A.
integration
!
! dx
! Direkt
! dx
dx
√
,
,
,
2
2
2
cos x
sin x
x ±α
Lär utantill ordentligt. Speciellt
dessa brukar man ha problem med.
√ dx
1−x2
B.
! Partiell
! integration
!
2 e3x dx,
x
sin
xdx,
x
!
! 1
! x arctan xdx,
!
√
ln xdx,
ln xdx, arctan xdx, arcsin xdx
x
C. Olika funktionstyper
1. ex , ln x ingår
Produkter av funktioner
ofta med ln
Pröva först med partiell integration
annars substituera
ex = t
ln x = t
Partialbråksuppdelning
5x−1
A
B
= x+1
+ x−1
x2 −1
!
A. ! f (ex )dx
B. f (ln x)dx
2. Rationella funktioner
! dx
! f ! (x)
=
ln
|x
−
a|
+
c,
f (x) dx
! x−a
(x−a)−n+1
dx
+ c där n > 1
n =
−n+1
! (x−a)
Ax+B
dx = ln . . . + arctan . . .
x2 +px+q
OBS! Nämnaren saknar reella nollställen.
Annars: dela upp i faktorer
3. Kvadratrötter m.m.
√
√
A. x ingår. Ex: 5x − 3
√
B. 3 x ingår
√
√
C. Både
x & 3 x ingår
!
= ln . . .
D. √ 2dx
3x2 +7x+1
x3 (x2 +2x+3)
C
Dx+E
B
=A
x + x2 + x3 + x2 +2x+3
Är täljarens gradtal! nämnarens,
dividera då först
x +px+q
E.
F.
!
!
√ Ax+B
x2 +px+q
"
dx = a x2 + px + q + ln . . .
√ dx
= arcsin . . .
2
"
! "q+px−x
2
G.
x2 + px + qdx eller q + px − x2 eller √x +rx+s
2
x +px+q
H.
√ Ibland bra√med trig. subst.
2
2
√1 − x (jfr 5 − x )
2
√1 + x
x2 − 1
4. Trigonometri
!
!
!
!
A. sin2 xdx, cos2 xdx, sin4 xdx, cos4 xdx
!
!
4
sin
# $% x& sin xdx
*
!
C. f (sin x) cos xdx
B.
sin5 xdx =
!
D. f (tan x)
E.
! Hästsubstitutionen. Bara vid nödfall!
dx
sin x+cos x+1
F.
!
sin 3x cos 2xdx
x = t2 , dx = 2tdt (5x − 3 = t2 )
x = t3 , dx = 3t2 dt
x = t6 , dx = 6t5 dt
Komplettera kvadratuttrycket och jämför med
√
! dx
√
= ln (x + x2 ± a)
2 ±a
x
!
! 2x+3−1
1
√ x+1
√
dx
=
dx = etc.
2
2
x +3x+5
x2 +3x+5
! dx
Som D, men jämför med √1−x2
Hermites rotansatz:
!"
x2 + px
" + qdx =
! cdx
(Ax + B) x2 + px + q + x2 +px+q
Derivera och identifiera!
Uttrycket under rotmärket
blir kvadrater
√
Sätt x = sin t (x = 5 sin t)
Sätt x = tan t
Sätt x = sin1 t
Gå över till dubbla vinkeln mha
cos 2x = 2 cos2 x − 1 = 1 − 2 sin2 x
Udda exponent sätt sin t (eller cos t) = t
∗ = (1 − cos2 x)2 . Sätt cos x = t
Sätt
sin x = t. Är ibland inte uppenbart, t.ex
!
dx
(förläng med sin x)
cos2 x sin x
tan x = t, cos12 x = 1 + tan2 x
2
tan x2 = t, dx = 1+t
2 dt
2
2t
sin x = 1+t2 , cos x = 1−t
1+t2
Produktformelns omvändning
