Supponera Finans och Kalkyl AB
www.supponera.se
070-7350888
Andreas Vedung
2015-07-03
FINANSIELLA FORMLER SUPPONERA FINANS OCH KALKYL AB
Innehåll
Inledning ........................................................................................................................................................ 1
Konkreta tips om hur man använder formler ............................................................................................... 2
Dubbelräkna .............................................................................................................................................. 2
Visualisera kassaflöden.............................................................................................................................. 2
Osäkerhet .................................................................................................................................................. 3
Var inte rädd .............................................................................................................................................. 3
Ha inte bråttom ......................................................................................................................................... 4
Parametrar, konstanter ................................................................................................................................. 5
Finansiella definitioner .................................................................................................................................. 5
Finansiella formler ......................................................................................................................................... 6
Företagsekonomiska definitioner................................................................................................................ 13
Företagsekonomiska formler ...................................................................................................................... 13
Statistiska definitioner................................................................................................................................. 14
Statistiska formler........................................................................................................................................ 15
Definitioner av skattebegrepp ..................................................................................................................... 19
Skatteformler............................................................................................................................................... 19
Inledning
De flesta beslut innehåller mått av osäkerhet. Osäkerheten ger finansiella konsekvenser. Att räkna ut
finansiella konsekvenser av osäkerhet är därför viktigt för att nå mål. Det gäller oavsett om man beslutar
som enskild person, är CFO i ett marknadsnoterat bolag, bestämmer i en kommun eller i staten. Här följer
frågor med osäkerhet och finansiella dimensioner:
Hur mycket ska jag spara per månad för att kunna gå i pension vid X års ålder?
Vad är nuvärdet av en ny bil givet billånets räntekostnader, värdeminskning, bränsleförbrukning och
framtida andrahandsvärde? Vilka alternativ till bilen blir därmed realistiska?
Givet förväntad lön efter studier och sannolikheten att få jobb, är utebliven lön under studieåren och
räntekostnader på studielån värt studierna?
Vilken typ av boendeform, hyresrätt, bostadsrätt eller villa blir billigast i ett livscykelperspektiv?
Vilken utlåningsränta måste en bank kräva för att ränteinkomster ska överstiga räntekostnader,
lönekostnader, övriga utgifter, förväntade kreditförluster, skatter och aktieägares avkastningskrav?
Ska företaget investera i en ny anläggning givet förväntad efterfrågan och konkurrens?
1
Supponera Finans och Kalkyl AB
www.supponera.se
070-7350888
Andreas Vedung
2015-07-03
Vad är kostnaden för att anställa personal jämfört med att hyra in konsulter?
Blir ett fritidshus i eurozonen billigare jämfört med ett i Sverige?
Är det lönsamt att flytta produktionsanläggningen från Sverige till ett grannland?
Vilka blir de långsiktiga ekonomiska konsekvenserna av att bosätta sig i olika kommuner?
Hur mycket måste man tjäna före inkomstskatt för att få ut X kronor om man inte betalar statlig
inkomstskatt, om man betalar statlig inkomstskatt, om man betalar statlig värnskatt?
Hur påverkas sökaktiviteten av en arbetslös om a-kassan är låg och avtrappas, samtidigt som skatten är
låg på förvärvsinkomster?
Hur hög är bankers alternativkostnad vid tvingande likviditetskrav (LCR)?
Ska företaget emittera en företagsobligation istället för att låna av en bank?
Vad blir nuvärdet av 0,01 procents avtalade högre löneökningar i en bransch för arbetsgivare?
Alla frågor visar att ekonomi, finans och statistik har praktiska tillämpningar inom många områden. Alla har
behov av finansiella, ekonomiska och statistiska formler för utvärdera kort- och långsiktiga konsekvenser av
beslut. För hushåll leder det till större frihet. För företag leder det till lägre kostnader och bättre
investeringar. För offentliga myndigheter blir det mer välfärd för skattepengarna.
Denna formelsamling delar in formlerna i finansiella, företagsekonomiska, statistiska och skatteformler. Det
är ett sätta att kategorisera formlerna, men i praktiken väver formlerna in i varandra. En skatteförändring
får till exempel finansiella konsekvenser. Då måste man först beräkna skatteformelns resultat och sedan
stoppa in detta resultat i en finansiell formel.
Konkreta tips om hur man använder formler
För många är formler något skrämmande. Här kommer några konkreta tips om hur man kan resonera med
formlerna som hjälp.
Dubbelräkna
Om man vill beräkna skillnaden i utfall av två olika alternativ, använd samma formel två gånger. Den första
gången använder man formeln med alternativ 1:s indata. Den andra gången använder man samma formel
med alternativ 2:s indata. Sen jämför man resultaten. Man kan dubbelräkna, trippelräkna, kvadrupelräkna,
…, och jämföra hur många alternativ som helst. Det är lite tidskrävande, men inte svårt och kan vara värt
tiden.
Visualisera kassaflöden
Att tänka på framtida kassaflöden som strömmar in och ut och med osäkerhet underlättas om man
visualiserar kassaflödena i ett stapeldiagram. Här syns ett exempel på hur oregelbundna kassaflöden in och
ut kan visualiseras.
2
Supponera Finans och Kalkyl AB
www.supponera.se
070-7350888
Andreas Vedung
2015-07-03
Positiva inflöden
Tid
Negativa utflöden
Osäkerhet
Att tänka på osäkerhet kräver sannolikheter och sannolikhetsfördelningar. En sannolikhetsfördelning som
man bör ha kunskap om är normalfördelningen. Normalfördelningen är en sannolikhetsfördelning där
sannolikheten att en variabels utfall har en spridning kring ett förväntat värde. Det unika med
normalfördelningen är att den är symmetrisk kring det förväntade värdet. Det förväntade värdet mäts med
medelvärde och spridningen med standardavvikelse. Har man medelvärde och standardavvikelse för en
variabel är det bara att stoppa in dessa i normalfördelningsformeln och räkna. Här visas
normalfördelningen med medelvärde 0 och standardavvikelse 1 (N(0,1)).
Var inte rädd
Många är rädda för formler och siffror. Den rädslan är obefogad. Vad kan en formel orsaka för skada? Ingen
alls. Det är farligare att gå på en gata än att pröva en formel.
3
Supponera Finans och Kalkyl AB
www.supponera.se
070-7350888
Andreas Vedung
2015-07-03
Ha inte bråttom
Många tror att ekonomiska och finansiella beslut måste fattas fort. ”Om jag inte köper aktier nu kommer
jag att gå miste om aktieuppgången!!!”.
Ta det lugnt. Så fungerar det inte. Viktigare än snabbhet är grundligt funderande och sedan beslut.
Om du har frågor kring någon formel, kontakta mig. Jag garanterar inte att alla formler eller resonemang är
korrekta. Du som använder dig av formelsamlingen är själv ansvarig för formlernas resultat.
Formelsamlingen är ett pågående arbete och uppdateras regelbundet.
