TENTAMEN Kursnummer: HF0024 Matematik för basår II Moment

advertisement
TENTAMEN
Kursnummer:
Moment:
Program:
Rättande lärare:
Examinator:
Datum:
Tid:
Hjälpmedel:
Omfattning och
betygsgränser:
HF0024
Matematik för basår II
TEN1
Tekniskt basår
Bengt Andersson, Niclas Hjelm & Jonas
Stenholm
Niclas Hjelm
2016-03-17
13.15–17.15
Formelsamling: ISBN 978-91-27-72279-8
eller ISBN 978-91-27-42245-2 (utan
anteckningar). Inga andra
formelsamlingar är tillåtna!
Miniräknare, penna, radergummi, linjal,
gradskiva
För betyget P krävs 12p.
Slutbetyget på kursen ges av poängsumman
från TEN1 och TEN2. Dessa måste båda ha
avklarats med betyg P.
Poäng
24 – 28
29 – 34
35 – 40
41 – 46
47 – 52
Betyg
E
D
C
B
A
Till samtliga uppgifter krävs fullständiga
lösningar. Lösningarna skall vara tydliga
och lätta att följa.
Införda beteckningar skall definieras.
Uppställda samband skall motiveras.
Skriv helst med blyertspenna!
Lycka till!
cos 2 x
1. a) Förenkla uttrycket sin x 
så långt som möjligt.
1p
sin x
1

b) Bestäm det exakta värdet av sin 2v om sin v 
och
 v   . 2p
2
2
2. a) Ange perioden och amplituden för funktionen y  4  2 sin( 2 x 
b) Ange också funktionens största och minsta värde.

3
) 2p
1p
3. Bestäm f ' ( x) till följande funktioner:
f x   x1  2 x 
ln x
b. y ( x ) 
x
10
c. g x  
x2
a.
50
4. Kurvorna y  cos x och y  cos x   3 skär varandra då x  
1p
1p
1p

och då x 
6
Figuren nedan visar graferna till dessa kurvor. Bestäm arean av det skuggade
området.
2p
5
.
6
5. Bevisa satsen: ”Om n 2 är ett udda tal, så är n ett udda tal”.
2p
6. Aktierna i en IT-fond hade vid ett tillfälle ett sammanlagt värde av 1,20 miljarder kr.
Vid en nedgång av aktiernas värde förlorar fonden y miljoner kr/dag i värde, där
y  20  e 0,15x och x är antalet dagar sedan aktierna började sjunka i värde.
a. I figuren nedan finns grafen till funktionen y  20  e 0,15x ritad. Beräkna den
markerade arean under kurvan.
2p
b. Tolka vad denna area betyder för exemplet med IT-fonden.
7. Lös ekvationen och lämna svaret i hela grader.
3 cos 2 x  2 sin x  2
1p
3p
8. I figuren nedan är en primitiv funktion y  F (x ) till y  f (x ) ritad.
1
Beräkna med hjälp av figuren
 f ( x) dx .
1
2p
9. En cirkelsektor (se figur) har omkretsen 10,0 cm
Beräkna den maximala arean som cirkelsektorn kan anta.
2p
10.
a) Bestäm konstanterna a och b så att följande likhet gäller:
1
a
b


( x  1)( x  3) x  1 x  3
1p
2
b) Beräkna ett exakt värde på integralen:
dx
 ( x  1)( x  3) .
0
2p
Lösningsförslag
cos 2 x sin 2 x cos 2 x sin 2 x  cos 2 x
1
sin x 




sin x
sin x
sin x
sin x
sin x
1. a)
1
sin x
Svar:
b)
sin v 
1
 v
2
sin 2v  sin
3
4
eftersom

2
v
3
 1
2
Svar: -1
2.
 

 
a) Funktionen y  4  2 sin( 2 x  )  4  2 sin  2 x    har samma amplitud och
3
6 
 
period som y  2 sin 2 x , dvs A  2 och
b) Om sin( 2 x 
Om sin( 2 x 
Svar: a)

3

3
perioden 
2

2
)  1 då y min  4  2  2
)  1 då y max  4  2  (1)  6
A  2,

6
Minsta värde: 2
perioden   ,
b) Största värde: 6
3.
a)
f ' x   1 (1  2 x) 50  x  50  (1  2 x) 49  2  (1  2 x) 49 ((1  2 x)  100 x) 
(1  2 x) 49  (1  102 x)
1
 x  ln x 1
1  ln x
b) y ' ( x)  x

2
x
x2
3
5
 1

c) g ' x   10    x  2 2  
3
 2
x  2 2
4. Beräkning av över- och underfunktioner.
Om x  0 då y  cos x antar ett värde som är 1.
Om x  0 då y  cos x   3 antar ett värde som är
1
.
2
Alltså, y  cos x är en överfunktion och y  cos x   3 är en underfunktion.
Beräkning av områdets area:
Area 
5
6
 (cos x  cosx   3)dx  [sin x  sin( x 

 sin
Svar:
5.


