TENTAMEN
Kursnummer:
Moment:
Program:
Rättande lärare:
Examinator:
Datum:
Tid:
Hjälpmedel:
Omfattning och
betygsgränser:
HF0024
Matematik för basår II
TEN1
Tekniskt basår
Bengt Andersson, Niclas Hjelm & Jonas
Stenholm
Niclas Hjelm
2016-03-17
13.15–17.15
Formelsamling: ISBN 978-91-27-72279-8
eller ISBN 978-91-27-42245-2 (utan
anteckningar). Inga andra
formelsamlingar är tillåtna!
Miniräknare, penna, radergummi, linjal,
gradskiva
För betyget P krävs 12p.
Slutbetyget på kursen ges av poängsumman
från TEN1 och TEN2. Dessa måste båda ha
avklarats med betyg P.
Poäng
24 – 28
29 – 34
35 – 40
41 – 46
47 – 52
Betyg
E
D
C
B
A
Till samtliga uppgifter krävs fullständiga
lösningar. Lösningarna skall vara tydliga
och lätta att följa.
Införda beteckningar skall definieras.
Uppställda samband skall motiveras.
Skriv helst med blyertspenna!
Lycka till!
cos 2 x
1. a) Förenkla uttrycket sin x
så långt som möjligt.
1p
sin x
1
b) Bestäm det exakta värdet av sin 2v om sin v
och
v . 2p
2
2
2. a) Ange perioden och amplituden för funktionen y 4 2 sin( 2 x
b) Ange också funktionens största och minsta värde.
3
) 2p
1p
3. Bestäm f ' ( x) till följande funktioner:
f x x1 2 x
ln x
b. y ( x )
x
10
c. g x
x2
a.
50
4. Kurvorna y cos x och y cos x 3 skär varandra då x
1p
1p
1p
och då x
6
Figuren nedan visar graferna till dessa kurvor. Bestäm arean av det skuggade
området.
2p
5
.
6
5. Bevisa satsen: ”Om n 2 är ett udda tal, så är n ett udda tal”.
2p
6. Aktierna i en IT-fond hade vid ett tillfälle ett sammanlagt värde av 1,20 miljarder kr.
Vid en nedgång av aktiernas värde förlorar fonden y miljoner kr/dag i värde, där
y 20 e 0,15x och x är antalet dagar sedan aktierna började sjunka i värde.
a. I figuren nedan finns grafen till funktionen y 20 e 0,15x ritad. Beräkna den
markerade arean under kurvan.
2p
b. Tolka vad denna area betyder för exemplet med IT-fonden.
7. Lös ekvationen och lämna svaret i hela grader.
3 cos 2 x 2 sin x 2
1p
3p
8. I figuren nedan är en primitiv funktion y F (x ) till y f (x ) ritad.
1
Beräkna med hjälp av figuren
f ( x) dx .
1
2p
9. En cirkelsektor (se figur) har omkretsen 10,0 cm
Beräkna den maximala arean som cirkelsektorn kan anta.
2p
10.
a) Bestäm konstanterna a och b så att följande likhet gäller:
1
a
b
( x 1)( x 3) x 1 x 3
1p
2
b) Beräkna ett exakt värde på integralen:
dx
( x 1)( x 3) .
0
2p
Lösningsförslag
cos 2 x sin 2 x cos 2 x sin 2 x cos 2 x
1
sin x
sin x
sin x
sin x
sin x
sin x
1. a)
1
sin x
Svar:
b)
sin v
1
v
2
sin 2v sin
3
4
eftersom
2
v
3
1
2
Svar: -1
2.
a) Funktionen y 4 2 sin( 2 x ) 4 2 sin 2 x har samma amplitud och
3
6
period som y 2 sin 2 x , dvs A 2 och
b) Om sin( 2 x
Om sin( 2 x
Svar: a)
3
3
perioden
2
2
) 1 då y min 4 2 2
) 1 då y max 4 2 (1) 6
A 2,
6
Minsta värde: 2
perioden ,
b) Största värde: 6
3.
a)
f ' x 1 (1 2 x) 50 x 50 (1 2 x) 49 2 (1 2 x) 49 ((1 2 x) 100 x)
(1 2 x) 49 (1 102 x)
1
x ln x 1
1 ln x
b) y ' ( x) x
2
x
x2
3
5
1
c) g ' x 10 x 2 2
3
2
x 2 2
4. Beräkning av över- och underfunktioner.
Om x 0 då y cos x antar ett värde som är 1.
Om x 0 då y cos x 3 antar ett värde som är
1
.
2
Alltså, y cos x är en överfunktion och y cos x 3 är en underfunktion.
Beräkning av områdets area:
Area
5
6
(cos x cosx 3)dx [sin x sin( x
sin
Svar:
5.
3
5
)] 6
6
6
5
7
1
1 1 1
sin
(sin( ) sin ) ( ) 2 ae
6
6
6
6
2
2 2 2
Arean är 2 ae.