Andreas Vedung
4
Supponera Finans och Kalkyl AB
www.supponera.se
070-7350888
Andreas Vedung
2015-07-03
Parametrar, konstanter
Parameter
Faktisk inflation
Inflationsmål
Förväntad avkastning
svenska aktier
Förväntad avkastning
utländska aktier
Värde
Datum
2013-03-31
2 procent
6,2 procent
Källa
www.scb.se
www.riksbank.se
www.minpension.se
6,2 procent
www.minpension.se
Finansiella definitioner
Ct = Kassaflöde period t
DIVt = Utdelning period t
D = Marknadsvärde av företags/hushålls skulder
DFt = Diskonteringsfaktor för kassaflöde period t
E = Marknadsvärde av företags kapital
EPSt = Utdelning per aktie period t
EX = Lösenpris för en option
ft = Förväntad avkastning på termin …
fSEK/X = Terminsvalutakursen mellan SEK och X
g = Tillväxttakt
it = Förväntad inflation i period t
IRR = Internränta
LCFt =
NPV = Nettonuvärde
Pt = Pris vid tidpunkten t
PV = Nuvärde
rreal = Real avkastning
rt = Förväntad nominell avkastning i period t
R
rD = Räntan på ett lån, D
rE = Förväntad avkastning på ett företags kapital
rf = Riskfri avkastning
rm =Förväntad avkastning på marknadsportföljen
rSEK = Ränta i SEK
r* = Justerad kapitalkostnad
k = kapitalkrav
𝜌12 = Rho = Korrelationskoefficient mellan
investering 1 och 2
𝜎 = Sigma = standardavvikelse
𝜎𝑖𝑗 = Sigma = kovarians mellan i och j
𝜎 2 = Varians
rUTL = ränta i utlandet
t = tid
Tc = Bolagsskatt
Tcap = Ägarskatt
Tp = Förvärvsinkomstskatt
V = Värde av ett företag = D + E
𝛽 = Beta = Ett mått på marknadsrisk
𝛿 =Delta = riskkvot
𝑟 −𝑟
𝜆 = Lambda = marknadsrisk = 𝑚𝜎2 𝑓
𝑚
a = tillgång (”asset”)
FV = Framtida värde
et = växelkurs (”exchange rate”) vid tidpunkt t
et+1= växelkurs vid tidpunkt t+1 = terminsväxelkurs vid
tidpunkt t+1
5
Supponera Finans och Kalkyl AB
www.supponera.se
070-7350888
Andreas Vedung
2015-07-03
Finansiella formler
Nuvärdet av en evig årlig betalning om C kronor
diskonterad med r är:
𝐶
𝑃𝑉 =
𝑟
Exempel: Nuvärdet av 100 000 kronor per år i
evighet om diskonteringsräntan r är 5 procent =
100 000 kronor/0,05 = 2 000 000 kronor.
En evig tillgång kallas för ”perpetuity” på
engelska. Det kan likställas med en långlivad
tillgång, t.ex. ett hus eller ett universitet.
Nedanstående formel ger det årliga betalningen
(=kupong) av en evig tillgång.
𝑟 × 𝑃𝑉 = 𝐶
Exempel: En stiftelse vill dela ut 10 mkr per i
prispengar. Om räntan är 5 procent måste
stiftelsens förmögenhet idag vara 0,05 x 2 mdr =
10 mkr.
Antal år det tar för att dubblera ett sparkapital
om avkastningen är r (”dubbleringsregeln”):
72
100 × 𝑟
Exempel: Om avkastningen på en väl
diversifierad aktieportfölj är 6,2 procent tar det
knappt 72 / (100 x 0,062) = 11,6 år att dubblera
ett kapital.
Om den reala avkastningen är 3,5 procent tar
det 20,6 år för att dubblera ett kapital.
Exempel: Om BNP växer med 2,5 procent per år
tar det 20,6 år att fördubbla BNP.
Nuvärdet av en annuitet om C kronor under t
antal år är:
𝐶
𝐶
𝑃𝑉 = −
𝑟 𝑟(1 + 𝑟)𝑡
Exempel: Nuvärdet av 100 000 kronor per år i 15
år med en diskonteringsränta om 5 procent =
(100 000 kronor/0,05) – (100 000
kronor)/(0,05x(1,05)^15) = 1 037 966 kronor.
En annuitet är ett fast belopp varje år. Man kan
se på en annuitet som en kupongobligation utan
en principal vid slutet av annuitetens livslängd.
Exempel på annuitet är ett bostadslån med fast
belopp som består av räntekostnad och
amortering. Ett annat exempel på annuitet är ett
konsumtionslån. En variant av annuitet är en
livsvarig pension. Livsvarig pension kräver
livslängdsantaganden.
Exempel: Ett försäkringsbolag säljer annuiteter
till män. Den förväntade återstående livslängden
för män som fyllt 65 år 18 år. Om
diskonteringsräntan är 5 procent och en man har
2 mkr i kapital kan han erbjudas en livsvarig årlig
betalning om 171 100 kronor.
Nuvärdet av en evig årlig betalning om C kronor
som växer med g vart år och som diskonteras
med r (”growing perpetuity”):
𝐶
𝑃𝑉 =
𝑟−𝑔
Exempel: Om utdelningen för en aktie är 5
kronor, diskonteringsräntan är 6,2 procent och
utdelningen förväntas växa med 2 procent så är
nuvärdet 5 / (0,062 – 0,02) = 119 kronor.
Även om det finns enstaka bolag som aldrig
delar ut pengar så vore det ett allvarligt
systemfel om inte noterade bolag som en helhet
inte skulle dela ut mer pengar än
centralbankernas inflationsmål.
Exempel: Om inflationen är 2 procent per år
halveras det reala värdet av en skuld på 36 år.
Dubbleringsregeln är en finansiell tumregel.
Om r är den kontinuerliga kapitaliseringsräntan
är nuvärdet av C kronor erhållen år t:
𝐶
𝑃𝑉 = 𝑟𝑡
𝑒
Nuvärdet av en serie årliga betalningsströmmar
C under n antal år diskonterade med räntan r:
6
Supponera Finans och Kalkyl AB
www.supponera.se
070-7350888
Andreas Vedung
2015-07-03
Exempel: Nuvärdet av 1 000 000 kronor erhållna
om 15 år givet kontinuerlig kapitalisering med en
ränta om 6 procent är 1 000 000
/2,71…^(0,06x15) = 406 570 kronor.
Man kan disponera om formeln:
𝑃𝑉 × 𝑒 𝑟𝑡 = 𝐶
Exempel: Om 100 000 kronor kapitaliseras
kontinuerligt i fem år till räntan 3 procent har
man ett belopp om 116 183 kronor vid
periodens slut (100 000 kronor)xe^(3/100x5).
Kontinuerlig kapitalisering ger högre förräntning
än om kapitalisering sker månatligen eller
kvartalsvis.
Växelkursen, e, är bytesförhållandet mellan två
valutor:
𝑆𝐸𝐾
𝑒=
𝑈𝑡𝑙ä𝑛𝑑𝑠𝑘 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑡𝑎
En växelkurs är ett relativpris. I ovanstående
formel får man svar på frågan ”hur många SEK
får man betala per 1 utländsk valuta”?.
Exempel: Hur många svenska kronor får man
betala för 1 euro? Om e = 8,3734 innebär det att
man måste betala 8,3734 svenska kronor för en
euro. Samma sak kan också uttryckas
annorlunda. Hur många euros får man för en
krona? 1/8,3743 = 0,1194 euros får man betala
för en krona.
Växelkurser, liksom alla relativpriser, ändras
kontinuerligt. Om en valuta blir ”dyrare”
apprecieras valutan. Om en valuta blir ”billigare”
deprecieras valutan.
Exempel: En svensk turist som åker till euroland
får växelkursen 8,5734 kronor per euro.
Skillnaden mellan 8,5743 – 8,3734 = 20 öre är en
”spread” gentemot marknadspriset. Det är en
förlust för turisten och en vinst för
växlingskontoret. Antag att svensken växlar över
𝑛
𝑃𝑉 = ∑
𝑡
𝐶𝑡
(1 + 𝑟)𝑡
Exempel: Nuvärdet av 1 000 kronor i slutet av
varje år i tre år diskonterade med räntan 6
procent är (1 000 /(1,06)) + (1000/(1,06^2)) +
(1000/(1,06^3)) = 2 673 kronor.
