Föreläsningsexempel i Teknisk mekanik

Rapport LUTFD2/TFHF-3089/1-16/(2013)
Föreläsningsexempel
i Teknisk mekanik
Håkan Hallberg
Avd. för Hållfasthetslära
Lunds Universitet
December 2013
Exempel 1
Två krafter, F1 och F2 , verkar enligt ﬁguren. Bestäm den resulterande kraften till storlek
och riktning.
Svar : Den resulterande kraften är 8.9 kN, riktad 56.6◦ från x-axeln.
y
F1 = 4 N
F2 = 8 N
60◦
30◦
x
Exempel 2
Två bilar, A och B, bogserar ett ﬂygplan längs en rät linje. För detta behövs en kraft på
6 kN riktad längs linjen. Beräkna de nödvändiga krafterna i bogserlinorna.
Svar : De nödvändiga krafterna är FA = 3.6 kN och FB = 2.4 kN.
A
4m
6m
B
Exempel 3
Bestäm storlek och läge för den resultant som motsvarar det givna kraftsystemet.
Svar : Den resulterande kraftens storlek är 3 kN, riktad nedåt, på avståndet 2.67 m från
väggen.
1
8 kN
30 kNm
5 kN
2m
2m
2m
Exempel 4
En wire är spänd mellan två ﬁxa punkter A och B med en spännkraft T = 900N. Uttryck
ey längs koordinataxlarna.
denna kraft som en vektor med hjälp av enhetsvektorerna ex och Ange spännkraften både som en vektor T A i punkten A och som en vektor T B i punkten B. .
Svar : Spännkrafterna är T A = 749
ex − 499
ey N och T B = −749
ex + 499
ey N.
3m
A
2m
y
B
x
Exempel 5
Beskriv kraften F som en vektor.
Svar : Kraftvektorn är F = −300
ex + 520
ey N.
F = 600 N y
30◦
x
Exempel 6
En kraft på 10 N påverkar en låda. Beräkna det moment som kraften ger upphov till med
avseende på punkten A.
Svar : Momentet är MA = 46 Nm (medurs).
2
30◦
4m
10 N
A
3m
Exempel 7
Kranarmen AB i en lyftkran är horisontell. Ändpunkten B har koordinaterna (9,12,36) dm.
Linan är i punkten C fäst vid en sten som ligger i horisontalplanet i koordinaterna (21,21,0) dm.
Kraften i linan är vid detta tillfälle 390 N. Hur stort moment åstadkommer linkraften med
avseende på kranens infästningspunkt i marken?
Svar : Momentvektorn är M O = (−756, 756, −63) Nm och momentets storlek är MO =
1071 Nm.
z
A
B
y
O
x
C
Exempel 8
En ﬁskare har fått napp och ﬁsken sliter i linan med en kraft F = 820 N enligt ﬁgur.
Hur stor komposant har denna kraft i handtagets längdriktning? Punkterna A och B
i ﬁguren ligger båda på ﬁskespöets handtag. Punkterna i ﬁguren har följande koordinater: A = (0, 0, 0) mm, B = (90, 120, 200) mm, C = (900, 1200, 1200) mm och D =
(6900, 9200, −1050) mm.
Svar : Kraftkomposanten i handtagets längdriktning är 336 Nm.
3
C
D
B
F
A
Exempel 9
En balk AB med egentyngden 50 kg är infäst med en led vid A och hålls uppe av en lina
BC enligt ﬁguren. Balken belastas med en vikt på 100 kg i B. Beräkna kraften i linan och
kraften på leden i A.
Svar : Kraften mot leden i punkten A är 2124 N i horisontalled (åt höger) och 245 N i
vertikalled (uppåt). Kraften i linan är 2450 N.
C
30◦
B
A
100 kg
Exempel 10
En 500 mm lång stålstång med kvadratiskt tvärsnitt, 20 × 20 mm, hänger vertikalt. I den
fria ändpunkten hänger dessutom massan 2000 kg. Bestäm hur mycket stången deformeras
i sin nedre ändpunkt och beräkna maximala spänningen i stången.
Svar : Nedre ändpunkten ﬂyttas 0.12 mm nedåt och den maximala spänningen i stången
är 49.14 MPa.
Exempel 11
Hur lång kan en stång av materialet SS1312 vara om den hänger fritt från taket och man
vill undvika plastisk deformation? Antag att materialet har densiteten 7800 kg/m3 .
Svar : Den maximala längden är L = 2.9 km!
4
500 mm
2000 kg
L?
Exempel 12
En väggskiva som väger 500 kg är fastsatt med 4 stålbultar, en vid varje hörn. Bultarna
