Vektorer för naturvetare Kjell Elfström c Kjell Elfström 2015 Copyright Första upplagan, mars 2015 Innehållsförteckning 1 Vektorer 1.1 Vektorbegreppet . . . . . . . 1.2 Operationer på vektorer . . . 1.3 Baser . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Lineärt beroende . . . . . . . 1.5 Koordinatsystem . . . . . . . 1.6 Ekvationer för linjer och plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 6 10 13 15 16 2 Skalärprodukt 2.1 Definition och räkneregler . . . . . . . . . . 2.2 Ortonormerade baser . . . . . . . . . . . . . 2.3 Ekvationer för plan i ortonormerade system 2.4 Avstånd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Vinklar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 21 23 24 25 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Övningsuppgifter 29 Övningsuppgifter till kapitel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Övningsuppgifter till kapitel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Svar till övningsuppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Sakregister 33 Kapitel 1 Vektorer 1.1 Vektorbegreppet Låt P och Q vara två punkter i rummet. Vi skall i denna text beteckna den riktade sträckan från P till Q med P Q. Punkten P är fotpunkten, och Q är ändpunkten. Om P och Q är samma punkt, så kan vi tänka på P Q som denna punkt. Vi noterar, att P Q och QP är olika riktade sträckor, utom då P och Q är samma punkt. Q S PQ RS U TU V X VW XY P R T W Y Figur 1.1: Riktade sträckor Vi säger, att två riktade sträckor är ekvivalenta, om de är parallella, lika riktade och lika långa. I figur 1.1 är P Q och RS ekvivalenta. T U är förvisso parallell med och lika riktad som P Q och RS, men T U är kortare än dessa och därför inte ekvivalent med dem. V W är parallell med och lika lång som P Q och RS men motsatt riktad. V W är därför heller inte ekvivalent med P Q och RS. XY är inte parallell med någon av de övriga riktade sträckorna. Av sträckorna i figuren är det bara P Q och RS som är ekvivalenta. För att beskriva en rätlinjig förflyttning kan man ange hur långt man skall förflytta sig och i vilken riktning förflyttningen skall ske. Man kan till exempel säga: ”Gå 2 kilometer i nordöstlig riktning.” Antag att punkten Q ligger 2 kilometer nordöst om P . Börjar vi den angivna förflyttningen i punkten P , kommer vi att hamna i Q. Börjar vi i stället i R, kommer vi att hamna i S. Vi förstår av detta, att begynnelsepunkten och ändpunkten inte har någonting med själva förflyttningen att göra. Förflyttningen från P till Q är exakt samma förflyttning som den från R till S. Vi skall ta fasta på detta i den formella definitionen av vektorbegreppet. KAPITEL 1. VEKTORER 6 Definition 1 En vektor är mängden av alla riktade sträckor, som är ekvivalenta med en given riktad sträcka. Den vektor, som består av alla riktade −−→ sträckor, som är ekvivalenta med den riktade sträckan P Q, betecknas P Q. Vi säger, att en riktad sträcka, som tillhör en vektor, är en representant för denna vektor. −−→ −→ Av definitionen följer det, att P Q = RS, om och endast om P Q och RS är ekvivalenta riktade sträckor. Med beteckningar som i figur 1.1 kan vi nu −−→ använda vektorn P Q för att beskriva den ovan angivna förflyttningen, som skulle ta oss från P till Q, men samma förflyttning skulle också ta oss från −−→ −→ R till S, vilket avspeglas i att P Q = RS. De riktade sträckorna P Q och RS −−→ är två olika representanter för samma vektor P Q. 1.2 Operationer på vektorer Vi skall här bland annat definiera addition av två vektorer och multiplikation av en vektor med ett reellt tal. Vi börjar med att notera, att om u är en −−→ vektor, och P är en punkt, så finns det en punkt Q, sådan att u = P Q. Vi kan nämligen ta en godtycklig representant RS för u och parallellförflytta denna riktade sträcka så, att den börjar i punkten P . S Q −→ u = RS PQ R P Figur 1.2: Parallellförflyttning Definition 2 Låt P Q vara en representant för u, och välj en representant −→ QR för v. Vi definierar summan av u och v genom u + v = P R. R u+v v P u Q Figur 1.3: Vektoraddition Av figurerna 1.4 och 1.5 framgår det, att u+v=v+u och (u + v) + w = u + (v + w) 1.2. OPERATIONER PÅ VEKTORER 7 för alla vektorer u, v och w. Den första räkneregeln kallas kommutativa lagen för vektoraddition, och den andra kallas associativa lagen för vektoraddition. −−→ −− → −→ Vi har också, att P Q + QR = P R för alla punkter P , Q och R. u v v+u u+v v u Figur 1.4: Kommutativa lagen (u + v) + w = u + (v + w) u u+v v+w w v Figur 1.5: Associativa lagen Definition 3 Med nollvektorn 0 menar vi den vektor, som innehåller alla −−→ −− → riktade sträckor av formen P P . Om u = P Q, så definierar vi −u = QP . Slutligen definierar vi u − v = u + (−v). Det följer av vektoradditionens definition och den associativa och den kommutativa lagen, att u + 0 = u, u + (−u) = 0 och u + (v − u) = v − −→ −−→ −− → −→ för alla vektorer u och v. Det gäller också, att 0 = P P och P Q = RQ − RP för alla punkter P , Q och R. −− → Definition 4 Låt s vara ett reellt tal och u = P Q en vektor. Om s = 0 eller u = 0, sätter vi su = 0. Om s > 0 och u 6= 0, väljer vi punkten R så, att P R är parallell med, lika riktad som, och s gånger så lång som P Q och −→ sätter su = P R. Om s < 0 och u 6= 0, sätter vi su = −((−s)u). I vektoralgebran kallar man ofta reella tal för skalärer. Detta beror på att man kan införa andra typer av vektorer, och att man då ofta tillåts multiplicera med andra objekt än reella tal. Multiplikation med skalär illustreras i figur 1.6. Vi uppritandet har värdena s = 2 och s = −2 använts i det positiva respektive det negativa fallet. Detta avspeglas i att su är dubbelt så lång som u i båda fallen. KAPITEL 1. VEKTORER 8 u su då s > 0 su då s < 0 Figur 1.6: Multiplikation med skalär Trianglarna i figur 1.7 är likformiga. Detta visar den distributiva lagen s(u + v) = su + sv. su + sv u+v sv v su u Figur 1.7: En distributiv lag Vi sammanställer räknereglerna för vektorer i en sats. Förutom de hittills redovisade lagarna förekommer några tämligen enkla regler. Sats 1 Följande räkneregler gäller för räkning med vektorer. u+v =v+u kommutativa lagen u + (v + w) = (u + v) + w associativa lagen u+0=u existens av ett neutralt element u + (−u) = 0 existens av