Värdet på ett bolag kan beräknas med
ovanstående formel genom att byta ut Ct mot
DIVt och ta hänsyn till ägarskatten Tcap.
Om C byts ut mot årlig hyra som årligen stiger
med förväntad hyreshöjning och T likställs med
antal år man hyr boende får man nuvärdet av
beslutet att hyra, vilket kan jämföras med ett
beslut om att köpa boende.
Notera att t går mot den framtida tidpunkten n.
När t = 1 så befinner man sig tidsmässigt ett år
från nuet. När t = n – 1 så befinner man sig ett år
från den framtida tidpunkten n. När t = n så
befinner man sig vid den framtida tidpunkten n.
Det framtida värdet av årliga betalningar om C är
𝑛
𝐹𝑉 = ∑ 𝐶 × (1 + 𝑟)𝑡
𝑡=0
Exempel: Om räntan är 5 procent och man
sparar 1 000 kronor per år i början av varje år
har man 3 310 kronor efter tre år 1 000 x
(1+5/100)^1 + 1 000 x (1+5/100)^2 + 1 000 x
(1+5/100)^3.
Exempel: En bank säljer en ”garanterad
produkt”. En person som investerar 1 mkr
garanteras X mkr efter 5 år och har också en
”chans” till högre avkastning. Om den 5-åriga
statsobligationsräntan är 3 procent måste
banken investera 0,784 mkr i statsobligationen
för att vara garanterad 1 mkr om fem år. Om
banken köper en köpoption för 0,1 mkr så kostar
den garanterade produkten 1 mkr – 0,884 mkr =
0,116 mkr. Om det tar en timme att övertyga
personen tjänar banken en timlön om 116 000
kronor per timme.
Notera att t går mot framtiden n. När t = 0 så
befinner man sig tidsmässigt vid framtiden n.
När t = n – 1 så befinner man sig ett år från sista
året n. När t = n så befinner man sig vid idag.
7
Supponera Finans och Kalkyl AB
www.supponera.se
070-7350888
Andreas Vedung
2015-07-03
25 000 kronor. Då blir förlusten (25 000
kr/8,3734) – (25 000 kr/8,5743) = - 69, 64 euros
eller - 583,26 kronor (=-69,34 x 8,3743).
Kassaflödet C i en period för ett lån med
nuvärdet PV där räntekostnaden betalas
periodiskt och där perioden är n dagar:
𝑛
𝑟 (365)
𝐶 = 𝑃𝑉 × (1 + )
− 𝑃𝑉
𝑛
Exempel: Ett lån om 1 000 kronor till en ränta
om 5 procent som man betalar var 30:e dag
innebär en räntekostnad om 1 000 kronor x
(1+5/30)^(30/365) – 1 000 kronor = 12,751
kronor.
Det framtida värdet av månatliga betalningar om
C är
𝑛
𝑛−𝑖
𝐹𝑉 = ∑ 𝐶 × (1 + 𝑟) 12
𝑖=0
Exempel: Barnbidraget är på 1 050 kr per månad.
Föräldrar som sparar barnbidraget under 20 år
till en genomsnittlig avkastning om 6,2 procent
har ett sparkapital om 486 899 kronor på
barnets 20-årsdag.
Om man betalar räntor periodiskt, t.ex. varje
månad, betalar man inte kontinuerlig ränta. Då
betalar man en andel av räntan vid varje
betalningstillfälle.
Nettonuvärdet av en serie årliga
betalningsströmmar C under n antal år
diskonterade med räntan r:
−𝐶1
𝐶2
𝐶𝑛
𝑁𝑃𝑉 =
+
+ ⋯+
0
1
(1 + 𝑟)
(1 + 𝑟)
(1 + 𝑟)𝑛
Exempel: Nettonuvärdet av en investering som
kräver 25 000 kronor i initialt utlägg och som
förväntas ge 10 000 kronor i inkomster i slutet av
varje år i tre år diskonterade med räntan 6
procent är -25 000 + 10 000 / (1,06) + (10
000/(1,06^2)) + (10 000/(1,06^3)) = 1 730
kronor.
Man kan se på -C1 som nuvärdet, PV, i en
obligationsinvestering eller som vilken annan
investering som helst, t.ex. utbildning.
Formeln kan också användas vid
fastighetsköp/bostadsköp där det första utflödet
är priset man betalar, de nästkommande
utflödena är driftskostnaderna och det sista
inflödet är det förväntade försäljningspriset i
framtiden.
En banks riskviktade tillgångar RWA (=”risk
weighted assets”) är summan av alla riskviktade
tillgångar:
𝑛
𝑅𝑊𝐴 = ∑ Exponering 𝑎 × Riskvikt 𝑎
𝑎=1
Exempel: En bank har tre exponeringar: Lån till
hushåll om 1 mdr, lån till företag om 2 mdr och
Hävstångsformel för eget kapital som inte tar
hänsyn till risk.
𝐷𝑒𝑏𝑡
𝑟𝐸𝑞𝑢𝑖𝑡𝑦 = 𝑟𝐴𝑠𝑠𝑒𝑡𝑠 +
× (𝑟𝐴𝑠𝑠𝑒𝑡𝑠 − 𝑟𝑑𝑒𝑏𝑡 )
𝐸𝑞𝑢𝑖𝑡𝑦
Ju mer tillgångar finansieras med lån desto
högre blir den förväntade avkastningen på eget
kapital. Dock, även risken för aktieägarna ökar
när belåningsgraden ökar. Eftersom långivare
tvingas bli aktieägare om företaget går i konkurs
är en hög belåningsgrad även ett hot mot
långivare.
Exempel: Om tillgångar förväntas ge en nominell
avkastning om 7,6 procent, räntan på lån är 2,0
procent och man finansierar 100 kronor med 25
kronor lånat kapital så är den förväntade
avkastningen på eget kapital 7,6 + (25/75)x(7,62,0) = 9,466… procent.
Internräntan IRR är den diskonteringsränta r som
gör att nettonuvärdet av en serie årliga
betalningsströmmar C under n antal år blir noll.
−𝐶1
𝐶2
𝑁𝑃𝑉 = 0 =
+
+⋯
0
(1 + 𝐼𝑅𝑅)
(1 + 𝐼𝑅𝑅)1
𝐶𝑛
+
(1 + 𝐼𝑅𝑅)𝑛
8
Supponera Finans och Kalkyl AB
www.supponera.se
070-7350888
Andreas Vedung
2015-07-03
lån till stater om 1,5 mdr. Riskvikten för
hushållslån är 15, för företagslån 50 och för
statslån 5. Bankens riskviktade tillgångar, RWA,
blir då 1 x (15/100) + 2 x (50/100) + 1,5 x (5/100)
= 1,225 mdr.
Exempel: En bank har 3 mdr i kapital och det
finns 2 marknader som aktieägarna kan fokusera
på: bolån eller företagslån. Riskvikten på bolån
är 15 procent och riskvikten för företagslån är 50
procent. Aktieägarna vet att man kan ta ut 3,15
procent i ränta från bolåntagarna och 3,76
procent från företagarna. Samtidigt är bankens
finansieringskostnad för bolån 2,25 procent och
för företagslån 2,45 procent. Nu är frågan, hur
ska banken välja strategi?
