Mål - IFM

Mål






Matematiska
modeller
Biologi/Kemi
Datorer
muntlig
presentation
skriftlig
presentation
projektplanering
Kursens
uppläggning





Föreläsning
introduktion till projekt
eget arbete med
projekt
skriftlig redovisning
av projekt
muntlig presentation
av projekt

Uno Wennergren
Beräkningsbiolog
 Ekologisk
odling
 Hotade arter
 Smittspridning
 Djurskydd
Ämnen
Följer kapitlen i boken

Grundläggande om modeller

Diskreta processer
 Deterministiska
modeller
 Stokastiska modeller

Kontinuerliga processer
 Deterministiska
modeller
 Stokastiska modeller
Metoder/Verktyg

Grafiska metoder
Kalkylblad
- Cobweb
- Excel

Programmering
- Matlab

Matematisk analys

Metoder/Verktyg




Projektplanering
PowerPoint
Excel
Datorpresentation-OH
projektor
Projekt



Gör projektplan, tidsdisposition
Problemformulering
Bestäm
 typ
av matematisk modell
 vilka metoder/verktyg som behövs
 hur modellen skall prövas och
presenteras






Slutlig projektplan
Konstruera modell
Pröva modellen
Skriftlig redovisning
Förbered muntlig redovisning
Analysera projektet och dess
planering
Grundläggande
om modeller



En modell skall beskriva
verkligheten
En matematisk modell
använder ekvationer för
att beskriva verkligheten
Två modell nivåer
Dn/dt=rn(t)
Komplexa
verkligheten
I
II
Förenklad
verklighet
Matematiska
ekvationer
Diskreta Dynamiska
system

Diskreta processer
 händelser
sker stegvis
 perenner
reproduktion (frö) 1 ggr/år

Kontinuerliga processer
 händelser
sker hela tiden
 smågnagare
reproduktion under hela året


perenners överlevnad?
insekters reproduktion?
i
tempererade klimat?
Deterministiska
modeller





Modellerna tar inte hänsyn till
sannolikheter, parametrar är
konstanta
Alla processer är densamma och
enbart en specifik kedja av händelser
Resultatet är ‘förutsägbart’: ett värde
Stokastiska modeller innefattar
sannolikheter
Resultatet är en mängd värden

en enskild process resulterar i en av
dessa värden
Rekursiva
Talföljder

Den ekvation som genom att
utifrån ett antal föregående
värden räkna ut ett nytt värde.
Kan alltså vara utifrån hur många
celler det fanns föregående
infektion och hur många det fanns
infektionen innan osv allt
beroende på vad som skall
beskrivas. Obs specifika steg
Rekursiva
Talföljder




Allmän form
x(n)=f(x(n-1),x(n-2),….)
ordningen på talföljden bestäms
utifrån hur många steg som ingår i
formeln
x(n)=7x(n-5)
är femte ordningens talföljd.
Hur många initialvärden behövs?
Antag enkel tillväxt
x(n+1)=Rx(n)
Differensekvationer
(talföljder)

Första ordningens
f(x(n-1)) =x(n)-x(n-1)

jmf med derivata
df
f ( x  h)  f ( x )

,h  0
dx
h
Box diagram
Tillväxt

 x(n)-x(n-1)=rx(n-1)
 x(n+1)=x(n)(1+r)
rx
Population x
tillväxt
bx
Population x
födsel
i
(1-s)x
‘dödslar’
immigration
Matematisk
analys

Enklaste linjära rekursiva
talföljden
x(n+1)=Rx(n)
har lösningen
x(n)=Rnx(0)

växer exponentiellt för R>1
avtar exponentiellt för 0<R<1
oscillerar för R<-1
konstant eller oscillerar
mellan två punkter om
R0,1,-1
-1<R<0???