Inför beteckningarna
P: ” n 2 är udda ”
Q: ” n är udda”
Vi skall bevisa P Q . Vi bevisar istället det ekvivalenta påståendet Q P , d v s
”Om n är jämnt, så är n 2 jämnt.”
Bevis: Tag ett jämnt tal n 2m . Då kan vi skriva n 2 (2m) 2 4m 2 2 2m 2 . Eftersom
2m 2 är ett heltal så är 2 2m 2 ett jämnt tal.
V.S.B.
6.
7
a)
Area (20 e
0
7
0 ,15 x
400 1,05 0
20 0,15 x
)dx
e
e
e 86,675
3
0,15
0
87 miljoner kr
b) Arean representerar en sänkning av IT-fondens värde med 87 miljoner kr på en
vecka.
Svar: a) 87 mkr (86,7)
b) Arean representerar en sänkning av IT-fondens värde med 87 miljoner kr på
en vecka.
7.
3(1 sin 2 x) 2 sin x 2
3 sin 2 x 2 sin x 1 0
Låt t sin x då
3t 2 2t 1 0
2 1
t2 t 0
3 3
1
1 1
t
3
9 3
1
4
t
3
9
t1 1 t 2
1
3
1
3
x 19 360 n
sin x 1
sin x
x 270 360 n
x 161 360 n
x 270 360 n
Svar:
x 19 360 n
x 161 360 n
1
f ( x)dx F (1) F (1) 0 4 4
8.
1
Alternativ lösning (som ger poängavdrag, se rättningsmallen!):
F(x) är en andragradsfunktion: F ( x) a ( x x1 )( x x2 )
F ( x) a ( x 3)( x 1)
F (0) 3 a 3 (1) 3
a 1
F ( x) 1 ( x 3)( x 1) ( x 3) (1 x)
Eftersom F (x ) är en primitiv funktion till f(x) då gäller F ' ( x) f ( x)
f ( x) F ' ( x) 1 x x 3 2 x 2
1
1
1
f ( x)dx (2 x 2)dx x 2 2 x
1
Svar:-4
9.
Cirkelsektorns area A
Cirkelsektorns omkrets
u r2
2
1
1
1 2 (1 2) 4
O 2r bågen 2r u r
10,0 2r u r u
10,0
2
r
Cirkelsektorns area kan skrivas som en funktion av r, alltså
10,0 r
A(r )
2 5,0r r 2 , där 0 r 5,0
r
2
2
A' (r ) 5,0 2r
A' (r ) 0 r 2,50
A' ' (r ) 2 A(r ) har ett maximum för r 2,50
Amax 5 2,5 2,5 2 6,25 cm 2
Svar: Maximala arean är 6,25 cm 2
10.
a
b
a( x 3) b( x 1) ax 3a bx b x(a b) 3a b
x 1 x 3
( x 1)( x 3)
( x 1)( x 3)
( x 1)( x 3)
a)
x(a b) 3a b
1
med
( x 1)( x 3)
( x 1)( x 3)
(1)
a b 0
1
Vi får
subtrahera (2) från (1) 4a 1 a
4
3a b 1 (2)
1
1
sätt in a
i (1) b
4
4
1
1
a
b
4
4
Jämför
b) Från ovan
1
1
1
1
1
1
(
)
( x 1)( x 3)
4( x 1) 4( x 3) 4 ( x 3) ( x 1)
2
dx
1 1
1
1
2
0 ( x 1)( x 3) 4 0 ( x 3) ( x 1) dx 4 (ln x 3 ln x 1 )0
1
2 ln 3
ln 3
(ln 1 ln 3 ln 3 ln 1)
4
4
2
2
Svar:
ln 3
2
Rättningsmall
1. a) Rätt eller fel
b) svarar ej exakt
svarar 1
2. a) varje felaktig konstant
-1p
-1p
-1p
b) rätt eller fel
3. a) deriverar rätt och svarar som f ' x (1 2 x) 50 100 x (1 2 x) 49
eller liknande
OK
b) rätt eller fel
c) rätt eller fel
4. Korrekt uppställd integral, sedan integralen felräknad
-1p
Byter plats på över- och underfunktion och får -2 ae
-1p
a.e saknas
OK
5. 6. a) Korrekta integrationsgränser samt korrekt primitiv funktion
+1p
b) rätt eller fel
7. varje saknad lösning
period saknas/felaktig period
-1p
-1p/gång
8. felaktig tolkning av definitionen F ' ( x) f ( x)
-2p
Antar att F(x) är andragradsfunktion (trots att den informationen inte är ges) -1p
9. Definitionsmängden saknas
Undersökning av extrempunktens karaktär saknas
10b) Felaktig primitiv funktion (t ex absolutbelopp saknas)
-1p
-1p
-2p