Riskvikter anger graden av kreditsäkerhet och
den bakomliggande pantens värdebeständighet.
Ju lägre riskvikt desto bättre pant.
Disponibel inkomst efter bolags- och ägarskatt
från 1 krona i vinst före skatt är:
𝐷𝑖𝑠𝑝𝑜𝑛𝑖𝑏𝑒𝑙𝑡 = 1 × (1 − 𝑇𝑐 ) × (1 − 𝑇𝑐𝑎𝑝 )
Exempel: Ett aktiebolag gör en vinst före bolagsoch ägarskatt om 3 mdr. Om bolagsskatten är 22
procent och ägarskatten är 30 procent så är
aktieägarnas disponibla inkomst 3 x 0,88 x 0,7 =
1,848 mdr.
Exempel: En investering som kräver ett initialt
utlägg om 25 000 kronor och som förväntas ge
10 000 kronor i inkomster i slutet av varje år i tre
år har ett nuvärde noll om diskonteringsräntan
är
0 = -25 000 + 10 000 / (1,09701) + (10 000/(1,
09701^2)) + (10 000/(1, 09701^3)), d.v.s. 9,701
procent. Man får iterera fram ett värde på IRR.
Exempel: En affär erbjuder ”räntefria lån” vid
köp av elektronik. En person köper en TV för
10 000 kronor och får en skuld till ett
finansbolag. Finansbolaget betalar 8 000 kronor
till affären och lånet löper i 2 år. IRR är den
diskonteringsränta som gör att 0 = -8 000 /
(1+IRR)^0 + 10 000 / (1+IRR)^2. IRR är cirka
11,75 procent.
Ct kan ha olika tecken ”+” eller ”-” beroende på
om det är inflöden (+) eller utflöden (-).
IRR är ”yield to maturity” i en kupongobligation.
IRR är bolåneräntan på ett bostadslån med fast
ränta. IRR är kronviktad avkastning.
Kapitalkravet i kronor är produkten av
riskviktade tillgångar multiplicerat med
kapitalkravet k i procent:
Kapitalkrav i kronor = RWA × Kapitalkrav k
Exempel: Om kapitalkravet är 8 procent och en
bank har riskviktade tillgångar, RWA, om 1,225
mdr blir kapitalkravet i kronor = 1,225 mdr x 0,08
= 0,098 mdr. Om bankens totala exponeringar
summeras till 4,5 mdr måste banken finansiera
dessa utlåningar med minst 98 mkr i eget
kapital. Det motsvara 2,17… procent.
Ett annorlunda uttryck är att uttrycka
kapitalkravet som andel av de totala
tillgångarna. Vi får 4,5 mdr/98 mkr = 45,9. Detta
är hävstången eller ”the leverage”. Man kan
också uttrycka kvoten som hävstångskvoten eller
”leverage ratio”.
Om man höjer (sänker) riskvikten så minskar
(ökar) hävstången.
Om man höjer (sänker) kapitalkravet k så höjer
(minskar) hävstången.
9
Supponera Finans och Kalkyl AB
www.supponera.se
070-7350888
Andreas Vedung
2015-07-03
Ränteparitet säger att räntan på identiska
löptider i olika länder inte kan skilja sig med
mindre än att skillnaden avspeglar sig i förväntad
rörelse i växelkursen
𝑒𝑡 × (1 + 𝑟𝑆𝐸𝐾 ) = (1 + 𝑟𝑈𝑇𝐿 ) × 𝑒𝑡+1
Exempel: Antag den 1-åriga räntan i SEK är 0,75
procent, den 1-åriga ränta i UTL är 1 procent,
samt att växelkursen vid investeringstidpunkten
är 8,3. En person som har 100 kronor kan
antingen få 100,75 kronor om ett år eller (100
kronor/8,3)x(1,01)=12,1686 UTL. Ränteparitet
säger att växelkursen om 1 år måste vara den
kurs som ger 100,75 kronor, vilket blir 100,75 =
12,1686x8,21. Den lägre svenska räntan än
räntan i utlandet beror på en förväntad
appreciering av kronan gentemot UTL.
Det finns två versioner av ränteparitet.
Säkerställd ränteparitet är när en person
placerar i utlandet och köper kronor på termin
för att inte göra någon valutakursförlust. Ickesäkerställd ränteparitet är när en person inte
köper valuta på termin.
𝑒𝑡+1 − 𝑒𝑡 𝑟𝑆𝐸𝐾 − 𝑟𝑈𝑇𝐿
=
(1 + 𝑟𝑈𝑇𝐿 )
𝑒𝑡
Om den riskfria statsobligationsräntan med fem
års löptid är r5 och den riskfria
statsobligationsräntan med fyra års löptid är r4
så är den interpolerade riskfria
statsobligationsräntan på 4,5 års löptid ett
genomsnitt.
𝑟4 + 𝑟5
𝑟4,5 =
2
Exempel: Femårsräntan är 2,53 procent,
fyraårsräntan är 2,27 procent. En person som
placerar sina pengar i 4,5 år får en interpolerad
ränta om (2,53+2,27)/2 = 2,4 procent.
Nuvärdet av en kupongobligation som ger X
kronor vid lösen:
𝐶1
𝐶2
𝐶𝑛 + 𝑋
𝑃𝑉 =
+
+ ⋯+
1
2
(1 + 𝑟)
(1 + 𝑟)
(1 + 𝑟)𝑛
Exempel: Nuvärdet av en kupongobligation som
ger årliga kuponger om 50 kronor i 3 år vid
marknadsränta 7 procent är 50/(1+7/100)^1 +
50/(1+7/100)^2 + 1 050/(1+7/100)^3 = 947,5
kronor.
Den kontinuerliga nominella räntan rnom är
produkten av den reala räntan rreal och förväntad
inflation it:
(1 + 𝑟𝑛𝑜𝑚 ) = (1 + 𝑟𝑟𝑒𝑎𝑙 ) × (1 + 𝑖𝑡 )
Den nominella räntan bör användas när man
diskonterar nominella kronbelopp. Den reala
räntan är dock helt avgörande på lång sikt.
Avkastning som är helt nominell köpkraftssäkrar
inte kapitalet.
Genom att arrangera om ekvationen kan man
lösa rreal utifrån kunskap om den nominella
räntan och KPI.
𝑟𝑛𝑜𝑚 − 𝑖𝑡
𝑟𝑟𝑒𝑎𝑙 =
1 + 𝑖𝑡
Exempel: Den nominella bostadsräntan är 4,5
procent och inflationen är 1,9 procent. Då är den
reala räntan (4,5 – 1,9)/(1+1,9/100) = 2,55…
procent.
Det är den reala avkastningen som är viktig. Att
få 100 procent i avkastning när inflationen är
110 procent innebär en förlust.
En centralbank kontrollerar den korta nominella
räntan.
Säkerställd ränteparitet (”Covered interest rate
parity”)
1 × (1 + 𝑟𝑡 𝑆𝐸𝐾 )
𝑒𝑡+1 =
1 ÷ 𝑒𝑡 (1 + 𝑅𝑡 𝑈𝑇𝐿𝐴𝑁𝐷 )
I en värld utan risk ska en investering med
samma löptid ge samma avkastning i alla länder,
t.ex. Sverige och utlandet. Avvikelser i räntan på
en löptid bör avspegla sig i terminskursen på
växelkursen vid löptidens slut.
