Vektorer för naturvetare

Vektorer för naturvetare
Kjell Elfström
c Kjell Elfström 2015
Copyright Första upplagan, mars 2015
Innehållsförteckning
1 Vektorer
1.1 Vektorbegreppet . . . . . . .
1.2 Operationer på vektorer . . .
1.3 Baser . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Lineärt beroende . . . . . . .
1.5 Koordinatsystem . . . . . . .
1.6 Ekvationer för linjer och plan
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5
5
6
10
13
15
16
2 Skalärprodukt
2.1 Definition och räkneregler . . . . . . . . . .
2.2 Ortonormerade baser . . . . . . . . . . . . .
2.3 Ekvationer för plan i ortonormerade system
2.4 Avstånd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Vinklar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
21
21
23
24
25
27
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Övningsuppgifter
29
Övningsuppgifter till kapitel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Övningsuppgifter till kapitel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Svar till övningsuppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Sakregister
33
Kapitel 1
Vektorer
1.1
Vektorbegreppet
Låt P och Q vara två punkter i rummet. Vi skall i denna text beteckna den
riktade sträckan från P till Q med P Q. Punkten P är fotpunkten, och Q
är ändpunkten. Om P och Q är samma punkt, så kan vi tänka på P Q som
denna punkt. Vi noterar, att P Q och QP är olika riktade sträckor, utom då
P och Q är samma punkt.
Q
S
PQ
RS
U
TU
V
X
VW
XY
P
R
T
W
Y
Figur 1.1: Riktade sträckor
Vi säger, att två riktade sträckor är ekvivalenta, om de är parallella, lika
riktade och lika långa. I figur 1.1 är P Q och RS ekvivalenta. T U är förvisso
parallell med och lika riktad som P Q och RS, men T U är kortare än dessa
och därför inte ekvivalent med dem. V W är parallell med och lika lång som
P Q och RS men motsatt riktad. V W är därför heller inte ekvivalent med
P Q och RS. XY är inte parallell med någon av de övriga riktade sträckorna.
Av sträckorna i figuren är det bara P Q och RS som är ekvivalenta.
För att beskriva en rätlinjig förflyttning kan man ange hur långt man skall
förflytta sig och i vilken riktning förflyttningen skall ske. Man kan till exempel
säga: ”Gå 2 kilometer i nordöstlig riktning.” Antag att punkten Q ligger
2 kilometer nordöst om P . Börjar vi den angivna förflyttningen i punkten P ,
kommer vi att hamna i Q. Börjar vi i stället i R, kommer vi att hamna
i S. Vi förstår av detta, att begynnelsepunkten och ändpunkten inte har
någonting med själva förflyttningen att göra. Förflyttningen från P till Q är
exakt samma förflyttning som den från R till S. Vi skall ta fasta på detta i
den formella definitionen av vektorbegreppet.
KAPITEL 1. VEKTORER
6
Definition 1 En vektor är mängden av alla riktade sträckor, som är ekvivalenta med en given riktad sträcka. Den vektor, som består av alla riktade
−−→
sträckor, som är ekvivalenta med den riktade sträckan P Q, betecknas P Q.
Vi säger, att en riktad sträcka, som tillhör en vektor, är en representant för
denna vektor.
−−→ −→
Av definitionen följer det, att P Q = RS, om och endast om P Q och RS
är ekvivalenta riktade sträckor. Med beteckningar som i figur 1.1 kan vi nu
−−→
använda vektorn P Q för att beskriva den ovan angivna förflyttningen, som
skulle ta oss från P till Q, men samma förflyttning skulle också ta oss från
−−→ −→
R till S, vilket avspeglas i att P Q = RS. De riktade sträckorna P Q och RS
−−→
är två olika representanter för samma vektor P Q.
1.2
Operationer på vektorer
Vi skall här bland annat definiera addition av två vektorer och multiplikation
av en vektor med ett reellt tal. Vi börjar med att notera, att om u är en
−−→
vektor, och P är en punkt, så finns det en punkt Q, sådan att u = P Q. Vi
kan nämligen ta en godtycklig representant RS för u och parallellförflytta
denna riktade sträcka så, att den börjar i punkten P .
S
Q
−→
u = RS
PQ
R
P
Figur 1.2: Parallellförflyttning
Definition 2 Låt P Q vara en representant för u, och välj en representant
−→
QR för v. Vi definierar summan av u och v genom u + v = P R.
R
u+v
v
P
u
Q
Figur 1.3: Vektoraddition
Av figurerna 1.4 och 1.5 framgår det, att
u+v=v+u
och
(u + v) + w = u + (v + w)
1.2. OPERATIONER PÅ VEKTORER
7
för alla vektorer u, v och w. Den första räkneregeln kallas kommutativa lagen
för vektoraddition, och den andra kallas associativa lagen för vektoraddition.
−−→ −−
→ −→
Vi har också, att P Q + QR = P R för alla punkter P , Q och R.
u
v
v+u
u+v
v
u
Figur 1.4: Kommutativa lagen
(u + v) + w = u + (v + w)
u
u+v
v+w
w
v
Figur 1.5: Associativa lagen
Definition 3 Med nollvektorn 0 menar vi den vektor, som innehåller alla
−−→
−−
→
riktade sträckor av formen P P . Om u = P Q, så definierar vi −u = QP .
Slutligen definierar vi u − v = u + (−v).
Det följer av vektoradditionens definition och den associativa och den kommutativa lagen, att
u + 0 = u,
u + (−u) = 0 och u + (v − u) = v
−
−→
−−→ −−
→ −→
för alla vektorer u och v. Det gäller också, att 0 = P P och P Q = RQ − RP
för alla punkter P , Q och R.
−−
→
Definition 4 Låt s vara ett reellt tal och u = P Q en vektor. Om s = 0
eller u = 0, sätter vi su = 0. Om s > 0 och u 6= 0, väljer vi punkten R så,
att P R är parallell med, lika riktad som, och s gånger så lång som P Q och
−→
sätter su = P R. Om s < 0 och u 6= 0, sätter vi su = −((−s)u).
I vektoralgebran kallar man ofta reella tal för skalärer. Detta beror på att
man kan införa andra typer av vektorer, och att man då ofta tillåts multiplicera med andra objekt än reella tal. Multiplikation med skalär illustreras i
figur 1.6. Vi uppritandet har värdena s = 2 och s = −2 använts i det positiva
respektive det negativa fallet. Detta avspeglas i att su är dubbelt så lång
som u i båda fallen.
KAPITEL 1. VEKTORER
8
u
su då s > 0
su då s < 0
Figur 1.6: Multiplikation med skalär
Trianglarna i figur 1.7 är likformiga. Detta visar den distributiva lagen
s(u + v) = su + sv.
su + sv
u+v
sv
v
su
u
Figur 1.7: En distributiv lag
Vi sammanställer räknereglerna för vektorer i en sats. Förutom de hittills
redovisade lagarna förekommer några tämligen enkla regler.
Sats 1 Följande räkneregler gäller för räkning med vektorer.
u+v =v+u
kommutativa lagen
u + (v + w) = (u + v) + w
associativa lagen
u+0=u
existens av ett neutralt element
u + (−u) = 0
existens av additiva inverser
s(tu) = (st)u
associativa lagen för multiplikation
(s + t)u = su + tu
en distributiv lag
s(u + v) = su + sv
en distributiv lag
På grund av de associativa lagarna kan man tillåta sig, att skriva u + v + w
och stu utan parenteser.
Exempel 1 I figur 1.8 demonstrerar vi, hur man kan rita upp vektorerna
3u + 2v och 3v − 2u, när vektorerna u och v är kända.
Exempel 2 Låt O, P och Q vara tre punkter, och låt M vara mittpunkten
−−→ −−→
−−→
på sträckan P Q. Då gäller det, att OM = 12 (OP + OQ). Det gäller nämligen,
−−→
−−→
att P M = 12 P Q, eftersom M är mittpunkt på P Q. Vi får, att
−−→
−−→
−−→ −−→ −−→ −−→ 1 −−→ 1 −−→ 1 −−→ −−→
OM = OP + P M = OP + 2 P Q = 2 OP + 2 (OP + P Q) = 21 OP + 21 OQ.
1.2. OPERATIONER PÅ VEKTORER
9
Av formeln, som kallas mittpunktsformeln, följer det, att diagonalerna i en
parallellogram skär varandra mitt itu. Se figur 1.9.
v
3v − 2u
3u + 2v
u
Figur 1.8: Illustration till exempel 1
−−→ −−→
OP + OQ
Q
−−→
OQ
M
O
−−→
OP
P
Figur 1.9: Mittpunktsformeln
Exempel 3 Låt P , Q och R vara hörnen i en triangel och O en godtycklig
−−→ −−→ −
−→
−→
punkt i rummet. Bestäm punkten T så, att OT = 31 (OP + OQ + OR). Om
A, B och C är mittpunkterna på triangelsidorna enligt figur 1.10, så utgörs
triangelns medianer av sträckorna P A, QB och RC. Enligt exempel 2 är
−→ 1 −−→ −→
−→ −→ −−→
P A = 2 (P Q + P R). Det gäller, att P T = OT − OP . Se kommentaren efter
definition 3. Vi får därför enligt definitionen av T , att
−→ 1 −−→ −−→ −−
→
−−
→
−−→ −−→ −−→ −−→ −→
−−→
P T = 3 (OP + OQ + OR) − OP = 31 (OP + OP + P Q + OP + P R) − OP
−→
−−→ −→
= 13 (P Q + P R) = 32 P A.
Sträckorna P T och P A är därför parallella och lika riktade, och eftersom de
utgår från samma punkt, och P T är kortare än P A, så ligger punkten T på
medianen P A. Symmetri ger, att T ligger på alla tre medianerna, som därför
