Definitionsmängd
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
FUNKTIONER.
DEFINITIONSMÄNGD OCH VÄRDEMÄNGD.
Definition 1 En funktion (eller avbildning ) från en mängd A till en mängd B är en regel
som till några element i A ordnar högst ett element i B.
Att funktionen f avbildar x avbildas på y betecknar vi x → y eller f ( x) = y .
Om y = f (x ) säger vi att y är bilden av originalen x.
Att f är en funktion från A till B betecknar vi på följande sätt
f:A→B
Mängden A är funktionens startmängd (eng: initial set ) . Mängden B är funktionens
målmängd (eng: final set, target set )
f : A→ B
x→ y
Definitionsmängden (eng: domain) Df till funktionen f är mängden av alla originaler
dvs mängden av alla x på vilka f tillämpas (den gula mängden i grafen).
Värdemängden (eng: range) Vf är mängden av alla bilder som fås då x genomlöper
definitionsmängden, eller mer precis
V f = { f ( x) :
x ∈ Df }.
Notera skillnaden mellan startmängden och definitionsmängen; värdemängden V f och
målmängden B ).
Generellt gäller: D f ⊆ A och V f ⊆ B .
Sida 1 av 11
Definitionsmängd
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
I envariabelanalys, som standard, gäller följande överenskommelse:
Om vi inte anger, på explicit sätt, definitionsmängden för en funktion y=f(x), menar vi
att funktionens definitionsmängd består av alla reella x för vilka f(x) är ett reellt tal.
Dvs, vi menar att Df ( i ett sådant fall) är den största möjliga definitionsmängden för f(x).
Exempel 1. Låt f : R → R, där f ( x ) = 1 − x 2 .
För den här funktionen är startmängden= R, målmängden = R,
definitionsmängden=[-1,1] och värdemängden =[0,1]
Exempel 2. (Ett diskret exempel)
För funktionen f som definieras med
hjälp av grafen gäller: f : A → B ,
startmängden=A= {1,2,3,4}
målmängden = B = {a, b, c, d , e} ,
definitionsmängden är D f = {1,2,3} ,
värdemängden är V f = {a, c} .
================================================================
I den här kursen (Envariabelanalys) betraktar vi reella funktioner y= f(x) av en reell
variabel, med andra ord, både x och y är reella tal .
Alltså i vår kurs gäller oftast f : R → R
För att definiera en funktion f måste vi ange
1. funktionens definitionsmängd Df.
och
2. ett uttryck y= f(x) ( dvs en regel som till varje x ∈ D f ordnar exakt ett reellt tal f(x) ) .
Lägg märke till att vi kan beteckna variabler med andra bokstäver:
T ex, vi betraktar f ( x) = 3 x 2 + 8, x ∈ R och g (t ) = 3t 2 + 8, t ∈ R som två lika funktioner
Sida 2 av 11
Definitionsmängd
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Funktionens värdemängd V f är mängden av alla f(x) då x varierar inom definitionsmängden
dvs
V f = { f ( x) : x ∈ D f }
Definitionsmängden för funktionen f (x )
i figuren till höger är D f = (1,8]
medan värdemängden består av två intervall
V f = (1,4) ∪ [6,8]
Grafen till en funktion, G, är mängden av alla punkter ( x, f ( x)) då x varierar inom
definitionsmängden, dvs G= {( x, f ( x )) :
x ∈ Df }.
Motsvarande kurva i xy-planet kallas funktionskurva.
För varje x i definitionsmängden Df har vi exakt en punkt ( x, f ( x )) på funktionsgrafen.
Kurvan i figur A är en funktionskurva ( för varje reellt tal x=x1 har vi högst en motsvarande
punkt på funktionskurva. [Om x ligger i definitionsmängden då har vi exakt en motsvarande
punkt på funktionskurvan.]
Kurvan i figur B (en ellips) är INTE en funktionskurva ( för minst ett x=x1 har vi minst två
motsvarande punkter på grafen.
-------------------------------------------------------
Sida 3 av 11
Definitionsmängd
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Två funktioner
y = f ( x) : x ∈ D1 och y = g ( x) : x ∈ D2 är lika om och endast om
D1 = D2 och f ( x) = g ( x) för alla x ∈ D1 .
T ex y = x 2 ,
x ∈ [1,5] och
y = x2 ,
x ∈ [0,2] är två olika funktioner.
--------------------------------------------------------------------RESTRIKTION AV EN FUNKTION . Låt f och g vara två funktioner med definitionsmängder A
respektive B där B ⊆ A . Om f ( x) = g ( x) för alla x ∈ B säger vi att g är restriktionen av
funktionen f till B.