Exempel: En svensk som har 1 krona att
investera i svenska säkerställda
bostadsobligationer med löptid 1 år till räntan
10
Supponera Finans och Kalkyl AB
www.supponera.se
070-7350888
Andreas Vedung
2015-07-03
Låneviktad kapitalkostnad r är
𝑛
𝑟 = ∑ 𝑥𝑖 × 𝑟𝑖
𝑖=1
Exempel: En bank finansierar sin utlåning med
inlåning till 50 procent och säkerställda bolån till
50 procent. Räntan på inlåningen är 0,25 procent
medan räntan på säkerställda bolån är 1,67
procent. Bankens låneviktade
finansieringskostnad är 0,5x0,25+0,5x1,67=0,96
procent.
Exempel: Ett hushåll har lån om 100 000 kronor
fördelade på 70 000 kronor bolån till 3 procent,
20 000 kronor i billån till 4 procent och 10 000
kronor i konsumtionslån till 6 procent.
Hushållets låneviktade kapitalkostnad är 7/10 x 3
+ 2/10 x 4 + 1/10 x 6 =3,5 procent. Bostadens
värde ökar med 10 000 kronor. Genom att
belåna bostaden och amortera
konsumtionslånet sänker hushållet
kapitalkostnaden till 3,2 procent.
Avkastningskurvan (”Yield curve”)
2,5 procent, kan lika gärna växla till euros och
investera i en tysk säkerställd bostadsobligation
med löptid 1 år till räntan 2,65 procent. De båda
investeringarna bör vara identiska och skillnader
i ränta bör avspegla sig i växelkursen mellan SEK
och Euro om 1 år.
Överlappande generationsmodell. Om man
antar att mänskligheten kommer att leva
oändligt länge kan man beräkna varje nu levande
generations ägarandel av de totala tillgångarna.
∞ 𝐹ö𝑟𝑣ä𝑛𝑡𝑎𝑑 𝑙𝑖𝑣𝑠𝑙ä𝑛𝑔𝑑
∑
∑
𝑡=0
𝑒=0
𝑇𝑖𝑙𝑙𝑔å𝑛𝑔𝑡𝑒
Tillgångte representerar generation e:s andel av
de nuvärdesberäknade tillångarna vid
tidpunkten t.
Socialförsäkringsmodell. Man kan låta Tillgång
representeras av en evig tillgång, d.v.s. en
”perpetuity”.
Förväntad kreditförlust kan beräknas enligt
följande:
𝐸𝐿 = 𝐸𝐴𝐷 × 𝑃𝐷 × 𝐿𝐺𝐷
Där
EAD = (Bankens) Exponering vid fallissemang
(”exposure at default”)
PD = Sannolikheten för fallissemang (”probability
of default”)
LGD = Förlust (för banken) givet fallissemang
(”loss given default”)
Exempel: Fyra stora låntagare har lånat 100 mdr
vardera från tre banker, A, B och C. Banken A:s
andel av lånen (”exposures at default”) är 20, 50,
60 respektive 70 procent. Sannolikheten för
fallissemang (”loss given default”) är 40, 30, 20
respektive 10 procent. Banken A:s förlust givet
fallissemang för den första låntagaren är därför
100 mdr x 40/100 x 20/100 = 8 mdr.
11
Supponera Finans och Kalkyl AB
www.supponera.se
070-7350888
Andreas Vedung
2015-07-03
Förväntad avkastning på en portfölj är summan
av exponeringsviktade förväntade
avkastningarna
𝑛
𝐸[𝑟] = ∑ 𝑥𝑖 × 𝐸[𝑟𝑖 ]
𝑖=1
Exempel: En aktieportfölj innehåller 3 aktier.
Förväntad avkastning och vikt i portföljen för de
tre aktierna är (5, 25), (7, 45) samt (3,30).
Porföljens förväntade avkastning är 5x25/100 +
7x45/100 + 3x30/100 = 5,3 eller 5,3 procent.
Notera att detta är samma formel som för
låneviktad kapitalkostnad, vilket inte är konstigt
då någons kapitalkostnad är någon annans
kapitalinkomst.
Syndikalisering av lån.
Hur mycket måste en person spara per år, C, om
han vill ha 300 000 kronor i pension före skatt
under 10 år? Personen är 45 år och har 20 år
kvar till sin pensionsålder. Antag att den
genomsnittliga avkastningen och
diskonteringsräntan är 8 procent.
Genom att beräkna det framtida värdet av
sparande efter 20 år minus nuvärdet av
utbetalningarna under 10 år från 65 års ålder
och sätta ekvationen till noll kan man lösa ut hur
mycket personen måste spara per år fram till sin
pensionsålder.
0 = 𝐹𝑉65 å𝑟 − 𝑃𝑉65 å𝑟
19
29
𝑡
0 = ∑ 𝐶 × (1 + 8/100) − ∑
𝑡=0
När man tar ett lån är långivarens helt
avgörande fråga om man kan återbetala lånet.
Förmågan att återbetala lånet stärks om man
samtidigt pantsätter något som är värdefullt och
värdebeständigt. En ta ut pantbrev på en
fastighet innebär en extra säkerhet för banken.
För det mesta förknippas lån med kostnader.
Rent privatekonomiskt finns det en moralisk
princip så säger att man ska undvika lån. Men att
inte utnyttja pantmöjligheten kan också
innebära en kostnad. Om man t.ex. belånar sin
fastighet med pant i och placerar lånet i ett
konto som omfattas av den statliga
insättningsgarantin kan räntan på bostadslånet
understiga räntan på det garanterade kontot.
𝑡=20
300 000
(1 + 8/100)𝑡
C blir cirka 44 000 kronor.
Hur mycket måste föräldrar spara per år, C, om
de vill kunna finansiera ett bolånekrav om X
procents egen insats i en bostadsrätt när deras
barn fyller 20 år? Anta att en bostadsrätts värde
bestäms av alternativkostnaden vid hyrt boende.
Anta vidare att den genomsnittliga avkastningen
och diskonteringsräntan är 6 procent.
Det framtida värdet av 20 års sparande ska vara
lika med 15 procent av nuvärdet vid 20 års ålder
av alternativkostnaden för att hyra
20
𝐹𝑉20 = 0,15 × 𝑃𝑉20
85
∑ 𝐶 × (1 + 𝑟)𝑡 = 0,15 × ∑
𝑡=1
𝑡=20
𝐻𝑦𝑟𝑒𝑠𝑘𝑜𝑠𝑡𝑛𝑎𝑑𝑡
(1 + 𝑟)𝑡
Förväntad framtida ränta
Exempel: Om räntan på en tioårig statsobligation
är 4 procent och räntan på en femårig
statsobligation är 3 procent så är den förväntade
framtida räntan på en femårig statsobligation
om fem år 5,009 procent. Det följer av att det
inte ska spela någon roll om en investerare
placerar ett belopp två femårsperioder istället
för en tioårsperiod.
((1,04)^10/(1,03)^5)^(1/5) – 1 = 0,05009.
12
Supponera Finans och Kalkyl AB
www.supponera.se
070-7350888
Andreas Vedung
2015-07-03
Företagsekonomiska definitioner
E = Marknadsvärde av företags eller hushålls
kapital
D = Marknadsvärde av företags eller hushålls
skulder
T = Totala tillgångar
p = pris
Företagsekonomiska formler
Ett företag (eller hushåll) totala tillgångar är
summan av företagets kapital och dess skulder
𝑇 =𝐸+𝐷
Exempel: Ett företags skulder är 10 och dess
totala tillgångar är 50. Då är det egna kapitalet
40.
Avkastning under en period
𝑝𝑡+1 − 𝑝𝑡
𝑟𝑡+1 =
𝑝𝑡
Exempel: Priset på en aktie den första januari är
38 000 kr. Ett år senare är priset 36 500 kronor.