additiva inverser s(tu) = (st)u associativa lagen för multiplikation (s + t)u = su + tu en distributiv lag s(u + v) = su + sv en distributiv lag På grund av de associativa lagarna kan man tillåta sig, att skriva u + v + w och stu utan parenteser. Exempel 1 I figur 1.8 demonstrerar vi, hur man kan rita upp vektorerna 3u + 2v och 3v − 2u, när vektorerna u och v är kända. Exempel 2 Låt O, P och Q vara tre punkter, och låt M vara mittpunkten −−→ −−→ −−→ på sträckan P Q. Då gäller det, att OM = 12 (OP + OQ). Det gäller nämligen, −−→ −−→ att P M = 12 P Q, eftersom M är mittpunkt på P Q. Vi får, att −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ 1 −−→ 1 −−→ 1 −−→ −−→ OM = OP + P M = OP + 2 P Q = 2 OP + 2 (OP + P Q) = 21 OP + 21 OQ. 1.2. OPERATIONER PÅ VEKTORER 9 Av formeln, som kallas mittpunktsformeln, följer det, att diagonalerna i en parallellogram skär varandra mitt itu. Se figur 1.9. v 3v − 2u 3u + 2v u Figur 1.8: Illustration till exempel 1 −−→ −−→ OP + OQ Q −−→ OQ M O −−→ OP P Figur 1.9: Mittpunktsformeln Exempel 3 Låt P , Q och R vara hörnen i en triangel och O en godtycklig −−→ −−→ − −→ −→ punkt i rummet. Bestäm punkten T så, att OT = 31 (OP + OQ + OR). Om A, B och C är mittpunkterna på triangelsidorna enligt figur 1.10, så utgörs triangelns medianer av sträckorna P A, QB och RC. Enligt exempel 2 är −→ 1 −−→ −→ −→ −→ −−→ P A = 2 (P Q + P R). Det gäller, att P T = OT − OP . Se kommentaren efter definition 3. Vi får därför enligt definitionen av T , att −→ 1 −−→ −−→ −− → −− → −−→ −−→ −−→ −−→ −→ −−→ P T = 3 (OP + OQ + OR) − OP = 31 (OP + OP + P Q + OP + P R) − OP −→ −−→ −→ = 13 (P Q + P R) = 32 P A. Sträckorna P T och P A är därför parallella och lika riktade, och eftersom de utgår från samma punkt, och P T är kortare än P A, så ligger punkten T på medianen P A. Symmetri ger, att T ligger på alla tre medianerna, som därför skär varandra i punkten T . Det framgår vidare, att punkten T delar varje median i förhållandet 2 : 1 räknat från hörnpunkten. Punkten T kallas för triangelns tyngdpunkt. Exempel 4 Betrakta en tetraeder P QRS, och låt O vara en godtycklig −− → −−→ − − → −→ −→ punkt i rummet. Antag nu, att OT = 14 (OP + OQ + OR + OS). Med en median till en tetraeder avses en sträcka från ett hörn till motstående sidas tyngdpunkt. Figur 1.11 föreställer en tetraeder och dess fyra medianer. Låt A KAPITEL 1. VEKTORER 10 vara tyngdpunkten i sidan, som står mot punkten P . Enligt exempel 3 är −→ 1 −−→ −→ −→ P A = 3 (P Q + P R + P S). Det gäller därför, att −−→ −−→ − −→ −→ −−→ −→ −→ −− → P T = OT − OP = 14 (OP + OQ + OR + OS) − OP −−→ −−→ −−→ −−→ −→ −−→ −→ −− → = 41 (OP + OP + P Q + OP + P R + OP + P S) − OP −→ −−→ −→ −→ = 41 (P Q + P R + P S) = 34 P A. Detta visar, att T ligger på medianen P A. På grund av symmetri ligger T på alla fyra medianerna. Medianerna skär därför varandra i punkten T , som kallas för tetraederns tyngdpunkt. Vi noterar, att T delar varje median i förhållandet 3 : 1 räknat från hörnpunkten. R O B A T P C Q Figur 1.10: Tyngdpunkten i en triangel S B C P T A R D Q Figur 1.11: Tyngdpunkten i en tetraeder 1.3 Baser Vi säger, att en vektor är parallell med en linje eller ett plan, om vektorn har en representant, som ligger på linjen respektive i planet. Ofta uttrycker vi detta genom att säga, att vektorn ligger på linjen respektive i planet, även om detta språkbruk inte är helt korrekt. En vektor ligger ju ingenstans. Två vektorer u och v säges vara parallella, om de har parallella representanter. Vi betraktar i detta sammanhang nollvektorn 0 som parallell med varje vektor. Man inser, att om u och v är parallella, och v 6= 0, så finns det ett tal s, sådant att u = sv. 1.3. BASER 11 Definition 5 Vi säger, att en vektor e1 utgör en bas för linjen ℓ, om e1 är parallell med ℓ, och e1 6= 0. Två vektorer e1 och e2 säges utgöra en bas för planet π, om de är parallella med π men sinsemellan icke-parallella. Slutligen säges tre vektorer e1 , e2 och e3 utgöra en bas för rummet, om de inte är parallella med ett och samma plan. Om e1 är en bas för linjen ℓ, och u är en godtycklig vektor, som är parallell med ℓ, så finns det ett entydigt bestämt tal x1 , sådant att u = x1 e1 . Om u 6= 0 och pekar i samma riktning som e1 , så är x1 > 0. Om u = 0, så är x1 = 0. Om u 6= 0 och pekar i motsatt riktning mot e1 , så är x1 < 0. Vi kallar x1 för koordinaten för u med avseende på basen e1 . Se figur 1.12a. ℓ2 ℓ u′′ u u e1 (a) Linjen ℓ e2 ℓ u′ e1 u′′ e3 e2 ℓ1 (b) Planet π π u u′ e1 π (c) Rummet Figur 1.12: Baser Låt nu e1 ,e2 vara en bas för ett plan π och u en vektor, som är parallell med π. Vi avsätter en representant för u i planet och ritar sedan linjerna ℓ1 och ℓ2 genom representantens fotpunkt så, att ℓ1 är parallell med e1 , och ℓ2 är parallell med e2 . Av figur 1.12b framgår det, att det finns entydigt bestämda vektorer u′ och u′′ , sådana att u′ är parallell med ℓ1 , u′′ är parallell med ℓ2 , och u = u′ + u′′ . Eftersom e1 är en bas för ℓ1 , och e2 är en bas för ℓ2 , så finns det entydigt bestämda tal x1 och x2 , sådana att u′ = x1 e1 , och u′′ = x2 e2 . Det följer, att det finns entydigt bestämda tal x1 och x2 , sådana att u = x1 e1 + x2 e2 . Vi säger, att vektorn u har koordinaterna (x1 , x2 ) med avseende på basen e1 ,e2 . Låt slutligen e1 ,e2 ,e3 vara en bas för rummet. Vektorerna e1 och e2 är inte parallella. Vi kan därför välja ett plan π, för vilket de utgör en bas. Avsätt en representant för u med fotpunkten i π, och drag en linje ℓ, som går genom ändpunkten och är parallell med e3 . Som framgår av figur 1.12c, finns det nu entydigt bestämda vektorer u′ och u′′ , sådana att u′ är parallell med π, u′′ är parallell med ℓ, och u = u′ + u′′ . Då e1 ,e2 är en bas för π, och e3 är en bas för ℓ, vet vi sedan tidigare, att det finns entydigt bestämda tal x1 , x2 och x3 , sådana att u′ = x1 e1 + x2 e2 , och u′′ = x3 e3 . Det följer, att det finns entydigt bestämda tal x1 , x2 och x3 , sådana att u = x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 . Vi säger, att u har koordinaterna (x1 , x2 , x3 ) med avseende på basen e1 ,e2 ,e3 . Vektorn u′ i figur 1.12b kallas för projektionen av vektorn u på linjen ℓ1 längs linjen ℓ2 . Eftersom definitionen är allmän, följer det, att u′′ är projektionen av