Trigonometri

Trigonometri
1. Sinus och cosinus för alla vinklar…………………………………………………..2
2. Tangensfunktionen…………………………………………………………………….9
3. Trigonometriska kurvor……………………………………………………………..11
4. Tre viktiga satser……………………………………………………………………..21
5. Samband mellan trigonometriska funktioner………………………………...…31
6. Trigonometriska ekvationer………………………………………………….…….38
180 o
..................................................................................................45
7.1 radian=
π
8. Derivatan av f (x) = sin x……………………………………………………….……48
Fourieranalys (Historia)………………………………………………………………..55
Facit……………………………………………………………………………….………57
Bilder: Akvareller av Ramon Cavaller. Geometriska konstruktioner och diagram av Nils-Göran
Mattsson
© Författarna och Bokförlaget Borken, 2011
Trigonometri - 1
1 Sinus och cosinus för alla vinklar
Teori ▪ Enhetscirkeln
Med hjälp av rätvinkliga trianglar kan vi bara ange sinus-, cosinus- och
tangensvärden för vinklar mellan 0° och 90°. Men vad är sin 123 eller
tan( −14 ) ? Vi ska nu utvidga definitionen till att omfatta alla vinklar,
något som ska visa sig vara mycket användbart. För att göra det måste vi
lämna den rätvinkliga triangeln och i stället ta hjälp av enhetscirkeln.
Enhetscirkeln har sin medelpunkt i origo och radien en längdenhet.
Man utgår från vinklar som bildas av positiva x-axeln och en rörlig radie.
Vinkeln ökar när den rörliga radien vrids moturs (vridning i positiv led)
och minskar när den vrids medurs (vridning i negativ led). En vinkel
som är större än 360° motsvaras av mer än ett varv moturs. En vinkel
som är mindre än 0° motsvarar en vridning medurs.
Enhetscirkeln
har centrum i
origo och
radien en
längdenhet.
Trigonometri - 2
G1.1
a)
b)
c)
d)
Rita en enhetscirkel och markera med hjälp av gradskiva
följande vinklar:
10°
e)
270°
45°
f)
315°
105°
g)
360°
135°
G1.2 Rita en enhetscirkel och markera följande vinklar:
a)
b)
c)
d)
390°
450°
−30°
−300°
e)
f)
g)
725°
3600°
−260°
G1.3 Vilka av följande par av vinklar motsvarar samma läge i
enhetscirkeln?
a)
30° och −30°
b)
45° och 295°
c)
33° och −327°
d)
375° och 735°
e)
f)
g)
Trigonometri - 3
360° och −720°
255° och 465°
390° och −30°
Teori ▪ Sinus och cosinus
Uttryckt med figurens
beteckningar gäller dessa
definitioner: cos α
=
och sin=
a
x1
= x1
1
y1
= y1 . I kvoten
1
x1
är x 1 längden av motstå1
ende katet till vinkeln α och 1
är längden av hypotenusan.
På samma sätt är kvoten
y1
1
närliggande katet dividerad
med hypotenusan.
Vi ser att definitionerna för
vinklar mindre än en rät
stämmer överens med
definitionerna som bygger på
den rätvinkliga triangeln. Det
nya är att vi inte begränsar oss
till vinklar mellan 0° och 90°.
De nya definitionerna gäller
alla vinklar.
Sinus för vinkeln α är ykoordinaten för den rörliga
radiens ändpunkt på
enhetscirkeln. Cosinus för
vinkeln α är punktens xkoordinat.
Trigonometri - 4
Supplementvinklar
Två vinklar vars summa är
180° kallas supplementvinklar. Vinklarna 45° och
135° är supplementvinklar,
likaså 11° och 169°.
Allmänt är vinklarna
180° − α och α
supplementvinklar. Följande
samband gäller sinus och
cosinus för
supplementvinklar:
sin (180° − α) = sin α
och
cos (180° − α) = −cos α
Sinus för en vinkel och sinus för dess
supplementvinkel är lika.
Cosinus för en vinkel är lika med minus
cosinus för dess supplementvinkel.
Det finns också ett enkelt
samband mellan sinus- och
cosinusvärdena för motsatta
vinklar, det vill säga vinklar
som skiljer sig endast i fråga
om tecknet.
