MaII_TENB_170610

TENTAMEN
Kursnummer:
Moment:
Program:
Rättande lärare:
Examinator:
Datum:
Tid:
Hjälpmedel:
HF0024
Matematik för basår II
TENB
Tekniskt basår
Marina Arakelyan & Stefan Eriksson
Niclas Hjelm
2017-06-10
08:00-12:00
Formelsamling: Björk m fl ”Formler och
tabeller” utan anteckningar, passare,
gradskiva, penna, radergummi och linjal
Miniräknare är ej tillåten!
Omfattning och
betygsgränser:
Poäng
11
12 – 14
15 – 17
18 – 20
21 – 23
24 – 26
Betyg
Fx
E
D
C
B
A
Till samtliga uppgifter krävs fullständiga
lösningar. Lösningarna skall vara tydliga
och lätta att följa.
Införda beteckningar skall definieras.
Uppställda samband skall motiveras.
Skriv helst med blyertspenna!
Lycka till!
1. Ange första talet a1 i den geometriska talföljd där a4  9 och a5  3 . 2p
2. I ekvationen z  3i z  6  2i är z ett komplext tal. Lös ekvationen med avseende på z.
2p
3. Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen y ' '2 y '3 y  0 .
2p
4. Bestäm det minsta värde som y 
ex
2
e2x
antar.
2p
5. Ekvationen z 3  z 2  Cz  D  0 har en rot z1  2i . C och D är reella tal. Bestäm
konstanterna C och D.
2p
6. Lös fullständigt ekvationen 27 z 3  i . Svara på formen a  bi
3p

.
2

Beräkna arean av det område som begränsas av dessa kurvor i intervallet 0  x  .
2
7. Kurvorna f ( x )  1  sin x och g ( x )  cos x skär varandra då x  0 samt då x 
2p
 /4
8. Beräkna
 x  sin 2 x dx
3p
0
9. Det område som begränsas av kurvan y  x 2  1 och linjen y  5 får rotera runt just
denna linje, y  5 . Beräkna rotationskroppens volym.
2p
10. Bestäm den lösning till differentialekvationen y   25 y  3 sin 2 x , som uppfyller
villkoren y (0)  0 och y ( )  1 .
3p
11. En rak cirkulär kon med höjden 0,80 m och diameter 0,50 m fylls med vätska med
hastigheten 0,10 dm³/min. Beräkna förändringshastigheten för vätskeytans area när
konen är fylld till halva höjden.
3p
Lösningar
1. Ange första talet a1 i den geometriska talföljd där a4  9 och a5  3 . 2p
3 1
k 
9 3
9
a 4  a1  k 3  a 4 
 9  27  243
1 / 33
Svar:243
2. I ekvationen z  3i z  6  2i är z ett komplext tal. Lös ekvationen med avseende på z.
2p
( x  yi )  3i ( x  yi )  6  2i
x  yi  3xi  3 y  6  2i
x  3 y  ( y  3x )i  6  2i
x  3y  6

3x  y  2
x  3y  6

 9 x  3 y  6
 8x  0
x0
6 x
3
y2
y
Svar: z  2i
3. Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen y ' '2 y '3 y  0 .
2p
y ' '2 y '3 y  0
Kar. ekv.:
r 2  2r  3  0
r  1  (1) 2  3
r  1  4
r  1  2
r1  3, r2  1
y ( x)  Ae 3 x  Be x
Svar: y( x)  Ae 3 x  Be x
4. Bestäm det minsta värde som y 
ex
2
e x 2 xe2 x  e 2 x 2e x
e x 2 x  2e x
y' 