skär varandra i punkten T . Det framgår vidare, att punkten T delar varje
median i förhållandet 2 : 1 räknat från hörnpunkten. Punkten T kallas för
triangelns tyngdpunkt.
Exempel 4 Betrakta en tetraeder P QRS, och låt O vara en godtycklig
−−
→ −−→ −
−
→ −→
−→
punkt i rummet. Antag nu, att OT = 14 (OP + OQ + OR + OS). Med en
median till en tetraeder avses en sträcka från ett hörn till motstående sidas
tyngdpunkt. Figur 1.11 föreställer en tetraeder och dess fyra medianer. Låt A
KAPITEL 1. VEKTORER
10
vara tyngdpunkten i sidan, som står mot punkten P . Enligt exempel 3 är
−→ 1 −−→ −→ −→
P A = 3 (P Q + P R + P S). Det gäller därför, att
−−→ −−→ −
−→ −→
−−→
−→ −→ −−
→
P T = OT − OP = 14 (OP + OQ + OR + OS) − OP
−−→ −−→ −−→ −−→ −→ −−→ −→
−−
→
= 41 (OP + OP + P Q + OP + P R + OP + P S) − OP
−→
−−→ −→ −→
= 41 (P Q + P R + P S) = 34 P A.
Detta visar, att T ligger på medianen P A. På grund av symmetri ligger T
på alla fyra medianerna. Medianerna skär därför varandra i punkten T , som
kallas för tetraederns tyngdpunkt. Vi noterar, att T delar varje median i
förhållandet 3 : 1 räknat från hörnpunkten.
R
O
B
A
T
P
C
Q
Figur 1.10: Tyngdpunkten i en triangel
S
B
C
P
T
A
R
D
Q
Figur 1.11: Tyngdpunkten i en tetraeder
1.3
Baser
Vi säger, att en vektor är parallell med en linje eller ett plan, om vektorn
har en representant, som ligger på linjen respektive i planet. Ofta uttrycker
vi detta genom att säga, att vektorn ligger på linjen respektive i planet, även
om detta språkbruk inte är helt korrekt. En vektor ligger ju ingenstans. Två
vektorer u och v säges vara parallella, om de har parallella representanter. Vi
betraktar i detta sammanhang nollvektorn 0 som parallell med varje vektor.
Man inser, att om u och v är parallella, och v 6= 0, så finns det ett tal s,
sådant att u = sv.
1.3. BASER
11
Definition 5 Vi säger, att en vektor e1 utgör en bas för linjen ℓ, om e1
är parallell med ℓ, och e1 6= 0. Två vektorer e1 och e2 säges utgöra en
bas för planet π, om de är parallella med π men sinsemellan icke-parallella.
Slutligen säges tre vektorer e1 , e2 och e3 utgöra en bas för rummet, om de
inte är parallella med ett och samma plan.
Om e1 är en bas för linjen ℓ, och u är en godtycklig vektor, som är parallell
med ℓ, så finns det ett entydigt bestämt tal x1 , sådant att u = x1 e1 . Om
u 6= 0 och pekar i samma riktning som e1 , så är x1 > 0. Om u = 0, så är
x1 = 0. Om u 6= 0 och pekar i motsatt riktning mot e1 , så är x1 < 0. Vi
kallar x1 för koordinaten för u med avseende på basen e1 . Se figur 1.12a.
ℓ2
ℓ
u′′ u
u
e1
(a) Linjen ℓ
e2
ℓ
u′
e1
u′′
e3 e2
ℓ1
(b) Planet π
π
u
u′
e1
π
(c) Rummet
Figur 1.12: Baser
Låt nu e1 ,e2 vara en bas för ett plan π och u en vektor, som är parallell
med π. Vi avsätter en representant för u i planet och ritar sedan linjerna ℓ1
och ℓ2 genom representantens fotpunkt så, att ℓ1 är parallell med e1 , och ℓ2 är
parallell med e2 . Av figur 1.12b framgår det, att det finns entydigt bestämda
vektorer u′ och u′′ , sådana att u′ är parallell med ℓ1 , u′′ är parallell med ℓ2 ,
och u = u′ + u′′ . Eftersom e1 är en bas för ℓ1 , och e2 är en bas för ℓ2 ,
så finns det entydigt bestämda tal x1 och x2 , sådana att u′ = x1 e1 , och
u′′ = x2 e2 . Det följer, att det finns entydigt bestämda tal x1 och x2 , sådana
att u = x1 e1 + x2 e2 . Vi säger, att vektorn u har koordinaterna (x1 , x2 ) med
avseende på basen e1 ,e2 .
Låt slutligen e1 ,e2 ,e3 vara en bas för rummet. Vektorerna e1 och e2 är
inte parallella. Vi kan därför välja ett plan π, för vilket de utgör en bas. Avsätt
en representant för u med fotpunkten i π, och drag en linje ℓ, som går genom
ändpunkten och är parallell med e3 . Som framgår av figur 1.12c, finns det
nu entydigt bestämda vektorer u′ och u′′ , sådana att u′ är parallell med π,
u′′ är parallell med ℓ, och u = u′ + u′′ . Då e1 ,e2 är en bas för π, och e3 är
en bas för ℓ, vet vi sedan tidigare, att det finns entydigt bestämda tal x1 , x2
och x3 , sådana att u′ = x1 e1 + x2 e2 , och u′′ = x3 e3 . Det följer, att det finns
entydigt bestämda tal x1 , x2 och x3 , sådana att u = x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 . Vi
säger, att u har koordinaterna (x1 , x2 , x3 ) med avseende på basen e1 ,e2 ,e3 .
Vektorn u′ i figur 1.12b kallas för projektionen av vektorn u på linjen ℓ1
längs linjen ℓ2 . Eftersom definitionen är allmän, följer det, att u′′ är projektionen av vektorn u på linjen ℓ2 längs linjen ℓ1 . I figur 1.12c kallar vi u′
KAPITEL 1. VEKTORER
12
för projektionen av u på π längs ℓ, och u′′ kallas för projektionen av u på ℓ
längs π.
För att undgå överlappande vektorer i illustrationerna i figur 1.12 har
vi avsatt basvektorerna från en punkt och vektorn u från en annan punkt.
Vanligen avsätter man vektorerna från samma punkt som i figur 1.8, där
vi kan tänka på u och v som basvektorer. De övriga två vektorerna i den
figuren har då koordinaterna (−2, 3) och (3, 2).
−−→
−−→
Exempel 5 Vektorerna e1 = OP och e2 = OQ i figur 1.9 utgör en bas för
−−→
det plan, i vilket triangeln OP Q ligger. Eftersom OM = 21 e1 + 12 e2 , så har
−−→
vektorn OM koordinaterna ( 21 , 12 ) med avseende på basen e1 ,e2 . Det gäller
−−→
−−→ −−→
−−→
också, att P Q = OQ − OP = e2 − e1 = (−1)e1 + 1e2 . Vektorn P Q har
därför koordinaterna (−1, 1) med avseende på samma bas.
−−
→
−→
Exempel 6 Vektorerna e1 = P Q och e2 = P R i figur 1.10 utgör en bas för
det plan, som innehåller triangeln P QR. Eftersom
−→
−−→
−→
−→ 1 −
P T = 3 P P + 13 P Q + 31 P R = 31 0 + 13 e1 + 31 e2 = 31 e1 + 31 e2 ,
−→
har vektorn P T koordinaterna ( 13 , 13 ) med avseende på basen e1 ,e2 . En annan
−−→
−
−→
bas för samma plan utgörs av f1 = P C och f2 = QR. Det gäller, att
−→
−−→ −
−→
−→ −−→ −→
P T = P C + CT = f1 + 31 CR = f1 + 13 (CQ + QR)
= f1 + 13 (f1 + f2 ) = 43 f1 + 13 f2 .
−−→ −−→
Vi använde här, att P C = CQ, och att T delar CR i förhållandet 1 : 2. Med
−→
avseende på basen f1 ,f2 har alltså P T koordinaterna ( 34 , 13 ).
Som framgår av exempel 6, kan samma vektor få olika koordinater med
avseende på olika baser. När det inte råder någon tvekan, om vilken bas
e1 ,e2 ,e3 som avses, tillåter man sig ofta att skriva
(x1 , x2 , x3 ) = x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 .
Av räknereglerna för vektorer följer det, att
(x1 , x2 , x3 ) + (y1 , y2 , y3 ) = x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 + y1 e1 + y2 e2 + y3 e3
= (x1 + y1 )e1 + (x2 + y2 )e2 + (x3 + y3 )e3
= (x1 + y1 , x2 + y2 , x3 + y3 ),
s(x1 , x2 , x3 ) = s(x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 ) = sx1 e1 + sx2 e2 + sx3 e3
= (sx1 , sx2 , sx3 ).
Om u = (x1 , x2 , x3 ), så ges projektionerna i figur 1.12c av u′ = (x1 , x2 , 0)
och u′′ = (0, 0, x3 ). Det följer, att
(su)′ = su′ ,
(su)′′ = su′′ ,
(u+v)′ = u′ +v′ ,
(u+v)′′ = u′′ +v′′ . (1.1)
1.4. LINEÄRT BEROENDE
13
Motsvarande kan också sägas i det tvådimensionella fallet, om koordinattripplerna byts ut mot koordinatpar.
1.4
Lineärt beroende
Man har ofta behov av att kunna avgöra, huruvida en uppsättning vektorer
utgör en bas. Följande definition har därvid visat sig vara användbar.
Definition 6 Vektorerna u1 , u2 , . . . , uk säges vara lineärt beroende, om det
finns tal s1 , s2 , . . . , sk , av vilka minst ett är skilt från noll, sådana att
s1 u1 + s2 u2 + · · · + sk uk = 0.
(1.2)
Om vektorerna inte är lineärt beroende, säges de vara lineärt oberoende.
Definitionen innebär, att vektorerna u1 , u2 , . . . , uk är lineärt oberoende,
om och endast om den enda lösningen till ekvation (1.2) är den triviala
lösningen s1 = s2 = · · · = sk = 0. En enda vektor u är lineärt beroende, om
och endast om det finns ett tal s 6= 0, sådant att su = 0. Detta kan bara
inträffa, då u = 0.
Exempel 7 Vi vill avgöra, om vektorerna u1 = (1, 2, 2), u2 = (1, 3, 4) och
u3 = (2, 3, 1) är lineärt beroende. Koordinaterna är givna med avseende på
någon bas e1 ,e2 ,e3 , likgiltigt vilken. Vänsterledet i ekvation (1.2) kan skrivas
(s1 + s2 + 2s3 , 2s1 + 3s2 + 3s3 , 2s1 + 4s2 + s3 ), och högerledet är lika med
(0, 0, 0). Ekvationen är därför ekvivalent med
(s1 + s2 + 2s3 , 2s1 + 3s2 + 3s3 , 2s1 + 4s2 + s3 ) = (0, 0, 0).
Detta betyder, att