Avkastningen är -1 500 kronor/38 000 kronor = 0,0394 eller -3,9 procent.
Tillgångar kan finansieras med antingen eget
kapital eller skulder. Oavsett finansieringssätt är
både E och D skulder. E är en skuld till företagets
ägare och D är en skuld till företagets långivare.
Om företagsägaren gör något som ökar nuvärdet
på företagets tillgångar med 15 så ökar det egna
kapitalet från 40 till 15. Om företagsägaren
minskar nuvärdet av kapitalkostnaderna på
företagets skulder med 5 så ökar kapitalet med
5. Med andra ord, tillgångs- och skuldförvaltning
påverkar det egna kapitalet.
Likviditetskvoten definieras som ett företags
∑𝑛𝑖=1 𝐿𝑖𝑘𝑣𝑖𝑑 𝑡𝑖𝑙𝑙𝑔å𝑛𝑔𝑖
∑𝑛𝑖=1 𝐾𝑜𝑟𝑡 𝑠𝑘𝑢𝑙𝑑𝑖
Kvoten anger företagets förmåga att kunna
betala de skulder som förfaller inom en kort
period. Kvoten måste vara över 1,0.
Men för att kvoten ska vara användbar måste
”kort period”, ”likvida tillgångar” samt ”korta
skulder” definieras.
För banker gäller att perioden är 30 dagar, att de
likvida tillgångarna ska hålla en viss kvalitetet
(vilket innebär att riskvikter används), samt att
skulderna som förfaller måste viktas med
sannolikheten att långivarna inte återfinansierar
lånen.
För banker är t.ex. inlåning från hushåll en kort
skuld som minskar naturligt i samband med att
dagarna går efter att lönen satts in på
Skuldsättningsgrad definieras som ett företags
∑𝑛𝑖=1 𝑑𝑖
𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙𝑎 𝑠𝑘𝑢𝑙𝑑𝑒𝑟
= 𝑛
𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙𝑎 𝑡𝑖𝑙𝑙𝑔å𝑛𝑔𝑎𝑟 ∑𝑖=1 𝑎𝑖
Kvoten anger företagets långsiktiga förmåga att
betala sina skulder. Ju högre kvot, desto större
risk för företagets långivare att tillgångarna inte
räcker för att betala tillbaka lånen, men även
desto större risk för företagets aktieägare att de
förlorar företaget till långivare om företaget gör
stora förluster och dess tillgångar faller
dramatiskt i värde.
Bakom kvoten ligger ett implicit
katastrofscenario för företaget. I ett
katastrofläge är det viktigt för långivare att veta i
vilken ordning som fordringar betalas tillbaka.
Långivare kan påverka ordningen genom att låna
ut mot pant i vissa av företagets tillgångar. När
företaget går i konkurs säljs företagets alla
tillgångar och om pantbrev existerar för vissa
tillgångar har pantbrevsinnehavarna rätt till
13
Supponera Finans och Kalkyl AB
www.supponera.se
070-7350888
Andreas Vedung
2015-07-03
lönekonton. Vid löneutbetalning återfinansierar
hushållen bankerna.
Det finns alltså olika varianter på
likviditetskvoten beroende på hur man
definierar kvoten.
Resultat före ränte- och skattekostnader genom
räntekostnader
𝑅𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑡 𝑓ö𝑟𝑒 𝑟ä𝑛𝑡𝑒 − 𝑜𝑐ℎ 𝑠𝑘𝑎𝑡𝑡𝑒𝑘𝑜𝑠𝑡𝑛𝑎𝑑𝑒𝑟
𝑅ä𝑛𝑡𝑒𝑘𝑜𝑠𝑡𝑛𝑎𝑑𝑒𝑟
Kvoten anger företagets förmåga att betala
räntekostnader. Notera att kvoten är helt
baserad på poster i resultaträkning. Kvoten
ignorerar helt balansräkningens tillgångar och
skulder. Men det är ju balansräkningens
tillgångar och skulder som är allt annat
överskuggande.
ROA = Avkastning på totalt kapital
dessa tillgångars försäljningsvärden.
Avkastning på totalt kapital
𝑅𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑡 𝑓ö𝑟𝑒 𝑟ä𝑛𝑡𝑒𝑘𝑜𝑠𝑡𝑛𝑎𝑑𝑒𝑟 𝑜𝑐ℎ 𝑠𝑘𝑎𝑡𝑡𝑒𝑟
𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙𝑎 𝑡𝑖𝑙𝑙𝑔å𝑛𝑔𝑎𝑟
ROE = Avkastning på eget kapital (”return on
equity”) är årets vinst dividerat med det egna
kapitalet vid början av året.
𝑉𝑖𝑛𝑠𝑡𝑡
𝑅𝑂𝐸 =
𝐸𝑔𝑒𝑡 𝑘𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙𝑡−1
Exempel: En bank lånar ut 4 mkr till en
bostadsköpare. Riskvikten på bolån är 15 och
kapitalkravet är 10 procent. Banken emitterar
säkerställda bostadsobligationer och får betala
1,7 procent till långivarna. Om banken får 2,4
procent av bolåntagaren kommer banken att
göra följande avkastning på eget kapital:
Riskviktade tillgångar: 15/100 x 4 mkr = 600 tkr.
Kapitalkrav: 10 procent x 600 tkr = 60 tkr.
Lånat kapital: 4 mkr – 60 tkr = 3,94 mkr.
Intäkter: 4 mkr x 2,4 procent = 96 tkr.
Räntekostnader: 3,94 mkr x 1,7 procent = 66,98
tkr.
Vinst: 29,02 tkr.
ROE: 29,02 tkr/60 tkr = 0,48366… eller 48,4
procent.
Statistiska definitioner
µ = Förväntat värde av en variabel
x = Variabel
π = pi = 3,14…
e = naturliga talet = 2,71…
𝜎 2 = Varians
𝜎= Standardavvikelse
14
Supponera Finans och Kalkyl AB
www.supponera.se
070-7350888
Andreas Vedung
2015-07-03
z = variabel vid den normala standardavvikelsen
Statistiska formler
Aritmetiskt medelvärde
𝑛
𝑥̅ = ∑
𝑡
𝑥𝑡
𝑛
Exempel: Ett aktieindex står år 1 i 100, år 2 i 115,
år 3 i 107, år 4 i 103 och år 5 i 120.
Medelavkastningen är (15/100 - 8/115 – 4/103 +
17/103)/4 = 0,052025 eller 5,2 procent.
Vilken är den bästa gissningen för aktieindexets
nivå år 6? 126,243 = 120 x (1,052).
Andra exempel när man använder sig av
aritmetiskt medelvärdesberäkning är när man
estimerar sannolikheten att dö, att bli sjuk, att
bli utsatt för brott, att råka ut för en olycka.
Varians är ett mått på spridningen runt ett förväntat
medelvärde
∑𝑛𝑖=1(𝑥𝑖 − 𝜇)2
𝜎2 =
𝑛
Exempel: Ett aktieindex står år 1 i 100, år 2 i 115, år 3 i
107, år 4 i 103 och år 5 i 120. Medelavkastningen är
5,2 procent (se aritmetiskt medelvärde). Variansen är
((15 – 5,2)^2 + (-7-5,2)^2+(-3,7-5,2)^2+(16,5 –
5,2)^2)/4 = 0,01128.
Ju längre bort från medelvärdet desto större vikt i
variansberäkningen får observationen.
Det finns alltid en spridning kring ett
medelvärde. Ett mått på spridningen är
standardavvikelse.