(e 2 x ) 2
e2 x
2
2
antar.
e2x
2
2p
2
Nollställen till derivatan söks:
2e x ( x  1)  0
2
x 1
02
 2  0  y ( x ) avtagande
1
4e 4  2e 4
y ' ( 2) 
 2  0  y ( x ) växande
e4
y ' ( 0) 
Teckenstudie kring x  1
Alltså, x  1 är en minimipunkt och funktionens minsta värde är y (1) 
e
 e 1
2
e
Svar: e 1
5. Ekvationen z 3  z 2  Cz  D  0 har en rot z1  2i . C och D är reella tal. Bestäm
konstanterna C och D.
2p
Eftersom polynomet har reella koefficienter då konjugatet till z1  2i som är
z2   2i också en rot till polynomekvationen.
Rötterna z1  2i och z2   2i uppfyller den givna ekvationen. Detta ger
ekvationssystemet (1) & (2)
(2i ) 3  (2i ) 2  C (2i )  D  0
4  D  i (8  2C )  0  0i (1)
(2i) 3  (2i) 2  C (2i)  D  0
4  D  i (8  2C )  0  0i (2)
I båda ekvationerna gäller att realdel och imaginärdel är noll.
Im z=0:
Rez=Rez:
4 D  0 
D  4
 8  2C  8  2C  C  4
Svar: C  4 och D  4
6. Lös fullständigt ekvationen 27 z 3  i . Svara på formen a  bi
3p
27 z 3  i
1
z3   i
27
Skriver om ekvationen på polär form
z  r (cos v  i sin v)
1
1
3
3
 i
(cos
 i sin
)
27
27
2
2
Med hjälp av de Moivres formel blir ekvationen nu
1
3
3
r 3 (cos 3v  i sin 3v)  (cos
 i sin
)
8
2
2
Då båda leden är lika, om
1
3
r3 
och 3v 
 2n
27
2
1
 2
r
och v  
n
3
2
3

1


1
n  0 ger v 
och z  (cos  i sin )  i
2
3
2
2
3
n  1 ger
v
7
6
och
11
och
6
i
3 i

Svar: z  , z  
3
6 6
n2
ger
v
z
1
7
7
1
3 1
3 1
(cos
 i sin
)  (
 i)  
 i
3
6
6
3
2
2
6 6
z
1
11
11
1 3 1
3 1
(cos
 i sin
) (
 i) 
 i
3
6
6
3 2 2
6 6

.
2

Beräkna arean av det område som begränsas av dessa kurvor i intervallet 0  x  .
2
7. Kurvorna f ( x )  1  sin x och g ( x )  cos x skär varandra då x  0 samt då x 
2p
Beräkning av över- och underfunktioner.
Om x 



1
då f ( )  1  sin( ) 
6
6
6
2
Om x 



3
då g ( )  cos( ) 
6
6
2
6
Alltså, g ( x )  cos x är en överfunktion (en blå kurva) och f ( x )  1  sin x är en
underfunktion (en röd kurva).
Beräkning av områdets area:


2
Area   (cos x 1  sin x )dx  [sin x  x  cos x )]02 
0
 sin
Svar: ( 2 

2


 cos
2

2
 sin 0  0  cos 0  2 

2

) ae
2
 /4
8. Beräkna
 x  sin 2 x dx
0
3p
 /4
 /4
 /4
 cos 2 x 
0 x  sin 2 x dx  0 sin( 2 x)  x dx   2  x 0

cos
sin

2    (0) 
2
4
 /4

0
 /4


0
 cos 2 x
 1 dx 
2
 /4
 cos 2 x
  sin 2 x 
 1 dx  0  0  
2
 4  0


2  sin 0  1  0  1
4
4
4
4
1
Svar:
4
9. Det område som begränsas av kurvan y  x 2  1 och linjen y  5 får rotera runt just
denna linje, y  5 . Beräkna rotationskroppens volym.
2p
Grafer till kurvan y  x 2  1 och linjen y  5
Skärningspunkter
x2  1  5
x2  4
x  2
2
2
2
V    (5  ( x  1)) dx    (4  x ) dx    (16  8 x 2  x 4 )dx 
2
2
2 2
2
2
2
2