 s1 + s2 + 2s3 = 0
2s + 3s2 + 3s3 = 0
 1
2s1 + 4s2 + s3 = 0.
Löser man detta ekvationssystem, visar det sig, att den enda lösningen är
den, som ges av s1 = s2 = s3 = 0. Vektorerna är därför lineärt oberoende.
Notera, att vektorernas koordinater återfinns som kolonner i ekvationssystemet. Vi har alltså ställt dem på högkant. Med den kunskapen kan vi
korta ner lösningen i nästa exempel något.
Exempel 8 Vi vill undersöka, om vektorerna u1 = (1, 2, 2), u2 = (1, 3, 4)
och u3 = (2, 3, 2) är lineärt beroende. Vi får nu ekvationssystemet

 s1 + s2 + 2s3 = 0
2s + 3s2 + 3s3 = 0
 1
2s1 + 4s2 + 2s3 = 0,
KAPITEL 1. VEKTORER
14
som har lösningen (s1 , s2 , s3 ) = t(3, −1, −1), där t ∈ R. Denna gång är
vektorerna lineärt beroende.
Om u1 , u2 , . . . , uk är vektorer, så kallar vi s1 u1 + s2 u2 + · · · + sk uk för
en lineärkombination av dessa.
Sats 2 Vektorerna u1 , u2 , . . . , uk , där k ≥ 2, är lineärt oberoende, om och
endast om någon av dem är en lineärkombination av de övriga.
Bevis. Om vektorerna är lineärt beroende, så finns det tal s1 , s2 , . . . , sk ,
sådana att si 6= 0 för något i, och
s1 u1 + s2 u2 + · · · + si−1 ui−1 + si ui + si+1 ui+1 + · · · + sk uk = 0.
Dividerar vi båda led med si och flyttar över, ger detta, att
ui =
−s1
s i u1
+
−s2
s i u2
+ ··· +
−si−1
si si−1 ui−1
+
−si+1
si ui+1
+ ··· +
−sk
si uk
är en lineärkombination av de övriga vektorerna.
För att visa omvändningen antar vi, att
ui = s1 u1 + s2 u2 + · · · + si−1 ui−1 + si+1 ui+1 + · · · + sk uk
är en lineärkombination av de övriga vektorerna. Överflyttning ger nu, att
s1 u1 + s2 u2 + · · · + si−1 ui−1 + (−1)ui + si+1 ui+1 + · · · + sk uk = 0,
och eftersom koefficienten för ui är skild från noll, så är vektorerna lineärt
beroende.
Att en vektor är lineärt beroende betyder, som vi konstaterade ovan,
att den är nollvektorn. Att två vektorer är lineärt beroende betyder, enligt
sats 2, att en av dem är en multipel av den andra, vilket innebär att de är
parallella. Att tre vektorer är lineärt beroende betyder, att en av dem är en
lineärkombination av de övriga två. Innebörden av detta är, att denna vektor
ligger i samma plan som de övriga två vektorerna.
Sammanfattningsvis följer det av detta, att en, två eller tre vektorer är
lineärt oberoende, om och endast om den eller de utgör en bas för linjen,
planet respektive rummet.
Fyra eller fler vektorer är alltid lineärt beroende. Antingen är de tre
första lineärt beroende, och då är hela uppsättningen lineärt beroende, eller
så utgör de tre första en bas för rummet, och då är den fjärde en lineärkombination av dessa tre.
De tre vektorerna i exempel 7 utgör alltså en bas för rummet, medan
vektorerna i exempel 8 är parallella med ett och samma plan.
1.5. KOORDINATSYSTEM
15
Exempel 9 Låt u1 ,u2 ,u3 vara basen i exempel 7, och antag, att u har
koordinaterna (1, 2, 3) med avseende på basen e1 ,e2 ,e3 i samma exempel. Vi
önskar här bestämma koordinaterna (x1 , x2 , x3 ) för vektorn u med avseende
på basen u1 ,u2 ,u3 . Vi skriver u1 = (1, 2, 2), u2 = (1, 3, 4), u3 = (2, 3, 1) och
u = (1, 2, 3) och noterar att dessa koordinater avser basen e1 ,e2 ,e3 . Vi skall
lösa ekvationen x1 u1 + x2 u2 + x3 u3 = u, som är ekvivalent med systemet