Förväntad avkastning på en portfölj av tillgångar:
𝑛
∑ 𝑎𝑖 × 𝐸[𝑟𝑖 ]
𝑖=1
Exempel: En portfölj har två tillgångar. I den ena
tillgången placeras 75 procent av portföljens
tillgångar. I den andra placeras 25 procent.
Förväntad avkastning på första tillgången är 10
procent per år. Förväntad avkastning på den
andra tillgången är 5,5 procent per år. Förväntad
avkastning på den totala portföljen är 8,875
procent = 0,75x10 + 0,25x5,5.
Standardavvikelse är roten ur variansen.
𝜎 = √𝜎 2
Exempel: Ett aktieindex står år 1 i 100, år 2 i 115,
år 3 i 107, år 4 i 103 och år 5 i 120.
Medelavkastningen är 5,2 procent och variansen
är 0,01128. Standardavvikelsen blir 0,1062 eller
10,62 procent.
Standardavvikelse är ett mått på risk för en
variabel. Det kan handla om en aktie eller en
aktieportfölj.
Om avkastningen är normalfördelad kan man
säga att med 68 procents sannolikhet att
aktieindexet år 6 är inom spannet 126 – 10,62 =
Kovarians beskriver graden av samvariation eller
beroende mellan två variabler
∑𝑛𝑖=1(𝑥𝑖 − 𝜇𝑥 ) × (𝑦𝑖 − 𝜇𝑦 )
𝜎𝑥𝑦 =
𝑛
Kovariansen kan vara positiv eller negativ. En positiv
kovarians innebär att variablerna rör sig upp
respektive ned runt sina medelvärden samtidigt. Med
andra ord, de samvarierar.
Anta två aktier, X och Y som gett följande
avkastningar. Kovariansen är 0,012505. Man kan
använda excelformeln kovarians.p(matris x;matris y)
X
Y
15
Supponera Finans och Kalkyl AB
www.supponera.se
070-7350888
Andreas Vedung
2015-07-03
115,6 och 126 + 10,62 = 136,8.
15%
19%
-7%
-3%
-4%
-1%
17%
24%
15%
19%
Eftersom X och Y:s avkastning samvarierar positivt,
men inte perfekt så kan en investerare få en lägre
total portföljrisk genom att inkludera både X och Y i
sin portfölj.
Om X och Y är helt oberoende av varandra så är
kovariansen 0. Om man t.ex. har 1 miljon
kontoinnehavare kan man på goda grunder anta att
ut- och insättningarna mellan kontohavarna är
oberoende av varandra. Ett annat exempel är
villabränder. Om man är ett stort försäkringsbolag kan
man anta att bränderna i olika kommuner och bland
villor inte är korrelerade med varandra.
Normalfördelningen
𝑓(𝑥) =
1
𝜎 × √2 × 𝜋
×
−(𝑥−𝜇)2
𝑒 2×𝜎2
där
−∞ < 𝑥 < ∞
Exempel: Om den genomsnittliga avkastningen
är 5,2 procent och standardavvikelsen är 10,62
procent, samt om vi antar att variabelns
sannolikhetsfördelning är normalfördelad, då är
sannolikheten att avkastningen överstiger + 15
procent = 1 – f(15 procent) = 0,1782 eller 17,8
procent.
Man kan ifrågasätta om avkastningen på en väl
diversifierad aktieportfölj är normalfördel.
Sannolikhetsfördelningen kan ha ”fat tails”.
I en stor portfölj av tillgångar eller risker är
kovariansen det enda som betyder något. Alla de
enskilda tillgångarna eller riskerna förlorar i
signifikans. Kvar blir alla tillgångars eller riskers
samvariation. Det är samvariationen som är viktig.
Med andra ord, förvaltar man 300 mdr är kovariansen
det enda som betyder något.
Geometrisk avkastning är den kontinuerliga
avkastningen över tidsperioden
𝑇
𝑇
√∏(1 + 𝑟𝑡 ) − 1
𝑡
Exempel: Avkastning första året var 2,5 procent, det
andra året 1,5 procent och det tredje året 25 procent.
Den genomsnittliga geometriska avkastningen under
de tre åren är ((1,025)x(1,015)x(1,25))^(1/3)-1 = 9,1
procent.
Geometrisk avkastning säger inget om hur mycket
kapital som förvaltats.
Exempel: Geometrisk kapitalkostnad
Använd excelfunktionen
16
Supponera Finans och Kalkyl AB
www.supponera.se
070-7350888
Andreas Vedung
2015-07-03
norm.förd(15;5,2;10,62,sann).
Gammafördelningen är en kontinuerlig
sannolikhetsfördelning som lutar år vänster.
Gammafördelningens omfång är från 0 till + ∞.
Betafördelningen är en kontinuerlig
sannolikhetsfördelning där utfallsrummet går från
värde A till värde B. Betafördelningen kan se ut som
en normalfördelning, men med den skillnaden att A
inte är - ∞ och B inte är + ∞.
Gammafördelning brukar användas för att
modellera kvoten
(skadekostnader/premieintäkter). Denna kvot
kan aldrig vara under 0, men teoretiskt så kan
den bli hur hög som helst.
Den standardiserade normalfördelningen
−𝑧 2
1
𝑓(𝑧) =
×𝑒 2
√2 × 𝜋
Där det förväntade medelvärdet är 0 och
standardavvikelsen är 1.
Konvertera en normalfördelad variabel till en
standardiserad normalfördelad variabel
𝑥−𝜇
𝑧=
𝜎
Om förväntad avkastning på ett aktieindex är 5,2
procent och förväntad standardavvikelse är 10,62 så
motsvarar en faktisk avkastning om 2 procent eller
Cirka 38 procent av alla utfall ligger inom +/- 0,5
mindre en sannolikhet om 0,381 = (2 – 5,2)/10,62.
standardavvikelser. Cirka 68 procent av alla utfall
Med andra ord, att få en avkastning som är mindre än
ligger inom +/- 1 standardavvikelse. Cirka 95
eller lika med 2 procent har en sannolikhet om 38,1
procent av alla utfall ligger inom +/- 2
procent.
standardavvikelser.
Varians av n variabler är
𝑛
𝜎𝑝2 ∑(𝑥𝑖 )2 𝜎𝑥2
𝑖=1
𝑛
𝑛
+ 2 ∑ ∑(𝑥𝑖 )(𝑥𝑗 ) 𝜎𝑥𝑦
𝑖=1 𝑗=1
Om variablerna är olika aktiers avkastningar så
är ovanstående formel variansen för en portfölj
av aktierna där xi är andelen av totala portföljen
Använd excelfunktionen norm.förd(2;5,2;10,62;sann)
”Stora talens lag” innebär att en variabels estimerade
medelvärde konvergerar mot variabelns riktiga
medelvärde ju fler observationer som ingår i
medelvärdesberäkningen.
Stora talens lag används inom försäkring och bank. Ju
fler försäkringstagare, desto närmare populationens
17
Supponera Finans och Kalkyl AB
www.supponera.se
070-7350888
Andreas Vedung
2015-07-03
som man placerat i aktie i.
Av formeln framgår att en aktieportföljs risk kan
minska genom att inkludera tillgångar som
varierar negativt med portföljen.
Exempel: Antag man placerar 0,25 procent av
sitt kapital i en x-tillgång med varians 0,01128
(standardavvikelse i procent 10,6 procent) och
0,75 procent i en y-tillgång med varians
0,014004 (standardavvikelse i procent är 11,8
procent). Kovariansen mellan x och y är 0,0125.