Figuren visar att följande
samband gäller:
sin(−α) = −sin α
och
cos(−α) = cos α
Trigonometri - 5
Komplementvinklar
Vinklarna α och 90° − α är
varandras komplementvinklar.
Dessa båda vinklars summa är
90°. Det gäller enkla samband
mellan komplementvinklars
sinus- och cosinusvärden.
De båda trianglarna är
kongruenta. Dessa samband
gäller:
sin α = b
cos α = a
sin (90° − α) = a
cos (90° − α) = b
Cosinus för en vinkel är alltså lika med sinus
för dess komplementvinkel. Sinus för en
vinkel är lika med cosinus för dess
komplementvinkel.
Av sambanden följer detta
cos (90° − α) = sin α
sin (90° − α) = cos
Trigonometriska ettan
Använder man Pythagoras sats på
den rätvinkliga triangeln får man
detta mycket viktiga samband:
12
( sin α )2 + ( cos α )2 =
Oftast används detta förenklade
skrivsätt: sin 2α + cos 2α =
1
För en vinkel α som ligger i
andra kvadranten blir kateternas
längder sin α och −cos α och
Pythagoras sats ger
(sin α )2 + (− cosα )2 = 12
som förenklas till
sin 2α + cos 2α =
1
Vi ser att samma samband gäller för vinklar upp till 180°. På liknande
sätt kan man resonera om vinkeln ligger i någon av de andra kvadranterna. Resultatet blir att trigonometriska ettan gäller för alla vinklar.
Trigonometri - 6
Modell ▪ Trigonometriska ettan och
lös ekvationen sin a =
Exempel 1 Det gäller att sin a =
5
13
5
, v < 90°. Beräkna cos v.
13
5 2

1
Lösning Trigonometriska ettan ger   + cos 2v =
 13 
5 2

cos v =
± 1−  
 13 
Vinkeln är spetsig, alltså förkastas det negativa värdet.
Alltså är cos v =
12
13
Exempel 2 Lös ekvationen sinα = 0,45
Lösning
Räknare ger α = 26,7°.
Alltså är även sin(180° – 26,7°) = 0,45.
Resultat α 1 = 26,7° och α 2 = 153,3°.
Exempel 3 cos α = –0,57
Lösning
Räknare ger α = 124,8°.
Alltså är även cos (–124,8°) = –0,57.
eller om du vill ha en vinkeln i intervallet 0 ≤ α < 360°
så är α = –124,8° + 360° = 235,2°.
Resultat α 1 = 124,8° och α 2 = 235,2°.
G1.4 Ange största möjliga och minsta möjliga värde för
a)
sin v
b) cos v
G1.5 Lös följande ekvationer i intervallet 0  ≤ v < 360  .
a) cos v = 0
b) sin v = 0
c) cos v = 1
d) sin v = 1
Trigonometri - 7
e)
f)
cos v = −1
sin v = −1
G1.6 Vilka vinklar i intervallet 0  ≤ v < 360  uppfyller dessa villkor?
d) cos v = −0,090
e) sin v = 1,23
a) sin v = 0,450
b) sin v = −0,530
c) cos v = 0,370
V1.7 Bestäm alla lösningar v i intervallet 0  ≤ v < 360  till följande
ekvationer. Använd inte räknare.
1
a) sin v =
2
1
b) cos v = −
2
c)
sin v =
3
2
G1.8 Man vet att sin v = 0,6 och att v < 90°. Beräkna ett exakt värde
på cos v.
G1.9 En vinkel v ligger i andra kvadranten, det vill säga
90° < v < 180°. Det gäller att sin v = 0,8. Vad är cos v exakt?
Trigonometri - 8
2 Tangensfunktionen
Teori ▪ Tangens
Tangens för en vinkel definieras med hjälp av rätvinkliga triangeln som
kvoten av motstående och närliggande katet. På samma sätt som med
sinus och cosinus kan definitionen utvidgas med hjälp av enhetscirkeln.
Följande gäller:
b sinα
tan α = =
.
a cosα
Eftersom nämnaren
inte får vara = 0 gäller
definitionen för alla
vinklar utom de för
vilka cos α = 0. Det
betyder att vinklarna
90°, 270°, 450°,
540°, … saknar
tangensvärde.