vektorn u på linjen ℓ2 längs linjen ℓ1 . I figur 1.12c kallar vi u′ KAPITEL 1. VEKTORER 12 för projektionen av u på π längs ℓ, och u′′ kallas för projektionen av u på ℓ längs π. För att undgå överlappande vektorer i illustrationerna i figur 1.12 har vi avsatt basvektorerna från en punkt och vektorn u från en annan punkt. Vanligen avsätter man vektorerna från samma punkt som i figur 1.8, där vi kan tänka på u och v som basvektorer. De övriga två vektorerna i den figuren har då koordinaterna (−2, 3) och (3, 2). −−→ −−→ Exempel 5 Vektorerna e1 = OP och e2 = OQ i figur 1.9 utgör en bas för −−→ det plan, i vilket triangeln OP Q ligger. Eftersom OM = 21 e1 + 12 e2 , så har −−→ vektorn OM koordinaterna ( 21 , 12 ) med avseende på basen e1 ,e2 . Det gäller −−→ −−→ −−→ −−→ också, att P Q = OQ − OP = e2 − e1 = (−1)e1 + 1e2 . Vektorn P Q har därför koordinaterna (−1, 1) med avseende på samma bas. −− → −→ Exempel 6 Vektorerna e1 = P Q och e2 = P R i figur 1.10 utgör en bas för det plan, som innehåller triangeln P QR. Eftersom −→ −−→ −→ −→ 1 − P T = 3 P P + 13 P Q + 31 P R = 31 0 + 13 e1 + 31 e2 = 31 e1 + 31 e2 , −→ har vektorn P T koordinaterna ( 13 , 13 ) med avseende på basen e1 ,e2 . En annan −−→ − −→ bas för samma plan utgörs av f1 = P C och f2 = QR. Det gäller, att −→ −−→ − −→ −→ −−→ −→ P T = P C + CT = f1 + 31 CR = f1 + 13 (CQ + QR) = f1 + 13 (f1 + f2 ) = 43 f1 + 13 f2 . −−→ −−→ Vi använde här, att P C = CQ, och att T delar CR i förhållandet 1 : 2. Med −→ avseende på basen f1 ,f2 har alltså P T koordinaterna ( 34 , 13 ). Som framgår av exempel 6, kan samma vektor få olika koordinater med avseende på olika baser. När det inte råder någon tvekan, om vilken bas e1 ,e2 ,e3 som avses, tillåter man sig ofta att skriva (x1 , x2 , x3 ) = x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 . Av räknereglerna för vektorer följer det, att (x1 , x2 , x3 ) + (y1 , y2 , y3 ) = x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 + y1 e1 + y2 e2 + y3 e3 = (x1 + y1 )e1 + (x2 + y2 )e2 + (x3 + y3 )e3 = (x1 + y1 , x2 + y2 , x3 + y3 ), s(x1 , x2 , x3 ) = s(x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 ) = sx1 e1 + sx2 e2 + sx3 e3 = (sx1 , sx2 , sx3 ). Om u = (x1 , x2 , x3 ), så ges projektionerna i figur 1.12c av u′ = (x1 , x2 , 0) och u′′ = (0, 0, x3 ). Det följer, att (su)′ = su′ , (su)′′ = su′′ , (u+v)′ = u′ +v′ , (u+v)′′ = u′′ +v′′ . (1.1) 1.4. LINEÄRT BEROENDE 13 Motsvarande kan också sägas i det tvådimensionella fallet, om koordinattripplerna byts ut mot koordinatpar. 1.4 Lineärt beroende Man har ofta behov av att kunna avgöra, huruvida en uppsättning vektorer utgör en bas. Följande definition har därvid visat sig vara användbar. Definition 6 Vektorerna u1 , u2 , . . . , uk säges vara lineärt beroende, om det finns tal s1 , s2 , . . . , sk , av vilka minst ett är skilt från noll, sådana att s1 u1 + s2 u2 + · · · + sk uk = 0. (1.2) Om vektorerna inte är lineärt beroende, säges de vara lineärt oberoende. Definitionen innebär, att vektorerna u1 , u2 , . . . , uk är lineärt oberoende, om och endast om den enda lösningen till ekvation (1.2) är den triviala lösningen s1 = s2 = · · · = sk = 0. En enda vektor u är lineärt beroende, om och endast om det finns ett tal s 6= 0, sådant att su = 0. Detta kan bara inträffa, då u = 0. Exempel 7 Vi vill avgöra, om vektorerna u1 = (1, 2, 2), u2 = (1, 3, 4) och u3 = (2, 3, 1) är lineärt beroende. Koordinaterna är givna med avseende på någon bas e1 ,e2 ,e3 , likgiltigt vilken. Vänsterledet i ekvation (1.2) kan skrivas (s1 + s2 + 2s3 , 2s1 + 3s2 + 3s3 , 2s1 + 4s2 + s3 ), och högerledet är lika med (0, 0, 0). Ekvationen är därför ekvivalent med (s1 + s2 + 2s3 , 2s1 + 3s2 + 3s3 , 2s1 + 4s2 + s3 ) = (0, 0, 0). Detta betyder, att s1 + s2 + 2s3 = 0 2s + 3s2 + 3s3 = 0 1 2s1 + 4s2 + s3 = 0. Löser man detta ekvationssystem, visar det sig, att den enda lösningen är den, som ges av s1 = s2 = s3 = 0. Vektorerna är därför lineärt oberoende. Notera, att vektorernas koordinater återfinns som kolonner i ekvationssystemet. Vi har alltså ställt dem på högkant. Med den kunskapen kan vi korta ner lösningen i nästa exempel något. Exempel 8 Vi vill undersöka, om vektorerna u1 = (1, 2, 2), u2 = (1, 3, 4) och u3 = (2, 3, 2) är lineärt beroende. Vi får nu ekvationssystemet s1 + s2 + 2s3 = 0 2s + 3s2 + 3s3 = 0 1 2s1 + 4s2 + 2s3 = 0, KAPITEL 1. VEKTORER 14 som har lösningen (s1 , s2 , s3 ) = t(3, −1, −1), där t ∈ R. Denna gång är vektorerna lineärt beroende. Om u1 , u2 , . . . , uk är vektorer, så kallar vi s1 u1 + s2 u2 + · · · + sk uk för en lineärkombination av dessa. Sats 2 Vektorerna u1 , u2 , . . . , uk , där k ≥ 2, är lineärt oberoende, om och endast om någon av dem är en lineärkombination av de övriga. Bevis. Om vektorerna är lineärt beroende, så finns det tal s1 , s2 , . . . , sk , sådana att si 6= 0 för något i, och s1 u1 + s2 u2 + · · · + si−1 ui−1 + si ui + si+1 ui+1 + · · · + sk uk = 0. Dividerar vi båda led med si och flyttar över, ger detta, att ui = −s1 s i u1 + −s2 s i u2 + ··· + −si−1 si si−1 ui−1 + −si+1 si ui+1 + ··· + −sk si uk är en lineärkombination av de övriga vektorerna. För att visa omvändningen antar vi, att ui = s1 u1 + s2 u2 + · · · + si−1 ui−1 + si+1 ui+1 + · · · + sk uk är en lineärkombination av de övriga vektorerna. Överflyttning ger nu, att s1 u1 + s2 u2 + · · · + si−1 ui−1 + (−1)ui + si+1 ui+1 + · · · + sk uk = 0, och eftersom koefficienten för ui är skild från noll, så är vektorerna lineärt beroende. Att en vektor är lineärt beroende betyder, som vi konstaterade ovan, att den är nollvektorn. Att två vektorer är lineärt beroende betyder, enligt sats 2, att en av dem är en multipel av den andra, vilket innebär att de är parallella. Att tre vektorer är lineärt beroende betyder, att en av dem är en lineärkombination av de övriga två. Innebörden av detta är, att denna vektor ligger i samma plan som de övriga två vektorerna. Sammanfattningsvis följer det av detta, att en, två eller tre vektorer är lineärt oberoende, om och endast om den eller de utgör en bas för linjen, planet respektive rummet. Fyra eller fler vektorer är alltid lineärt beroende. Antingen är de tre första lineärt beroende, och då är hela uppsättningen lineärt beroende, eller så utgör de tre första en bas