 x1 + x2 + 2x3 = 1
2x + 3x2 + 3x3 = 2
 1
2x1 + 4x2 + x3 = 3.
Lösningen ges av x1 = 4, x2 = −1, x3 = −1. Vektorn u, som med avseende
på basen e1 ,e2 ,e3 hade koordinaterna (1, 2, 3), har alltså med avseende på
basen u1 ,u2 ,u3 koordinaterna (4, −1, −1).
1.5
Koordinatsystem
Vi skall nu ta hjälp av vektorer för att beskriva positionen av en punkt P .
Enbart vektorer räcker inte. Vi kan ange förflyttningar med hjälp av vektorer,
men att säga ”gå 2 kilometer i nordöstlig riktning” hjälper oss föga. Var vi
hamnar då beror ju på var färden börjar. Vi behöver en startpunkt O, som
vi kallar origo. Med ett koordinatsystem för linjen, planet eller rummet skall
vi mena en punkt O tillsammans med en bas e1 för linjen, en bas e1 ,e2
för planet och en bas e1 ,e2 ,e3 för rummet. Vi betecknar koordinatsystemet
med Oe1 , Oe1 e2 respektive Oe1 e2 e3 . Om P är en punkt, kallar vi vektorn
−−→
OP för ortsvektorn till punkten P . Med koordinaterna för P med avseende
−−→
på koordinatsystemet skall vi mena koordinaterna för OP med avseende på
basen.
P
e2
O
3e1 + 2e2
e1
Figur 1.13: Koordinatsystemet Oe1 e2 för ett plan
−−→
I koordinatsystemet Oe1 e2 i figur 1.13 är OP ortsvektorn för punkten P .
−−→
Eftersom vektorn OP = 3e1 + 2e2 har koordinaterna (3, 2) med avseende på
basen e1 ,e2 , har punkten P koordinaterna (3, 2) med avseende på koordinatsystemet Oe1 e2 .
Väljer vi ett annat origo men behåller basen, så får P en annan ortsvektor
och därmed andra koordinater med avseende på det nya koordinatsystemet.
Behåller vi origo men byter bas, så har visserligen P samma ortsvektor som
tidigare, men det är mycket möjligt, att denna får andra koordinater med
KAPITEL 1. VEKTORER
16
avseende på den nya basen, vilket skulle resultera i att P får andra koordinater med avseende på det nya koordinatsystemet. Man kan naturligtvis också
byta både bas och origo, och även då får P vanligen andra koordinater.
Vi noterar här också, att om punkterna P och Q har koordinaterna
(x1 , x2 , x3 ) och (y1 , y2 , y3 ) med avseende på ett koordinatsystem Oe1 e2 e3 ,
−−→
−−→
så har ortsvektorerna OP och OQ koordinaterna (x1 , x2 , x3 ) och (y1 , y2 , y3 )
−−→ −−→ −−→
med avseende på basen e1 ,e2 ,e3 . Detta leder till att vektorn P Q = OQ− OP
har koordinaterna (y1 , y2 , y3 ) − (x1 , x2 , x3 ) = (y1 − x1 , y2 − x2 , y3 − x3 ) med
avseende på basen e1 ,e2 ,e3 .
Om punkten P har koordinaterna (x1 , x2 , x3 ), och ingen tvekan råder,
vilket koordinatsystem som avses, så skriver vi ofta P = (x1 , x2 , x3 ).
1.6
Ekvationer för linjer och plan
När man har ett koordinatsystem Oe1 e2 e3 för rummet och en linje eller ett
plan i rummet, vill man ofta kunna avgöra, om en punkt ligger på linjen eller
i planet på grundval av punktens koordinater med avseende på koordinatsystemet. Ekvationer för linjer och plan skall satisfieras av koordinaterna
för de punkter, som ligger på linjen eller i planet, men inte av koordinaterna för andra punkter. Det är sådana ekvationer, som vi skall studera i
detta avsnitt. Vi förutsätter i härledningarna av ekvationerna, att ett koordinatsystem Oe1 e2 e3 är givet för rummet, men vi ritar inte ut origo eller
basvektorerna i de figurer, som förekommer.
ℓ
u
P
Q
Figur 1.14: Ekvationen för en linje
Vi börjar med ekvationer för linjer. Låt ℓ vara en linje i rummet, och välj
en fix punkt Q på ℓ och en basvektor u för ℓ. En sådan vektor kallas ofta
för en riktningsvektor för linjen. Det gäller alltså, att u 6= 0, och att u är
parallell med ℓ. Vi antar, att Q har koordinaterna (x0 , y0 , z0 ) med avseende
på koordinatsystemet Oe1 e2 e3 , och att vektorn u har koordinaterna (a, b, c)
med avseende på basen e1 ,e2 ,e3 . Vi skriver detta, nu och i fortsättningen,
som Q = (x0 , y0 , z0 ) och u = (a, b, c). Låt P = (x, y, z) vara en godtycklig
−−→
punkt i rummet. Det gäller då, att P ligger på ℓ, om och endast om QP
är parallell med u. Detta är i sin tur ekvivalent med att det finns ett tal t,
−−→
sådant att QP = tu. Med de givna koordinaterna kan detta skrivas
(x − x0 , y − y0 , z − z0 ) = t(a, b, c),
1.6. EKVATIONER FÖR LINJER OCH PLAN
som är ekvivalent med

 x = x0 + at
y = y0 + bt

z = z0 + ct.
17
(1.3)
Vi säger, att (1.3) är en ekvation på parameterform för ℓ. Innebörden är, att
en punkt med koordinaterna (x, y, z) ligger på ℓ, om och endast om det finns
ett tal t, sådant att (1.3) gäller. En mindre vidlyftig variant av ekvationen
är (x, y, z) = (x0 , y0 , z0 ) + t(a, b, c).
Omvänt är det klart, att en ekvation av formen (1.3), i vilken minst en
av a, b och c är skild från noll, är ekvationen för en linje genom (x0 , y0 , z0 )
parallell med (a, b, c).
Exempel 10 Linjen ℓ går genom punkten Q = (1, 2, 1) och har riktningsvektorn u = (4, −1, 5). Vi kan direkt skriva upp en ekvation på parameterform för ℓ, nämligen

 x = 1 + 4t
y=2− t

z = 1 + 5t.
Exempel 11 En linje går genom punkterna Q1 = (1, 1, 1) och Q2 = (1, 3, 5).
−−−→
En riktningsvektor för linjen är Q1 Q2 = (1, 3, 5) − (1, 1, 1) = (0, 2, 4). Vi
väljer dock den kortare vektorn u = 12 (0, 2, 4) = (0, 1, 2) som riktningsvektor
i stället. Som fix punkt på linjen kan vi välja Q1 eller Q2 eller vilken annan
punkt som helst på linjen. Vi väljer Q1 och får ekvationen

x = 1
y=1+ t

z = 1 + 2t.
Exempel 12 I detta exempel vill vi avgöra, huruvida punkten (3, 2, 2) ligger
på linjen (x, y, z) = (1, 0, 3) + t(1, 1, 2). Frågan är, om det finns ett tal t,
sådant att 3 = 1 + t, 2 = 0 + t och 2 = 3 + 2t. Enligt de båda första
ekvationerna är t = 2. Detta ger en motsägelse i den tredje ekvationen.
Punkten ligger alltså inte på linjen.
Exempel 13 Vi vill undersöka, om de båda linjerna


x = 1 + t
 x = 3 + 2t
ℓ1 :
y=2+ t
och
ℓ2 :
y= 8+ t


z = 3 − 2t
z = −5 − 3t
skär varandra, och i så fall finna skärningspunkten.
Att en punkt (x, y, z) ligger på båda linjerna betyder, att det finns ett t,
sådant att den första ekvationen är uppfylld, och ett t, sådant att den andra
ekvationen är uppfylld. Det finns ingenting som säger, att det måste vara
KAPITEL 1. VEKTORER
18
samma t. Att linjerna skär varandra i (x, y, z), är ekvivalent med att det
finns t1 och t2 , sådana att
(x, y, z) = (1, 2, 3) + t1 (1, 1, −2) = (3, 8, −5) + t2 (2, 1, −3).
Vi löser ekvationen (1, 2, 3) + t1 (1, 1, −2) = (3, 8, −5) + t2 (2, 1, −3), som kan
skrivas

 1 + t1 = 3 + 2t2
2 + t1 = 8 + t2

3 − 2t1 = −5 − 3t2 .
Vi skriver om detta ekvationssystem så, att vi får de obekanta i vänsterledet
och konstanterna i högerledet.