x
x 
512
  16 x  8   

3
5  2 15

3
Svar:
5
512
v.e.
15
10. Bestäm den lösning till differentialekvationen y   25 y  3 sin 2 x , som uppfyller
villkoren y (0)  0 och y ( )  1 .
3p
Den allmänna lösningen y h till den homogena ekvationen
y   25 y  0
Karakteristisk ekvation: r 2  25  0 ger r1  5i och r2  5i
yh  C cos 5x  D sin 5x
En partikulär lösning till y   25 y  3 sin 2 x
y p  A sin 2 x  B cos 2 x
y p  2 A cos 2 x  2 B sin 2 x
y p  4 A sin 2 x  4 B cos 2 x
VL  4 Asin 2x  4B cos 2x  25Asin 2x  25B cos 2x  21Asin 2x  21B cos 2x
HL  3 sin 2 x
VL  HL  21A  3 och 21B  0
1
A  och B  0
7
1
y p  sin 2 x
7
Den allmänna lösningen y till y   25 y  3 sin 2 x
y  yh  y p
1
y  C cos 5 x  D sin 5 x  sin 2 x
7
y (0)  0 0  C cos 0  C  0
1
y '  5D cos 5 x   2 cos 2 x
7
2
y ( )  1  1  5D 
7
1
D
7
1
1
Lösningen som uppfyller villkoren y   sin 5 x  sin 2 x
7
7
Svar. y 
1
(sin 2 x  sin 5x )
7
11. En rak cirkulär kon med höjden 0,80 m och diameter 0,50 m fylls med vätska med
hastigheten 0,10 dm³/min. Beräkna förändringshastigheten för vätskeytans area när
konen är fylld till halva höjden.
3p
R
r
H
likformighet ger:
x
r
x
R

r x
R H
H
Vkon 
hr 2
3

x  R 
R 2 3
x
 x 
3 H 
3H 2
2
2
 R  R
Ayta  r    x   2 x 2
H
H 
dV
dV dV dx
dx


 dt
dt
dx dt
dt dV
dx
dV
dA
dA dA dx dA dt
dV


 dx
dV dt
dt dx dt dx dV
dx
dx
2
2
dVkon R
R

3x 2  2 x 2
2
dx
3H
H
2
dAyta R
 2 2x
dx
H
R 2
2x
dA H 2
dV 2 dV


2
dt R 2 dt
x dt
x
2
H
dA
för x  4,0 dm   2  0,10  0,050 dm 2/min
dt
4,0
dA
Svar:
 5,0 cm 2 /min
dt
2
2
Rättningsmall:
Generella riktlinjer för tentamensrättning
Varje beräkningsfel
(Därefter fortsatt rättning enligt nya förutsättningar)
Beräkningsfel; allvarliga och/eller leder till förenkling
Prövning istället för generell metod
Felaktiga antaganden/ansatser
Lösning svår att följa och/eller Svaret framgår inte tydligt
eller mer
Matematiska symboler används felaktigt/saknas
Bl.a Om ’=’ saknas (t.ex. ’=>’ används istället)
Om ’=’ används felaktigt (t.ex. istället för ’=>’)
Teoretiska uppgifter:
Avrundat svar
Tillämpade uppgifter:
Enhet saknas/fel
Avrundningar i delberäkningar som ger fel svar
Svar med felaktigt antal värdesiffror ( ±1 värdesiffra ok)
poäng/tenta
Andra avrundningsfel
-1 poäng
-2 poäng eller mer
- samtliga poäng
- samtliga poäng
-1 poäng
-1poäng eller mer
-1 poäng/tenta
-1 poäng/tenta
-1 poäng/tenta
-1 poäng/tenta
-1 poäng/tenta
-1
-1 poäng/tenta
1.
felaktig kvot
-1p
2.
Felaktigt ansatt konjugat
Svarar med y=2 eller som x+yi= 2
-2p
-1p
3.
4.
felaktig derivering
undersökning med teckenstudie/andra derivata saknas
-2p
-1p
5.
En felaktig konstant C eller D
-1p
6.
varje felaktig rot
-1p
7.
Svarar med negativ area / Blandar ihop över- och underfunktion, får negativ area,
byter tecken i svaret utan att påpeka att integranden är positiv i hela intervallet -1p
8.
Felaktig partialintegrering
Felaktig primitiv funktion
Deriveringsfel
x cos 2 x
Svaret innehåller 
2
9.
korrekt integral inklusive gränser och sedan felaktiga beräkningar
Integrationsgränserna ej analytiskt bestämda
-3p
-2p
-2p
-2p
-1p
-1p
10.
felaktig lösning av yh
-1p
Fel ansats till inhomogen ekvation (t ex bara Asin2x)
-2p
Korrekt ansats till inhomogen ekvation, felaktiga beräkningar av konstanterna -1p
Felaktigt använda bivillkor
-1p
11.
Fel omvandling av enheter
-1p