Lektion 37. Bikvadratiska ekvationer

Lektion 37. Bikvadratiska ekvationer
Teoridel.
Man kan lösa en ekvation ax4+bx2+c=0 genom att införa en ny variabel z=x2. Så är x4=z2 och
ekvationen blir då en vanlig andragradsekvation az2+bz+c=0. Hittar man två rötter z=z1 och z=z2
så återstår att lösa två ekvationer x2=z1 och x2=z2.
Exempel 1 . Lös ekvationen x4–10x2+24=0
Lösning. Beteckna z=x2. Ekvationen skrivas om som z2–10z+24=0 med rötterna z1=4, z2=6. Detta ger två
fall. Fall 1: x2=4 med rötterna 2 och –2. Fall 2: x2=6 med rötterna  6 .
Svar {  2,  6 }.
Exempel 2 . Lös ekvationen x4–8x2–9=0
Lösning. Beteckna z=x2. Ekvationen skrivas om som z2–8z–9=0 med rötterna z1=9, z2=–1. Detta ger två
fall. Fall 1: x2=9 med rötterna 3 och –3. Fall 2: x2=–1, rötterna saknas.
Svar {  3 }.
Förutom bikvadratiska finns det ekvationer av andra typer som man kan omvandla till
andragradsekvationer genom att införa en ny variabel.
Exempel 3 . Lös ekvationen x6–7x3–8 = 0
Lösning. Beteckna z=x3. Ekvationen skrivas om som z2–7z–8=0 med rötterna z1=8, z2=–1. Detta ger två
fall. Fall 1: x3=8 med roten 2. Fall 2: x3=–1 med roten –1.
Svar: {–1, 2}
Exempel 4 . Lös ekvationen
1 5
 60
x2 x
1
. Ekvationen skrivas om som z2–5z+6=0 med rötterna z1=2, z2=3. Detta ger två
x
1
1
1
1
fall. Fall 1: =2 med roten . Fall 2: =3 med roten .
x
2
x
3
Lösning. Beteckna z=
Svar: {–1, 2}
Upp 1. Lös ekvationer
a) x4–7x2+12=0
b) x4+8x2–9=0
c) x4+5x2+4=0
d*) x4+5x2+3=0
Upp 2. Lös ekvationer
a) x6+7x3–8=0
b) x8+2x4–3=0
1 5
c) 2   6  0
x
x
d)* x+ x –6=0
Upp 3. Lös ekvationer
a) x5+2x3–3x=0
b) x4= 6x2–8
c*) (x2+3x)(x2+3x+2)=720
.
den 24 april 2007, http://sasja.shap.homedns.org/Metapontum/indexsve.html