Kalkylblad


Klick och dra
relativa adresser
 =C1*B4

absoluta adresser
 =$C1*B5
 =$C$1*B5
rate=
Time Population
0
100
1
103
1.03
Matematisk
analys

Jämviktspunkter
 är
den stabil, eller instabil
jmf med vågdal kontra
toppen på en ‘kulle’, vart
rullar kulan

Bestäm jämviktspunkter med
att sätta alla
x ( n)  x
 x(n+1)=Rx(n)
+a
ger
a
x  Rx  a  x 
1 R
Matematisk
analys

Jämviktspunkter
 x(n+1)=Rx(n)
ger
+a
x(i)  x
a
x  Rx  a  x 
1 R
obs initialvärde påverkar ej
jämviktspunkten
 jämviktspunkten är stabil om och
endast om
f '(x)  1
xn=f(xn-1)
Cobweb Diagram

Grafisk metod för att
bestäma jämviktspunkter
y
y=x
Stabil jämvikt
y=f(x)
x
y=f(x) är diskret linjär modell
t ex x(n+1)=-0.5x(n)+4 blir
y=-0.5x+4
Cobweb diagram


Startvärde x*
nästa steg är y=f(x)
y
y=x
y=f(x)
x*
x
Cobweb diagram

Nästa tidsteg är x=y
y
y=x
y=f(x)
x*
x
Cobweb diagram

Och då blir y=f(x)
y
y=x
y=f(x)
x*
x
Cobweb diagram

Och sedan fortsätter
detta, dvs nästa tidsteg
är x=y
y
y=x
y=f(x)
x*
x
Cobweb diagram

Och y blir då y=f(x)
y
y=x
y=f(x)
x*
Detta kan man fortsätta med.
Om figuren stegar sig in
mot punkten så är det en
stabil jämvikt
x
Cobweb diagram

Om figuren stegar sig
bort från jämviktspunkten
så är jämvikten instabil
y
y=f(x)
y=x
x*
x
Linjär rekursiv talföljd
med konstanta
koefficienter


Bestäm lösning, jmf med
x(n)=Rnx(0)
En linjär kombination av x(i) termer,
t ex m st termer:
a0 x(n)  a1 x(n  1)  a2 x(n  2)  ....
.......am1 x(n  (m  1))  am x(n  m)  0
I detta fallet en homogen ekvation
eftersom högerledet är 0. Jmf med
enklaste linjära homogena
ekvationen: ax=0

Bestäm rötterna till karakteristiska
ekvationen, Matlab funktion r =
roots(c)
karakteristiska
ekvationen

Antag lösningen:
x ( n )  C
n
Efter förenklingar:
a0n  a1n1  a2n2  ....amn( m1)  am  0

Bestäm rötterna till
karakteristiska ekvationen,
Matlab funktion r = roots(c)
karakteristiska
ekvationen

Bestäm rötterna till
karakteristiska ekvationen,
Matlab funktion r = roots(c)
a0n  a1n1  a2n2  ....amn( m1)  am  0
för x(n)-2x(n-1)+x(n-2)=0
n 1
C  2C
n
 C
  2  1  0
2
n2
1
» r=roots([1 -2 -1])
r =2.4142 -0.4142
0
karakteristiska
ekvationen

Rötterna till
för x(n)-2x(n-1)+x(n-2)=0
n 1
C  2C
n
n2
 C
0
  2  1  0
2





1
» r=roots([1 -2 -1])
r =2.4142 -0.4142
allmän lösning
x(n)=C12.4142n - C20.4142n
partikulär lösning, vi vet att
x(0)=0 och x(1)=1 ger att
C1+C2=0 och
1= C12.4142 - C20.4142
C1=1/2, C2=-1/2
karakteristiska
ekvationen

Rötterna till
för x(n)-2x(n-1)+x(n-2)=0
x(n)=C12.4142n - C20.4142n
C1=1/2, C2=-1/2
ger partikulär lösningen

x(n)=1/2(2.4142n - 0.4142n)
för stora n så dominerar första
termen (har störst
absolutvärde )
x(n)1/2(2.4142n)
Begränsad
populationstillväxt