för rummet, och då är den fjärde en lineärkombination av dessa tre. De tre vektorerna i exempel 7 utgör alltså en bas för rummet, medan vektorerna i exempel 8 är parallella med ett och samma plan. 1.5. KOORDINATSYSTEM 15 Exempel 9 Låt u1 ,u2 ,u3 vara basen i exempel 7, och antag, att u har koordinaterna (1, 2, 3) med avseende på basen e1 ,e2 ,e3 i samma exempel. Vi önskar här bestämma koordinaterna (x1 , x2 , x3 ) för vektorn u med avseende på basen u1 ,u2 ,u3 . Vi skriver u1 = (1, 2, 2), u2 = (1, 3, 4), u3 = (2, 3, 1) och u = (1, 2, 3) och noterar att dessa koordinater avser basen e1 ,e2 ,e3 . Vi skall lösa ekvationen x1 u1 + x2 u2 + x3 u3 = u, som är ekvivalent med systemet x1 + x2 + 2x3 = 1 2x + 3x2 + 3x3 = 2 1 2x1 + 4x2 + x3 = 3. Lösningen ges av x1 = 4, x2 = −1, x3 = −1. Vektorn u, som med avseende på basen e1 ,e2 ,e3 hade koordinaterna (1, 2, 3), har alltså med avseende på basen u1 ,u2 ,u3 koordinaterna (4, −1, −1). 1.5 Koordinatsystem Vi skall nu ta hjälp av vektorer för att beskriva positionen av en punkt P . Enbart vektorer räcker inte. Vi kan ange förflyttningar med hjälp av vektorer, men att säga ”gå 2 kilometer i nordöstlig riktning” hjälper oss föga. Var vi hamnar då beror ju på var färden börjar. Vi behöver en startpunkt O, som vi kallar origo. Med ett koordinatsystem för linjen, planet eller rummet skall vi mena en punkt O tillsammans med en bas e1 för linjen, en bas e1 ,e2 för planet och en bas e1 ,e2 ,e3 för rummet. Vi betecknar koordinatsystemet med Oe1 , Oe1 e2 respektive Oe1 e2 e3 . Om P är en punkt, kallar vi vektorn −−→ OP för ortsvektorn till punkten P . Med koordinaterna för P med avseende −−→ på koordinatsystemet skall vi mena koordinaterna för OP med avseende på basen. P e2 O 3e1 + 2e2 e1 Figur 1.13: Koordinatsystemet Oe1 e2 för ett plan −−→ I koordinatsystemet Oe1 e2 i figur 1.13 är OP ortsvektorn för punkten P . −−→ Eftersom vektorn OP = 3e1 + 2e2 har koordinaterna (3, 2) med avseende på basen e1 ,e2 , har punkten P koordinaterna (3, 2) med avseende på koordinatsystemet Oe1 e2 . Väljer vi ett annat origo men behåller basen, så får P en annan ortsvektor och därmed andra koordinater med avseende på det nya koordinatsystemet. Behåller vi origo men byter bas, så har visserligen P samma ortsvektor som tidigare, men det är mycket möjligt, att denna får andra koordinater med KAPITEL 1. VEKTORER 16 avseende på den nya basen, vilket skulle resultera i att P får andra koordinater med avseende på det nya koordinatsystemet. Man kan naturligtvis också byta både bas och origo, och även då får P vanligen andra koordinater. Vi noterar här också, att om punkterna P och Q har koordinaterna (x1 , x2 , x3 ) och (y1 , y2 , y3 ) med avseende på ett koordinatsystem Oe1 e2 e3 , −−→ −−→ så har ortsvektorerna OP och OQ koordinaterna (x1 , x2 , x3 ) och (y1 , y2 , y3 ) −−→ −−→ −−→ med avseende på basen e1 ,e2 ,e3 . Detta leder till att vektorn P Q = OQ− OP har koordinaterna (y1 , y2 , y3 ) − (x1 , x2 , x3 ) = (y1 − x1 , y2 − x2 , y3 − x3 ) med avseende på basen e1 ,e2 ,e3 . Om punkten P har koordinaterna (x1 , x2 , x3 ), och ingen tvekan råder, vilket koordinatsystem som avses, så skriver vi ofta P = (x1 , x2 , x3 ). 1.6 Ekvationer för linjer och plan När man har ett koordinatsystem Oe1 e2 e3 för rummet och en linje eller ett plan i rummet, vill man ofta kunna avgöra, om en punkt ligger på linjen eller i planet på grundval av punktens koordinater med avseende på koordinatsystemet. Ekvationer för linjer och plan skall satisfieras av koordinaterna för de punkter, som ligger på linjen eller i planet, men inte av koordinaterna för andra punkter. Det är sådana ekvationer, som vi skall studera i detta avsnitt. Vi förutsätter i härledningarna av ekvationerna, att ett koordinatsystem Oe1 e2 e3 är givet för rummet, men vi ritar inte ut origo eller basvektorerna i de figurer, som förekommer. ℓ u P Q Figur 1.14: Ekvationen för en linje Vi börjar med ekvationer för linjer. Låt ℓ vara en linje i rummet, och välj en fix punkt Q på ℓ och en basvektor u för ℓ. En sådan vektor kallas ofta för en riktningsvektor för linjen. Det gäller alltså, att u 6= 0, och att u är parallell med ℓ. Vi antar, att Q har koordinaterna (x0 , y0 , z0 ) med avseende på koordinatsystemet Oe1 e2 e3 , och att vektorn u har koordinaterna (a, b, c) med avseende på basen e1 ,e2 ,e3 . Vi skriver detta, nu och i fortsättningen, som Q = (x0 , y0 , z0 ) och u = (a, b, c). Låt P = (x, y, z) vara en godtycklig −−→ punkt i rummet. Det gäller då, att P ligger på ℓ, om och endast om QP är parallell med u. Detta är i sin tur ekvivalent med att det finns ett tal t, −−→ sådant att QP = tu. Med de givna koordinaterna kan detta skrivas (x − x0 , y − y0 , z − z0 ) = t(a, b, c), 1.6. EKVATIONER FÖR LINJER OCH PLAN som är ekvivalent med x = x0 + at y = y0 + bt z = z0 + ct. 17 (1.3) Vi säger, att (1.3) är en ekvation på parameterform för ℓ. Innebörden är, att en punkt med koordinaterna (x, y, z) ligger på ℓ, om och endast om det finns ett tal t, sådant att (1.3) gäller. En mindre vidlyftig variant av ekvationen är (x, y, z) = (x0 , y0 , z0 ) + t(a, b, c). Omvänt är det klart, att en ekvation av formen (1.3), i vilken minst en av a, b och c är skild från noll, är ekvationen för en linje genom (x0 , y0 , z0 ) parallell med (a, b, c). Exempel 10 Linjen ℓ går genom punkten Q = (1, 2, 1) och har riktningsvektorn u = (4, −1, 5). Vi kan direkt skriva upp en ekvation på parameterform för ℓ, nämligen x = 1 + 4t y=2− t z = 1 + 5t. Exempel 11 En linje går genom punkterna Q1 = (1, 1, 1) och Q2 = (1, 3, 5). −−−→ En riktningsvektor för linjen är Q1 Q2 = (1, 3, 5) − (1, 1, 1) = (0, 2, 4). Vi väljer dock den kortare vektorn u = 12 (0, 2, 4) = (0, 1, 2) som riktningsvektor i stället. Som fix punkt på linjen kan vi välja Q1 eller Q2 eller vilken annan punkt som helst på linjen. Vi väljer Q1 och får ekvationen x = 1 y=1+ t z = 1 + 2t. Exempel 12 I detta exempel vill vi avgöra, huruvida punkten (3, 2, 2) ligger på linjen (x, y, z) = (1, 0, 3) + t(1, 1, 2). Frågan är, om det finns ett tal t, sådant att 3 = 1 + t, 2 = 0 + t och 2 = 3 + 2t. Enligt de båda första ekvationerna är t = 2. Detta ger en motsägelse i den tredje ekvationen. Punkten ligger alltså inte på linjen. Exempel 13 Vi vill