t1 − 2t2 = 2
t1 − t2 = 6

−2t1 + 3t2 = −8
⇔

 t1 − 2t2 = 2
t2 = 4

−t2 = −4
⇔

 t1 − 2t2 = 2
t2 = 4

0 = 0.
Systemet har lösningen t1 = 10, t2 = 4, vilket visar att linjerna skär varandra.
För att få skärningspunktens koordinater, kan vi sätta in t1 = 10 i ekvationen
för ℓ1 eller t2 = 4 i ekvationen för ℓ2 . Som en extra kontrollåtgärd kan
man sätta in i båda ekvationerna för att avslöja eventuella felräkningar.
Skärningspunkten blir (x, y, z) = (11, 12, −17).
Hade ekvationssystemet i exempel 13 saknat lösningar, hade linjerna saknat skärningspunkter. Hade systemet haft oändligt många lösningar, hade
linjerna sammanfallit.
Studerar man linjer, som ligger i ett fixt plan π, kan man naturligtvis
införa ett koordinatsystem Oe1 e2 för π. Om en linje ℓ i π går genom (x0 , y0 )
och har riktningsvektor (a, b), så har ℓ en ekvation
x = x0 + at
y = y0 + bt.
Här är inte både a och b noll. Om till exempel a 6= 0, får man ett ekvivalent
system, om man subtraherar b gånger den första ekvationen från a gånger den
andra. Man ser därefter, att ekvationen för ℓ kan skrivas ay − bx = ay0 − bx0 .
Om a = 0, får man direkt samma resultat. En linje i π har med andra ord
en ekvation av formen Ax + By = C. Det gäller inte, att linjer i rummet har
ekvationer av formen Ax + By + Cz = D. Detta kommer att uppenbaras för
oss inom kort.
Vi studerar nu ekvationer för plan. Låt Q = (x0 , y0 , z0 ) vara en fix punkt
i planet π, och låt u1 = (a1 , b1 , c1 ) och u2 = (a2 , b2 , c2 ) vara två basvektorer
−−→
för π. Punkten P = (x, y, z) ligger då i π, om och endast om QP är en
lineärkombination av u1 och u2 . Detta betyder, att det finns tal t1 och t2 ,
1.6. EKVATIONER FÖR LINJER OCH PLAN
19
P
u2
Q
u1
π
Figur 1.15: Ekvationen för ett plan
−−→
sådana att QP = t1 u1 + t2 u2 . Uttryckt med hjälp av koordinaterna kan
detta samband skrivas

 x = x 0 + a1 t 1 + a2 t 2
y = y 0 + b1 t 1 + b2 t 2
(1.4)

z = z0 + c1 t1 + c2 t2 .
Vi säger, att ekvation (1.4) är en ekvation på parameterform för planet π.
Exempel 14 Vi bestämmer ekvationen för planet, som går genom punkterna (1, 2, 3), (2, 3, 2) och (4, 7, 6). Som basvektorer för planet kan vi välja
u1 = (2, 3, 2) − (1, 2, 3) = (1, 1, −1) och u2 = (4, 7, 6) − (1, 2, 3) = (3, 5, 3).
En ekvation för planet är följaktligen

 x = 1 + t1 + 3t2
y = 2 + t1 + 5t2

z = 3 − t1 + 3t2 .
Exempel 15 Ett plan går genom punkterna Q1 = (3, 2, 1) och Q2 = (6, 1, 3)
och är parallellt med linjen (x, y, z) = (11, 4, 12)+t(1, 2, 5). Linjens riktningsvektor u1 = (1, 2, 5) är parallell med planet. En annan vektor, som är paral−−−→
lell med planet, är u2 = Q1 Q2 = (3, −1, 2). Det båda vektorerna är lineärt
oberoende och utgör en bas för planet, som därför har ekvationen

 x = 3 + t1 + 3t2
y = 2 + 2t1 − t2

z = 1 + 5t1 + 2t2 .
Innebörden av ekvation (1.4) är, att en punkt (x, y, z) ligger i planet π,
om och endast om systemet

 a1 t 1 + a2 t 2 = x − x 0
b t + b2 t 2 = y − y 0
(1.5)
 1 1
c1 t1 + c2 t2 = z − z0
har en lösning (t1 , t2 ). Eftersom vektorerna (a1 , b1 , c1 ) och (a2 , b2 , c2 ) är lineärt oberoende, så har motsvarande homogena system den entydiga lösningen t1 = t2 = 0. Det betyder, att systemet med hjälp av elimination kan
KAPITEL 1. VEKTORER
20
överföras på ett system av formen

 t1 + dt2 = h1
t2 = h2

0 = Ax + By + Cz − D.
Ekvationssystemet (1.5) har därför en lösning, det vill säga (x, y, z) ligger
i π, om och endast om Ax + By + Cz = D. Vi säger, att detta är en ekvation
på normalform för π.
Exempel 16 Vi bestämmer en ekvation på normalform för planet i exempel 14. Vi börjar med att skriva om ekvationssystemet så, att vi får de
obekanta i vänsterledet, och därefter eliminerar vi som vanligt.


