Föreläsning 21/9 Poissons ekvation och potentialteori Mats Persson

Föreläsning 21/9
Poissons ekvation och potentialteori
Mats Persson
1
Värmeledning
Vi vet att värme strömmar från varmare till kallare. Det innebär att vi har ett flöde av värmeenergi
i en riktning som är motsatt ∇T . Vi skriver då värmeströmmen som
q = −λ∇T,
(1)
där λ är värmeledningsförmågan, och q är själva värmeflödet med enheten J s−1 m−2 .
Betrakta nu en volym V , vilken begränsas av en sluten yta S. Värmeenergin i denna volym är
Z
T cρdV
(2)
H=
V
där c är värmekapacitiviteten och ρ är densiteten. Utflödet av värme från denna volym är
I
q · dS.
(3)
S
Förutsatt att det inte finns några värmekällor i V måste utflödet motsvara förändringen per tidsenhet av värmen i V
Z
Z
I
Z
∂
∂
T cρdV =
T cρdV =
−q · dS =
−∇ · qdV,
(4)
∂t V
V ∂t
S
V
där vi har använt Gauss sats i det sista ledet. Volymen V är helt godtyckligt vald, så likheten
måste gälla för alla volymer V . I så fall kan vi sätta integranderna lika med varandra
∂
(T cρ) = −∇ · q = ∇ · λ∇T.
∂t
(5)
Om vi nu antar att c, ρ och λ är konstanter, så kan vi skriva ekvationen som
∂T
= k∇2 T,
∂t
där
k=
λ
.
cρ
(6)
(7)
Den här ekvationen kallas för värmeledningsekvationen. För en tidsoberoende värmefördelning
gäller då
∇2 T = 0
(8)
som vi kallar för Laplace-ekvation.
Vad händer nu om vi har en värmekälla i volymen V ? Antag att värme produceras av en källa
med tätheten s(r, t) med enheten W m−3 . Då måste vi komplettera ekv. (4) med en term för
denna uppvärmning
Z
Z
Z
∂
2
T cρdV =
λ∇ T dV +
s(r, t)dV.
(9)
V
V
V ∂t
Värmeledningsekvationen blir då
∂T
s(r, t)
= k∇2 T +
.
∂t
cρ
1
(10)
Om temperaturfördelningen är tidsoberoende kan vi skriva ekvationen som
∇2 T = −
s(r, t)
λ
(11)
som är ett exempel på Poissons ekvation. Högerledet kallar vi då för en källterm.
Exempel: Granitberggrunden i Sverige innehåller en viss mängd radium, vars radioaktiva
sönderfall ger en uppvärming som av en rymdkälla för värme med konstant källtäthet s. Granitens värmeledningsförmåga är λ (i W m−1 K−1 ). Låt oss göra det orealistiska antagandet att
Jorden alltigenom bestod av granit med dessa egenskaper. Hur skulle i så fall den stationära
temperaturfördelningen i Jordens inre se ut? Vad blir temperaturen i centrum?
Lösning: Vi kan ställa upp differentialekvationen
∇2 T = −
s
λ
I sfäriska koordinater under antagande om sfärisk symmetri blir ekvationen
µ
¶
1 ∂
2 ∂T
r
= −Q,
r2 ∂r
∂r
(12)
(13)
där Q = s/λ. Vi kan skriva detta som
∂
∂r
µ
¶
∂T
r2
= −Qr2 ,
∂r
(14)
och sedan integrera en gång.
∂T
1
= − Qr3 + A,
∂r
3
där A är en integrationskonstant. Om vi dividerar med r2 får vi
r2
∂T
1
A
= − Qr + 2 .
∂r
3
r
(15)
(16)
Integrerar vi än en gång får vi
A
1
(17)
T (r) = − Qr2 − + B,
6
r
där B är ännu en integrationskonstant. Vi måste nu bestämma värden på de båda integrationskonstanterna. Först kan vi notera att vi har ingen punktkälla i Jordens centrum dvs A = 0. För det
andra noterar vi att temperaturen vid jordytan, r = R, är praktiskt taget 0 jämfört med temperaturen i Jordens centrum, så vi får ekvationen
1
0 = − QR2 + B.
6
(18)
vilket ger B = QR2 /6. Fysikaliskt så är B temperaturen i Jordens centrum. Om vi sätter in
realistiska värden på s(r, t) = 5 × 10−8 W m−3 , λ = 3, 5 W m−1 K−1 och R = 6, 4 × 106 m, så får
vi B ≈ 1 × 105 K, vilket är en grov överskattning av den verkliga temperaturen.
2
Hur kemikalier sprider sig
Antag att vi har en kemikalie med en koncentration c(r) i ett rum. Det finns två sätt på vilka
kemikalien kan sprida sig genom rummet, diffusion och konvektion. Låt oss enbart betrakta transport via diffusion.
Kemikalier har en tendens att fördela sig så jämt som möjligt i rummet, det vill säga det
uppkommer en ström av kemikalien i en riktning motsatt koncentrationens gradient, ∇c. Vi kan
skriva denna ström som
j = −D∇c.
(19)
2
Mängden av kemikalien i en volym V är
Z
cdV,
(20)
V
och förändringen av substansmängden per tidsenhet blir
Z
Z
Z
Z
∂
∂c
cdV =
dV =
−j · dS = −
∇ · jdV.