Med andra ord, en restriktion g har samma regel som f ( uttryck f(x)=g(x) ) men har en ”mindre”
definitionsmängd ( B ⊆ A ) .
T ex. Om f ( x) = x 2 + x,
med definitionsmängden D f = [1, 5] , och g ( x) = x 2 + x,
D g = [2, 4] då är g restriktionen av funktionen f till [2, 4]
Exempel 1:
Rita funktionen y = x 2 ,
där − 1 ≤ x < 2 . Bestäm funktionens värdemängd.
Lösning:
Funktionens definitionsmängd är mängden av alla reella tal x sådana att − 1 ≤ x < 2 .
Alltså D f = {x ∈ R − 1 ≤ x < 2} som vi skriver på kortare sätt D f = [−1, 2) .
Vi ritar den del av parabeln y = x 2 ,
där
−1 ≤ x < 2 .
Lägg märke till att punkten ( 2, 4) inte
tillhör grafen.
Vi ser att 0 ≤ y < 4 .
Därmed är funktionens värdemängd
V f = { y ∈ R : 0 ≤ y < 4}
Vi skriver på kortare sätt V f = [0, 4) .
Exempel 2:
Sida 4 av 11
med
Definitionsmängd
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Låt
y=
x . Bestäm funktionens definitionsmängd ( dvs den största möjliga
definitionsmängd) och värdemängd. Rita grafen till funktionen..
Lösning.
x
är ett reellt tal om och endast om x ≥ 0
.
Funktionen antar alla värden y ≥ 0
Svar : D f = [0, ∞) , V f = [0, ∞)
Definitionsmängd för elementära funktioner.
1a) Följande elementära funktioner är definierade för alla reella x
y=3 x, y=5 x, y=7 x
y = sin x ,
y = cos x ,
y = arctan x , y = arccot x
y = a , där a > 0
x
t ex
y=e
x
,
2
y=5 y=
3
x
x
,
polynom , y = a n x + + a1 x + a 0 , n är ett naturligt tal.
n
1b) Funktionen
1c )
y = ln(x)
1d) y =
1e )
y= x
är definierad om x ≥ 0
är definierad om x > 0
1
är definierad om x ≠ 0
x
y = arcsin x är definierad om − 1 ≤ x ≤ 1
1f ) y = arccos x är definierad om − 1 ≤ x ≤ 1
1g ) Potensfunktionen
y = x a , där a är ett reellt tal är definierad åtminstone för x>0.
I ) Om exponent a är positivt heltal då är
y = x a , definierad
Sida 5 av 11
för alla x
Definitionsmängd
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
t ex
funktionen
y = x4 ,
har
D f = (−∞,+∞)
II ) Om exponent a är negativt heltal då är
t ex
funktionen
y = x −4 =
1
,
x4
y = x a , definierad
är definierad för alla x ≠ 0
III) Om exponent a är ett positivt tal men inte heltal då är
t ex
funktionen
2
3
y=x ,
t ex
funktionen
y=x
2
3
y = x a , definierad
=
1
x2/3
,
y = x a , definierad
y= x
3
och
definitionsmängd:
medan
är definierad för alla x även negativa, t ex
3
− 8 = −2
1
3
y = x , är definierad för x ≥ 0 .
De två funktioner är lika endast för x ≥ 0 .
Alltså
3
x=x
1
3
är korrekt endast om x ≥ 0 !!!
Exempel 3: Bestäm definitionsmängden till
y = 5 x 3 + 2 x + 8 + 3 sin x + 4 cos x + e x + arctan x + arccot x
Svar : D f = (−∞, ∞) = R
för alla x > 0
är definierad för alla x > 0 .
Anmärkning: Lägg märke till att följande två funktioner
y=3 x
för alla x ≥ 0
är definierad för alla x ≥ 0 .
III) Om exponent a är negativt tal men inte heltal då är
−
för alla x ≠ 0
(R= mängden av alla reella tal)
Sida 6 av 11
y=x
1
3
inte har samma
Definitionsmängd
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
2. Funktionen
y = u (x)
är definierad om u ( x) ≥ 0 .
Exempel 4: Bestäm definitionsmängden till
Lösning.
y = x−3
x −3≥ 0 ⇔ x ≥ 3.
Svar: D f = [3, ∞)
Exempel 4: Bestäm definitionsmängden till
Lösning.
y = x2 + 3
x 2 + 3 ≥ 0 . för alla x.
