Räkneövning 1 – atomstruktur
1. Atomernas lägen i grafen (ett material som består av endast ett enda
atomlager av kolatomer och vars upptäckt gav Nobelpriset i fysik, 2010) ligger i
de gitterpunkter som visas i figuren nedan. Rita ut primitiva gittervektorer a1
och a2 samt en primitiv enhetscell?
Lösning:
Primitiva gittervektorer och enhetscell kan väljas på många olika sätt. Två olika
sätt visas i figuren nedan. Av dessa förslag ser vi att enhetscellen har två atomer
i basen.
2. Hur många närmsta grannar har en atom i bcc- respektive i fcc-strukturerna?
(Visa hur man kommer fram till dessa resultat.)
Lösning:
För bcc är det enklast att betrakta den centrala atomen i strukturen. Dess
närmaste grannar är hörnatomerna i den kubiska enhetscellen (avstånd 3a 2 ),
medan avståndet till mittatomen i nästa enhetscell är a. Således finns det 8
närmaste grannar.
För fcc är det enklast att betrakta det tätpackade (111)-planet.†I själva planet
finns det 6 närmaste grannar. Ovanför planet samt under planet kan vi lägga
vardera 3 atomer på samma avstånd som de övriga närmaste grannarna,
Tillsammans blir det 6 + 3 +3 = 12 närmaste grannar.
fcc-struktur
bcc-struktur
(111) - plan
3. Använd hårdsfärsapproximationen och anta att atomer som är närmaste
grannar tangerar varandra. Beräkna packningsgraden (den andel av den totala
kristallvolymen som är fylld av atomer) för fcc-strukturen?
Lösning:
Den kubiska enhetscellen i fcc-strukturen har volymen a 3 och innehåller 4 styck
1
8
1
2
atomer (8 hörnatomer och 6 sidoatomer ger 8 ⋅ + 6 ⋅ = 4 atomer i cellen). Dessa
atomer gör kontakt med varandra längs sidans diagonal,
varför vi har att
†
2a = 4r fi r =
a
2 2
†
och packningsgraden blir
†
f =
†
(
) = 16p ⋅ ÊÁ
4 ⋅ 4 pr 3 3
a3
3
3
1 ˆ
p
ª 0,74
˜ =
Ë2 2 ¯
3 2
4. Strontiumtitanat (se figur) har gitterparametern 3.905 Å och de ingående
atomerna har atomvikter enligt figuren. Beräkna densiteten för strontiumtitanat?
Titan, Ti, 67,90 u
Strontium, Sr, 87,62 u
Syre, 0, 16,00 u
Lösning:
Av figuren ser vi att det finns följande antal atomer av vardera slaget i
enhetscellen:
Sr: 1 atom
Ê1ˆ
Ë8¯
Ê1ˆ
O: 3 atomer ( 12 ⋅ Á ˜ = 3 atomer)
Ë4¯
Ti: 1 atom ( 8 ⋅ Á ˜ = 1 atom)
Den† kemiska formeln för strontiumtitanat är således SrTiO3. Vi kan nu enkelt
beräkna densiteten utifrån antalet atomer i enhetscellen, atomvikterna och
†
gitterparametern.
r=
m mSr +mTi +3mO
=
V
a3
Numeriskt blir detta:
†
87,62 + 67,90 + 3⋅16,00) ⋅1,6603⋅10-27
(
r=
(
†
†
3,905 ⋅10
-10 3
)
kg
m
3
= 5,67 ⋅10 3
kg
m3
5. Yttrium, Y, har en hexagonal tätpackad struktur (hcp) med gitterparametrarna
a = 3,65 Å och c = 5,73 Å (i figuren nedan har positionerna på de yttriumatomer
som ligger i mitten av strukturen markerats med röda linjer).
a) Utgående från det givna koordinatsystemet, bestäm gittervektorerna
a1, a2 och a3 samt beräkna volymen av den blåmarkerade cellen hos yttrium?
b) Är den blåmarkerade cellen en primitiv enhetscell? Motivera ditt svar!
a3
c
a2
a
x
a1
y
a
Lösning:
a) Av den sexfaldiga symmetrin i planet framgår att vinkeln mellan a1 och a2
måste vara 120°. Atomavstånden är också desamma, vilket betyder att atomerna
sitter i liksidiga trianglar med vinklarna 60°. Trigonometri ger nu att:
†
a 3
a
a 3
a
a1 =
xˆ + yˆ ; a2 = xˆ + yˆ ; a3 = czˆ
2
2
2
2
Cellvolymen blir då:
†
Êa 3
V = a1 ⋅ ( a2 ¥ a3 ) = Á
Ë 2
a
2
ÈÊ -a 3
ˆ ÍÁ
0˜ ⋅ ÍÁ a 2
¯ ÍÁ
ÎË 0
2ˆ Ê0ˆ˘
˜ Á ˜˙ Ê a 3
˜ ¥ Á0˜˙ = Á
˜ ÁËc ˜¯˙ Ë 2
¯
˚
a
2
Ê ac 2 ˆ
ˆ Á
˜ a 2c 3
0˜ ⋅ Á ac 3 2˜ =
2
¯ Á
˜
Ë 0 ¯
Insättning av numeriska värden för yttrium ger att:
†
V=
†
3,65 2 ⋅ 5,73⋅ 3 3
Å = 66,1 Å3
2
b) Den markerade enhetscellen är den primitiva enhetscellen för en hcp-struktur.
Det enklaste sättet att se detta är genom att betrakta en rotation av strukturen
runt a3, där det omedelbart inses att man måste rotera 120° för att kunna
återupprepa atomstrukturen (en rotation på 60° återupprepar inte strukturen). Vi
har således en trefaldig rotationssymmetri hos strukturen, vilket även måste
† återspeglas hos den primitiva enhetscellen, med en vinkel på 120° mellan
axlarna hos densamma.
6. Rita ut ett (110)-plan i en bcc-struktur samt beräkna hur stor andel av detta
plan som är täckt av atomer i hårdsfärsapproximationen?
Lösning:
Ett (110)-plan skär x-axeln i punkten a/1=a, skär y-axeln i punkten a/1=a samt
skär z-axeln i punkten i punkten a/0= • . Detta ger följande figur:
z
†
r
a
a
y
a
x
a
Andelen av (110)-planet som är täckt av atomer är:
Ê
1ˆ
2
Á1+ 4 ⋅ ˜ ⋅ pr
Ê r ˆ2
3
Ë
4¯
f =
= 2p Á ˜ = 2p ⋅
ª 0,833
Ë a¯
16
a⋅ a 2
Här har vi utnyttjat geometrin som ger att 4r = 3a i bcc-strukturen.
†
7. Beräkna bindningsvinkeln a i bcc-strukturen
nedan?
†
z
a
a
y
a
x
a
Lösning:
Rita upp den triangel som definierar vinkeln a och beräkna avstånden.
a/2
a/2
a
b
Vi ser direkt att avståndet b är halva diagonalen i den kubiska enhetscellen,
varför vi får att b = a 3 2 . Trigonometri ger nu att:
sin
†
a a2
a2
1
=
=
=
2
b
a 3 2
3
†
fi a = 2arcsin
1
= 70,53°
3
