MATEMATIK
Göteborgs universitet
js
Lösningar till tentamensskrivningen
LMA 100 , Geometri och linjär algebra, 20040112
1. Formulera och bevisa Pythagoras’ sats.
Se kompendiet om Euklidisk geometri och övningarna.
2. Visa att en fyrhörning är en parallellogram om och endast om dess diagonaler delar
varandra mitt itu.
Antag att diagonalerna delar varandra mitt itu. Låt M vara skärningspunkten. Motsatta vinklarna ∠AM B och ∠CM D är lika. Givet är att |AM | = |CM |, |BM | = |DM |. Enligt
S–V–S är 4AM D ∼
= 4CM D , så vinklarna ∠CAB och ∠ACD är lika och därmed är
AB k CD . På samma sätt ger 4AM D ∼
= 4CM B att AD k BC , vilket visar att ABCD
är en parallellogram.
Omvänt, alternatvinklarna ∠CAB och ∠ACD är lika, liksom ∠ACB och ∠CAD . Fallet
(V–S–V) ger 4ACB ∼
= 4CAD och därmed |AD| = |BC|. Låt M vara diagonalernas
skärningspunkt. Alternatvinklarna ∠ADB och ∠CBD är lika, så 4AM D ∼
= 4CM B ,
(V–S–V). Detta betyder att |AM | = |M C| och |BM | = |M D|.
3. Visa att vinkelsumman i en triangel är 180◦ .
Dra i 4ABC en linje DE genom C , parallell med AB Alternatvinklarna ∠ABC och
∠BCE är kongruenta, liksom ∠BAC och ∠ACD . Därmed är vinkelsumman i triangeln
lika med vinkelsumman ∠ACD plus ∠C plus ∠BCE , som är 180◦ .
4. Två cirklar skär varandra i punkterna A och B . Från två punkter X och Y på den ena
cirkeln dras linjerna XA, XB , Y A och Y B , som skär den andra cirkeln i punkterna
P1 , Q1 , P2 och Q2 (se figuren nedan).
X
B
QT
PSfrag replacementsY
A
B
X
Y
Q1
Q2
P1
P2
A
QE
PE
PT
Visa att cirkelbågarna P1 Q1 och P2 Q2 är lika stora.
Vinklarna ∠Y AX och ∠Y BX är lika som periferivinklar på samma båge Y X . Deras motstående vinklar ∠P1 AP2 och ∠Q1 BQ2 är därmed också lika stora. Bågarna P1 P2 och Q1 Q2
är således lika stora. Genom att lägga till bågen P2 Q1 får vi att cirkelbågarna P1 Q1 och
P2 Q2 är lika stora.
5. Bestäm minsta avståndet från punkten (4, −2, 2) till linjen genom punkterna (3, −1, 1)
och (1, 0, 1).
µ ¶ µ ¶
µ ¶
x
1
2
Linjen genom (3, −1, 1) och (1, 0, 1) ges i parameterform av y = 0 + t −1 och
z
1
0
µµ ¶
µ ¶¶ µ ¶ µ
¶
µ ¶
1
2
4
−3 + 2t
2
0
2−t
avståndet är minst när
+ t −1
− −2 =
är vinkelrät mot −1 ,
0
2
−1
0
µ
¶ µ 1¶
−3 + 2t
2
2−t
dvs 0=
· −1 = 2(−3 + 2t) − (2 − t) = −8 + 5t. Så t = 58 och avståndet är
−1
µ 0¶
µ ¶
1/5
1
√
√
1
längden av vektorn 2/5 = 5 2 . Svaret är 15 1 + 4 + 25 = 15 30.
−1
−5
6. Bestäm ekvationen för planet som innehåller de tre punkterna (3, 0, 2), (1, −1, 2) och
(4, 1, 3).
µ ¶ µ ¶ µ ¶
µ ¶
1
3
−2
4
Normalvektorn till planet är vinkelrät mot vektorerna −1 − 0 = −1 och 1 −
2
0
3
µ ¶ µ ¶
µ ¶ µ ¶2 µ ¶
3
1
−2
1
−1
0
= 1 och fås som vektorprodukt −1 × 1 = 2 . En annan normalvektor
2
0
1
−1
µ ¶ 1
1
är −2 .
1
Ekvationen är x − 2y + z = 5.
7. Bestäm den geometriska betydelsen av ekvationen x2 + y 2 + 4x − 2y = 6.
Kvadratkomplettering ger ekvationen
(x + 2)2 + (y − 1)2 = 11, som beskriver en cirkel med
√
medelpinku (−2, 1) och radie 11.