 t1 + 3t2 = x − 1
 t1 + 3t2 = x − 1
t1 + 5t2 = y − 2
⇔
2t2 = −x + y − 1


−t1 + 3t2 = z − 3
6t2 = x + z − 4

 t1 + 3t2 = x − 1
⇔
2t2 = −x + y − 1

0 = 4x − 3y + z − 1.
Ekvationssystemet är lösbart, om och endast om 4x − 3y + z = 1, vilket är
planets ekvation på normalform.
Omvänt, en ekvation av formen Ax + By + Cz = D, i vilken minst en av
A, B och C är skild från noll, är ekvationen för ett plan. Om till exempel
A 6= 0, kan man sätta y = t1 och z = t2 och få, att ekvationen är ekvivalent
B
C
med (x, y, z) = ( D
A , 0, 0) + t1 (− A , 1, 0) + t2 (− A , 0, 1), vilket är en ekvation
på parameterform för ett plan.
Exempel 17 Vi söker skärningen mellan planet 4x − 3y + z = 1 och linjen
(x, y, z) = (2, 2, 5) + t(1, 1, 2). Punkten (x, y, z) = (2, 2, 5) + t(1, 1, 2) på
linjen ligger i planet, om och endast om dess koordinater uppfyller planets
ekvation. Det betyder, att
4(2 + t) − 3(2 + t) + 5 + 2t = 1
⇔
3t = −6
⇔
t = −2.
Man får därför skärningspunkten genom att sätta t = −2 i linjens ekvation.
Skärningspunkten blir (2, 2, 5) − 2(1, 1, 2) = (0, 0, 1).
Exempel 18 Skärningen mellan planen x − y + 2z = 1 och 4x − 3y + z = 1
får man genom att lösa ekvationssystemet
x − y + 2z = 1
4x − 3y + z = 1.
Lösningen ges av (x, y, z) = (−2, −3, 0) + t(5, 7, 1). Detta är en ekvation på
parameterform för skärningslinjen.
Kapitel 2
Skalärprodukt
2.1
Definition och räkneregler
Med längden kuk av en vektor u skall vi mena längden av en representant
för u. En vektor e, för vilken kek = 1, kallas en enhetsvektor. Med vinkeln θ
mellan två vektorer skilda från nollvektorn menar vi vinkeln θ mellan en
representant för den ena vektorn och en representant för den andra. Det
gäller, att 0 ≤ θ ≤ π.
Definition 7 Skalärprodukten av två vektorer u och v definieras genom
(
kukkvk cos θ, om u 6= 0 och v 6= 0,
u·v =
0,
annars.
Två vektor u och v säges vara ortogonala, om u · v = 0.
Låt u och v 6= 0 vara vektorer. Med den ortogonala projektionen av u
på v menar vi projektionen u′ av u på linjen ℓ parallell med v längs planet π
vinkelrätt mot ℓ.
u′′
u
θ
e
u′ = (kuk cos θ)e
Figur 2.1: Ortogonal projektion
Antag, att v = e är en enhetsvektor, och låt θ vara vinkeln mellan u
och e. I figur 2.1 är u′ den ortogonala projektionen på e och u′′ den ortogonala projektionen på planet π vinkelrätt mot e. Eftersom kek = 1, är
cirkeln en enhetscirkel. Definitionen av de trigonometriska funktionerna och
KAPITEL 2. SKALÄRPRODUKT
22
likformiga trianglar ger, att u′ = (kuk cos θ)e. Eftersom kek = 1, kan vi
skriva kuk cos θ = kukkek cos θ = u · e och få, att u′ = (u · e)e.
Enhetsvektorer spelar tydligen en viktig roll här. Man har därför ofta
behov av att ersätta en vektor v 6= 0 med en enhetsvektor e, som är parallell
med och lika riktad som v. Man säger, att man normerar v. För vektorn e
1
v, vilket också kan skrivas v = kvke. Eftersom v och e
gäller det, att e = kvk
är parallella och lika riktade, är vinkeln θ mellan en vektor u och v densamma
som vinkeln mellan u och e. Detta ger, att
u · v = kukkvk cos θ = kvkkukkek cos θ = kvk(u · e).
(2.1)
Sats 3 Det gäller för alla tal s och t och alla vektorer u, v och w, att
u · v = v · u,
2
u · u = kuk ,
(su + tv) · w = s(u · w) + t(v · w).
(2.2)
(2.3)
(2.4)
Bevis. Likheten (2.2) följer omedelbart av definitionen av skalärprodukt. Det
gör också (2.3), ty u · u = kukkuk cos 0 = kuk2 . Om w = 0, kan samma sak
sägas om (2.4), eftersom de ingående skalärprodukterna då är noll. Antag
därför, att w 6= 0, och definiera enhetsvektorn e genom w = kwke. Det
följer av (2.1) och (1.1), att
((su + tv) · w)e = kwk((su + tv) · e)e = kwk(su + tv)′
= kwk((su)′ + (tv)′ ) = kwk(su′ + tv′ )
= kwk(s(u · e)e + t(v · e)e) = (s(u · w) + t(v · w))e.
Eftersom e 6= 0, är (su + tv) · w = s(u · w) + t(v · w).
Vi använder omedelbart räknereglerna till att bevisa en välkänd sats.
Sats 4 (Pythagoras sats) Antag, att vektorerna u och v är ortogonala.
Då gäller det, att
ku + vk2 = kuk2 + kvk2 .
Bevis.
ku + vk2 = (u + v) · (u + v) = u · u + 2(u · v) + v · v = kuk2 + kvk2 ,
ty u · v = 0 enligt förutsättningen.
2.2. ORTONORMERADE BASER
2.2
23
Ortonormerade baser
En ortonormerad bas är en bas, i vilken basvektorerna har längden 1 och är
parvis ortogonala. För en bas e1 för en linje innebär detta bara, att ke1 k = 1.
För en bas e1 ,e2 ,e3 för rummet innebär det, att ke1 k = ke2 k = ke3 k = 1,
och e1 · e2 = e1 · e3 = e2 · e3 = 0.
Antag, att u = (x1 , x2 , x3 ) och v = (y1 , y2 , y3 ) med avseende på en
ortonormerad bas e1 ,e2 ,e3 . Räknereglerna i sats 3 ger då, att
u · v = (x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 ) · (y1 e1 + y2 e2 + y3 e3 )
=
x1 y1 (e1 · e1 ) + x1 y2 (e1 · e2 ) + x1 y3 (e1 · e3 )
+ x2 y1 (e2 · e1 ) + x2 y2 (e2 · e2 ) + x2 y3 (e2 · e3 )
+ x3 y1 (e3 · e1 ) + x3 y2 (e3 · e2 ) + x3 y3 (e3 · e3 )
= x1 y 1 + x2 y 2 + x3 y 3 .
Detta ger i synnerhet, att
kuk =
√
u·u =
q
x21 + x22 + x23 .
Motsvarande formler gäller också för ortonormerade baser för planet.
Exempel 19 Antag, att u = (4, 1, 1) och v = (2, 2, −1) med avseende på
en ortonormerad
bas. Vi √
söker vinkeln
θ mellan
att
p vektorerna. Det gäller,
√
√
√
kuk = 42 + 12 + 12 = 18 = 3 2, kvk = 22 + 22 + (−1)2 = 9 = 3,
och u · v = 4 · 2 + 1 · 2 + 1 · (−1) = 9. Det följer av skalärproduktens definition,
att
9
1
u·v
= √
=√ ,
cos θ =
kukkvk
3 2·3
2
varav θ = π4 .
u1 e 2
θ
u2
e1
Figur 2.2: En additionsformel
Exempel 20 Låt e1 ,e2 vara en ortonormerad bas för planet, och definiera
u1 = (cos θ1 )e1 + (sin θ1 )e2 och u2 = (cos θ2 )e1 + (sin θ2 )e2 . Se figur 2.2. Trigonometriska ettan ger då, att ku1 k = ku2 k = 1. Låt θ vara vinkeln mellan
u1 och u2 . Då är θ = ±(θ1 − θ2 )+ 2πn för något heltal n. Använder vi skalärproduktens definition, får vi u1 · u2 = ku1 kku2 k cos θ = cos θ = cos (θ1 − θ2 ).
KAPITEL 2. SKALÄRPRODUKT
24
Användning av räknereglerna ovan ger u1 · u2 = cos θ1 cos θ2 + sin θ1 sin θ2 .
De båda likheterna tillsammans ger den välbekanta additionsformeln
cos (θ1 − θ2 ) = cos θ1 cos θ2 + sin θ1 sin θ2 .
Eftersom rätlinjiga förflyttningar kan beskrivas med hjälp av vektorer,
kan också hastigheter hos sådana förflyttningar beskrivas med hjälp av vektorer. De är ju förflyttningar per tidsenhet. Om vektorn v är en sådan hastighet, så kallar man dess längd v = kvk för farten.
0◦
e1
270◦
e2
180◦
v
90◦
v1
v2
Figur 2.3: Flygplan
Exempel 21 Ett flygplan håller enligt kompassen kursen 30◦ och flyger
med hastigheten 400 km/h relativt den omgivande luften. Samtidigt blåser
det en vind i riktningen 280◦ med hastigheten 100 km/h. Vi vill bestämma
flyplanets fart och kurs i förhållande till marken. Vi inför en ortonormerad
bas e1 ,e2 med e1 i riktningen 0◦ och e2 i riktningen 90◦ . Planets hastighet representeras då av v1 = 400((cos 30◦ )e1 + (sin 30◦ )e2 ) och vindens av
v2 = 100((cos 280◦ )e1 + (sin 280◦ )e2 ). Den resulterande hastigheten blir
v = v1 + v2 = x1 e1 + x2 e2 ,
