Föreläsning 13

1
Föreläsning 13
12.2.1, 10.1.1–10.1.2, 10.1.4 i Griffiths
Vi kommer nu till hur elektromagnetiska vågor genereras!
Fält från strömmar i tidsdomänen (kursivt)
∂V
= 0 för vektorpotentialen A och den skalära poten∂t
tialen V leder till att den magnetiska vektorpotentialen A(r, t) satisfierar vågekvationen
1 ∂ 2 A(r, t)
∇2 A(r, t) − 2
= −J
(0.1)
c
∂t2
√
där c = 1/ εµ och där J är den fria strömtätheten. Lösningen är
ZZZ
J (r ′ , t − |r − r ′ |/c) ′
dv
A(r, t) =
4π|r − r ′ |
R3
Lorentzgaugen ∇ · A + µ0 ε0
1
∇ × A. För att få fram
µ0
det elektriska fältet utanför källan kan vi antingen använda Ampères lag, eller som
∂A
. Det resulterar i Jefimenkos ekvation, se
Griffiths gör, använda E = −∇V −
∂t
avsnitt 10.2.2.
Från vektorpotentialen får vi magnetfältet genom H =
Retarderad tid
Tidsargumentet t − |r − r′ |/c i strömtätheten i ekvation (0.1) talar om att det tar
tiden |r − r ′ |/c för signalen att färdas sträckan |r − r ′ |. Signalen färdas alltså med
ljushastigheten c och lösningen är därmed kausal. Det är egentligen det enda vi
kommer att använda från tidsdomänen. Det är betydligt enklare att lösa Maxwells
ekvationer i frekvensdomänen och det är det resten av denna sammanfattning handlar om.
Fält från strömmar i frekvensdomänen
De flesta signaler är tidsharmoniska, d.v.s. varierar sinusformat i tiden. Om signalerna inte är tidshrmoniska kan vi genom en Fouriertransform gå över till frekvensplanet, lösa ekvationerna där för att sedan gå tillbaka till tidsplanet via en invers
Fouriertransform.
Vi studerar tidsharmoniska fält (e−iωt ) och inför de komplexa fälten via

−iωt

 J (r, t) = Re J (r)e
H(r, t) = Re H(r)e−iωt


E(r, t) = Re E(r)e−iωt
2
Den komplexa vektorpotentialen ges av (se Griffiths)
ZZZ
′
J (r′ ))eik|r−r |
dv ′
A(r) =
′|
4π|r
−
r
3
R
Magnetfältet ges av
H(r) = ∇ ×
ZZZ
′
J (r ′ )
R3
eik|r−r |
dv ′
4π|r − r ′ |
Utanför det område där det finns källor ges det elektriska fältet av Ampères lag,
E(r) = −
1
∇ × H(r)
iωε
r utanför källorna
För att bestämma E behöver vi alltså gå igenom kedjan J ⇒ A ⇒ H ⇒ E.
Rak trådantenn
Låt en tidsharmonisk ström flyta längs en tråd med längd 2h.
r
z
h
Matningskälla
(generator)
{h
Volymsintegralen för vektorpotentialen övergår i en linjeintegral eftersom strömtätheten nu är begränsad till en linje längs z-axeln (J(r ′ ) dv ′ → I(z ′ )ẑ dz ′ ).
Z h
′
eik|r−z ẑ|
′
dz ′
A(r) = µẑ
I(z )
′ ẑ|
4π|r
−
z
−h
Elementardipol
Om längden 2h är mycket kortare än våglängden λ = 2π/k gäller
kh ≪ 1
3
och vi approximerar |r − z ′ ẑ| ≈ r. Resultatet blir
µeikr
A(r) = ẑ
4πr
Z
h
I(z ′ ) dz ′
−h
Vi inför antennens elektriska dipolmoment1
Z
iẑ h
p = pẑ =
I(z ′ ) dz ′
ω −h
och antennens magnetiska vektorpotential blir
A(r) = −iωµ
eikr
p
4πr
och det magnetiska fältet och det elektriska fältet blir efter differentiering
ikr 1
eikr
1
eikr
e
H(r) = ∇×A(r) = −iω∇×
×p = −iω
ik −
p = −iω ∇
r̂×p
µ
4πr
4πr
4πr
r
På stort avstånd från antennen, det s.k. fjärrfältet i fjärrzonen, blir (k = ω/c)
ω 2 eikr
r̂ × p (fjärrzon)
H(r) =
c 4πr
Nära dipolen i den s.k. närzonen dominerar den andra termen (närfältet)
eikr
r̂ × p (närzon)
H(r) = iω
4πr 2
Storleksskillnaden mellan närfältet och fjärrfältet är
kr =
ωr
c
vilket är ett mycket litet tal utom då ω eller r är stort.
Det dominerande elektriska fältet i fjärrzonen blir mha. Ampères lag
E(r) = −
k 2 eikr
eikr
1
∇ × H(r) = −
r̂ × (r̂ × p) = F (r̂)
iωε
ε 4πr
r
där fjärrfältsamplituden F (r̂) blir
F (r̂) = −
1
k2
r̂ × (r̂ × p)
4πε
Jämför detta uttryck med
Z Z
dQ
′
dt′ = Q2h
dz
dt′
4
Kommentar: För sfäriska vågor E(r) gäller att ∇ operatorn kan bytas mot ikr̂,
dvs. ∇ × E(r) = ikr̂ × E(r) osv. Planvågssambandet H = η0−1 r̂ × E gäller även
för sfäriska vågor.
Anmärkning: Om elementardipolenen inte är placerad i origo utan i punkten r 0
gäller att fjärrfältsamplituden blir
F (r̂) = −
Sammanfattningsvis:
är:
k2
r̂ × (r̂ × p) e−ikr̂·r0
4πε
Det elektromagnetiska fältet i fjärrzonen (strålningsfältet)
k 2 eikr
r̂ × (r̂ × p)
4πε r
k 2 c eikr
r̂ × p
H(r) =
4π r
E(r) = −
Speciellt, p = pẑ