Variansen för portföljen blir 0,013.
Standardavvikelsen i procent blir 11,5 procent.
sanna skadekvot och dess standardavvikelse kommer
man. Ju fler låntagare, desto sannare populationens
sanna kreditförlust och dess standardavvikelse
kommer man.
Stora talens lag kan ifrågasättas om observationerna
inte är oberoende av varandra.
Eftersom x- och y-tillgången inte samvarierar
perfekt blir portföljens standardavvikelse lite
mindre än en andelsviktad standardavvikelse.
Om man antar att CAPM är sann finns bara två
tillgångar att bry sig om, dels den riskfria
tillgången, dels marknadsportföljen.
Centrala gränsvärdessatsen (CGL) säger att
oavsett sannolikhetsdistribution (normal, beta,
gamma, …) så är både medelvärdets och
standardavvikelsens sannolikhetsdistribution
normalfördelad.
Korrelation
Exempel: Antag att man från ett urval om 5
beräknat ett medelvärde till 4,5. Om man gör
urval om 5 1 000 gånger så kommer de tusen
medelvärdesestimaten att vara normalfördelade
med standardavvikelsen
𝜎
√𝑛
Två viktiga koncept vid försäkring är ”moral
hazard” och ”adverse selection”. Båda är
marknadsmisslyckanden och kan stå i vägen för
försäkring. ”Moral hazard” innebär att den
försäkrade ökar sitt riskbeteende när han väl har
försäkring. ”Adverse selection” innebär att de
som vill ha försäkring ofta är de som man inte vill
försäkra.
Liv
Hälsa
Egendom
MH Självmord
Rökare Vårdslöshet
AS Cancersjuka Redan
Vanefortkörare
skadade
”Moral hazard” och ”adverse selection” finns även
inom bank. Om insättarnas pengar är försäkrade av en
insättningsgaranti och banken anses vara systemviktig
(som gör den svår att försätta i konkurs) har vi en
situation med ”moral hazard” där bankens ägare kan
ta stora risker (kredit-, marknads- och operationella
risker). Går det bra tjänar bankens ägare och personal
pengar, går det dåligt tar staten hand om förluster.
Om ett företag vill börsnotera sig eller låna pengar för
att investera kommer det att misstros av investerare.
”Varför ska vi investera i ert företag?” Ett sätt att
eliminera denna ”moral hazard” risk är om företaget
går genom en investment bank som gör en ordentlig
analys av företaget. Eftersom investmentbanken har
18
Supponera Finans och Kalkyl AB
www.supponera.se
070-7350888
Andreas Vedung
2015-07-03
sitt rykte att värna kommer analysen att vara korrekt.
Investmentbanken tar hand om ”moral hazard” risken.
Om det är lätt att få skuldsanering finns det en risk för
att banken lånar ut pengar till människor som
egentligen inte borde låna pengar. De får en
anstormning av kreditovärdiga kunder. ”Adverse
selection”.
Definitioner av skattebegrepp
BL = Bruttolön = Lön inklusive skatt men
exklusive avgifter
NL = Nettolön = Lön efter skatt = Disponibel lön
å = år
m = månad
Tki = Kommunal skatt i kommun i
Tll = Landstingsskatt i landsting l
Tsi = Statlig inkomstskatt
Tsv = Statlig värnskatt
Asf = Socialförsäkringsavgifter
Ak = Kollektivavtalade avgifter
Tm = Marginalskatt
Medelskatt
Skatteformler
Lön före inkomstskatt vid viss disponibel inkomst
beräknas som
𝑁𝐿
𝐵𝐿 =
(1 − 𝑇𝑚 )
Exempel: Om marginalskatten är 55 procent
måste man tjäna 2 222 kronor före skatt för att
få ut en disponibel inkomst om 1 000 kronor.
1 000 kronor / (1-0,55) = 2 222 kronor.
Antag att den reala räntan är 5 procent. Antag
en person som har en marginalskatt om 55
procent och som varaktigt höjer sina
konsumtionsutgifter med 12 000 kronor per år.
Givet dessa 12 000 kronor är en evig
betalningsström är nuvärdet av
konsumtionsökningen 12 000 kronor / 0,05 =
240 000 kronor (se Finansiella formler och
”perpetuity”). Om tidsperioden begränsas till 40
år kan man använda den finansiella formeln för
annuitet när man beräkna nuvärdet. Vi får
205 900 kronor.
Nuvärdet av arbetskraftskostnader
Arbetskraftskostnad beräknas som
𝐵𝐿 × (1 + 𝐴𝑠𝑓 + 𝐴𝑘 )
Exempel: En person har en månadslön om
25 000 kronor före skatt. Bruttolönen, BL, per år
är 300 000 kronor. Om
socialförsäkringsavgifterna är 31 procent och de
kollektivavtalade avgifterna är 12 procent är
arbetskraftskostnaden 300 000 x
(1+31/100+12/100) = 429 000 kronor.
Exempel: I lönerörelsen stiger lönerna med 2,5
procent. Arbetskraftskostnaden för personen blir
439 725 kronor (=1,025 x 429 000 kronor).
Minskad skattekostnad av ett avdrag kan
beräknas som avdraget multiplicerat med
19
Supponera Finans och Kalkyl AB
www.supponera.se
070-7350888
Andreas Vedung
2015-07-03
marginalskatten
𝐴𝑣𝑑𝑟𝑎𝑔 × 𝑇𝑚
Exempel: En person som gör ett
pensionsparavdrag om 12 000 kr per år och som
har en marginalskatt om 55 procent sparar 6 600
kronor per år (=12 000 kr x 0,55).
Om personen gör detta avdrag i 20 år och
diskonteringsräntan är 3 % sparar han 98 192
kronor i minskad skatt nuvärdesberäknat.
Om personen placerar 12 000 kr i en fond som
ger 6,2 procents avkastning i 20 år är det
framtida värdet efter 20 år 256 076 kronor.
Om 256 076 kronor återförs till beskattning och
marginalskatten är 32 procent får personen en
disponibel inkomst om 174 131 kronor per år
eller 14 500 kronor per månad under ett år.
Nuvärdet av skillnad i kommunal beskattning
Fordonsskatten för en tung bil är 5 900 kronor
per år medan den är 2 500 kronor för en liten bil.
Om bilens livslängd antas vara 20 år och
fordonsskatten inflationsjusteras varje år (vilket
den gör) kostar beslutet att köpa den stora bilen
istället för den lilla bilen (5 900 kronor – 2 500
kronor) x 20 = 68 000 kronor.
Det är inte mycket.
Jobbskatteavdraget är en skattereduktion som
ges till alla som förvärvsarbetar. En person som
är under 65 år, som bor i Stockholms kommun
och som tjänar 25 000 kr i månaden får 1 565 kr i
jobbskatteavdrag per månad eller 18 780 kronor
i jobbskatteavdrag per år.
Om jobbskatteavdraget antas vara en
permanent skattereduktion och den rörliga
bolåneräntan är 2,7 procent kan personen ta ett
lån som motsvara 18 780 kronor / 0,027 =
695 555 kronor.
En person är 30 år, bor i Stockholm och som
tjänar 25 000 kr i månaden får 18 780 kronor i
jobbskatteavdrag per år.
Om jobbskatteavdraget antas vara en
permanent skattereduktion och personen sparar
allt under 35 år med en genomsnittlig avkastning
om 6,2 procent kommer att ha en fond med ett
framtida värde om 2 330 542 kronor. Detta ska
då kapitalbeskattas på något vis.
20