där x1 = 400 cos 30◦ +p
100 cos 280◦ och x2 = 400 sin 30◦ + 100 sin 280◦ . Flygplanets fart blir v = x21 + x22 ≈ 377,7 km/h, och planets kurs θ ges av
cos θ = xv1 och sin θ = xv2 . Vi får θ = arccos xv1 ≈ 15,6◦ , ty både x1 och x2 är
positiva.
2.3
Ekvationer för plan i ortonormerade system
Ett ortonormerat koordinatsystem är ett koordinatsystem, för vilket basen
är ortonormerad. Vi antar i hela detta avsnitt, att alla koordinater är givna
med avseende på ett ortonormerat koordinatsystem. Med en normalvektor
till ett plan skall vi mena en nollskild vektor, som är ortogonal mot planet.
Låt π vara ett plan, som går genom punkten Q = (x0 , y0 , z0 ) och har
en normalvektor n = (A, B, C). En punkt P = (x, y, z) ligger i π, om och
−−→
endast om vektorn QP = (x − x0 , y − y0 , z − z0 ) är ortogonal mot vektorn n.
Detta betyder, att
−−→
n · QP = A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0.
2.4. AVSTÅND
25
Sätter vi D = Ax0 + By0 + Cz0 , ser vi att planets ekvation kan skrivas
Ax + By + Cz = D.
Omvänt vill vi visa, att en sådan ekvation, i vilken minst en av A, B och C
är skild från noll, är en ekvation för ett plan med normalvektor (A, B, C).
Från kapitel 1 vet vi, att det är en ekvation för ett plan. Låter vi då (x0 , y0 , z0 )
vara en punkt i planet, så gäller det, att Ax0 + By0 + Cz0 = D. Ekvationen
kan därför skrivas A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0. Detta visar, att
(A, B, C) är en normalvektor till planet.
Det kan här vara värt att påpeka, att det bara är om koordinaterna är
givna med avseende på ett ortonormerat koordinatsystem, som vi kan vara
säkra på att (A, B, C) är en normalvektor till planet.
Exempel 22 Planet, som går genom punkten (2, 4, 1) och har normalvektor
(1, 2, 3), har ekvationen 1(x − 2) + 2(y − 4) + 3(z − 1) = 0. Ekvationen kan,
efter förenkling, skrivas x + 2y + 3z = 13.
2.4
Avstånd
Med avståndet från en punkt P = (x, y, z) i rummet till ett plan med ekvationen Ax + By + Cz = D menar vi det kortaste avståndet från P till
någon punkt i planet. Detta är det vinkelräta avståndet. För att bestämma
det, väljer vi en godtycklig punkt Q = (x0 , y0 , z0 ) i planet och bildar vektorn
−−→
u = QP = (x − x0 , y − y0 , z − z0 ). Låt u′ vara den ortogonala projektionen
av u på normalvektorn n = (A, B, C). Det sökta avståndet är då ku′ k.
P
u′
u
n
Q
Figur 2.4: Avståndet till ett plan
1
n, som har samma riktning som n. Det gäller
Vi bildar enhetsvektorn e = knk
′
då, att u = (u · e)e, varför det sökta avståndet är
ku′ k = k(u · e)ek = |u · e| =
|A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C(z − z0 )|
|u · n|
√
=
.
knk
A2 + B 2 + C 2
Q är en punkt i planet. Dess koordinater (x0 , y0 , z0 ) uppfyller därför planets
ekvation. Det ger, att Ax0 + By0 + Cz0 = D, och avståndet d kan skrivas
d=
|Ax + By + Cz − D|
√
.
A2 + B 2 + C 2
Formel (2.5) brukar kallas för avståndsformeln.
(2.5)
KAPITEL 2. SKALÄRPRODUKT
26
Exempel 23 Vi bestämmer avståndet från punkten (4, −4, 1) till planet i
exempel 22. Enligt avståndsformeln är det
√
14
| − 14|
|1 · 4 + 2 · (−4) + 3 · 1 − 13|
√
= √ = 14 .
= √
14
14
12 + 22 + 32
Har man infört ett ortonormerat koordinatsystem i ett plan, så är avståndet från en punkt P = (x, y) i planet till en linje Ax + By = C i planet
lika med
d=
|Ax + By − C|
√
.
A2 + B 2
Detta kan visas på samma sätt.
När det gäller avståndet från en punkt i rummet till en linje i rummet, blir
formeln mer komplicerad och svårare att minnas. Det är nu bättre, att lära
sig metoden i stället. Låt ℓ vara en linje och P en punkt. Man bestämmer den
−−→
punkt Q på ℓ, för vilken vektorn P Q är vinkelrät mot ℓ. Det sökta avståndet
−−→
är då kP Qk. Metoden ger oss också upplysning om vilken punkt på ℓ, som
ligger närmast P . Vi förevisar metoden i ett exempel.
P
u
Q
ℓ
Figur 2.5: Avståndet till en linje
Exempel 24 Låt oss bestämma avståndet från punkten P = (4, 4, −10) till
linjen med ekvationen (x, y, z) = (1, 2, 3) + t(1, 3, −1). En punkt på linjen
har koordinaterna Q = (1, 2, 3) + tu, där u = (1, 3, −1) är en riktningsvektor
−−→
för linjen. Vi bestämmer nu t så, att P Q = (−3, −2, 13) + tu blir vinkelrät
mot u. Detta är ekvivalent med
−−→
0 = P Q · u = (−3, −2, 13) · u + tu · u
= −3 · 1 − 2 · 3 + 13 · (−1) + t(12 + 32 + (−1)2 ) = −22 + 11t.
Lösningen till denna ekvation är t = 2, och för detta värde på parametern t
−−→
blir P Q = (−3, −2, 13) + 2(1, 3, −1) = (−1, 4, 11). Det sökta avståndet är
p
√
−−→
därför kP Qk = (−1)2 + 42 + 112 = 138. Den punkt på linjen, som ligger
närmast P , är Q = (1, 2, 3) + 2(1, 3, −1) = (3, 8, 1).
2.5. VINKLAR
2.5
27
Vinklar
Såvida inte två linjer är vinkelräta, finns det två olika stora vinklar mellan
dem. När vi säger vinkeln mellan två linjer, som inte är vinkelräta, menar vi
den spetsiga vinkeln. För att bestämma vinkeln mellan två linjer bestämmer
man vinkeln θ mellan en riktningsvektor för den ena linjen och en riktningsvektor för den andra. Visar det sig, att θ är spetsig eller rät, är vinkeln mellan
linjerna lika med θ. Annars är den lika med π − θ.
ℓ2
θ
π−θ
ℓ1
Figur 2.6: Vinkeln mellan två linjer
Exempel 25 Vinkeln mellan linjerna ℓ1 : (x, y, z) = (1, 2, 1) + t(1, −2, −1)
och ℓ2 : (x, y, z) = (1, 0, 0) + t(0, 1, 1) söks. Vi bestämmer därför vinkeln θ
mellan linjernas riktningsvektorer u1 = (1, −2, −1) och u2 = (0, 1, 1). Denna
ges av
√
u1 · u2
−3
3
cos θ =
= √ √ =−
,
ku1 kku2 k
2
6 2
vilket ger, att θ =
π − θ = π6 .
5π
6 .
Eftersom θ är trubbig, är den sökta vinkeln lika med
Vinkeln θ mellan två plan är den minsta vinkeln mellan dem. Den är lika
med den spetsiga eller räta vinkeln mellan en linje vinkelrät mot det ena
planet och en linje vinkelrät mot det andra. I figur 2.7 betraktas planen från
sidan så, att de framstår som linjer.
π2
θ
θ
π1
Figur 2.7: Vinkeln mellan två plan
Exempel 26 Vi söker vinkeln mellan de båda planen π1 : x − 2y − z = 2
och π2 : y + z = 1. Normalvektorer till planen är u1 = (1, −2, −1) och
u2 = (0, 1, 1). Dessa är också riktningsvektorer för linjer vinkelräta mot
28
KAPITEL 2. SKALÄRPRODUKT
planen. Vinkeln θ mellan dessa vektorer beräknades i exempel 25, och vi
π
fann, att θ = 5π
6 . Den spetsiga vinkeln mellan linjerna är därför 6 , och detta
är också vinkeln mellan planen.
Vinkeln ϕ mellan en linje ℓ och ett plan π är den minsta vinkeln mellan
dessa. Det gäller, att ϕ = π2 − θ, där θ är vinkeln mellan ℓ och en linje
vinkelrät mot π.
ℓ
θ
ϕ
π
Figur 2.8: Vinkeln mellan en linje och ett plan
Exempel 27 Nu söker vi vinkeln mellan planet π : x − 2y − z = 2 och
linjen ℓ : (x, y, z) = t(0, 1, 1). En normalvektor till π är u = (1, −2, −1), och
en riktningsvektor till ℓ är v = (0, 1, 1). Vi fann i exempel 25, att vinkeln
mellan dessa vektorer är 5π
6 . Den spetsiga vinkeln θ är därför, som tidigare,
π
lika med θ = 6 , och den sökta vinkeln är ϕ = π2 − θ = π3 .
Övningsuppgifter
