1
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Räta linjer och plan
RÄTA LINJER OCH PLAN
Räta linjer:
Låt L vara den räta linjen genom
punkten P = ( x1 , y1 , z1 ) som är parallell med
r
r
vektorn v = ( v1 , v 2 , v3 ) ≠ 0 .
P
r
v
Räta linjens ekvation på parameterform ( en vektorekvation)
( x, y , z ) = ( x1 , y1 , z1 ) + t ( v1 , v 2 , v3 )
Räta linjens ekvationer på parameterform: (tre skalärekvationer)
⎧ x = x1 + t ⋅ v1
⎪
⎨ y = y1 + t ⋅ v2
⎪z = z + t ⋅ v
1
3
⎩
===============================================
Plan:
Låt π vara planet genom punkten P = ( x1 , y1 , z1 ) som har
r
r
normalvektorn N = ( A, B, C ) ≠ 0 ;
låt vidare M (x,y,z) vara en godtycklig punkt i planet.
→
r
Då är PM vinkelrät mot normalvektorn N . Därför har vi
följande ekvationer:
N
P
M
r r r
Planets ekvation på vektorform: (r − r1 ) ⋅ N = 0
→
→
r
r
där r = OM = ( x, y, z ) , r1 = OP = ( x1 , y1 , z1 ) och O=(0,0,0)
Planets ekvation på koordinat form ( allmän form, version 1) :
A( x − x1 ) + B ( y − y1 ) + C ( z − z1 ) = 0
Efter förenkling har vi
Planets ekvation på allmän form ( version 2) :
Ax + By + Cz + D = 0
r
r
r
Om planet är parallell med två icke-parallella vektorer a och b skilda från 0 då kan planets
ekvation skrivas på parameterform:
r r
r r
r = r1 + sa + tb
eller ( x, y, z ) = ( x1 , y1 , z1 ) + s (a x , a y , a z ) + t (bx , by , bz ) .
Annat skrivsätt ( med kolonnvektorer)
⎛ x ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ a x ⎞ ⎛ bx ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ y ⎟ = ⎜ y1 ⎟ + s⎜ a y ⎟ + t ⎜ by ⎟
⎜ z ⎟ ⎜ z ⎟ ⎜a ⎟ ⎜b ⎟
⎝ ⎠ ⎝ 1⎠ ⎝ z ⎠ ⎝ z ⎠
===============================================
2
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Räta linjer och plan
Övningsuppgifter:
Uppgift 1.
En rät linje går genom punkterna A=(1,2,3) och B=(3,4,10).
Bestäm linjens ekvation.
r
r
Lösning: v = AB = (2,2,7) är en riktningsvektor.
Linjens ekvation på parameterfårm : (x,y,z)=(1,2,3)+t(2,2,7)
Svar: (x,y,z)=(1,2,3)+t(2,2,7)
Uppgift 2.
Ett plan går genom punkten A=(1,3,1). Planet är parallell med vektorerna
r
r
u = (1,2,3) och v = (1,1,2).
Bestäm planets ekvation
a) på parameterform
N
b) på formen Ax + By + Cz + D = 0 .
Lösning:
v
a) (x,y,z)=(1,3,1)+t(1,2,3)+s
(1,1,2)
r r r
u
b) N = u × v = (1,1,−1) .
Planets ekvation:
A( x − x1 ) + B( y − y1 ) + C ( z − z1 ) = 0 ⇒
1( x − 1) + 1( y − 3) − 1( z − 1) = 0 ⇒
x+ y − z−3=0
Svar: Planets ekvation: x + y − z − 3 = 0
Uppgift 3.
Ett plan går genom punkterna A=(1,1,–2) och B=(–1,5,2) och C=(3,0,2).
Bestäm planets ekvation.
→
→
r
Lösning: N = AB× AC = ( 20,16,−6)
r
r
Vi kan använda punkten A och vektorn N 2 = (10,8,−3) (som är parallell med N ).
A( x − x1 ) + B( y − y1 ) + C ( z − z1 ) = 0 ⇒
10( x − 1) + 8( y − 1) − 3( z + 2) = 0 ⇒
10 x + 8 y − 3z − 24 = 0
Svar: Planets ekvation: 10 x + 8 y − 3z − 24 = 0
Uppgift 4.
Ett plan går genom punkterna A=(1,1,2) och B=(1,2,3). Planet är parallell med linjen
( x, y , z ) = (3,4,5) + t ( 2,1,1)
Bestäm planets ekvation.