Sammanfattat skrivs
dessa vinklar
90° + n ⋅ 180°, där
n är ett heltal.
AB CD
=
OB OD
Sträckan OD har längden 1, sträckan AB längden sin α och OB längden
sin α CD
sin α
=
cos α. Likheten kan skrivas
eller
= tan α .
cos α
1
cos α
Eftersom trianglarna OAB och OCD är likformiga gäller att
Alltså motsvaras sträckan CD av tan α.
Tangens för en vinkel motsvarar alltså y-koordinaten för skärningspunkten mellan förlängningen av den rörliga radie som svarar mot
vinkeln och den lodräta linjen x = 1.
Trigonometri - 9
Modell ▪ Ekvation med tangens
Lös den trigonometriska ekvationen 6⋅tan v = 10,3 i intervallet
0° ≤ v ≤ 180°.
10, 3
Lösning: 6 ⋅ tan v = 10,3 ⇔ tan v =
6
tan v = 1,717 v = 59,78° + n ⋅ 180°
Den enda lösningen är v = 59,78° eftersom den skall ligga i intervallet
0° ≤ v ≤ 180°.
På vissa räknare matar man in [TAN−1] ( 10.3 [÷] 6 ) [=].
Tänk på att kontrollera att räknaren är inställd på grader, åtminstone i
detta avsnitt!
Knappen [TAN−1] kan också heta [arctan].
G2.1 Använd räknare för att bestämma följande värden
a) tan10°
b) tan80°
c) tan100°
d) tan170°
e) tan190°
f) tan260°
g) tan280°
h) tan350°
G2.2 Vilket samband gäller mellan tan α och tan(α + 180°)?
V2.3 Vilket samband gäller mellan tan α och tan(90°− α)?
G2.4 Bestäm tan45° med hjälp av en konstruktion i enhetscirkeln.
G2.5 Beräkna tan135°, tan225° och tan315° med hjälp av resultatet i
föregående uppgift.
G2.6 Lös de trigonometriska ekvationerna i intervallet 0° ≤ v ≤ 180°.
e) 5cos v = –3
a) tan v = 2,36
f) 1,5 + 0,4cos v = 1,3
b) 2 ⋅ tan v = −0,34
c) 2,5 + 0,4⋅tan v = 1,6
d) 3sin v =2
Trigonometri 10
3 Trigonometriska kurvor
Teori ▪ Sinus- och cosinuskurvorna
Efter att den rörliga radien vridit sig ett varv i enhetscirkeln är vi åter
tillbaka till utgångsläget. När vi fortsätter vrida radien upprepar sig
sinus- och cosinusvärdena likadant för varje varv. Vinkeln α och vinklarna α + n ⋅ 360° där n är ett heltal har samma sinus- och cosinusvärden. Funktioner som har denna egenskap kallas periodiska funktioner.
Denna egenskap skrivs så här (uttrycket ”n ∈ Z” betyder ”n tillhör de
hela talen”):
sin (α + n⋅ 360°) = sin α, n ∈ Z
cos (α + n⋅ 360°) = cos α, n ∈ Z
Kurvorna y = sin x och y = cos x får följande utseende i ett
koordinatsystem.
Båda graferna ligger i området mellan linjerna y = −1 och y = 1. Det
betyder att båda funktionernas värden ligger i intervallet −1 ≤ y ≤ 1.
Funktionen y = sin x varierar så här den första perioden:
x
0°
sin x
0
90°
↗
1
180°
↘
0
Trigonometri 11
270°
↘
−1
360°
↗
0
Det lodräta avståndet mellan x-axeln och det största (eller det minsta)
värdet kallas kurvans amplitud. Kurvorna y = sin x och y = cos x har båda
amplituden = 1.
Funktionen y = cos x varierar så här den första perioden.
x
0°
cos x
1
90°
↘
0
180°
↘
−1
270°
↗
0
360°
↗
1
Vi ska nu se hur kurvan ändras, när vi ändrar på olika sätt i
funktionsuttrycket.