enklaste antagandet :
(förenklad verklighet)
 när
populationen är noll så
sker ingen begränsning dvs
max tillväxt R
 när
populationen är vid sin
jämviktspopulation så är
begränsning sådan att
tillväxten är noll
 Detta
ger att kurvan för hur
tillväxten beror av
populationens storlek skall gå
genom punkterna (0,R),(K,0)
Begränsad
populationstillväxt
 kurvan
Tillväxt
r(x)
R
för hur tillväxten
beror av populationens
storlek skall gå genom
punkterna (0,R),(K,0)
r ( x)  R  
R
( x  0)
K
K
Linjära modellen:
population x
R
r ( x )  R   ( x  0)
K
R
Tillväxt
r(x)
K population x
Linjära modellen:
R
r ( x )  R   ( x  0)
K
Eftersom x(n)-x(n-1)=r(x(n-1))x(n-1)
eller bättre x(n+1)=x(n)(r(x(n))+1)
med r(x) enligt ovan får vi att
x ( n)
x(n  1)  x(n)( R(1 
)  1)
K
x ( n)
x(n  1)  x(n)( R (1 
)  1)
K
I högerledet finns en kvadratisk term,
x(n), alltså en icke linjär ekvation.
För att bestämma jämviktspunkterna
studerar vi
x
x  x ( R (1  )  1)
K
Denna andragradsekvation har
två jämviktspunkter, x  0, x  K .
Bestäm karaktären hos jämviktspunkterna:
2 Rx
f ´( x)  R 
1
K
Alltså pröva
x  0, x  K i f ´( x)
2 Rx
f ´( x)  R 
1
K
x  0, f ´(0)  R  1,
stabil jämvikt om
R  1  1  2  R  0
x  K , f ´( K )  1  R,
stabil jämvikt om
1 R  1  0  R  2
Om obegränsad tillväxt, R, är större
än eller lika med 2 så har
populationen ingen stabil jämvikt
och för höga R så uppträder kaos.
Reaktionskinetik

k p1
A + B2 
Differens ekvation:

p1(t+1)-p1(t)=k*A(t)*B(t)
A(t+1)-A(t)=-k*A(t)*B(t)

B(t+1)-B(t)=-k*A(t)*B(t)

q1=A(t)+p1(t) är konstant
q2=B(t)+p1(t) är konstant
p1(t+1)-p1(t)=
k*(q1-p1(t))*(q2-p1(t))
Koncentrationer
Värd-parasit
modell

Antaganden (förenklad
verklighet):
N-värdpopulationen tillväxer
enligt begränsad tillväxt,
logistisk ekvation
N ( n)
N (n  1)  N (n)( R (1 
)  1)
Lägg till en term som K
representerar hur överlvnaden
minskar med ökat antal
parasiter
N ( n)
N (n  1)  N (n)( R(1 
)  1)  CN (n) P(n)
K
Värd-parasit
modell

Värdpopulationens ekvation
N ( n)
N (n  1)  N (n)( R(1 
)  1)  CN (n) P(n)
K

Parasit populationen beror av
sannolikheten att parasit och
värd möts, t ex proportionell
till mot produkten NP
P(n  1)  QN (n) P(n)
Värd-parasit
modell
System av ickelinjära
differens ekvationer
N ( n)
N (n  1)  N (n)( R(1 
)  1)  CN (n) P(n)
K
P(n  1)  QN (n) P(n)

Studera jämvikter
N
N  N ( R(1  )  1)  CNP
K
P  QN P



Lösningar (N,P):
(K,0)
(1/Q,R/C(1-1/(QK)))
(0,0)









Kunskapstaxonomi fritt efter Benjamin
Bloom
Fakta. Ange, räkna upp fakta, definiera
begrepp.
Enkel begränsad kunskap.
Beskrivning. Innebörden av begrepp och
fakta. Tolka, motivera, relatera till
varandra.
Tillämpning. Vad är innehållet användbart
till. Observera, beräkna, kalkylera,
formulera, konstruera, lösa givna
problem.
Analys. Bryta ner innehållet, dela upp,
gruppera om, jämföra, generalisera se
nya problem.
Syntes. Dra slutsatser, formulera regler,
se samband också med annan kunskap,
resonera, diskutera, skapa nytt.
Värdering. Avge omdömen, kritisera,
värdera olika kunskap, hypoteser och
teorier mot varandra.
Komplex, vidsträckt kunskap.