Tema - Newton – Raphsons metod för
numerisk ekvationslösning
Teori ▪ Newton-Raphsons metod för numerisk
ekvationslösning
Många ekvationer är ofta besvärliga att lösa med exakta metoder.
Sådana är till exempel tredje- och fjärdegradsekvationer. Det finns också
ekvationer som är omöjliga att lösa exakt. Dessa ekvationer kan vi bara
lösa numeriskt. Ett sätt att göra detta är helt enkelt att pröva sig fram
mer eller mindre planmässigt. Men det kan vara mycket omständligt och
tidskrävande. Vi skall här visa hur man löser ekvationer med NewtonRaphsons metod. Den är ett bra verktyg för att snabbt hitta närmevärden på lösningar till ”svåra” ekvationer.
Vad är lösningen till ekvationen x3 + x – 4 = 0?
Ekvationen har en lösning i intervallet [1, 2] eftersom 13 + 1 – 4 = –2 < 0
och 23 + 2 – 4 = 6 > 0. Vi beräknar nu ekvationen för tangenten till
funktionen f(x) = x3 + x – 4 i den punkt (x 0 , f(x 0 )) vars x-koordinat är =
2 nämligen punkten (2, 6). Eftersom f´(x) = 3x2 +1 får vi k = f ´(2) = 13.
Alltså blir tangentens ekvation y = 13x – 20. Vi sätter nu y = 0 och får
tangentens skärningspunkt med x-axeln. Resultatet blir x 1 = 20/13 ≈
1,5385. Vi har här ersatt funktionsgrafen med dess tangent. Vårt x 1 är
en första approximation av nollstället till f(x) som ligger mellan 1 och 2.
Nu gör vi om samma procedur för punkten (x 1 , f(x 1 )) med x-koordinaten x 1 ≈ 1,5385 och får då f(1,5385) = 1,53853 + 1,5385 – 4 ≈ 1,1801.
Vi får också k = f ´(1,5385) = 3⋅1,53852 + 1 ≈ 8,1009.
Alltså är den nya tangentens ekvation
y = 8,1009x –8,1009⋅1,5385 + 1,1801 eller y = 8,1009x –11,2831.
Ekvationen 0 = 8,1009x –11,2831 ger x 2 ≈ 1,3928.
Vi gör samma procedur gång efter gång och får vi värdena:
x 3 ≈ 1,3789 x 4 ≈ 1,3788 x 5 ≈ 1,3788
Metod ger snabbt bra närmevärden för ekvationens lösningar. Redan vid
x 4 får vi ett närmevärde med fem värdesiffror.
Låt oss härleda en formel för x n .
Ekvationen för vår första tangent i punkten (x 0 , f(x 0 )) är y = f´(x 0 )⋅x + m.
Eftersom f(x 0 ) = f´(x 0 )⋅x 0 + m får vi m = f(x 0 ) – f ´(x 0 )⋅x 0
Tangentens ekvation är alltså y = f´(x 0 )⋅x + f(x 0 ) – f´(x 0 )⋅x 0
Tangentens skärning med y-axeln är alltså 0 = f ´(x 0 )⋅x 1 + f(x 0 ) – f
´(x 0 )⋅x 0 vilket ger
f ( x0 )
x1 = x0 –
. Om tangeringspunkten sätts till x 1 blir x 2 = x 1 –
f ´( x0 )
f ( x1 )
.
f ´( x1 )
f ( xn )
Alltså gäller för en tangeringspunkten x n : x n+1 = x n –
f ´( x n )
Denna formel ger ett nytt värde (x n+1 ) som ligger närmare en rot till
ekvationen.
Bestäm nu ekvationens lösning i intervallet.
Om vi sätter f(x) = x3 + x – 3 får vi f(1) = -1 och f(2) = 7. Alltså finns det
en lösning till ekvationen i intervallet.
x n3 + x n − 3
2
Eftersom f ´(x) = 3x + 1 får vi x n+ 1 = x n –
3 x n2 + 1
Knappa först in t ex x 0 = 3, därefter Enter. Mata in formeln med ANSANS 3 + ANS − 3
. Genom att trycka på Enter ett
knappen: ANS −
3 ANS 2 + 1
antal gånger så får du ganska fort ett ´stabilt´ värde 1, 213
Lös följande uppgifter
1. Lös ekvationen 3x5 + 2x – 3 = 0 med Newton-Raphsons metod.
Ekvationen har bara en lösning.
2. Lös ekvationen x = cos x med Newton-Raphsons metod.
3. Bestäm ett närmevärde för 3 5 med Newton-Raphsons metod.
4. En person skall anlägga en simbassäng med vattendjupet x m,
bredden ( 5x + 1 ) m och längden ( 15x + 1 ) m. Bassängen har formen
av ett rätblock. Beräkna vattendjupet om bassängen skall rymma
400 m3 vatten.