Övningsuppgifter till kapitel 1
1.1. Rita ut vektorerna −u, −3v, u − v, u − 3v, u + 2v och 2u − v med
utgångspunkt i vektorerna u och v i figur 1.3 på sidan 6.
−→
−−
→
1.2. Antag, att e1 = CT och e2 = P C i figur 1.10 på sidan 10. Bestäm
−→ −−→
koordinaterna, med avseende på basen e1 ,e2 , för vektorerna CR, CB
−→
och T A. Rita också ut vektorn med koordinaterna (−1, 1).
−→
−→
−−→
1.3. Vektorerna e1 = P Q, e2 = P R och e3 = P S i figur 1.11 på sidan 10
−→
utgör en bas för rummet. Bestäm koordinaterna för vektorerna P A,
−→ −−→ −→
−→
P T , P B, QA och ST .
1.4. Vektorerna u, v, och w har, med avseende på någon bas, koordinaterna u = (1, −1, −4), v = (2, 4, 4) och w = (4, 2, −4). Avgör,
huruvida de är lineärt beroende.
1.5. Är vektorerna (1, −1, −3), (2, 3, 4) och (3, 2, −4) parallella med ett
och samma plan?
1.6. Visa, att vektorerna (1, 1, 2), (4, 4, 9) och (2, 3, 7) utgör en bas för
rummet. Bestäm koordinaterna för vektorn (5, 4, 3) med avseende på
denna bas.
1.7. Bestäm en ekvation för den linje, som går genom punkten (1, 2, 4)
och är parallell med vektorn (1, 0, 2).
1.8. Bestäm en ekvation för linjen, som går genom punkterna (1, 2, 4) och
(2, 0, 2).
1.9. Skär linjerna med ekvationerna (x, y, z) = (3, 7, 7) + t(1, 4, 3) och
(x, y, z) = (1, 2, 4) + t(1, 3, 2) varandra? Ange i så fall skärningspunkten.
1.10. Skär linjerna med ekvationerna (x, y, z) = (1, 0, 1) + t(1, 2, 3) och
(x, y, z) = (2, 1, 3) + t(1, 0, 2) varandra? Ange i så fall skärningspunkten.
ÖVNINGSUPPGIFTER
30
1.11. Ligger punkterna (0, −1, 2), (1, 4, 3), (2, 0, 1) och (2, −3, 0) i samma
plan?
1.12. Bestäm skärningspunkten mellan planet x + 2y + 3z = 4 och linjen
(x, y, z) = (5, −3, −5) + t(2, 1, 2).
1.13. Ett plan går genom punkten (1, 2, 2) och är parallellt med linjerna
(x, y, z) = (3, 4, 5) + t(1, 1, 2) och (x, y, z) = (3, −4, 6) + t(2, 1, 3).
Ange en ekvation på parameterform för planet.
1.14. Ange på formen Ax + By + Cz = D en ekvation för det plan, som
går genom punkterna (1, 3, 4) och (2, 0, 5) och är parallellt med linjen
(x, y, z) = (12, 18, 24) + t(5, −1, 2).
1.15. Ange på formen Ax+By+Cz = D en ekvation för det plan, som innehåller linjen (x, y, z) = (3, 2, 1) + t(1, −2, 3) och går genom punkten
(1, −1, 2).
1.16. Bestäm skärningen mellan planen 2x + y − z = 3 och 3x − 3y + z = 0.
Ange också en ekvation för den linje, som går genom punkten (1, 2, 4)
och är parallell med de båda planen.
Övningsuppgifter till kapitel 2
I nedanstående uppgifter är koordinater angivna med avseende på något
ortonormerat system.
2.1. Bestäm vinkeln mellan vektorerna (1, −2, −2) och (1, 4, 1).
2.2. En roddare ror över en å med kurs rakt mot den motsatta stranden.
Roddhastigheten relativt vattnet är 4 m/s. Samtidigt strömmar vattnet med en hastighet på 1 m/s. Vilken fart har roddaren, och vilken
är kursen, i förhållande till marken? Om ån är 100 meter bred, var
på den motsatta stranden kommer båten att landa?
2.3. Vilken kurs skall piloten i exempel 21 på sidan 24 hålla för att flygplanet skall färdas rakt norrut, vilket motsvarar 0◦ på kompassen.
2.4. Bestäm en ekvation på normalform för det plan, som bildar rät vinkel
med linjen (x, y, z) = (2, 1, 2) + t(4, 1, 3) och går genom punkten
(1, 1, 2).
2.5. Bestäm avståndet från punkten (5, 8, 4) till det plan, som går genom
punkten (2, −2, 3) och är vinkelrätt mot vektorn (3, 2, −1).
SVAR TILL ÖVNINGSUPPGIFTER
31
2.6. Bestäm avstånden från de båda punkterna (4, −1, 1) och (2, 1, 1) till
planet x+ 2y + z = 4. Skalärprodukten av två vektorer är positiv, om
vinkeln mellan dem är spetsig, och negativ, om vinkeln är trubbig.
Undersök, med hjälp härav, om de båda punkterna ligger på samma
sida om planet eller på olika sidor.
2.7. En linje går genom punkten (1, 4, 3) och är parallell med vektorn
(1, 2, 1). Beräkna avståndet från punkten (2, 2, 2) till linjen. Vilken
punkt på linjen ligger närmast punkten (2, 2, 2)?
2.8. Två linjer har ekvationerna (x, y, z) = (−1, 2, 3) + t(2, −1, −1) och
(x, y, z) = (1, 1, 1) + t(1, 2, −3). Bestäm det minsta avståndet mellan dem genom att bilda det plan, som innehåller den första linjen
och är parallellt med den andra. Avståndet kan sedan beräknas som
avståndet från en godtycklig punkt på den andra linjen till planet.
2.9. Ett plan innehåller punkterna (2, 1, −1), (4, 0, 1) och (0, 1, −2). Bestäm vinkeln mellan detta plan och planet x + y + 4z = 1.
2.10. Bestäm vinkeln mellan planet x + 2y − z = 1 och den linje, som går
genom punkterna (3, 5, −1) och (2, 4, −1).
2.11. Bestäm en ekvation för det plan, som består av de punkter, som har
samma avstånd till de båda punkterna (0, 1, −1) och (−2, −1, 1).
Svar till övningsuppgifter
1.2. (3, 0), ( 23 , − 21 ) och ( 12 , 12 ).
1.3. ( 13 , 13 , 13 ), ( 14 , 41 , 14 ), (0, 13 , 13 ), (− 32 , 13 , 13 ) och ( 14 , 14 , − 43 ).
1.4. Vektorerna är lineärt beroende.
1.5. Nej.
1.6. (23, −4, −1).
1.7. (x, y, z) = (1, 2, 4) + t(1, 0, 2).
1.8. (x, y, z) = (1, 2, 4) + t(1, −2, −2).
1.9. Ja, i punkten (4, 11, 10).
1.10. Nej.
1.11. Ja.
1.12. (9, −1, −1).
ÖVNINGSUPPGIFTER
32
1.13. (x, y, z) = (1, 2, 2) + t1 (1, 1, 2) + t2 (2, 1, 3).
1.14. 5x − 3y − 14z = −60.
1.15. x − y − z = 0.
1.16. Skärningslinjen är (x, y, z) = (0, − 23 , − 29 )+t(2, 5, 9). Den andra linjen
är (x, y, z) = (1, 2, 4) + t(2, 5, 9).
2.1.
3π
4 .
2.2. Farten är 4,1 m/s. Kursen är 14,0◦ nedströms i förhållande till åns
tvärriktning. Landningspunkten är belägen 25 meter nedströms från
punkten mitt emot startpunkten.
2.3. 14,3◦ .
2.4. 4x + y + 3z = 11.
√
2.5. 2 14 .
2.6. Båda avstånden är
2.7. Avståndet är
2.8.
√1 .
3
2.9.
π
4.
2.10.
π
3.
√
30
3 .
2.11. x + y − z = −1.
√1 .
6
Punkterna ligger på olika sidor om planet.
Punkten är ( 13 , 83 , 37 ).
Sakregister
additionsformel, 24
associativa lagen, 7, 8
avstånd till en linje, 26
avstånd till ett plan, 25
avståndsformeln, 25
bas, 11
distributiv lag, 8
ekvation på normalform, 20, 25
ekvation på parameterform, 17, 19
ekvationer för linjer, 17
ekvationer för plan, 18
ekvivalent, 5
enhetscirkel, 21
enhetsvektor, 21
fart, 24
fotpunkt, 5
hastighet, 24
inverser, 8
kommutativa lagen, 7, 8
koordinater för punkter, 15
koordinater för vektorer, 11
koordinatsystem, 15
lineärkombination, 14
lineärt beroende, 13
lineärt oberoende, 13
längd, 21
median i en tetraeder, 9
median i en triangel, 9
mittpunktsformeln, 9
neutralt element, 8
nollvektorn, 7
normalvektor, 24
normera, 22
origo, 15
ortogonal, 21
ortogonal projektion, 21
ortonormerad bas, 23
ortonormerat koordinatsystem, 24
ortsvektor, 15
parallell vektor, 10
projektion, 11
Pythagoras sats, 22
representant, 6
riktad sträcka, 5
räkneregler för skalärprodukt, 22
räkneregler för vektorer, 8
skalär, 7
skalärprodukt, 21
tetraeder, 9
tyngdpunkt i en tetraeder, 10
tyngdpunkt i en triangel, 9
vektor, 6
vinkel, 21
vinkel mellan linje och plan, 28
vinkel mellan linjer, 27
vinkel mellan plan, 27
ändpunkt, 5