MATEMATIK
Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet
Lösningar till tentamen i Matematisk introduktionskurs för IT, TMA235,
2005-08-27
1. (a) A ∪ B = {1, 2, 4, 5, 6, 8, 9}
(b) A ∩ B = {4}
(c) (B \ A) ∩ C = ∅
(d) |A ∪ B| = 7
(e) P(B\A) = {∅, {2}, {5}, {9}, {2, 5}, {2, 9}, {5, 9}, {2, 5, 9}}
2. (a) Vi gör en sanningstabell för uttrycket:
p q r ¬r q ∧ ¬r p ∨ (q ∧ ¬r)
F F F S
F
F
F F S F
F
F
F S F S
S
S
F S S F
F
F
S F F S
F
S
S S F S
S
S
S F S F
F
S
S S S F
F
S
(b) Vi gör en sanningstabell för påståendet:
p q ¬q ¬p ¬q → ¬p p → q (¬q → ¬p) → (p → q)
F F S
S
S
S
S
F S F
S
S
S
S
S F S
F
F
F
S
S S F
F
S
S
S
Vi ser att sista kolumnen enbart innehåller S och därmed är påståendet
sant.
3. (a) Ja, ty eftersom addition är kommutativ så får vi
a ? b = a2 + b2 = b2 + a2 = b ? a.
(b) Nej, t.ex.
1 ? (2 ? 3) = 1 ? 13 = 1 + 169 = 170 medan (1 ? 2) ? 3 = 5 ? 3 = 34.
(c) En identitet e ska uppfylla e ? b = b för alla b. Ekvationen e ? b = b
ger e2 + b2 = b så att e2 = b − b2 vilket inte har en gemensam lösning
för alla b. I själva verket nns det bara lösning om |b| ≤ 1 ty annars
är b − b2 < 0 och då saknar e2 = b − b2 lösning bland heltalen.
(d) Ekvationen är 25 = a ? b = a2 + b2 . Eftersom kvadraterna inte kan
vara negativa så får vi att 0 ≤ a2 , b2 ≤ 25. Detta ger möjligheterna
1
a ∈ {0, ±1, ±2, ±3, ±4, ±5} och samma för b. Testar vi alla möjligheter
så får vi de 12 lösningarna
(a, b) ∈ {(±3, ±4), (±4, ±3), (0, ±5), (±5, 0)}.
4. (a) Man kan t.ex. ta f (x) = x.
(b) Man kan t.ex. ta f (x) = c där c är ett godtycklig reellt tal.
(c) Om x 6= y så gäller att x < y eller x > y . Om f är strängt växande vet
vi då att antingen är f (x) < f (y) eller f (x) > f (y) så f (x) 6= f (y).
Vi får alltså att x 6= y medför att f (x) 6= f (y). Alltså är f injektiv om
den är strängt växande.
Om f är växande men inte är strängt växande så måste det nnas
x och y sådana att f (x) = f (y) och x 6= y , eftersom enda skillnaden
mellan växande och strängt växande är just att en funktion som enbart
är växande kan ha f (x) = f (y) med x 6= y .
(d) Vi har att
N
+1
X
i=2
f (i) −
N
X
f (i) = f (N + 1) − f (1) > 0,
i=1
eftersom N + 1 > 1 ger f (N + 1) > f (1). Det var detta vi skulle visa.
5. (a) Nej, melonerna kan bara väga 82−15+1 = 68 olika vikter på torghandlarens våg och eftersom det nns er än 68 meloner så måste vågen
visa samma för minst två meloner.
(b) Ja, priset för en melon är strängt växande då vikten ökar.
(c) Eftersom f inte är injektiv så kan omöjligt g ◦ f vara injektiv, ty
f (x) = f (y) ger g ◦ f (x) = g ◦ f (y).
2