Vi ritar kurvan y = 2⋅cos x i samma koordinatsystem som y = cos x och
ser att y = 2cos x får amplituden 2, medan perioden är samma som i
y = cos x. Varje y-värde är dubbelt så stort i y = 2cos x som i y = cos x.
(Vad händer om vi ritar kurvorna y = 0,5cos x i samma koordinatsystem
som y = cos x? )
Nu ritar vi kurvan y = cos2x (den svärtade nedan) och som jämförelse
har vi kurvan y = cos x. Här blir perioden halverad och är nu 180° i
stället för 360°, men amplituden är densamma.
Trigonometri 12
Kurvan y = cos
x
får följande utseende:
2
Nu blir perioden fördubblad, men amplituden förblir densamma.
Vi ser att funktionerna f(x) = sin kx och f(x) = cos kx (k > 0) har perioden
360 
k
G3.1 Rita följande kurvor med hjälp av grafritande räknare:
a)
b)
c)
d)
y = 3sin x
y = 4sin x
y = 0,5sin x
y = sin 3x
e)
f)
y = sin 4x
x
y = sin
2
G3.2 Rita följande kurvor med hjälp av grafritande räknare. Ange
a)
kurvornas period och amplitud:
y = 2,5sin 2x
b)
y = 3sin
c)
y = 0,5sin 6x
x
4
G3.3 Ange period och amplitud för följande funktioner. Använd inte
räknare.
Trigonometri 13
a)
y = 3sin 2x
b)
y=
c)
sin x
y = 2, 5 sin
x
3
3
V3.4
Ange period och amplitud för kurvan y = A⋅sin k⋅x.
V3.5
Bestäm värdemängd och period för funktionerna
a)
c)
V3.6
a)
b)
c)
y = 3sin
3x
b)
4
y=
3sin 3 x
y = 2,3 ⋅10 ⋅ sin 0, 05 x .
Ange uttrycket för en funktion på formen y = Asin kx om
perioden är 180° och värdemängden −3 ≤ y ≤ 3.
perioden är 540° och amplituden 0,75.
perioden är 1080° och värdemängden [−9, 9].
G3.7
Rita följande kurvor med grafritande räknare:
y = 5cos x b) y = 0,2cos x c) y = 1,5cos x
G3.8
Rita följande kurvor med grafritande räknare:
x
y = −2cos x
cos
3
y = −0,2cos 0,5x
c)
y=
a)
a)
b)
2
−3
2
G3.9
Rita följande kurvor. Ange period och amplitud:
cos
x
2
a)
y =3
b)
y = 2,5 cos
c)
y = 0,7 cos 0, 4 x
5
x
3
V3.10 Ange period och amplitud för kurvan y = A⋅cos k⋅x.
V3.11 Bestäm värdemängd och period för
5x
a)
funktionen y = 5cos
b)
funktionen y =
c)
funktionen y =3,6 ⋅10−9 ⋅ cos 0,003 x .
4
5 cos 4 x
2
.
.
V3.12 Skriv cosinusfunktionerna på formen y = A cos kx då:
Trigonometri 14
a)
b)
c)
perioden är 720° och amplituden 12.
perioden är 30° och amplituden 0,5
perioden är 90° och värdemängden −1,5 ≤ y ≤ 1,5
Teori ▪ Kurvor av typen y = A cos(kx + v) och
y = A sin(kx+v)
Vi ska nu undersöka hur kurvorna y = cos x och y = cos (x + 60°) ligger i
förhållande till varandra.
Vi ser att man får kurvan y = cos (x + 60°)(den lila) om man förskjuter
kurvan y = cos x (den svarta) 60° åt vänster. Sätter man in vinkeln
x =−60° så får man y = cos(−60° + 60°) = cos 0° = 1 dvs samma värde
som den svarta har för x = 0°.