undersöka, om de båda linjerna x = 1 + t x = 3 + 2t ℓ1 : y=2+ t och ℓ2 : y= 8+ t z = 3 − 2t z = −5 − 3t skär varandra, och i så fall finna skärningspunkten. Att en punkt (x, y, z) ligger på båda linjerna betyder, att det finns ett t, sådant att den första ekvationen är uppfylld, och ett t, sådant att den andra ekvationen är uppfylld. Det finns ingenting som säger, att det måste vara KAPITEL 1. VEKTORER 18 samma t. Att linjerna skär varandra i (x, y, z), är ekvivalent med att det finns t1 och t2 , sådana att (x, y, z) = (1, 2, 3) + t1 (1, 1, −2) = (3, 8, −5) + t2 (2, 1, −3). Vi löser ekvationen (1, 2, 3) + t1 (1, 1, −2) = (3, 8, −5) + t2 (2, 1, −3), som kan skrivas 1 + t1 = 3 + 2t2 2 + t1 = 8 + t2 3 − 2t1 = −5 − 3t2 . Vi skriver om detta ekvationssystem så, att vi får de obekanta i vänsterledet och konstanterna i högerledet. t1 − 2t2 = 2 t1 − t2 = 6 −2t1 + 3t2 = −8 ⇔ t1 − 2t2 = 2 t2 = 4 −t2 = −4 ⇔ t1 − 2t2 = 2 t2 = 4 0 = 0. Systemet har lösningen t1 = 10, t2 = 4, vilket visar att linjerna skär varandra. För att få skärningspunktens koordinater, kan vi sätta in t1 = 10 i ekvationen för ℓ1 eller t2 = 4 i ekvationen för ℓ2 . Som en extra kontrollåtgärd kan man sätta in i båda ekvationerna för att avslöja eventuella felräkningar. Skärningspunkten blir (x, y, z) = (11, 12, −17). Hade ekvationssystemet i exempel 13 saknat lösningar, hade linjerna saknat skärningspunkter. Hade systemet haft oändligt många lösningar, hade linjerna sammanfallit. Studerar man linjer, som ligger i ett fixt plan π, kan man naturligtvis införa ett koordinatsystem Oe1 e2 för π. Om en linje ℓ i π går genom (x0 , y0 ) och har riktningsvektor (a, b), så har ℓ en ekvation x = x0 + at y = y0 + bt. Här är inte både a och b noll. Om till exempel a 6= 0, får man ett ekvivalent system, om man subtraherar b gånger den första ekvationen från a gånger den andra. Man ser därefter, att ekvationen för ℓ kan skrivas ay − bx = ay0 − bx0 . Om a = 0, får man direkt samma resultat. En linje i π har med andra ord en ekvation av formen Ax + By = C. Det gäller inte, att linjer i rummet har ekvationer av formen Ax + By + Cz = D. Detta kommer att uppenbaras för oss inom kort. Vi studerar nu ekvationer för plan. Låt Q = (x0 , y0 , z0 ) vara en fix punkt i planet π, och låt u1 = (a1 , b1 , c1 ) och u2 = (a2 , b2 , c2 ) vara två basvektorer −−→ för π. Punkten P = (x, y, z) ligger då i π, om och endast om QP är en lineärkombination av u1 och u2 . Detta betyder, att det finns tal t1 och t2 , 1.6. EKVATIONER FÖR LINJER OCH PLAN 19 P u2 Q u1 π Figur 1.15: Ekvationen för ett plan −−→ sådana att QP = t1 u1 + t2 u2 . Uttryckt med hjälp av koordinaterna kan detta samband skrivas x = x 0 + a1 t 1 + a2 t 2 y = y 0 + b1 t 1 + b2 t 2 (1.4) z = z0 + c1 t1 + c2 t2 . Vi säger, att ekvation (1.4) är en ekvation på parameterform för planet π. Exempel 14 Vi bestämmer ekvationen för planet, som går genom punkterna (1, 2, 3), (2, 3, 2) och (4, 7, 6). Som basvektorer för planet kan vi välja u1 = (2, 3, 2) − (1, 2, 3) = (1, 1, −1) och u2 = (4, 7, 6) − (1, 2, 3) = (3, 5, 3). En ekvation för planet är följaktligen x = 1 + t1 + 3t2 y = 2 + t1 + 5t2 z = 3 − t1 + 3t2 . Exempel 15 Ett plan går genom punkterna Q1 = (3, 2, 1) och Q2 = (6, 1, 3) och är parallellt med linjen (x, y, z) = (11, 4, 12)+t(1, 2, 5). Linjens riktningsvektor u1 = (1, 2, 5) är parallell med planet. En annan vektor, som är paral−−−→ lell med planet, är u2 = Q1 Q2 = (3, −1, 2). Det båda vektorerna är lineärt oberoende och utgör en bas för planet, som därför har ekvationen x = 3 + t1 + 3t2 y = 2 + 2t1 − t2 z = 1 + 5t1 + 2t2 . Innebörden av ekvation (1.4) är, att en punkt (x, y, z) ligger i planet π, om och endast om systemet a1 t 1 + a2 t 2 = x − x 0 b t + b2 t 2 = y − y 0 (1.5) 1 1 c1 t1 + c2 t2 = z − z0 har en lösning (t1 , t2 ). Eftersom vektorerna (a1 , b1 , c1 ) och (a2 , b2 , c2 ) är lineärt oberoende, så har motsvarande homogena system den entydiga lösningen t1 = t2 = 0. Det betyder, att systemet med hjälp av elimination kan KAPITEL 1. VEKTORER 20 överföras på ett system av formen t1 + dt2 = h1 t2 = h2 0 = Ax + By + Cz − D. Ekvationssystemet (1.5) har därför en lösning, det vill säga (x, y, z) ligger i π, om och endast om Ax + By + Cz = D. Vi säger, att detta är en ekvation på normalform för π. Exempel 16 Vi bestämmer en ekvation på normalform för planet i exempel 14. Vi börjar med att skriva om ekvationssystemet så, att vi får de obekanta i vänsterledet, och därefter eliminerar vi som vanligt. t1 + 3t2 = x − 1 t1 + 3t2 = x − 1 t1 + 5t2 = y − 2 ⇔ 2t2 = −x + y − 1 −t1 + 3t2 = z − 3 6t2 = x + z − 4 t1 + 3t2 = x − 1 ⇔ 2t2 = −x + y − 1 0 = 4x − 3y + z − 1. Ekvationssystemet är lösbart, om och endast om 4x − 3y + z = 1, vilket är planets ekvation på normalform. Omvänt, en ekvation av formen Ax + By + Cz = D, i vilken minst en av A, B och C är skild från noll, är ekvationen för ett plan. Om till exempel A 6= 0, kan man sätta y = t1 och z = t2 och få, att ekvationen är ekvivalent B C med (x, y, z) = ( D A , 0, 0) + t1 (− A , 1, 0) + t2 (− A , 0, 1), vilket är en ekvation på parameterform för ett plan. Exempel 17 Vi söker skärningen mellan planet 4x − 3y + z = 1 och linjen (x, y, z) = (2, 2, 5) + t(1, 1, 2). Punkten (x, y, z) = (2, 2, 5) + t(1, 1, 2) på linjen ligger i planet, om och endast om dess koordinater uppfyller planets ekvation. Det betyder, att 4(2 + t) − 3(2 + t) + 5 + 2t = 1 ⇔ 3t = −6 ⇔ t = −2. Man får därför skärningspunkten genom att sätta t = −2 i linjens ekvation. Skärningspunkten blir (2, 2, 5) − 2(1, 1, 2) = (0, 0, 1). Exempel 18 Skärningen mellan planen x − y + 2z = 1 och 4x − 3y + z = 1 får man genom att lösa ekvationssystemet x − y + 2z = 1 4x − 3y + z = 1. Lösningen ges av (x, y, z) = (−2, −3, 0) + t(5, 7, 1). Detta är en ekvation på parameterform för skärningslinjen. Kapitel 2 Skalärprodukt 2.1 Definition och räkneregler Med längden kuk av en vektor u skall vi mena längden av en representant för u. En vektor e, för vilken kek = 1, kallas en enhetsvektor. Med vinkeln θ mellan två vektorer skilda från nollvektorn menar vi vinkeln θ mellan en representant för den ena vektorn och en representant för den andra. Det gäller, att 0 ≤ θ ≤ π. Definition 7 Skalärprodukten av två vektorer u och v definieras genom ( kukkvk cos θ, om u 6= 0 och v 6= 0, u·v = 0, annars. Två vektor u och v säges vara ortogonala, om u · v = 0. Låt u och v 6= 0 vara vektorer. Med den ortogonala projektionen av u på v menar vi projektionen u′ av u på linjen ℓ parallell med v längs planet π vinkelrätt mot ℓ. u′′ u θ e u′ = (kuk cos θ)e Figur 2.1: Ortogonal projektion Antag, att v = e är en enhetsvektor, och låt θ vara vinkeln mellan u och e. I figur 2.1 är u′ den ortogonala projektionen på e och u′′ den ortogonala projektionen på planet π vinkelrätt mot e. Eftersom kek = 1, är cirkeln en enhetscirkel. Definitionen av de trigonometriska funktionerna och KAPITEL 2. SKALÄRPRODUKT 22 likformiga trianglar ger, att u′ = (kuk cos θ)e. Eftersom kek = 1, kan vi skriva kuk cos θ = kukkek cos θ = u · e och få, att u′ = (u · e)e. Enhetsvektorer spelar tydligen en viktig roll här. Man har därför ofta behov av att ersätta en vektor v 6= 0 med en enhetsvektor e, som är parallell med och lika riktad som v. Man säger, att man normerar v. För vektorn e 1 v, vilket också kan skrivas v = kvke. Eftersom v och e gäller det, att e = kvk är parallella och lika riktade, är vinkeln θ mellan en vektor u och v densamma som vinkeln mellan u och e. Detta ger, att u · v = kukkvk cos θ = kvkkukkek cos θ = kvk(u · e). (2.1) Sats 3 Det gäller för alla tal s och t och alla vektorer u, v och w, att u · v = v · u, 2 u · u = kuk , (su + tv) · w = s(u · w) + t(v · w). (2.2) (2.3) (2.4) Bevis. Likheten (2.2) följer omedelbart av definitionen av skalärprodukt. Det gör också (2.3), ty u · u = kukkuk cos 0 = kuk2 . Om w = 0, kan samma sak sägas om (2.4), eftersom de ingående skalärprodukterna då är noll. Antag därför, att w 6= 0, och definiera enhetsvektorn e genom w = kwke. Det följer av (2.1) och (1.1), att ((su + tv) · w)e = kwk((su + tv) · e)e = kwk(su + tv)′ = kwk((su)′ + (tv)′ ) = kwk(su′ + tv′ ) = kwk(s(u · e)e + t(v · e)e) = (s(u · w) + t(v · w))e. Eftersom e 6= 0, är (su + tv) · w = s(u · w) + t(v · w). Vi använder omedelbart räknereglerna till att bevisa en välkänd sats. Sats 4 (Pythagoras sats) Antag, att vektorerna u och v är ortogonala. Då gäller det, att ku + vk2 = kuk2 + kvk2 . Bevis. ku + vk2 = (u + v) · (u + v) = u · u + 2(u · v) + v · v = kuk2 + kvk2 , ty u · v = 0 enligt förutsättningen. 2.2. ORTONORMERADE BASER 2.2 23 Ortonormerade baser En ortonormerad bas är en bas, i vilken basvektorerna har längden 1 och är parvis ortogonala. För en bas e1 för en linje innebär detta bara, att ke1 k = 1. För en bas e1 ,e2 ,e3 för rummet innebär det, att ke1 k = ke2 k = ke3 k = 1, och e1 · e2 = e1 · e3 = e2 · e3 = 0. Antag, att u = (x1 , x2 , x3 ) och v = (y1 , y2 , y3 ) med avseende på en ortonormerad bas e1 ,e2 ,e3 . Räknereglerna i sats 3 ger då, att u · v = (x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 ) · (y1 e1 + y2 e2 + y3 e3 ) = x1 y1 (e1 · e1 ) + x1 y2 (e1 · e2 ) + x1 y3 (e1 · e3 ) + x2 y1 (e2 · e1 ) + x2 y2 (e2 · e2 ) + x2 y3 (e2 · e3 ) + x3 y1 (e3 · e1 ) + x3 y2 (e3 · e2 ) + x3 y3 (e3 · e3 ) = x1 y 1 + x2 y 2 + x3 y 3 . Detta ger i synnerhet, att kuk = √ u·u = q x21 + x22 + x23 . Motsvarande formler gäller också för ortonormerade baser för planet. Exempel 19 Antag, att u = (4, 1, 1) och v = (2, 2, −1) med avseende på en ortonormerad bas. Vi √ söker vinkeln θ mellan att p vektorerna. Det gäller, √ √ √ kuk = 42 + 12 + 12 = 18 = 3 2, kvk = 22 + 22 + (−1)2 = 9 = 3, och u · v = 4 · 2 + 1 · 2 + 1 · (−1) = 9. Det följer av skalärproduktens definition, att 9 1 u·v = √ =√ , cos θ = kukkvk 3 2·3 2 varav θ = π4 . u1 e 2 θ u2 e1 Figur 2.2: En additionsformel Exempel 20 Låt e1 ,e2 vara en ortonormerad bas för planet, och definiera u1 = (cos θ1 )e1 + (sin θ1 )e2 och u2 = (cos θ2 )e1 + (sin θ2 )e2 . Se figur 2.2. Trigonometriska ettan ger då, att ku1 k = ku2 k = 1. Låt θ vara vinkeln mellan u1 och u2 . Då är θ = ±(θ1 − θ2 )+ 2πn för något heltal n. Använder vi skalärproduktens definition, får vi u1 · u2 = ku1 kku2 k cos θ = cos θ = cos (θ1 − θ2 ). KAPITEL 2. SKALÄRPRODUKT 24 Användning av räknereglerna ovan ger u1 · u2 = cos θ1 cos θ2 + sin θ1 sin θ2 . De båda likheterna tillsammans ger den välbekanta additionsformeln cos (θ1 − θ2 ) = cos θ1 cos θ2 + sin θ1 sin θ2 . Eftersom rätlinjiga förflyttningar kan beskrivas med hjälp av vektorer, kan också hastigheter hos sådana förflyttningar beskrivas med hjälp av vektorer. De är ju förflyttningar per tidsenhet. Om vektorn v är en sådan hastighet, så kallar man dess längd v = kvk för farten. 0◦ e1 270◦ e2 180◦ v 90◦ v1 v2 Figur 2.3: Flygplan Exempel 21 Ett flygplan håller enligt kompassen kursen 30◦ och flyger med hastigheten 400 km/h relativt den omgivande luften. Samtidigt blåser det en vind i riktningen 280◦ med hastigheten 100 km/h. Vi vill bestämma flyplanets fart och kurs i förhållande till marken. Vi inför en ortonormerad bas e1 ,e2 med e1 i riktningen 0◦ och e2 i riktningen 90◦ . Planets hastighet representeras då av v1 = 400((cos 30◦ )e1 + (sin 30◦ )e2 ) och vindens av v2 = 100((cos 280◦ )e1 + (sin 280◦ )e2 ). Den resulterande hastigheten blir v = v1 + v2 = x1 e1 + x2 e2 , där x1 = 400 cos 30◦ +p 100 cos 280◦ och x2 = 400 sin 30◦ + 100 sin 280◦ . Flygplanets fart blir v = x21 + x22 ≈ 377,7 km/h, och planets kurs θ ges av cos θ = xv1 och sin θ = xv2 . Vi får θ = arccos xv1 ≈ 15,6◦ , ty både x1 och x2 är positiva. 2.3 Ekvationer för plan i ortonormerade system Ett ortonormerat koordinatsystem är ett koordinatsystem, för vilket basen är ortonormerad. Vi antar i hela detta avsnitt, att alla koordinater är givna med avseende på ett ortonormerat koordinatsystem. Med en normalvektor till ett plan skall vi mena en nollskild vektor, som är ortogonal mot planet. Låt π vara ett plan, som går genom punkten Q = (x0 , y0 , z0 ) och har en normalvektor n = (A, B, C). En punkt P = (x, y, z) ligger i π, om och −−→ endast om vektorn QP = (x − x0 , y − y0 , z − z0 ) är ortogonal mot vektorn n. Detta betyder, att −−→ n · QP = A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0. 