Lösning:
r →
r
Vektorerna u = AB = (0,1,1) och linjens riktningsvektor v = ( 2,1,1) är parallella med planet
Bestäm
ekvation.
r r planets
r
N = u × v = (0,2,−2) .
Planets ekvation:
3
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Räta linjer och plan
A( x − x1 ) + B( y − y1 ) + C ( z − z1 ) = 0 ⇒
0( x − 1) + 2( y − 1) − 2( z − 2) = 0 ⇒
2 y − 2z + 2 = 0
Svar: Planets ekvation: y − z + 1 = 0
Uppgift 5.
En rät linje går genom punkten A=(1,2,0). Linjen är ortogonal (vinkelrät) mot planet
x + y + 3z + 1 = 0 . Bestäm linjens ekvation.
r
Lösning: Planets normal v = (1,1,3) är en är en riktningsvektor .
Linjens ekvation på parameterfårm : (x,y,z)=(1,2,0)+t(1,1,3)
Svar: (x,y,z)=(1,2,0)+t(1,1,3)
Uppgift 6.
En rät linje går genom punkten A=(1,2,0). Linjen är parallell med skärningslinjen
mellan planen
x + y + z − 3 = 0 och x + 2 y + 3z + 1 = 0
Bestäm linjens ekvation.
Lösning:
Vi löser systemet med Gaussmetoden:
⎧x + y + z − 3 = 0
⎧x + y + z − 3 = 0
⇒⎨
⎨
⎩ x + 2 y + 3z + 1 = 0 ⎩ y + 2 z + 4 = 0
En fri variabel z=t. y = −4 − 2t x = 3 − y − z ⇒ x = 7 + t
dvs
x =7+t
y = −4 − 2t
z=t
Alltså har skärnings linje ekvation
(x,y,z)=(7,–4,0)+t(1,–2,1)
Den sökta linjen har samma riktnings vektor men går genom punkten A.
Därför:
(x,y,z)=(1,2,0)+t(1,–2,1)
Svar: Linjens ekvation är (x,y,z)=(1,2,0)+t(1,–2,1)
Uppgift 7.
Bestäm eventuella skärningspunkter mellan linjen
(x,y,z)=(1,0,0)+t(1,2,1) och följande plan:
a) x + y + z + 3 = 0
b) x − y + z = 0
Lösning:
Från (x,y,z)=(1,0,0)+t(1,2,1) har vi
c) x − y + z − 1 = 0
4
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Räta linjer och plan
⎧x = 1 + t
⎪
L : ⎨ y = 2t
⎪z = t
⎩
a) Vi substituerar linjens ekvationer x = 1 + t , y = 2t och z = t i planets ekvation
x+ y+ z+3=0
och får
1 + t + 2t + t + 3 = 0 ⇒ t = −1
För t = −1 har vi x=1+t = 0, y=2t = –2 och z = t = –1.
Därmed har vi fått en skärningspunkt P(0, − 2, − 1)
b) Vi substituerar linjens ekvationer x = 1 + t , y = 2t och z = t i planets ekvation
x− y+z=0
och får
1 + t − 2t + t = 0 ⇒ 0 = −1 ⇒ Ingen lösning
c) Vi substituerar linjens ekvationer x = 1 + t , y = 2t och z = t i planets ekvation
x − y + z −1 = 0
och får
1 + t − 2t + t + 1 = 0 ⇒ 0 = 0 , sant för varje t ⇒ varje punkt på linje ligger i planet.
Svar: a) P(0, − 2, − 1)
b) Ingen lösning
c) Linjen ligger i planet.
Uppgift 8.
Bestäm eventuella skärningspunkter mellan följande linjer
(x,y,z)=(1,2,3)+t(1,1,1) och (x,y,z)=(3,5,7)+s(1,2,3).
Lösning:
Linjernas ekvationer kan skriva som
⎧x = 1 + t
⎪
L1 : ⎨ y = 2 + t
⎪z = 3 + t
⎩
,
⎧x = 3 + s
⎪
L2 : ⎨ y = 5 + 2 s
⎪ z = 7 + 3s
⎩
Vi löser systemet:
⎧1 + t = 3 + s
⎧t = 1
⎪
⎨2 + t = 5 + 2 s ⇒ ⎨
⎩ s = −1
⎪3 + t = 7 + 3s
⎩
Härav
x=2, y=3 och z=4
Svar: Skärningspunkten är P=(2,3,4).