Vi ändrar nu till y = cos (x − 30°)(den lila) och ser att detta innebär en
förskjutning åt höger med 30°:
Trigonometri 15
Sätts vinkeln x = 30° in fås y = cos (30° − 30°) = cos 0° = 1 dvs samma
värde som den svarta har för x = 0°.
y = cos(x − α ), α > 0°, är α° förskjuten åt höger jämfört med
kurvan y = cos x
y = cos(x + α ), α > 0°, är α° förskjuten åt vänster jämfört med
kurvan y = cos x
Ovanstående gäller även för sinuskurvorna.
y = sin(x − α ), α > 0°, är α° förskjuten åt höger jämfört med
kurvan y = sin x
y = sin(x + α ), α > 0°, är α° förskjuten åt vänster jämfört med
kurvan y = sin x
Modell ▪ Kurvor av typen y = Asin(kx + v) + b och
y = Acos(kx+v) + b
Vi ska nu se vad som händer om man lägger till en konstant term i
funktionsuttrycket. Vi ritar först kurvan y = sin x + 2 (den blå)och jämför
med y = sin x (den lila).
Trigonometri 16
Kurvan förskjuts uppåt två enheter. Period och amplitud påverkas inte.
Varje y-värde är två enheter större i y = sin x + 2 än i y = sin x.
Kurvan y = cos(x + 60°) − 3 är förskjuten med 60° åt vänster och
samtidigt med 3 enheter nedåt i förhållande till grundkurvan y = cos x.
Exempel Hur mycket är kurvan
=
y 2 cos(
förhållande till y = 2 cos(
Lösning cos(
3x
+ 45 ) fasförskjuten i
4
3x
) och vilken är dess period?
4
3x
3x
3x

=
−45 ⇔
1 för ( + 45 ) = 0º Û
+ 45 ) =
4
4
4
−45
⇔x=
=
−60 Dvs kurvan är förskjuten 60 º åt vänster. Båda
3/ 4
360
= 480
kurvorna har perioden
3
4
G3.13 Skissera följande kurvor utan att använda räknare:
a)
b)
c)
y = sin x + 0,5
y = cos x − 2
y = 2cos(x −30°) + 2
e)
=
y 3 cos(
3x
2
+ 60 ) + 2
d)
f)
Trigonometri 17
y=
5 sin( x − 60 ) − 6
y 4 sin(
=
2
5x
3
+ 50 ) − 1
G3.14 Ange period och värdemängd till funktionerna
a)
c)
y = sin x − 4
y = 2cos(x − 40°) + 10
b)
y = 2sin0,3x − 8
G3.15 Skriv uttrycket för följande sex kurvor på formen y =Asin(kx + v)
Trigonometri 18
V3.16 Bestäm A i funktionen y = Acos x − 2 så att funktionens största
värde blir 1.
V3.17 Bestäm A i funktionen y = Asin3x − 5 så att funktionens största
värde blir 3.
V3.18 Bestäm b i funktionen y = 2sin0,5x − b så att funktionens
största värde blir 5.
V3.19 Skriv uttrycken för följande kurvor i formen
y = Asin(kx + v)+b.
Modell ▪ Tangenskurvan
Både sinus- och cosinusfunktionerna har perioden 360° och då måste
tangensfunktionen också ha densamma. Men för tangensfunktionen
är denna inte den minsta perioden. Vi ser, att
sin(α + 180 ) − sin α
= = tan α
cos(α + 180 ) − cos α
Alltså är tangensfunktionen periodisk med (minsta) perioden 180°:
tan(α + 180°) =
tan(α + n ⋅ 180°) = tan α, n ∈ Z
Trigonometri 19
Vi ser att funktionen är växande
för alla vinklar.
När vinkeln
närmar sig 90°
nerifrån växer
tangensvärdena
obegränsat. För
värdet α = 90°
existerar inget
tangensvärde,
eftersom
cos 90°= 0
och
tan α =
sin α
.
cos α
När vinkeln
passerat 90° börjar
kurvan om från
obegränsat stora
negativa värden
och växer till
obegränsat stora
positiva värden
när vinkeln
närmar sig 270°.
x
tan x
För värdena α = 45° + n ⋅ 180°, n ∈ Z är tangensvärdet lika med
1 (skärningen mellan den röda och blå kurvan).