3
5
)] 6 

6
6
5
7


1
1 1 1
 sin
 (sin(  )  sin )   ( )    2 ae
6
6
6
6
2
2 2 2
Arean är 2 ae.
Inför beteckningarna
P: ” n 2 är udda ”
Q: ” n är udda”
Vi skall bevisa P  Q . Vi bevisar istället det ekvivalenta påståendet Q  P , d v s
”Om n är jämnt, så är n 2 jämnt.”
Bevis: Tag ett jämnt tal n  2m . Då kan vi skriva n 2  (2m) 2  4m 2  2  2m 2 . Eftersom
2m 2 är ett heltal så är 2  2m 2 ett jämnt tal.
V.S.B.
6.
7
a)
Area   (20  e
0
7
0 ,15 x


400 1,05 0
 20 0,15 x 
)dx  
e

e
 e  86,675 

3
  0,15
0
87 miljoner kr
b) Arean representerar en sänkning av IT-fondens värde med 87 miljoner kr på en
vecka.
Svar: a) 87 mkr (86,7)
b) Arean representerar en sänkning av IT-fondens värde med 87 miljoner kr på
en vecka.
7.
3(1  sin 2 x)  2 sin x  2
3 sin 2 x  2 sin x  1  0
Låt t  sin x då
3t 2  2t  1  0
2 1
t2  t   0
3 3
1
1 1
t 

3
9 3
1
4
t 
3
9
t1  1 t 2 
1
3
1
3

x  19  360  n
sin x  1
sin x 
x  270   360  n
x  161  360  n
x  270  360 n
Svar:
x  19  360 n
x  161  360 n
1
 f ( x)dx  F (1)  F (1)  0  4  4
8.
1
Alternativ lösning:
F(x) är en andragradsfunktion: F ( x)  a  ( x  x1 )( x  x2 )
F ( x)  a  ( x  3)( x  1)
F (0)  3  a  3  (1)  3
a  1
F ( x)  1  ( x  3)( x  1)  ( x  3)  (1  x)
Eftersom F (x ) är en primitiv funktion till f(x) då gäller F ' ( x)  f ( x)
f ( x)  F ' ( x)  1  x  x  3  2 x  2
1

1
1

f ( x)dx   (2 x  2)dx   x 2  2 x
1
Svar:-4
9.
Cirkelsektorns area A 
Cirkelsektorns omkrets
u r2
2

1
1
 1  2  (1  2)  4
O  2r  bågen  2r  u  r
10,0  2r  u  r  u 
10,0
2
r
Cirkelsektorns area kan skrivas som en funktion av r, alltså
 10,0  r
A(r )  
 2   5,0r  r 2 , där 0  r  5,0
 r
2
2
A' (r )  5,0  2r
A' (r )  0  r  2,50
A' ' (r )  2  A(r ) har ett maximum för r  2,50
Amax  5  2,5  2,5 2  6,25 cm 2
Svar: Maximala arean är 6,25 cm 2
10.
a
b
a( x  3)  b( x  1) ax  3a  bx  b x(a  b)  3a  b




x 1 x  3
( x  1)( x  3)
( x  1)( x  3)
( x  1)( x  3)
a)
x(a  b)  3a  b
1
med
( x  1)( x  3)
( x  1)( x  3)
(1)
a  b  0
1
Vi får 
 subtrahera (2) från (1)  4a  1  a  
4
 3a  b  1 (2)
1
1
sätt in a  
i (1)  b 
4
4
1
1
a
b
4
4
Jämför
b) Från ovan
1
1
1
1
1
1


 (

)
( x  1)( x  3)
4( x  1) 4( x  3) 4 ( x  3) ( x  1)
2
dx
1  1
1 
1
2
0 ( x  1)( x  3)  4 0  ( x  3)  ( x  1) dx  4 (ln x  3  ln x  1 )0 
1
2 ln 3
ln 3
(ln 1  ln 3  ln 3  ln 1)  

4
4
2
2
Svar: 
ln 3
2
Rättningsmall
1. a) Rätt eller fel
b) svarar ej exakt
svarar  1
2. a) varje felaktig konstant
-1p
-1p
-1p
b) rätt eller fel
3. a) deriverar rätt och svarar som f ' x   (1  2 x) 50  100 x  (1  2 x) 49
eller liknande
OK
b) rätt eller fel
c) rätt eller fel
4. Korrekt uppställd integral, sedan integralen felräknad
-1p
Byter plats på över- och underfunktion och får -2 ae
-1p
a.e saknas
OK
5. 6. a) Korrekta integrationsgränser samt korrekt primitiv funktion
+1p
b) rätt eller fel
7. varje saknad lösning
period saknas/felaktig period
-1p
-1p/gång
8. felaktig tolkning av definitionen F ' ( x)  f ( x)
-2p
Antar att f(x) är andragradsfunktion (trots att den informationen inte är ges)
9. Definitionsmängden saknas
Undersökning av extrempunktens karaktär saknas
10b) Felaktig primitiv funktion (t ex absolutbelopp saknas)
-1p
-1p
-1p
-2p
Download
Random flashcards
Svenska

105 Cards Anton Piter

organsik kemi

5 Cards oauth2_google_80bad7b3-612c-4f00-b9d5-910c3f3fc9ce

Fysik

46 Cards oauth2_google_97f6fa87-d6cd-4ae9-bcbf-0f9c2bb34c13

Create flashcards