Uppgift 9 . Vi betraktar två rymdfarkoster i ett lämpligt vald koordinatsystem.
En rymdfarkost rör sig längs banan (x, y, z)=(2+3t,–1+2t,–3+7t) dvs farkosten befinner sig i
punkten (x,y,z) vid tidpunkten t .
5
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Räta linjer och plan
En annan rymdfarkost rör sig länga banan (x,y,z)=(–1+3t,6–t,–1+4t).
a) Krockar farkosterna? (Motivering krävs!)
b) Skär farkosternas banor varandra? (Motivering krävs!)
Lösning:
a) Svar: Farkosterna kolliderar ej eftersom systemet
2 + 3t = −1 + 3t
− 1 + 2t = 6 − t
− 3 + 7t = − 1 + 4 t
saknar lösningar
b) Både farkosterna rör sig längs räta linjer. Deras banor har följande ekvationer:
L1: (2+3t,–1+2t,–3+7t)
L2: (–1+3s,6–s,–1+4s)
Vi söker skärningen mellan linjerna och får ekvationssystemet
2 + 3t = −1 + 3s
− 1 + 2t = 6 − s
− 3 + 7t = − 1 + 4 s
som har lösningen s=3, t=2.
Svar: Banorna skär varandra.
(Farkost 1 är i skärningspunkter vid tidpunkten t=2 tidsenheter;
farkost 2 är i samma punkt vid tidpunkten t=3 tidsenheter.
r
Uppgift 10. Ett plan α har en normalvektor n = (1,0,3) . Punkterna A = (1,0,1) och
B = (1,2,1) ligger i planet α . Låt L beteckna den linje som går genom punkterna A och B.
a) Bestäm en vektor i planet α som är vinkelrät mot linjen L. (2p)
b) Bestäm en vektor i planet α som bildar 45 graders vinkel mot linjen L. (2p)
Lösning:
a) Vektorn u = (1,2,1)−(1,0,1)=(0,2,0) är linjens riktningsvektor.
Vi söker en vektor som ligger i planet och som är vinkelrät mot linjens riktningsvektor.
r
Alla vektorer som ligger i planet är vinkelräta mot n = (1,0,3). Därför är v vinkelrät mot
r
både n = (1,0,3) och u = (0,2,0).
En sådan vektor är
r r r
i j k
r
r0 3 r1 3 r1 0
r
v = n×u = 1 0 3 = i
− j
+k
= −6i + 2k = ( −6,0,2)
2 0
0 0
0 2
0 2 0
b) Vi normerar vektorerna u och v :
Beteckna uˆ =
1
v
1
−3
1
u
).
, 0,
( −6,0,2) = (
=
(0,2,0) = (0,1,0) och vˆ =
=
10
10
40
4
|u |
|v |
6
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Räta linjer och plan
Vinkelräta enhetsvektorerna û och v̂ spänner upp en kvadrat. Därför blir vinkeln mellan
diagonalen (uˆ + vˆ ) och linjen som bestäms av û lika med 45o . Alltså är vektorn
1
1
−3
−3
, 0,
)=(
, 1,
)
d = uˆ + vˆ = (0,1,0) + (
10
10
10
10
en vektor som bildar 45 graders vinkel mot linjen.
−3
1
Anmärkning: Den andra diagonalen uˆ − vˆ = (
, − 1,
) bildar också en 45 graders
10
10
vinkel mot linjen.
Svar a) (−6,0,2)
b) En lösning är (
( eller en annan vektor parallell med (−6,0,2) , till ex. (−3,0,1) )
−3
1
, 1,
)
10
10
(Varje vektor som är parallell med (
−3
1
−3
1
, 1,
) eller med (
, − 1,
) är också en
10
10
10
10
lösning)
r
Uppgift 11. Låt θ vara vinkeln mellan tredimensionella eller tvådimensionella vektorer a
r
r
θ
θ
r
och b vara. Bestäm en vektor som bildar vinkeln
med a och samma vinkel
med b .
2
2
r
a
Lösning: Som en lösning kan vi ta diagonalen i den romb vars sidor är enhetsvektorer r
|a |
r
r
r
r a
b
b
och r . Alltså d = r + r
|a | |b |
|b |
r
r ar
r
b
Svar: En lösning är d = r + r . Varje vektor av typ kd , k > 0 är också en lösning.
|a | |b |
