Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Ytor. Nivåkurvor.
NIVÅKURVOR
Vi betraktar en yta vars ekvation är z = f(x,y) .
Ekvationer
z = f(x,y) , z = k
kan definiera en skärningskurvan mellan ytan z = f(x,y) och planet z = k
(Anmärkning. Det kan hända att ingen eller endast en punkt satisfierar ekvationen f(x,y) =
k.
Motsvarande nivåkurva definieras som den ortogonala projektionen av skärningskurvan på
xy-planet ( z=0). Med andra ord, en nivåkurva består av de punkter som satisfierar
,
,
På liknande sätt definierar vi nivåkurvor för implicit definierade ytor F(x,y,z)=0.
Uppgift 1.
Vi betraktar ytan z 4
.
a) Bestäm ekvationer för ( eventuella) skärningskurvor mellan ytan och planet
, ä 1,0, 1, 2
4. b) Bestäm och rita i xy-planet några nivåkurvor.
c) Bestäm ( eventuella) skärningspunkter mellan ytan och xz-planet.
d) Bestäm ( eventuella) skärningspunkter mellan ytan och yz-planet.
e) Skissera (rita) ytan z
4
med hjälp av resultat i a,b,c och d.
Lösning.
1 av 5
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Ytor. Nivåkurvor.
a)
dvs ⇒ 4
1 ( ingen punkt satisfierar den här ekvation)
1 och ytan.
Ingen skärningspunkt mellan planet
dvs ⇒ 4
0 ( Endast x=0, y=0 satisfierar den här ekvation)
Endast en skärningspunkt ( 0,0,0 ) i detta fall.
-------------------------------------------------------------------------- dvs ⇒ 4
1
(eller
1)
/
Ellipsen med halvaxlar
1 och b= 1/2 i planet
)
-------------------------------------------------------------------------- dvs ⇒ 4
2
(eller
1)
/
1/2i planet
)
Ellipsen med halvaxlar
√2 och
-------------------------------------------------------------------------- dvs ⇒ 4
4
1)
(eller
Ellipsen med halvaxlar
2 och
1 planet
)
---------------------------------------------------------------------------
b) Nivåkurvor ( projektioner av skärningskurvor i xy planet) finns om
från a) delen:
0,0 om k=0,
4
0 , som vi ser
y
1
om k>0
2
k=1
k=2
k=4
x
c) ( Eventuella) skärningspunkter mellan ytan och xz-planet ( som har ekvationen y=0 )
får vi från
4
,
0 ⇒ d) ( Eventuella) skärningspunkter mellan ytan och yz-planet ( som har ekvationen
får vi från
4
,
0 ⇒ 4
2 av 5
0)
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Ytor. Nivåkurvor.
Anmärkning: Ovanstående yta kallas en elliptisk paraboloid.
Uppgift 2. Skissera ytan
3
.
Lösning:
i) Först undersöker vi skärningskurvor:
Skärningskurvor är cirklar med radien k
Om
3
ö 3 om
3
3 som ligger i planet z
.
3 har vi endast en skärningspunkt x=0,y=0,z=3 dvs P(0,0,3) .
( Anmärkning: Skärningskurvor med
rotationsyta)
är cirklar implicerar att z
,
är en
ii) Skärningspunkter mellan ytan och yz-planet ( planet x=0) satisfierar
3
0
eller
3
dvs skärningspunkter ligger på två räta linje
z
3
och z
3
iii) Skärningspunkter mellan ytan och xz-planet ( planet y=0) ligger på två räta linje
3 av 5
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
3
Ytor. Nivåkurvor.
3
och
3
Vi kan betrakta att ytan
axeln.
3
( eller, ekvivalent, att
3
”uppstår” genom att
roterar kring z-
roterar kring z-axeln) .
z
3
Ytan
3
z=
-x
3
3
+x
z=
x
y
Anmärkning: Ovanstående koniska yta består av två funktionsytor (
ekvationer får vi genom att lösa ut z ur
3
:
⇒
3
,
) vars
3
z
z
3
Z=3 -
x2+y2
3
Z=3 +
x2+y2
y
y
Uppgift 3. Skissera ytan z
x
.
4 av 5
x
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Ytor. Nivåkurvor.
Lösning :
i) För z= k får vi hyperbler
.
ii) Om y=0 har vi parabeln
iii) Om x
får vi parabler
Vi ritar följande parabler i nedanstående graf,
1, z
1
z
0, z
1, z
1
och
y=0,
x
z
.
Ytan kallas hyperbolisk paraboloid
5 av 5
y