har diametern 8 mm och längden 5 mm. Beräkna spänningen i bultarna samt hur mycket
skivan sjunker på grund av skjuvdeformationen. Antag materialet i bultarna kan beskrivas
med parametrarna E = 205 GPa och ν = 0.3.
Svar : Skivan sjunker 0.0015 mm och den maximala skjuvspänningen i bultarna är 24.4 MPa.
8 mm
5 mm
Exempel 13
En stålkub med kantlängden 5 cm sänks ned i vatten till djupet 10000 m. Bestäm hur
mycket kuben deformeras.
Svar : Kuben deformeras homogent och normaltöjningen längs kubens sidor är −1.91×10−4 .
5
Exempel 14
I en punkt P på ytan av en kropp registreras spänningskomponenterna σx = 90 MPa,
σy = 210 MPa och τxy = 175 MPa. Bestäm spänningarna i ett snitt i punkten P som är
vinklat 30◦ från x-axeln.
Svar : Vid vinkeln ϕ = 30◦ ﬁnns spänningskomponenterna σϕ = 272 MPa, τϕ = 139 MPa
och σϕ+90◦ = 28.4 MPa.
Exempel 15
Bestäm huvudspänningarna och deras riktningar i punkten P i föregående uppgift.
Svar : Huvudspänningarna är σ1 = 335 MPa och σ2 = −35 MPa. Huvudspänningsriktningarna är α1 = 54.4◦ och α2 = 144.5◦ .
Exempel 16
Ett byggelement består av en plan betongskiva med mått enligt ﬁguren (alla mått är angivna i meter). Bestäm tyngdpunktens läge.
Svar : Tyngdpunktens koordinater är (x, y) = (0.87, 1.93) m om origo sätts i byggelementets
nedre vänstra hörn.
1
2.5
2
0.8
1
2
Exempel 17
Ett akvarium har en rektangulär botten med måtten 500 × 300 mm. Akvariet är fyllt med
vatten upp till 400 mm över bottenytan. Beräkna totala kraften mot bottenytan från övertrycket i vattnet. Beräkna också den totala vattentyngden. Alla mått i ﬁguren är angivna
6
i millimeter.
Svar : Kraften mot bottenytan är 589 N och vattentyngden är 589 N.
400
500
300
Exempel 18
Utför samma beräkningar som i föregående uppgift för ett akvarium som är konstruerat
enligt ﬁgur.
Svar : Kraften mot bottenytan är 589 N och vattentyngden är 74 N.
350
50
500
300
Exempel 19
En stege med längden L står lutad mot en vägg enligt ﬁguren. En person med massan m
har klättrat halvvägs upp på stegen och är i ﬁguren representerad av kraften mg. Hur stor
friktionskoeﬃcient behövs vid marken om stegen inte skall glida och om väggen kan antas
som friktionsfri?
7
Svar : Friktionskoeﬃcienten vid marken bör vara μ > 0.28.
mg
L
L/2
60
◦
Exempel 20
Hur mycket återstår av vridmotståndet Wv respektive vridstyvhetens tvärsnittsfaktor K för
ett rör om det slitsas (skärs upp med ett snitt längs röret)? Medeldiametern är d = 25 mm
och godstjockleken är t = 1 mm.
Svar : Det slitsade röret har kvar 2.67% av vridmotståndet och 0.21% av vridstyvhetens
tvärsnittsfaktor jämfört med det oslitsade röret.
Exempel 21
Två bilar A och B är på väg längs en rak landsväg i 72 km/h och ligger med en lucka på
10 m, då A bestämmer sig för att köra om. A accelererar till 90 km/h på 4 s och behåller
sedan denna hastighet. Omkörningen anses som avslutad då det åter är en lucka på 10 m
mellan bilarna. Hur lång fri siktsträcka s måste A ha då omkörningen påbörjas om A inte
skall kollidera med någon under omkörningen? Man får anta att en mötande bil håller
90 km/h. Hänsyn behöver ej tas till A:s sidorörelse under omkörningen.
Svar : Bil A behöver en fri siktsträcka s = 360 m.
s
A
4m
B
10 m
3m
Exempel 22
En låda kastas ned till en nödställd i Atlanten. Lådans hastighet omedelbart efter islaget
är 20 m/s. Lådans retardation i vattnet blir r = cv där v är dess hastighet och c = 8 s−1 .
8
Hur djupt kommer lådan innan den vänder?.