0° 45°
0
1
90°
135°
180°
225°
270°
315°
360°
ej def
−1
0
1
ej def
−1
0
G3.20 Rita följande kurvor och ange perioden.
a)
b)
c)
y = tan 3x
x
y = tan
2
y = 2tan x
d)
e)
Trigonometri 20
y = tan x + 3
1
y=
tan x
4 Tre viktiga satser
Teori ▪ Areasatsen
Vi känner sedan tidigare till, att arean av en triangel är halva produkten
av basen och höjden. Med hjälp av trigonometri kan vi beräkna arean av
en triangel på ett annat sätt. Vet vi två sidor och mellanliggande vinkel
kan vi beräkna arean med areasatsen. Vi härleder först denna sats när alla
vinklar i triangeln är spetsiga.
Eftersom triangelns bas är b och höjden c⋅ sin α gäller för triangelns area T:
T =
b ⋅ c ⋅ sin α
2
Om vinkeln α är trubbig:
Trigonometri 21
Eftersom sin α = sin(180° − α) så gäller ovanstående formel även för den
trubbvinkliga triangeln.
Areasatsen uttryckt i ord:
Arean av en triangel är halva produkten av två sidor och sinus för
mellanliggande vinkel.
Modell ▪ Beräkningar med areasatsen
Exempel 1 Beräkna arean
av triangeln i figuren.
Lösning:
6 ⋅ 4 ⋅ sin 38 2
Arean blir
cm =
2
=7,39 cm2
Resultat: Arean är 7,39 cm2
Exempel 2 I en triangel är två sidor 23 cm och 15 cm. Triangelns area
är 72,9 cm2. Hur stor vinkel bildar sidorna med varandra?
Lösning: Vi får ekvationen
23 ⋅15 ⋅ sin x
= 72,9
2
72,9 ⋅ 2
sin x =
23 ⋅15
sin x = 0,4226
x 1 ≈ 25°
x 2 ≈ 180° − 25° = 155°
Resultat: Om vinkeln mellan sidorna är 25,0° eller 155° så blir
triangelarean 72,9 cm2.
Trigonometri 22
G4.1
Beräkna arean av nedanstående tre trianglar:
G4.2
Den minsta vinkeln i en triangel är 26,2°. De tre sidorna är 1,3
cm, 1,8 cm och 2,0 cm. Beräkna triangelns area.
G4.3
Ett triangelformat tomtområde har arean 866 m2. Två sidor
som bildar spetsig vinkel är 50 m och 40 m långa. Hur stor är
vinkeln?
G4.4
Två trianglar har lika stora areor. Den ena har två sidor som är
4,2 cm och 3,9 cm och den mellanliggande vinkeln är 43,7°. I
den andra triangeln är en av sidorna 5,6 cm. Denna sida bildar
vinkeln 36,5° med den sökta sidan. Hur lång är den?
G4.5
En vinkel i en triangel är 28° och de sidor som den bildar är
13,2 cm och 8,3cm. Man vill fördubbla arean genom att öka
vinkeln. Till vilket värde ska den ökas?
Trigonometri 23
Teori ▪ Sinussatsen
Vi tecknar arean av triangeln ABC på de tre möjliga sätten med hjälp av
b ⋅ c ⋅ sin A a ⋅ c ⋅ sin B a ⋅ b ⋅ sin C
areasatsen: = =
2
2
2
Multiplikation med 2 ger:
b ⋅ c ⋅ sin A = a ⋅ c ⋅ sin B = a ⋅ b ⋅ sin C
Division med abc ger sinussatsen:
sin A sinB sinC
= =
a
b
c
Sinussatsen uttryckt i ord: Sidorna i en triangel är proportionella
mot sinus för motstående vinklar.
En triangel är bestämd om vi vet
• två vinklar och en mellanliggande
sida [ =ASA]
Figuren visar att A, S och A ligger medurs.
• två sidor och en motstående vinkel.
[=ASS]
Figuren visar att A, S och S ligger medurs.
sinA
=
sinB
. Känner vi tre av de
a
b
fyra storheterna A, B, a och b, så kan den fjärde beräknas.
Detta inser vi när vi tittar på uttrycket
Trigonometri 24
I det första fallet fås direkt den tredje vinkeln ur triangelns
vinkelsumma. Sedan används sinussatsen för att bestämma de två
återstående sidorna.
I det andra fallet fås två möjliga trianglar om den obekanta
vinkeln B står mot den större sidan, det vill säga om b > a. Båda
vinklarna fås vid ekvationslösningen.