2.4. AVSTÅND 25 Sätter vi D = Ax0 + By0 + Cz0 , ser vi att planets ekvation kan skrivas Ax + By + Cz = D. Omvänt vill vi visa, att en sådan ekvation, i vilken minst en av A, B och C är skild från noll, är en ekvation för ett plan med normalvektor (A, B, C). Från kapitel 1 vet vi, att det är en ekvation för ett plan. Låter vi då (x0 , y0 , z0 ) vara en punkt i planet, så gäller det, att Ax0 + By0 + Cz0 = D. Ekvationen kan därför skrivas A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0. Detta visar, att (A, B, C) är en normalvektor till planet. Det kan här vara värt att påpeka, att det bara är om koordinaterna är givna med avseende på ett ortonormerat koordinatsystem, som vi kan vara säkra på att (A, B, C) är en normalvektor till planet. Exempel 22 Planet, som går genom punkten (2, 4, 1) och har normalvektor (1, 2, 3), har ekvationen 1(x − 2) + 2(y − 4) + 3(z − 1) = 0. Ekvationen kan, efter förenkling, skrivas x + 2y + 3z = 13. 2.4 Avstånd Med avståndet från en punkt P = (x, y, z) i rummet till ett plan med ekvationen Ax + By + Cz = D menar vi det kortaste avståndet från P till någon punkt i planet. Detta är det vinkelräta avståndet. För att bestämma det, väljer vi en godtycklig punkt Q = (x0 , y0 , z0 ) i planet och bildar vektorn −−→ u = QP = (x − x0 , y − y0 , z − z0 ). Låt u′ vara den ortogonala projektionen av u på normalvektorn n = (A, B, C). Det sökta avståndet är då ku′ k. P u′ u n Q Figur 2.4: Avståndet till ett plan 1 n, som har samma riktning som n. Det gäller Vi bildar enhetsvektorn e = knk ′ då, att u = (u · e)e, varför det sökta avståndet är ku′ k = k(u · e)ek = |u · e| = |A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C(z − z0 )| |u · n| √ = . knk A2 + B 2 + C 2 Q är en punkt i planet. Dess koordinater (x0 , y0 , z0 ) uppfyller därför planets ekvation. Det ger, att Ax0 + By0 + Cz0 = D, och avståndet d kan skrivas d= |Ax + By + Cz − D| √ . A2 + B 2 + C 2 Formel (2.5) brukar kallas för avståndsformeln. (2.5) KAPITEL 2. SKALÄRPRODUKT 26 Exempel 23 Vi bestämmer avståndet från punkten (4, −4, 1) till planet i exempel 22. Enligt avståndsformeln är det √ 14 | − 14| |1 · 4 + 2 · (−4) + 3 · 1 − 13| √ = √ = 14 . = √ 14 14 12 + 22 + 32 Har man infört ett ortonormerat koordinatsystem i ett plan, så är avståndet från en punkt P = (x, y) i planet till en linje Ax + By = C i planet lika med d= |Ax + By − C| √ . A2 + B 2 Detta kan visas på samma sätt. När det gäller avståndet från en punkt i rummet till en linje i rummet, blir formeln mer komplicerad och svårare att minnas. Det är nu bättre, att lära sig metoden i stället. Låt ℓ vara en linje och P en punkt. Man bestämmer den −−→ punkt Q på ℓ, för vilken vektorn P Q är vinkelrät mot ℓ. Det sökta avståndet −−→ är då kP Qk. Metoden ger oss också upplysning om vilken punkt på ℓ, som ligger närmast P . Vi förevisar metoden i ett exempel. P u Q ℓ Figur 2.5: Avståndet till en linje Exempel 24 Låt oss bestämma avståndet från punkten P = (4, 4, −10) till linjen med ekvationen (x, y, z) = (1, 2, 3) + t(1, 3, −1). En punkt på linjen har koordinaterna Q = (1, 2, 3) + tu, där u = (1, 3, −1) är en riktningsvektor −−→ för linjen. Vi bestämmer nu t så, att P Q = (−3, −2, 13) + tu blir vinkelrät mot u. Detta är ekvivalent med −−→ 0 = P Q · u = (−3, −2, 13) · u + tu · u = −3 · 1 − 2 · 3 + 13 · (−1) + t(12 + 32 + (−1)2 ) = −22 + 11t. Lösningen till denna ekvation är t = 2, och för detta värde på parametern t −−→ blir P Q = (−3, −2, 13) + 2(1, 3, −1) = (−1, 4, 11). Det sökta avståndet är p √ −−→ därför kP Qk = (−1)2 + 42 + 112 = 138. Den punkt på linjen, som ligger närmast P , är Q = (1, 2, 3) + 2(1, 3, −1) = (3, 8, 1). 2.5. VINKLAR 2.5 27 Vinklar Såvida inte två linjer är vinkelräta, finns det två olika stora vinklar mellan dem. När vi säger vinkeln mellan två linjer, som inte är vinkelräta, menar vi den spetsiga vinkeln. För att bestämma vinkeln mellan två linjer bestämmer man vinkeln θ mellan en riktningsvektor för den ena linjen och en riktningsvektor för den andra. Visar det sig, att θ är spetsig eller rät, är vinkeln mellan linjerna lika med θ. Annars är den lika med π − θ. ℓ2 θ π−θ ℓ1 Figur 2.6: Vinkeln mellan två linjer Exempel 25 Vinkeln mellan linjerna ℓ1 : (x, y, z) = (1, 2, 1) + t(1, −2, −1) och ℓ2 : (x, y, z) = (1, 0, 0) + t(0, 1, 1) söks. Vi bestämmer därför vinkeln θ mellan linjernas riktningsvektorer u1 = (1, −2, −1) och u2 = (0, 1, 1). Denna ges av √ u1 · u2 −3 3 cos θ = = √ √ =− , ku1 kku2 k 2 6 2 vilket ger, att θ = π − θ = π6 . 5π 6 . Eftersom θ är trubbig, är den sökta vinkeln lika med Vinkeln θ mellan två plan är den minsta vinkeln mellan dem. Den är lika med den spetsiga eller räta vinkeln mellan en linje vinkelrät mot det ena planet och en linje vinkelrät mot det andra. I figur 2.7 betraktas planen från sidan så, att de framstår som linjer. π2 θ θ π1 Figur 2.7: Vinkeln mellan två plan Exempel 26 Vi söker vinkeln mellan de båda planen π1 : x − 2y − z = 2 och π2 : y + z = 1. Normalvektorer till planen är u1 = (1, −2, −1) och u2 = (0, 1, 1). Dessa är också riktningsvektorer för linjer vinkelräta mot 28 KAPITEL 2. SKALÄRPRODUKT planen. Vinkeln θ mellan dessa vektorer beräknades i exempel 25, och vi π fann, att θ = 5π 6 . Den spetsiga vinkeln mellan linjerna är därför 6 , och detta är också vinkeln mellan planen. Vinkeln ϕ mellan en linje ℓ och ett plan π är den minsta vinkeln mellan dessa. Det gäller, att ϕ = π2 − θ, där θ är vinkeln mellan ℓ och en linje vinkelrät mot π. ℓ θ ϕ π Figur 2.8: Vinkeln mellan en linje och ett plan Exempel 27 Nu söker vi vinkeln mellan planet π : x − 2y − z = 2 och linjen ℓ : (x, y, z) = t(0, 1, 1). En normalvektor till π är u = (1, −2, −1), och en riktningsvektor till ℓ är v = (0, 1, 1). Vi fann i exempel 25, att vinkeln mellan dessa vektorer är 5π 6 . Den spetsiga vinkeln θ är därför, som tidigare, π lika med θ = 6 , och den sökta vinkeln är ϕ = π2 − θ = π3 . Övningsuppgifter Övningsuppgifter till kapitel 1 1.1. Rita ut vektorerna −u, −3v, u − v, u − 3v, u + 2v och 2u − v med utgångspunkt i vektorerna u och v i figur 1.3 på sidan 6. −→ −− → 1.2. Antag, att e1 = CT och e2 = P C i figur 1.10 på sidan 10. Bestäm −→ −−→ koordinaterna, med avseende på basen e1 ,e2 , för vektorerna CR, CB −→ och T A. Rita också ut vektorn med koordinaterna (−1, 1). −→ −→ −−→ 1.3. Vektorerna e1 = P Q, e2 = P R och e3 = P S i figur 1.11 på sidan 10 −→ utgör en bas för rummet. Bestäm koordinaterna för vektorerna P A, −→ −−→ −→ −→ P T , P B, QA och ST . 