Svar : Lådan kommer 2.5 m ned i vattnet.
Exempel 23
Ett transportband för fram varor, som när de lämnar bandet skall hamna i en vagn enligt
ﬁguren. Beräkna avståndet s så att varorna inte hamnar utanför vagnen då bandets hastighet är 2 m/s. Varorna är så små att de kan betraktas som punktformiga och luftmotståndet
kan försummas.
Svar : Avståndet måste vara 0.189 ≤ s ≤ 1.189 m.
v=
2m
/s
30◦
3m
s
1m
Exempel 24
En bil kör längs en spiralväg i ett parkeringshus. Bilens läge beskrivs av vektorn r =
(R cos ωt, R sin ωt, Hωt) där R = 7 m, H = 0.6 m och ω = 0.9 s−1 . Bestäm bilens läge,
hastighet och acceleration vid tiden t = 20 s.
Svar : Position r = (4.62, −5.26, 10.8) m, hastighet v = (4.73, 4.16, 0.54) m/s och acceleration a = (−0.66, 0.751, 0)Rω 2 m/s2 .
Exempel 25
När pulkan i ﬁguren når punkten A i backen är pulkans fart 10 m/s, samtidigt som farten
ökar med 3 m/s2 . Hur stor måste backens krökningsradie i punkten A minst vara om den
9
totala accelerationen inte får överskrida 5 m/s2 ?.
Svar : Krökningsradien måste vara minst 25 m.
A
Exempel 26
En grammofontallrik roterar med varvtalet ω = 33 varv/min. Radiellt ut från centrum
ﬁnns ritat en linje. En liten myra som sitter i centrum bestämmer sig för att krypa ut
längs linjen och börjar sin vandring då linjen enligt ﬁguren pekar rakt österut. Myrans avstånd till centrum kan skrivas v0 t där v0 = 5 mm/s är konstant. Ange var myran beﬁnner
sig vid tiden t = 2 s. Beräkna också myrans hastighet och acceleration i detta läge.
Svar : Vid tiden t = 2 s är myran 0.01 m ut från skivans centrum, 36◦ nedanför linjen.
er + 0.346
eθ m/s och accelertaionsvektorn är a =
Myrans hastighetsvektor är v = 0.005
2
−0.119
er + 0.0346
eθ m/s .
ω
Exempel 27
Två massor m1 = 10 kg och m2 = 15 kg är förbundna med en lina som löper över en
lättrörlig och viktlös trissa. Massan m1 ligger på ett plan med lutningsvinkeln 30◦ och friktionskoeﬃcienten mellan massan m1 och planet är μ = 0.3. Beräkna systemets acceleration
då m2 rör sig nedåt. Massorna får betraktas som punktformiga.
Svar : Accelerationen är a = 2.9 m/s2 .
10
m1
m2
30◦
Exempel 28
En byrålåda kilar ofta fast sig när man drar ut den. Detta beror på att kraften angriper
excentriskt. Hur stor excentricitet x kan man tillåta om friktionskoeﬃcienten mellan låda
och byrå är μ? Bortse helt från släpfriktionen mot underlaget.
Svar : Maximalt tillåten excentricitet är x <
d
.
2μ
d
x
Exempel 29
En låda med massan 10 kg knuﬀas iväg med hastigheten 3 m/s längs en transportbana med
utseende enligt ﬁguren. Vid slutet av banan ﬁnns en bromsfjäder för att stoppa massan.
Beräkna maximal hoptryckningen av denna bromsfjäder om fjäderkonstanten är 400 N/cm.
Friktionskoeﬃcienten mellan massan och banan är 0.2.
Svar : Fjädern trycks ihop 9.8 cm.
10 kg
120◦
3m
4m
11
Exempel 30
En låda med massan 30 kg släpas längs ett plan av en kraft P som varierar med tiden enligt diagrammet i ﬁguren. Friktionskoeﬃcienten mellan lådan och planet är 0.15. Beräkna
lådans hastighet vid tiden t = 10 s om den är stillastående vid tiden t = 0.
Svar : Hastigheten vid tiden t = 10 s är 10.3 m/s.
P [N]
150
30 kg
P
10 t [s]
Exempel 31
Två bilar kolliderar front mot front. Den ena bilen har massan 1100 kg och hastigheten
90 km/h. Den andra bilen har massan 1000 kg. Efter kollisionen glider de båda bilarna
sammankopplade 3 m motsatt färdriktningen för den större bilen. Beräkna den mindre