Om den obekanta vinkeln B står mot den mindre sidan fås även då två
vinklar vid ekvationslösningen, men den trubbiga vinkeln måste
förkastas (varför?). Det blir alltså bara en möjlig triangel.
Sinussatsen för 'ASS' finns på gratisdisketten. Genom att laborera
med VariabelRadie = S 2 = a kan man inse det andra fallets
möjligheter.
Trigonometri 25
G4.6 Hur långa är de återstående sidorna i nedanstående trianglar?
G4.7
Beräkna arean av följande trianglar:
G4.8
Beräkna arean av en parallellogram, vars sidor är 26 m och
67 m och en av vinklarna 49°.
G4.9
I triangeln ABC är sidan AC = 35 cm och sidan BC = 25 cm.
Vinkeln B = 63°. Hur stor är vinkeln A?
G4.10 Två platser A och B ligger på en strand på ett avstånd av
1080 m. En oljetanker befinner sig i en punkt C ute till havs.
Man mäter vinklarna ABC och BAC. Vinkeln ABC = 43,5°
och vinkeln BAC = 109,3°. Beräkna avståndet till oljetankern
från platserna A respektive B.
Trigonometri 26
Teori ▪ Cosinussatsen
Om vi känner de tre sidorna i en triangel är triangeln entydigt bestämd.
Vi har hittills inte haft något verktyg för att bestämma vinklarna i
triangeln. Men med cosinussatsen kan vi lösa det problemet.
Vi använder Pythagoras sats på triangeln BCP:
a2 = b2 ⋅ sin2A + (c − b⋅cosA)2 = b2 ⋅sin2A + c2 + b2cos2A − 2bc ⋅cosA =
= b2⋅(sin2A + cos2A) + c2 − 2bc⋅cos A = b2 + c2 − 2bc⋅cos A
Alltså: a2 = b 2 + c2 − 2 bc⋅cos A
Trigonometri 27
Om vinkeln A är trubbig blir AP = b ⋅ cos(180° − A) = − b ⋅ cosA.
Avståndet BP blir då c + (− b ⋅ cosA) = c − b ⋅ cosA. Ovanstående
härledning gäller alltså både om vinkeln A är spetsig eller trubbig.
Kvadraten på en sida i en triangel är lika med summan av de
övriga två sidornas kvadrater minus dubbla produkten av dessa
sidor och cosinus för mellanliggande vinkel.
När vi har uppgiften att bestämma alla sidor och vinklar i en triangel
använder vi cosinussatsen när vi
• känner två sidor och mellanliggande vinkel [SAS]
• känner alla tre sidorna [SSS]
I det senare fallet bör vi börja med att bestämma den vinkel som står
mot den största sidan. Då får vi veta om den är spetsig eller trubbig. De
övriga sidorna kan beräknas med sinussatsen. Eftersom de måste vara
spetsiga får vi dem direkt.
G4.11 Beräkna den återstående sidan i triangeln ABC.
Trigonometri 28
G4.12
a)
b)
c)
Beräkna den största vinkeln i triangeln med sidorna
8,0 cm, 10,0 cm och 12,0 cm
12,6 m, 8,1 m och 4,9 m
5 cm, 12 cm och 13 cm.
G4.13 Beräkna arean av en triangel, vars sidor är 7,5 cm, 9,0 cm och
10,5 cm.
G4.14 Två krafter som har samma angreppspunkt bildar vinkeln 43°.
Krafternas storlek är 42,5 N respektive 53,7 N. Hur stor är
deras resultant?
G4.15 Två fartyg lämnar samtidigt en hamn. Det ena går i riktningen
S 67,53° O med farten 23,5 km/h och det andra i riktningen S
52,61° V med farten 13,8 km/h. Hur långt från varandra är
fartygen efter 3 h 20 min?
G4.16 En vattenmolekyl består av en syreatom som binder två väteatomer. Bindningsavståndet mellan syre och väte är 97 pm och
vinkeln mellan bindningsriktningarna är 104,5°. Beräkna avståndet mellan väteatomerna i en vattenmolekyl.
V4.17 Bestäm vinkeln
ABC i rätblocket
här bredvid.
