Rationella tal
Låt oss skissa hur man definierar de rationella talen utifrån heltalen. Förutom
att det ger en inblick i hur matematiken är uppbyggd, är detta är ett bra exempel
på ekvivalensrelationer och ekvivalensklasser.
Mängden {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .} av heltal betecknas Z. Om a, b och c är heltal
gäller, bland annat, följande räkneregler:
• Associativa lagen för multiplikation: (ab)c = a(bc).
• Kommutativa lagen för multiplikation: ab = ba.
• Kansellering för multiplikation: Om c 6= 0 gäller det att ac = bc medför
a = b.
Låt X vara mängden av par av heltal (a, b) där b 6= 0. Vi inför en relation
E på mängden X genom att säga att (a, b)E(c, d) om ad = bc. Detta är en
ekvivalensrelation! För att se det, låter vi (a, b), (c, d) och (e, f ) vara element i
X.
Reflexiv: Relationen (a, b)E(a, b) är alltid uppfylld eftersom ab = ba (kommutativa lagen).
Symmetrisk: Relationen (a, b)E(c, d) är ekvivalent med ad = bc som är ekvivalent med cb = da som är ekvivalent med (c, d)E(a, b). (kommutativa lagen)
Transitiv: Antag att (a, b)E(c, d) och (c, d)E(e, f ). Då gäller ad = bc och cf =
de. Vi vill visa att (a, b)E(e, f ), vilket är det samma som af = be. Vi gör
uträkningen
(af )d = a(f d) = a(df ) = (ad)f = (bc)f = b(cf ) = b(de) = b(ed) = (be)d
där vi använder kommutativa och associativa lagen. Enligt förutsättningen gäller
d 6= 0. Alltså kan vi kansellera d och få af = be.
Definition. Vi definierar QQ som mängden av ekvivalensklasser av X under
ekvivalensrelationen E. Vi inför notationen
a
:= [(a, b)]
b
för ekvivalensklassen som hör till (a, b) ∈ X.
På mängden QQ definerar man sedan de vanliga räkneoperationerna och ordningsrelationerna. Exempelvis definieras addition ⊕ som
a
c
ad + bc
⊕ :=
b
d
bd
1
och multiplikation ⊗ som
a
c
ac
⊗ := .
b
d
bd
Man måste kontrollera att operationerna är väldefinierade. Om vi exempelvis
har
c
a
a0
c0
= 0,
= 0
b
b
d
d
så vill vi ju att
c0
a0 d0 + b0 c0
a0
⊕ 0 :=
0
b
d
b0 d0
ska vara samma ekvivalensklass som
ad + bc
.
bd
När man gjort det får man gång igång och härleda räknelagarna för rationella
tal.
Notera att jag använder andra symboler för addition och multiplikation av rationella tal än för addition och multiplikation av heltal. Detta är för att understryka att vi använder oss av de gamla operationerna för att definiera nya. När
man visat att de nya operationerna uppfyller rätt egenskaper, övergår man till
att kalla dem + och · också. Vi betraktar normalt också Z som en delmängd
till QQ. För att rättfärdiga det, behöver man visa att funktionen Z → QQ som
ges av n 7→ n/1 är injektiv.
Sammantaget är det med andra ord en ganska mödosam process. Det är en bra
träning att prova att göra några av stegen nogrannt, men sedan kan man med
gott samvete strunta i resten och vara glad att någon annan redan gjort jobbet.
Division och rest
Definition. Låt a, b ∈ Z vara två heltal. Vi säger att a delar b, eller att a är
en delare till b, om det existerar ett tredje heltal m sådant att a · m = b. Detta
betecknas a|b.
Detta ger en relation på mängden av heltal, som dock inte är en ekvivalensrelation. Notera att | är just en relation, och inte ska blandas ihop med räknesättet
division.
Exempel 1. Vi har exempelvis 2|14 och −2|14. Vidare gäller a|0, 1|a och −1|a
för alla a ∈ Z.
Sats (Divisionsalgoritmen). För alla heltal a, b ∈ Z finns det ett unikt par av
heltal q, r ∈ Z sådana att
a = q · b + r,
0 ≤ r < |b|
2
Positionssystem
För att beskriva heltal används vanligtvis ett positionssystem med bas 10. Exempelvis gäller
2014 = 2 · 103 + 0 · 102 + 1 · 101 + 4 · 100 .
Positionssystem används även för att beskriva tal som inte är heltal. Exempelvis
1, 45 = 1 · 100 + 4 · 10−1 + 5 · 10−2 .
I allmänhet får man oändliga decimalutvecklingar, även för rationella tal. För
rationella tal får man dock alltid utvecklingar som så småningom blir periodiska. Detta kan man se om man tillämpar lådprincipen på resterna som dyker
i uträkningarna.
Exempel 2. Använder man divisionsalgoritmen, ser man att 2/11 = 0, 18.
