1127 Påstående betecknas med P Motsatsen till

1127
1128
Påstående betecknas med P
Motsatsen till påsteåendet betecknas ¬P
= icke P = inte P = ej P
Dela upp påståendet
“Om 𝑎2 är ett jämnt tal, så är också 𝑎 ett jämt tal”
i två påståenden
P ∶ 𝑎2 är ett jämnt tal
Q ∶ 𝑎 är ett jämt tal
Vårt ursprungliga påstående kan nu skrivas
P→Q
a)
P ∶ 𝑛 är ett udda tal
¬P ∶ 𝑛 är ett jämnt tal
Kommentar: 𝑛 kan enbart vara udda eller jämnt,
inga andra alternativ finns.
b)
P ∶ 𝑎 + 2𝑏 ≠ 15
¬P ∶ 𝑎 + 2𝑏 = 15
Kommentar: VL kan enbart vara 15 eller "inte 15"
inga andra alternativ finns.
c)
P ∶ 𝑢 + 𝑣 > 90°
¬P ∶ 𝑢 + 𝑣 ≤ 90°
Kommentar:
Summan av två vinklar kan enbart vara
"större än 90°" eller "minder än eller lika med 90° "
inga andra alternativ finns.
d)
P ∶ Minst ett av talen 𝑘 och 𝑙 är udda =
ett eller två av talen 𝑘 och 𝑙 är udda
¬P ∶ Inget av talen 𝑘 och 𝑙 är udda =
både 𝑘 och 𝑙 är jämna
𝑘
𝑙
Jämnt
Jämnt
Jämnt
Udda
Minst ett udda
Udda
Jämnt
Minst ett udda
Udda
Udda
Minst ett udda
a)
Q ∶ “𝑎 är ett jämnt tal”
¬Q ∶ “𝑎 är ett udda tal”
b)
P ∶ “𝑎2 är ett jämnt tal”
¬P ∶ “𝑎2 är ett udda tal”
c)
Enligt teorin om indirekta bevis kan vi
påstå motsatsen 𝑜𝑐ℎ vända på implikationen,
vilket ger
“om 𝑎 ä𝑟 ett udda tal → 𝑎2 är ett udda tal”
¬𝑄 → ¬𝑃
VL ∶
Om 𝑎 är udda kan det skrivas som 2𝑛 + 1
HL ∶
𝑎2 = (2𝑛 + 1)2
= 4n2 + 4n + 1
= 2(2𝑛2 + 2𝑛) + 1
= 2 ⋅ heltal + 1
= 2k + 1
= udda tal
Saken är klar påståendet
“om 𝑎 ä𝑟 ett udda tal → 𝑎2 är ett udda tal”
är sant
och då är även påståendet
“Om 𝑎2 är ett jämnt tal, så är också 𝑎 ett jämt tal” sant
1129
1130
Påstående ∶ ”Om 𝑥 = 4, så är 3𝑥 − 5 ≠ 10"
a)
Vad beträffar både talen a och b kan de vara
mindre än noll, lika med noll eller större än noll
Logisk motsats till a < 0 är a ≥ 0 och
Logisk motsats till b < 0 är b ≥ 0
Logisk motsats till “antingen a < 0 eller b < 0”
blir då
antingen både a≥0 och b≥0
(gör produkten a⋅b positiv eller noll)
eller
både a < 0 och b < 0"
(gör produkten a⋅b positiv)
a) Bevisa påståendet.
Sätt in x = 4 i
3𝑥 − 5 ≠ 10 ger
VL: 3 ∙ 4 − 5 = 7
HL: 10
Påståendet är sant då VL ≠ HL
b) Antag motsatsen
”Om 𝑥 = 4, så är 3𝑥 − 5 = 10”
Sätt in 𝑥 = 4 i ekvationen
VL = 3 ∙ 4 − 5 = 7
HL = 10
VL = HL
ger 7 = 10
som ger en motsägelse, inte sant.
sålunda gäller att om
x = 4, så är 3𝑥 − 5 ≠ 10
b)
Enligt teorin om indirekta bevis kan vi
påstå motsatsen 𝑜𝑐ℎ vända på implikationen,
vilket ger antingen
både a ≥ 0 och b ≥ 0 eller
både a < 0 och b < 0 → a ∙ b ≥ 0
Kan delas upp i två fall
Fall 1
både a ≥ 0 och b ≥ 0 → a ∙ b ≥ 0
Fall 2
både a < 0 och b < 0 → a ∙ b > 0
Vi vet att om ett tal är större än noll så är det positivt
och mindre än noll negativit.
Teckenreglerna säger att:
Produkten av två positiva tal är alltid positiv.
Produkten av två negativa tal är alltid positiv.
Produkten av ett negativt och ett positivt tal är negativ.
Så för att produkten ska bli negativ krävs
att ett av talen är negativt dvs < 0
Produkten av två tal som är större eller lika med noll
är naturligtvis själv större eller lika med noll.
Produkten av två tal som båda är mindre än noll
är större än noll.
Alltså gäller att
”om a ∙ b < 0, så är antingen
a < 0 eller b < 0” v. s. b.
1131
Antag att minst ett av talen a och b är jämnt.
Om a är ett jämnt tal så gäller att
a = 2n där n är ett positivt heltal.