Svar: D f = (−∞, ∞)
Exempel 5: Bestäm definitionsmängden till
Lösning.
y = sin x
sin x ≥ 0 ⇔ 2kπ ≤ x ≤ π + 2kπ där k = 0 ± 1 ± 2,
Svar: Funktionen är definierad om 2kπ ≤ x ≤ π + 2kπ där k = 0 ± 1 ± 2,
3.
Funktionen
Exempel 6.
Lösning.
y = ln(u ( x))
är definierad om u ( x) > 0 .
Bestäm definitionsmängden till
x 2 − 4 > 0 ⇔ x < −2 eller
y = ln( x 2 − 4)
x>2 ,
Svar: D f = (−∞,−2) ∪ (2, ∞)
4. Den rationella funktionen
y=
p( x)
q( x)
är definierad om q ( x) ≠ 0 .
Sida 7 av 11
Definitionsmängd
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
x2 − 4
Bestäm definitionsmängden till y = 2
x −9
Exempel 7.
Svar: Funktionen är definierad om
y = tan x =
5. Funktionen
dvs om x ≠
π
x ≠ ±3
sin x
cos x
är definierad om cos x ≠ 0 ,
cos x
sin x
är definierad om sin x ≠ 0 ,
+ kπ
2
6. Funktionen
y = cot x =
dvs om x ≠ kπ
Exempel 7.
Bestäm definitionsmängden till
Lösning. cos(3 x) ≠ 0 ⇔ 3 x ≠
π
2
+ kπ ⇔ x ≠
Svar: Funktionen är definierad om x ≠
7. Funktionen
y = tan(3 x)
π
6
+
π
6
+
kπ
3
kπ
3
y = arcsin(u ( x))
är definierad om
y = arccos(u ( x))
är definierad om
− 1 ≤ u ( x) ≤ 1
8. Funktionen
− 1 ≤ u ( x) ≤ 1
Exempel 8. Bestäm definitionsmängden till
x
y = arccos( )
3
Sida 8 av 11
Definitionsmängd
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Lösning.
−1 ≤
x
x
≤ 1 ⇒ −1 ≤ ≤ 1 ⇒ − 3 ≤ x ≤ 3
3
3
Svar: D f = [−3, 3]
Exempel 9. Bestäm definitionsmängden till funktionen
y = −x +
4x3
.
x−3
Lösning:
4x3
a) Funktionen är definierad om
≥ 0.
x−3
3
4x
x−3
4x3
x−3
–
0
0
+
–
+
–
0
–
–
3
+
0
ej
def
+
+
+
Definitionsmängden : D f = (−∞, 0] ∪ (3, ∞)
Exempel 10. Bestäm definitionsmängden för
y=
ln(6 x − 5 − x 2 )
x 2 − 3x
Lösning:
6 x − 5 − x 2 > 0
b) Villkor : 2
x − 3x > 0
6 x − 5 − x 2 > 0 ⇒ −( x − 5)( x − 1) > 0 ⇒ ( x − 5)( x − 1) < 0(teckenstudium) ⇒ 1 < x < 5
x 2 − 3x > 0 ⇒ x ( x − 3) > 0 ⇒ (teckenstudium) ⇒ x < 0 eller
Sida 9 av 11
x>3
Definitionsmängd
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Båda villkoren är uppfyllda för 3 < x < 5 . Svar: 3 < x < 5
Exempel 11. Bestäm definitionsmängden för funktionen
f ( x) = ln(3 − x) + arcsin( x − 2) + e x + 3 sin x
Lösning:
Villkor 1:
3− x > 0 ⇒ x < 3
Villkor 2:
−1 ≤ x − 2 ≤ 1 ⇒
1≤ x ≤ 3
Villkor 1 och 2 ger:
1≤ x < 3
Svar: 1 ≤ x < 3
Exempel 12. Bestäm definitionsmängden för funktionen
f ( x) = ln(2 − x) + arccos( x − 2) + 4 x + 4 cos x
Lösning:
Villkor 1:
2− x > 0⇒ x < 2
Villkor 2:
−1 ≤ x − 2 ≤ 1 ⇒
( vi adderar +2)
1≤ x ≤ 3
Villkor 1 och2 ger:
1≤ x < 2
Svar: 1 ≤ x < 2
Exempel 13. Bestäm definitionsmängden för funktionen
f ( x) = ln( x − 3) + 32 − 2 x 2 + e 6−2 x
Sida 10 av 11
Definitionsmängd
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Svar: 3 < x ≤ 4
Exempel 14. Bestäm definitionsmängden för funktionen
f ( x ) = x − 2 + ln(50 − 2 x 2 ) + sin( x − 4) + arctan x
Svar: 2 ≤ x < 5
Sida 11 av 11