Även andra positionssystem är möjliga. Inom datalogin är det exempelvis ofta
praktiskt att använda bas 2 och bas 16. Tal skrivna i bas 2 kallas binära och tal
skrivna i bas 16 kallas hexadecimala.
Exempel 3. Vi vill skriva talet 42 i
salgoritmen ger
42 =
21 =
10 =
5 =
2 =
1 =
bas 2. Upprepad användning av division21 · 2 + 0,
10 · 2 + 1,
5 · 2 + 0,
2 · 2 + 1,
1 · 2 + 0,
0 · 2 + 1,
så 42 = (101010)2 . Notera att sekvensen (101010)2 bestämmer talet 42 entydigt,
eftersom kvot och rest i varje steg i uträkningen är unika.
Primtal och aritmetikens huvudsats
Definition. Låt a, b ∈ Z vara heltal, som inte båda är noll. Den största gemensamma delaren gcd(a, b) definieras som det största heltal d sådant att d|a och
d|b. Om gcd(a, b) = 1 kallas
För att handgripligen beräkna största gemensamma delare, använder man sig av
Euklides algoritm. Den bygger divisonsalgoritmen och identiterna gcd(a, 0) = a
samt gcd(a, b) = gcd(q, r) om a, b, q, r ∈ N sådana att a = qb + r. Eftersom
gcd(a, b) = gcd(−a, b), kan metoden tillämpas på allmänna heltal.
Från Euklides algoritm följer också följande användbara sats:
3
Sats. Låt a, bZ vara heltal som inte båda är 0. Då existerar heltal n, m ∈ Z
sådana att gcd(a, b) = na + mb.
Definition. Ett naturligt tal p > 1 kallas för ett primtal om de enda positiva
delarna av p är 1 och talet självt. Ett naturligt tal som inte är ett primtal kallas
för ett sammansatt tal.
Sats (Aritmetikens huvudsats). Alla naturliga tal kan entydigt, upp till omordning av faktorerna, skrivas som en produkt av primtal.
Beviset av aritmetikens huvudsats består av två delar. Dels behöver man bevisa
att varje naturligt tal kan skrivas som en produkt av primtal, och dels att
faktoriseringen är unik. Att en faktorisering verkligen existerar, kan man visa
med ett ganska enkelt induktionsargument. Träna på att göra detta själv! För
att visa att faktoriseringen är unik använder man sig av följande sats.
Lemma. Låt p vara ett primtal och a och b naturliga tal, sådana att p|ab. Då
gäller p|a eller p|b. D.v.s. primtalet p delar någon av faktorerna.
Bevis. Om p|a är vi klara, så vi kan anta att p inte delar a. Då gäller gcd(p, a) =
1 eftersom p är ett primtal. Alltså finns tal n, m sådana att np + ma = 1 enligt
Euklides algoritm. Vi multiplicerar ekvationen med b och får b = npb + mab.
Enligt förutsättningarna gäller p · c = ab för något tal c. Alltså gäller
b = b = npb + mab = npb + mpc = p(nb + mc),
så p delar b, vilket visar påståendet.
Exempel 4. Man kan, med lite möda, visa att 1999 är ett primtal. Vi visar att
det finns ett naturligt tal n, som bara innehåller 1:or i sin decimalutveckling,
som är delbart med 1999. Tag de 2000 första talen i sekvensen 1, 11, 111, . . ..
Enligt lådprincipen måste två av dem, säg a, b ge samma rest vid division med
1999. Då gäller 1999|a−b. Vi kan, utan inskränkning, anta att a > b. Då är a−b
på formen 111 · · · 111000 · · · 0 och kan därmed skrivas som en produkt n · 10k för
några tal k och n, där n bara har 1:or i sin decimalutveckling. Eftersom de enda
primtalen som delar 10k är 2 och 5, gäller det att 1999 inte delar 10k . Enligt
lemmat följer det att 1999|n, som önskat.
Det är värt att påpeka att vi egentligen inte behöver veta att 1999 är ett primtal
för att ovanstående exempel ska fungera. Det är lätt att se att gcd(1999, 10k ) =
1. Nu kan man, med samma metod som i beviset för lemmat, visa att 1999|n·10k
medför 1999|n.
För att illustrera att aritmetikens fundamentalsats inte är ett självklart påstående,
ger vi ett exempel på en liknande situation då motsvarande sats inte gäller.
4
√
√
Exempel 5. Mängden Z[ −5] = {n + m −5 | n, m ∈ Z} beter sig i mångt
och mycket som mängden av vanliga heltal. Exempelvis kan varje tal i denna
mängden skrivas som en produkt av motsvarigheter till primtal. Men inte på ett
unikt sätt! Exempelvis har talet 6 två distinkta faktoriseringar:
√
√
6 = 2 · 3 = (1 + 5)(1 − 5)
Att visa detta är inte så svårt, men ligger utanför ramarna för kursen.
5
