Andragradsekvationer

MaB: Andragradsekvationer
Allmänt
För att lösa olika problem som handlar om areor, falltider
m.m. kan vi stöta på ett behov av att kunna lösa
andragradsekvationer.
En andragradsekvation kan i princip se ut på 3 olika sätt
1. x2 = 16
(andragradsterm + konstantterm)
2. x2 + x = 0
(andragrads- + förstagradsterm)
3. x2 + 4x + 3 = 0
(andragrads- och förstagradsterm
+ konstantterm)
För att kunna lösa andragradsekvationerna av typen
ovan är det bra att behärska minst 3 olika
lösningsstrategier.
Lösningsmetoder
1. x2 = 16 (andragradsterm + konstantterm)
”Vilket tal multiplicerat med sig själv blir 16?”
Funderar vi lite så kan vi se att både 4 och -4 fungerar.
Rep. Kvadratroten kallar vi det (positiva) tal som
multiplicerat med sig själv blir ett visst tal, ex. 16  4
Lösningen kan vi här skriva som x =  16  4
eller x1 = 4 och x2 = - 4
2
annat exempel: 4 x  12
x2  3
x   3  1,73
kom ihåg: minus
också lösning
exakt!
delar med 4 innan
”roten ur”
närmevärde!
Lösningsmetoder
1. fler ex.
vänsterled är en kvadrat
varför vi kan ta ”roten ur”
( x  1) 2  8
x 1   8
vill ha x ”ensamt” tar bort
1 på varje sida
x  1 8
x1  1  8  1,83
OBS!
x2  1  8  3,83
går inte att ta roten ur negativa tal, något
multiplicerat med sig själv kan inte bli negativt!
x 2  9
x2  0
x    9 saknar (reell ) lösning
x 00
En andragradsekvation har 0,1 eller 2 (reella) lösningar!
Lösningsmetoder
(andragrads- + förstagradsterm)
2. x2 + x = 0
x( x  1)  0
x0
”bryter ut” x och får en produkt
( x  1)  0
eller
x1  0
x2  1
om en produkt blir noll måste en
av faktorerna vara noll
”ser” här två svar
ex.
4x2  x
4x2  x  0
x(4 x  1)  0
x1  0
x2  0,25
en lösning alltid x = 0
pröva gärna svaret!
Kom ihåg! Blev det fel när du ”bröt ut” ? Kolla gärna
genom att multiplicera in!
Lösningsmetoder
3. x2 + 4x + 3 = 0
(andragrads-, förstagrads- och
konstantterm)
Här fungerar ingen av de två redovisade metoderna,
vi behöver en ny!!
En metod som existerar är att utnyttja en lösningsformel
som direkt kan ge (eventuell) lösning för en speciell typ
av dessa andragradsekvationer. Om de kan skrivas som:
x2 + px + q = 0 där p och q är konstanter funkar den!
t.ex
x2 + 4x – 3 = 0
OBS! ett x2 = 1·x2
p = 4 q = -3
ekvationen lika med noll!!
Lösningsmetoder
3. Lösning exempel + härledning formel, läs sakta!
ex. x 2  4 x  3  0
x 2  px  q  0
( x  2) 2  4  3  0
( x  p / 2) 2  ( p / 2) 2  q  0
”Slår ihop” så att jag får en kvadrat (kvadratkompletterar).
(Kräver träning, prova gärna själv att (x+2)2 – 4 = x2 + 4x)
Skriver sedan om enligt nedan och använder mig av
”kvadratrotsmetoden” vilket ger svar och färdig formel!
( x  2) 2  4  3
( x  p / 2) 2  ( p / 2) 2  q
x2   43
x  p / 2   ( p / 2) 2  q
x  2  4  3
x1  2  7  0,65
x2  2  7  4,65
2
p
 p
x      q
2
2
FORMEL!!
Lösningsmetoder
3. Lösning med formel 1. Undersöker först om villkoren
för formeln är uppfyllda, dvs
ex. 2 x 2  12 x  10  0
om vi har ett x2 och ekvationen
x2  6x  5  0
lika med noll.
2. Här måste jag först dela med två
för att formeln ska funka!
x 2  px  q  0
2
p
 p
x      q
2
2
6
6
x
 
 5
2
 2 
3. Identifierar p = – 6 q = 5
4. Sätter in i formeln och förenklar
2
x  3 95  3 2
5. Fick denna gång två heltalssvar!
Sätt in i ekvationen och pröva!
x1  3  2  5 x2  3  2  1
Lösningsmetoder
3. Ser du mönstret ?
x 2  px  q  0
2
p
 p
x      q
2
2
Hälften av koefficienten framför x
med omvänt tecken
ex.
Konstanten med
omvänt tecken
Hälften av koefficienten
framför x i kvadrat
x2  2x  3  0
Kom ihåg att pröva svaret!
x  1  12  3
x  1 2
x1  1 x2  3
Tillämpningar
1. Rektangeln
En rektangel har en bas som är dubbelt så lång som
dess höjd. Arean är 100 cm^2 . Sidornas längd?
Låt höjden vara x så ger det att
Basen måste vara 2x vilket ger
x
A  2x  x  2x2
Vilket i sin tur ger ekvationen och lösning:
2 x 2  100
x 2  50
x   50  7,1
2x
Sidorna är exakt 50 cm och 2  50 cm
dvs ca. 7,1 cm och 14,2 cm
Tillämpningar
2. Stenen
En sten kastas rakt upp och har då höjd, h, efter t,
sekunder, enligt sambandet h  20t  5t 2
Efter hur lång tid slår stenen i marken?
Stenen slår i höjden när h = 0
Vilket ger ekvation med lösning
20t  5t 2  0
5t (4  t )  0
t1  0
t2  4
t = 0 är måste betyda att tiden börjar
mätas från att stenen kastas upp och då
är på marken, det svar vi söker är
t = 4 dvs efter 4 sekunder slår stenen i
marken
Tillämpningar
3. Sidorna
Ett uppslag i en bok har 2 st sidnummer vars
produkt är 650. Vilka är sidornas nummer?
Sidorna har nummer som följer på varandra. Om vi kallar den ena sidan
för x så måste nästa sida vara x+1. Vilket ger ekvation med lösning:
x( x  1)  650
x1  0,5  25,5  25
x 2  x  650
x2  0,5  25,5  26
x 2  x  650  0
2
1
1
x       650
2
2
x  0,5  650,25
Sidnummer är inte negativa varför x
måste vara 25 och nästa sida då blir 26.
Test:
25  26  650