∂t V
V ∂t
S
V
(21)
Återigen kan vi konstatera att volymen V är helt godtycklig, så ekvationen
∂c
= D∇2 c,
∂t
(22)
måste gälla. Matematiskt sett är denna ekvation ekvivalent med värmeledningsekvationen, och
ett mer vanligt och allmänt namn på ekvationen är diffusionsekvationen. Det är inte bara rent
matematiskt som diffusion och värmeledning är nära besläktade med varandra. Även om man
tittar mikroskopiskt finns det stora likheter mellan de båda processerna. Båda två är resultatet
av molekylernas slumpmässiga rörelser. Man kan tänka på värmeledning som en diffusion av
värmeenergi.
Slutligen diffusion är vanligen en långsam process. Kemikalier kan transporteras mycket snabbare med hjälp av storskaliga hastighetsfält, vilket vi kallar för advektion eller konvektion.
3
Elektriska fält och potentialer
Det elektriska fältet från en punktladdning i r0 ges av Coulombs lag
E (r) =
Q r − r0
.
4π²0 |r − r0 |3
(23)
Φ (r) =
Q
1
.
4π²0 |r − r0 |
(24)
Fältet har en potential
Om vi har flera punktladdningar så kan vi beräkna det motsvarande fältet och potentialen genom
att summera ihop bidragen från alla punktladdningarna. I det fallet att vi har en kontinuerlig
laddningsfördelning ρ(r) så kan vi beräkna fältet genom att integrera över hela fördelningen.
Z
ρ (r0 ) r − r0
E (r) =
dV 0
(25)
0 3
V 4π²0 |r − r |
där vi integrerar över den primade variabeln, och dess potential ges av
Z
ρ (r0 ) 1
Φ (r) =
dV 0 .
0
V 4π²0 |r − r |
Låt oss nu beräkna
I
I Z
E · dS =
S
S
V
ρ (r0 ) r − r0
dV 0 ·dS,
4π²0 |r − r0 |3
(26)
(27)
där integralen över den slutna ytan S sker över den oprimade variabeln. Vi kan här kasta om
integrationsordningen
I
I
Z
r − r0
ρ (r0 )
E · dS =
·dSdV 0 .
(28)
0 3
S
V 4π²0 S |r − r |
Integralen
I
r − r0
S
|r − r0 |
3
3 ·dS
(29)
har värdet 4π om r0 ligger inuti ytan S, och är 0 annars (integranden är då väldefinierad och har
divergensen 0 överallt inom S). Alltså har vi att
I
Z
ρ
E · dS =
dV,
(30)
²
S
V1 0
där V1 nu är den volym som innesluts av S. Denna ekvation kallas för Gauss lag för ett elektriskt fält.
Man kan alltså beräkna den totala elektriska laddningen i en volym V genom att ta ytintegralen
av det elektriska fältet över randen till V .
Om ρ nu är en kontinuerlig funktion, så är också E en kontinuerlig funktion och vi kan tillämpa
Gauss sats på vänsterledet.
Z
Z
I
ρ
E · dS =
∇ · EdV =
dV,
(31)
S
V
V ²0
där vi nu antar att S är den slutna randytan till V . Volymen V är nu helt godtycklig, så likheten
måste gälla för varje volym V , men då följer att den också måste gälla för integranderna
∇·E=
ρ
²0
(32)
vilket är Gauss lag för ett elektriskt fält på differentialform. Gauss lag ingår bland Maxwells
ekvationer. Nu vet vi också att E ges av en potential, E = −∇Φ. Om vi sätter in detta i Gauss
lag får vi
ρ
−∇ · ∇Φ =
(33)
²0
som efter en enkel omorganisation blir
∇2 Φ = −
ρ
²0
(34)
vilket är Poissons ekvation.
Om vi nu jämför det elektriska fältet kring en punktladdning och dess potential med motsvarande
fältstyrka och potential för en punktmassa
g (r) = −GM
och
Φ (r) = −
r − r0
|r − r0 |
GM
,
|r − r0 |
3
(35)
(36)
så ser vi att samma ekvationer är tillämpbara för ett gravitationsfält om vi byter ut 1/²0 mot 4πG,
och Q mot -M . således för en utbredd mass fördelning ρ(r) erhåller vi Poisson’s ekvation,
∇2 Φ = 4πGρ .
(37)
Det finns många sätt att lösa Poissons ekvation på . En vanlig lösningsmetod är genom en
serieutveckling i egenfunktioner till Laplace-operatorn i olika kroklinjiga koordinat system, vilket
ingår i kursen Fourieranalys. Inom ramen för den här kursen kommer vi att använda en förenklad
variant av denna metod. I två dimensioner kan man använda analytiska funktioner, för vilka
real- och imaginärdelen alltid är harmoniska funktioner, det vill säga de är lösningar till Laplaces
ekvation. En tredje metod snuddade vi vid ovan när vi skrev potentialen som
Z
ρ (r0 ) 1
dV 0 .
(38)
Φ (r) =
0
V 4π²0 |r − r |
Här integrerar vi över hela laddningsfördelningen, vilken antas gå mot 0 tillräckligt fort då r0 går
mot oändligheten. Man kan lägga märke till att
G (r, r0 ) =
4
1
|r − r0 |
(39)
är en icke-trivial lösning till Laplaces ekvation
∇2 Φ = 0
(40)
utanför punkten r0 . Vi kan alltså generera en lösning till Poissons ekvation genom att multiplicera
lösningen G(r, r0 ) till Laplaces ekvation med högerledet i Poissons ekvation, och integrera över hela
den delen av rummet där ρ/²0 är skild från 0. Detta är ett specialfall av en allmän teknik för att
lösa inhomogena differentialekvationer med hjälp av lösningen till en homogen differentialekvation.
Funktionen G kallas för Greens funktion.
5