1.4. Vektorerna u, v, och w har, med avseende på någon bas, koordinaterna u = (1, −1, −4), v = (2, 4, 4) och w = (4, 2, −4). Avgör, huruvida de är lineärt beroende. 1.5. Är vektorerna (1, −1, −3), (2, 3, 4) och (3, 2, −4) parallella med ett och samma plan? 1.6. Visa, att vektorerna (1, 1, 2), (4, 4, 9) och (2, 3, 7) utgör en bas för rummet. Bestäm koordinaterna för vektorn (5, 4, 3) med avseende på denna bas. 1.7. Bestäm en ekvation för den linje, som går genom punkten (1, 2, 4) och är parallell med vektorn (1, 0, 2). 1.8. Bestäm en ekvation för linjen, som går genom punkterna (1, 2, 4) och (2, 0, 2). 1.9. Skär linjerna med ekvationerna (x, y, z) = (3, 7, 7) + t(1, 4, 3) och (x, y, z) = (1, 2, 4) + t(1, 3, 2) varandra? Ange i så fall skärningspunkten. 1.10. Skär linjerna med ekvationerna (x, y, z) = (1, 0, 1) + t(1, 2, 3) och (x, y, z) = (2, 1, 3) + t(1, 0, 2) varandra? Ange i så fall skärningspunkten. ÖVNINGSUPPGIFTER 30 1.11. Ligger punkterna (0, −1, 2), (1, 4, 3), (2, 0, 1) och (2, −3, 0) i samma plan? 1.12. Bestäm skärningspunkten mellan planet x + 2y + 3z = 4 och linjen (x, y, z) = (5, −3, −5) + t(2, 1, 2). 1.13. Ett plan går genom punkten (1, 2, 2) och är parallellt med linjerna (x, y, z) = (3, 4, 5) + t(1, 1, 2) och (x, y, z) = (3, −4, 6) + t(2, 1, 3). Ange en ekvation på parameterform för planet. 1.14. Ange på formen Ax + By + Cz = D en ekvation för det plan, som går genom punkterna (1, 3, 4) och (2, 0, 5) och är parallellt med linjen (x, y, z) = (12, 18, 24) + t(5, −1, 2). 1.15. Ange på formen Ax+By+Cz = D en ekvation för det plan, som innehåller linjen (x, y, z) = (3, 2, 1) + t(1, −2, 3) och går genom punkten (1, −1, 2). 1.16. Bestäm skärningen mellan planen 2x + y − z = 3 och 3x − 3y + z = 0. Ange också en ekvation för den linje, som går genom punkten (1, 2, 4) och är parallell med de båda planen. Övningsuppgifter till kapitel 2 I nedanstående uppgifter är koordinater angivna med avseende på något ortonormerat system. 2.1. Bestäm vinkeln mellan vektorerna (1, −2, −2) och (1, 4, 1). 2.2. En roddare ror över en å med kurs rakt mot den motsatta stranden. Roddhastigheten relativt vattnet är 4 m/s. Samtidigt strömmar vattnet med en hastighet på 1 m/s. Vilken fart har roddaren, och vilken är kursen, i förhållande till marken? Om ån är 100 meter bred, var på den motsatta stranden kommer båten att landa? 2.3. Vilken kurs skall piloten i exempel 21 på sidan 24 hålla för att flygplanet skall färdas rakt norrut, vilket motsvarar 0◦ på kompassen. 2.4. Bestäm en ekvation på normalform för det plan, som bildar rät vinkel med linjen (x, y, z) = (2, 1, 2) + t(4, 1, 3) och går genom punkten (1, 1, 2). 2.5. Bestäm avståndet från punkten (5, 8, 4) till det plan, som går genom punkten (2, −2, 3) och är vinkelrätt mot vektorn (3, 2, −1). SVAR TILL ÖVNINGSUPPGIFTER 31 2.6. Bestäm avstånden från de båda punkterna (4, −1, 1) och (2, 1, 1) till planet x+ 2y + z = 4. Skalärprodukten av två vektorer är positiv, om vinkeln mellan dem är spetsig, och negativ, om vinkeln är trubbig. Undersök, med hjälp härav, om de båda punkterna ligger på samma sida om planet eller på olika sidor. 2.7. En linje går genom punkten (1, 4, 3) och är parallell med vektorn (1, 2, 1). Beräkna avståndet från punkten (2, 2, 2) till linjen. Vilken punkt på linjen ligger närmast punkten (2, 2, 2)? 2.8. Två linjer har ekvationerna (x, y, z) = (−1, 2, 3) + t(2, −1, −1) och (x, y, z) = (1, 1, 1) + t(1, 2, −3). Bestäm det minsta avståndet mellan dem genom att bilda det plan, som innehåller den första linjen och är parallellt med den andra. Avståndet kan sedan beräknas som avståndet från en godtycklig punkt på den andra linjen till planet. 2.9. Ett plan innehåller punkterna (2, 1, −1), (4, 0, 1) och (0, 1, −2). Bestäm vinkeln mellan detta plan och planet x + y + 4z = 1. 2.10. Bestäm vinkeln mellan planet x + 2y − z = 1 och den linje, som går genom punkterna (3, 5, −1) och (2, 4, −1). 2.11. Bestäm en ekvation för det plan, som består av de punkter, som har samma avstånd till de båda punkterna (0, 1, −1) och (−2, −1, 1). Svar till övningsuppgifter 1.2. (3, 0), ( 23 , − 21 ) och ( 12 , 12 ). 1.3. ( 13 , 13 , 13 ), ( 14 , 41 , 14 ), (0, 13 , 13 ), (− 32 , 13 , 13 ) och ( 14 , 14 , − 43 ). 1.4. Vektorerna är lineärt beroende. 1.5. Nej. 1.6. (23, −4, −1). 1.7. (x, y, z) = (1, 2, 4) + t(1, 0, 2). 1.8. (x, y, z) = (1, 2, 4) + t(1, −2, −2). 1.9. Ja, i punkten (4, 11, 10). 1.10. Nej. 1.11. Ja. 1.12. (9, −1, −1). ÖVNINGSUPPGIFTER 32 1.13. (x, y, z) = (1, 2, 2) + t1 (1, 1, 2) + t2 (2, 1, 3). 1.14. 5x − 3y − 14z = −60. 1.15. x − y − z = 0. 1.16. Skärningslinjen är (x, y, z) = (0, − 23 , − 29 )+t(2, 5, 9). Den andra linjen är (x, y, z) = (1, 2, 4) + t(2, 5, 9). 2.1. 3π 4 . 2.2. Farten är 4,1 m/s. Kursen är 14,0◦ nedströms i förhållande till åns tvärriktning. Landningspunkten är belägen 25 meter nedströms från punkten mitt emot startpunkten. 2.3. 14,3◦ . 2.4. 4x + y + 3z = 11. √ 2.5. 2 14 . 2.6. Båda avstånden är 2.7. Avståndet är 2.8. √1 . 3 2.9. π 4. 2.10. π 3. √ 30 3 . 2.11. x + y − z = −1. √1 . 6 Punkterna ligger på olika sidor om planet. Punkten är ( 13 , 83 , 37 ). Sakregister additionsformel, 24 associativa lagen, 7, 8 avstånd till en linje, 26 avstånd till ett plan, 25 avståndsformeln, 25 bas, 11 distributiv lag, 8 ekvation på normalform, 20, 25 ekvation på parameterform, 17, 19 ekvationer för linjer, 17 ekvationer för plan, 18 ekvivalent, 5 enhetscirkel, 21 enhetsvektor, 21 fart, 24 fotpunkt, 5 hastighet, 24 inverser, 8 kommutativa lagen, 7, 8 koordinater för punkter, 15 koordinater för vektorer, 11 koordinatsystem, 15 lineärkombination, 14 lineärt beroende, 13 lineärt oberoende, 13 längd, 21 median i en tetraeder, 9 median i en triangel, 9 mittpunktsformeln, 9 neutralt element, 8 nollvektorn, 7 normalvektor, 24 normera, 22 origo, 15 ortogonal, 21 ortogonal projektion, 21 ortonormerad bas, 23 ortonormerat koordinatsystem, 24 ortsvektor, 15 parallell vektor, 10 projektion, 11 Pythagoras sats, 22 representant, 6 riktad sträcka, 5 räkneregler för skalärprodukt, 22 räkneregler för vektorer, 8 skalär, 7 skalärprodukt, 21 tetraeder, 9 tyngdpunkt i en tetraeder, 10 tyngdpunkt i en triangel, 9 vektor, 6 vinkel, 21 vinkel mellan linje och plan, 28 vinkel mellan linjer, 27 vinkel mellan plan, 27 ändpunkt, 5