bilens hastighet före kollisionen om friktionskoeﬃcienten mot vägbanan är 0.55.
Svar : Innan kollisionen var den mindre bilens hastighet 142 km/h.
Exempel 32
En ishockeypuck glider över isen och är på väg att slå emot sargen i en vinkel α = 30◦ .
Studskoeﬃcienten mot sargen beräknas till 0.6. I vilken vinkel kommer pucken att studsa
ut från sargen?
Svar : Pucken studsar ut i vinkeln 19.1◦ från sargen.
α
12
Exempel 33
Rita tvärkrafts- och momentdiagram för balken i ﬁguren.
Svar : Tvärkraften är F för 0 ≤ x ≤ L och −F/2 för L ≤ x ≤ 3L. Momentet ökar linjärt
från noll vid x = 0 till F L vid x = L och sedan linjärt tillbaka ned till noll igen vid x = 3L.
P
L
2L
Exempel 34
Rita tvärkrafts- och momentdiagram för balken i ﬁguren och bestäm det maximala momentet.
x 2
x
Svar : Tvärkraften varierar enligt T (x) = Q Lx − 12 och momentet enligt Mb (x) = QL
.
−
2
L
L
Maxmomentet uppträder vid x = L/2 vilket ger Mb,max = − QL
.
8
Q
L
Exempel 35
Bestäm lämplig I-proﬁl för balken i ﬁguren så att den maximala spänningen i balken inte
överstiger 110 N/mm2 .
Svar : Lämplig I-proﬁl är I180.
Exempel 36
En konsolbalk med proﬁl I100 är belastad med en kraft F så att den nätt och jämnt plasticeras. Bestäm nedböjningen δ och lutningen θ vid balkens fria ände. Materialet i balken är
13
140 kN
1m
3m
1m
SS1312.
Svar : Nedböjningen är δ = 7.15 mm och lutningen (rotationen) är θ = 0.615◦ .
F
δ
θ
1m
Exempel 37
Balken i ﬁguren har längden L = 2 m och är belastad med en last som varierar linjärt från
q1 = 5 kN/m till q2 = 8 kN/m. Beräkna nedböjningen mitt på balken och balkens lutning
vid det högra stödet. Balkproﬁlen är VKR80 × 80 × 4.
Svar : Nedböjningen mitt på balken är 5.7 mm och lutningen vid det högra stödet är 0.53◦ .
q2
q1
L
Exempel 38
Ett hjul med radien R rullar med centrumhastigheten v0 längs ett plan utan att glida.
Bestäm hastigheten i punkterna A, B, C och D.
Svar : Hastigheterna i punkterna är: v A = (v0 , v0 , 0), v B = (2v0 , 0, 0), v C = (v0 , −v0 , 0) och
v D = (0, 0, 0).
14
B
v0
A
C
D
Exempel 39
En trådrulle med mått enligt ﬁguren ligger på ett horisontellt underlag. En bit av tråden
har lindats av och genom att dra i den fria trådändan kan trådrullen fås att röra sig längs
planet. Bestäm hastigheten för rullens centrum om trådänden har hastigheten 0.1 m/s.
Antag att rullen inte glider mot underlaget.
Svar : Rullens centrum har hastigheten 0.15 m/s (åt höger).
60 mm
20 mm
0.1 m/s
Exempel 40
En bil med massan 1200 kg retarderas med 3 m/s2 . Beräkna den sammanlagda normalkraften mot framhjulen om endast dessa hjul bromsar bilen.
Svar : Den sammanlagda normalkraften mot framhjulen är 8260 N.
3m
1.2 m
TP
1m
15
Exempel 41
Två massor, m1 = 100 kg och m2 = 150 kg, är förbundna med en lina som är lagd över en
linskiva enligt ﬁguren. Linskivan är friktionsfritt lagrad på en axel genom skivans centrum
och dess radie är R = 200 mm. Masströghetsmomentet med avseende på denna axel är
12 kg·m2 . Beräkna den stora massans acceleration om linan inte glider mot skivan.
Svar : Den stora massans acceleration är 0.89 m/s2 (nedåt).
R
m1
m2
Exempel 42
En homogen cylinder med massan m och radien R rullar nedför ett plan med lutningsvinkeln ϕ. Beräkna tyngdpunktens initiella acceleration.
Svar : Tyngdpunktens acceleration är
2g
3
sin ϕ.
R
ϕ
16

Föreläsningsexempel i Teknisk mekanik

Related documents

Products

Support

Föreläsningsexempel i Teknisk mekanik

Related documents

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib