Några enkla andragradsekvationer
Vi inleder med några ekvationer som bara har två olika typer av termer.
Förutom de metoder som vi använt tidigare för att lösa ekvationer
tillkommer nu rotutdragning, att dra kvadratroten ur ett tal. På
miniräknaren finns en knapp märkt med som gör detta. Vi börjar
med ekvationer som bara har tal­ och x2 ­termer.
Exempel 1: Lös ekvationen x2 = 9
Lösning:
För att lösa den här ekvationen drar vi roten ut båda
leden så att vi får x fritt i vänster ledet
Här blir vänsterledet = x.
Miniräknaren ger att högerledet blir 3.
Detta ger en lösning x = 3, men finns det fler lösningar?
Funderar vi lite inser vi att även ­3 är en lösning till
ekvationen, då
(­3)2 = 9
Den fullständiga lösningen blir alltså:
x = ± 3
Detta gäller allmänt. Förutom den positiva rot som miniräknaren
ger finns det en negativ rot.
Svar: x = ± 3
Exempel 2: Lös ekvationen x2 = 12
Lösning:
Dra roten ur båda leden
Det ger den exakta lösningen
Med en miniräknare kan vi beräkna ett närmevärde x » ± 3,464
med tre decimaler:
Exempel 3: Lös ekvationen x2 = ­4
Lösning:
Dra roten ur båda leden:
Försöker vi dra roten ur ­4 så finner vi inget sådant reellt tal.
Svar: Ekvationen saknar lösning.
Exempel 4: Lös ekvationen 6x2 ­ 12 = 48
Lösning: Börja med att lösa ut x2­termen i ekvationen.
Addera 12 till båda sidor:
6x2 = 48 +12
Vilket ger:
6x2 = 60
Division med 6 ger:
x2 = 10
Dra roten ur båda leden
Vilket ger:
Närmevärde: x » ± 3,162
Ekvation med x­ och x2 ­ term:
Exempel 5: Lös ekvationen x2 ­ 5x = 0
Lösning:
Börja med att faktorisera vänsterledet genom
att bryta ut x.
x (x ­ 5) = 0
Om denna produkt ska vara lika med noll måste en av faktorerna
vara noll.
Det vill säga x = 0 eller (x ­ 5) = 0
Detta ger oss två förstagradsekvationer som vi löser som vanligt.
Lösningarna blir:
x1 = 0 eller x2 = 5
Sammanfattning:
En andragradsekvation kan ha olika antal lösningar, som mest två, ibland
ingen och som vi ska se ibland en.
