börja flöda in i spolen. Spolens
egenskaper är då sådana att den motverkar strömändringar genom att det induceras en s.k. mot-emk i
spolen. När kretsen nått sitt stabila tillstånd har dock strömmen planat ut (strömändringen =0) och
därigenom är den motriktade spänningen över L = 0. (Detta förutsätter iofs en ideal induktor) Strömmen
genom L kan tecknas som:
iL =

−
E
⋅ 1 −e
R
t
L
R
 

Tidskonstanten för RL-kretsen återfinner vi även här i exponentuttrycket, och för RL-kretsen tecknas
denna som:
τ=
L
R
Vidare kan spänningen över L tecknas som:
uL = E⋅e
−
t
R ⋅L
Urladdningsfasen
Om vi tittar på hur kondensatorn respektive spolen lagrar energi, finner vi att kondensatorn lagrar sin
energi i form av ett elektrostatiskt fält, medan spolen lagrar energin i ett magnetfält skapat av strömmen
genom spolen. Detta ger en del intressanta konsekvenser. Eftersom energin i spolen är beroende av
strömflödet genom densamma, kommer den att avge denna energi om strömmen plötsligt avbryts. En
presumptivt oändligt snabb brytning av strömmen skulle sålunda ge upphov till en oändlig potential
(mot-emk:n) över spolen.
di
u L = L⋅
dt
I praktiken uppnår vi inte det oändliga, men med ett snabbt avbrott av strömmen genom en spole kan vi
få en mycket hög spänning över den, stark nog att skapa en gnista, och skada komponenter som är
känsliga för höga spänningar. Tändspolen i en bil är ett exempel på detta fenomen.
Om vi vill koppla upp en krets för att mäta urladdningsfasen hos en spole är det alltså en fördel att
koppla den på ett annorlunda sätt för att undvika den plötsliga strömförändringen och åtföljande
spänningstopp.
När då brytaren öppnas kommer urladdningsförloppet att följa uttrycket:
I L = I m ⋅e
−
t
τ'
Im =
τ '=
E
R1
L
R1 R 2
Och vad gäller spänningen sker följande:
u L = u R1  uR2 = i1 ⋅R 1  i 2 ⋅R 2 = i L  R 1  R 2  =

uL = 1 
R2
R1
E
 R1 R 2  =
R1

R1 R 2

R1 R 1
E
⋅
Och detta innebär att spänningen över L blir större än E relativt faktorn R2 genom R1.
När brytaren sluts kommer spolen att polvända till en spänning enligt ovan.

⋅E
Impedans
Eftersom vi nu konstaterat att vi får komplexa storheter i ekvationerna när vi räknar på dessa, så
använder vi vanlig vektormatematik för att räkna ut spänningar och strömmar när vi kombinerar de olika
elementen.
Kretselement med komplexa storheter innebär även att deras impedans blir komplex. Med impedans
menar vi kvoten û/î genom kretselementet. Impedansen benämns med Z och uttrycks också i Ohm.
Impedansen räknas också vektoriellt och analogt med spänningarna. Som exempel kan vi ta en krets
med en resistans och en spole i serie.
Då får vi ett visardiagram enligt följande:
Pythagoras sats ger oss



u 2 =  i ⋅R  2  i ⋅ω L


 = i ⋅ R   ω L   .
2
2
2
2

u
= Z = R 2 ω L 2
Vi bildar kvoten

i

i ⋅ω⋅ L ω ⋅ L
tan =
=

R
i ⋅R
Om vi sedan ritar om beräkningstriangeln, och byter ut û mot i ⋅Z så får vi följande figur:
Och om vi sedan dividerar alla sidorna med î övergår spänningstriangeln i en likformig triangel, där
sidorna har dimensionen Ohm. Denna triangel kallas Impedanstriangeln och ser ut som följer:
Gör vi motsvarande sak fast med en resistans i serie med en kondensator får vi en liknande, fast
inverterad, triangel. Kvoten û/i kvarstår, och får då formeln:

u
= Z = R 2

i
 
1
ωC
2
Rent generellt kan vi säga att den komplexa storheten impedans (Z) fås enligt:

u
där X står för reaktansen i allmänhet.
= Z = R 2X2

i
Vid rent resistiv krets (ωL = 0) blir Z = R
Vid rent induktiv krets (R = 0) blir Z = ωL
(Och vid motsvarande med kapacitans istället blir Z = 1/(ωC)