Då är a ∙ b = 2n ∙ b
Eftersom produkten är delbar med 2 så är
ab ett jämnt tal oavsett om b är ett
udda eller jämnt tal.
Motsvarande gäller om b är ett jämnt tal.
Därmed gäller att om produkten av två tal
a och b är udda så är båda talen a och b udda.
Enligt teorin om indirekta bevis kan vi
påstå motsatsen 𝑜𝑐ℎ vända på implikationen,
vilket ger att påståendet
”om produkten av a och b är udda
→ både a och b udda”
kan logiskt ersättas av påståendet
”om minst ett av talen a och b är jämnt
→ produkten av a och b jämn”
Kommentar:
Alla jämna tal innehåller faktorn 2,
om det jämna talet mulipliceras med ett heltal
så finns faktorn 2 fortfarande kvar.
Sålunda om minst ett jämnt tal
ingår i en produkt av heltal så blir
produkten alltid jämn.
1132
Dela upp påståendet
"om produkten av två tal a⋅b är jämn" ger
P ∶ "a ⋅ b är jämnt"
"så är minst ett av talen jämnt" ger
Q ∶ "minst ett av talen a eller b är jämnt "
Vi ska visa att P → Q
Enligt teorin om indirekta bevis kan vi
påstå motsatsen 𝑜𝑐ℎ vända på implikationen.
¬Q → ¬P
¬P ∶ "a ⋅ b är udda"
¬Q ∶ "både a och b är udda"
Vi visar nu istället att ¬Q → ¬P
Om både a och b är udda kan vi sätta
a = 2m + 1 och b = 2n + 1 vilket ger
a ⋅ b = (2m + 1) ⋅ (2n + 1) =
4mn + 2m + 2n + 1 =
2 ⋅ (2mn + m + n) + 1 =
2 ⋅ heltal + 1 =
2k + 1 , vilket är ett udda tal
Sålunda är ¬Q → ¬P sant och då är även
P → Q sant v. s. v
1133
1134
Dela upp påståendet
”om n3 + 5 är ett udda tal så är n ett jämnt tal”
P ∶ ” det finns 𝑖𝑛𝑡𝑒 ett reellt tal r
som är större än alla andra tal”
P ∶ "n3 + 5 är ett udda tal"
Q ∶ "n ett jämnt tal"
¬P ∶ ” det finns ett reellt tal r
som är större än alla andra tal”
Vi ska visa att P → Q
Enligt teorin om indirekta bevis kan vi
påstå motsatsen 𝑜𝑐ℎ vända på implikationen.
¬Q → ¬P
¬P ∶ "n3 + 5 är ett jämnt tal"
¬Q ∶ "n ett udda tal"
Sätt n = 2k + 1 ger
n3 + 5 =
(2k + 1)3 + 5 =
*se eventuellt formelblad Ma 4
8k 3 + 3 ⋅ 4k 2 ⋅ 1 + 3 ⋅ 2k ⋅ 12 + 13 + 5 =
8k 3 + 12k 2 + 6k + 6 =
2 ⋅ (4k 3 + 6k 2 + 3k + 3) =
2 ⋅ heltal =
2m , vilket är ett jämnt tal
Vi har visat att ¬Q → ¬P är sant och då är
även P → Q sant v. s. v
* Formelblad Ma4 s.1
Bevisa att ¬P är sant för talet r
r > 0 eftersom positiva tal större än negativa.
r > x , ∀x ∈ R (r större än alla reella tal x)
antag nu till exempel att talet k = r + 1
då r + 1 > r blir k > r och
vi har funnit ett tal som är större än r
och sålunda är ¬P falskt
och då måste P vara sant.
1135
Visa att
P ∶ ”√3 är ett 𝑖𝑟rationellt tal”
Använd motsägelsebevis och visa att
¬P ∶ ”√3 är ett rationellt tal"
Om √3 är rationellt så innebär det att
a
√3 = , där a och b är heltal och b ≠ 0
b
a
samt att bråket är förkortat så långt som möjligt
b
a2
3= 2
b
3b2 = a2
a
Eftersom vi förkortat bråket så långt som möjligt
b
så måste talen a och b vara udda
(eftersom jämna tal alltid kan förkortas)
Om a och b är udda så är även a2 och b2 udda.
(om ett tal är udda så är även talets kvadrat
udda enligt räknelagar för udda och jämna tal)
a = 2m + 1
b = 2n + 1
gör att
3b2 = a2
kan skrivas som
3(2n + 1)2 = (2m + 1)2
3(4n2 + 4n + 1) = 4m2 + 4m + 1
12n2 + 12n + 3 = 4m2 + 4m + 1
12n2 + 12n + 2 = 4m2 + 4m
2(6n2 + 6n + 1) = 2(2m2 + 2m)
6n2 + 6n + 1 = 2m2 + 2m
2(3n2 + 3n) + 1 = 2(m2 + m)
2 ⋅ heltal + 1 = 2 ⋅ heltal
2p + 1 = 2q
udda tal = jämnt tal → 𝐦𝐨𝐭𝐬ä𝐠𝐞𝐥𝐬𝐞
sålunda saknar ekvationen
a
√3 = , där a och b är heltal och b ≠ 0
b
a
samt att bråket är förkortat så långt som möjligt
b
lösningar och därmed kan inte
√3 vara ett rationellt tal.
√3 är ett irrationellt tal v. s. b.