k 2 p eikr


 E(r) = −θ̂
sin θ
4πε r

k 2 cp eikr

 H(r) = −φ̂
sin θ
4π r
E
r^
H
p
Antenn
p
Notera att Eθ /Hφ = 1/εc = µ/ε = materialets vågimpedans (liknar planvågsrelationen).
Strålningsfunktionen för det elektriska definieras som
f (θ) =
Eθ
= sin θ
max |Eθ |
Denna funktion visas grafiskt i strålningsdiagrammet
5
z
x
Effektflödet ges av Poyntings vektor
<S(t)>=
1
1
k 4 c|p|2
Re {E × H ∗ } = r̂|E|2 = r̂
sin2 θ
2
2η
32π 2 εr 2
Notera, att effekten strålar radiellt ut ∼ r12 .
Totalt utstrålad effekt
ZZ
k 4 c|p|2
P =
<S(t)> ·r̂ dS =
12πε
Sfär med radie r
Rak trådantenn, återbesök
Från ovan har vi den magnetiska vektorpotentialen
Z h
′
eik|r−z ẑ|
′
dz ′
A(r) = µẑ
I(z )
′ ẑ|
4π|r
−
z
−h
Om inte antennen är elektriskt kort (kh ≪ 1) kan vi inte göra approximationerna
som leder fram till elementardipoluttrycken.
Vi specificerar strömmen (egentligen ett randvärdesproblem som måste lösas)
I(z) = I0 sin(k(h − |z|))
Denna ström är symmetrisk kring z = 0 och satisfierar I(±h) = 0, dvs. ingen ström
i ändpunkterna.
Approximation på stora avstånd r (cos θ = r̂ · ẑ)
p
p
|r − z ′ ẑ| = r 2 + z ′ 2 − 2rz ′ cos θ = r 1 + (z ′ /r)2 − 2(z ′ /r) cos θ
Använd (1 + x)1/2 = 1 + x/2 + O(x2 ) för att komma fram till
|r − z ′ ẑ| = r 1 − (z ′ /r) cos θ + O((z ′ /r)2 ) ≈ r − z ′ cos θ
På stora avstånd blir därför den magnetiska vektorpotentialen approximativt
Z h
′
eik|r−z ẑ|
′
dz ′
A(r) =µI0 ẑ
sin(k(h − |z |))
′ ẑ|
4π|r
−
z
−h
Z h
′
eikr e−ikz cos θ
eikr
′
′
≈ = µI0 ẑ
sin(k(h − |z |))
dz = F (θ)
4πr
r
−h
6
där strålningsfunktionen F är
F (θ) = µI0 ẑ
Z
h
−h
′
sin(k(h − |z ′ |))
e−ikz cos θ
dz ′
4π
som kan beräknas i elementära integraler
F (θ) =
µI0 ẑ
(cos(kh cos θ) − cos kh)
2πk sin2 θ
Därefter kan E och H beräknas.