Trigonometri 29
V4.18 En båt avgår från en hamn i en kurs som från riktningen norrut
avviker med 30° österut med en fart av 20 km/h. Efter 3 timmar lämnar en annan båt en hamn som ligger 160 km rakt
öster om den första med en fart av 70 km/h. Vilken kurs ska
den båten hålla för att den ska sammanträffa med den första?
Trigonometri 30
5 Samband mellan trigonometriska
funktioner
Teori ▪ Additionsformlerna
Ett av trigonometrins viktigaste samband är trigonometriska ettan. Men
det finns många fler användbara samband. Av dessa har vi sett följande:
sin(−α) = −sin α
cos(−α) = cos α
sin(180° − α) = sin α
cos(180° − α) = − cos α
cos(90° − α) = sin α
sin(90° − α) = cos α
sin α
tan α =
cos α
Additionsformlerna
Vi ska nu härleda några
fler trigonometriska
formler som kan användas för att förenkla
trigonometriska uttryck. Med additionsformlerna kan vi skriva
exempelvis uttrycken
sin(α + β) eller
cos(2x − 30°) som
summor. Vi börjar med
att härleda formeln för
hur man skriver
cos(α − β) som en
summa:
Trigonometri 31
I figuren är två vinklar, α och β och deras differens α − β markerade. I
den rätvinkliga triangeln ABC har kateten AC längden cosβ − cosα och
kateten BC längden sinβ − sinα. Längden c av hypotenusan AB beräknas med Pythagoras sats:
c2 = (cosβ − cosα)2 + (sinβ − sinα)2
Kvadraterna utvecklas med kvadreringsregeln:
c2 = cos2β + cos2α −2cosβ cosα +sin2β + sin2α −2sinα sinβ =
= sin 2α + cos 2α + sin 2 β + cos 2 β − 2cosα cosβ − 2sinα sinβ




 
1
1
Eftersom sin α + cos α = 1 och sin2β + cos2β = 1 (trigonometriska ettan)
kan uttrycket förenklas till:
c2 = 1 + 1 −2cosα cosβ − 2sinα sinβ = 2 − 2(cosα cosβ + sinα sinβ )
Vi använder nu cosinussatsen på triangeln AOB. Då fås
c2 = 12 + 12 − 2 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ cos(α − β) = 2 − 2cos(α − β)
Vi jämför till sist de fetmarkerade uttrycken och inser att de måste
betyda samma sak. Alltså gäller
2
2
cos( α − β) = cos α cosβ + sin α sin β
(1)
När vi väl härlett denna formel är det lätt att teckna de övriga tre
additionsformlerna. Vi byter ut vinkeln α mot dess komplementvinkel
(90° − α) och får
cos(90° − α − β) = cos(90° − α)cosβ + sin(90° − α)sinβ
cos[90° − (α + β)] = cos(90° − α)cosβ + sin(90° − α)sinβ
sin(α + β) = sin α cosβ + cosα sin β
(2)
Vi byter i stället ut vinkeln β mot −β i (1). Eftersom cos(−β) = cosβ och
sin(−β) = −sinβ fs direkt
cos( α + β) = cosα cosβ − sin α sinβ
(3)
Den fjärde additionsformeln får vi genom att byta vinkeln β mot −β i
(2):
sin(α − β) = sin α cosβ − cosα sin β
Vi sammanfattar additionsformlerna:
sin(α + β) = sinα cosβ + cosα sinβ
cos(α + β) = cosα cosβ − sinα sinβ
sin(α − β) = sinα cosβ − cosα sinβ
cos(α − β) = cosα cosβ + sinα sinβ
Trigonometri 32
(4)
Modell ▪ Förenkling med additionsformlerna
Exempel 1 Förenkla uttrycket sin(x + 40°) − sin(x − 40°).
Lösning
Vi använder de två additionsformlerna för sinus och gör följande
beräkning:
sin(x + 40°) − sin(x − 40°) = sin x cos 40° + cos x sin 40° − (sin x cos 40−
−cos x sin 40°) = 2 cos x sin 40° = 1,29 ⋅ cos x.
Exempel 2 Förenkla uttrycket cos(60° + x) + cos(60° − x).
Lösning
1
ger följande:
2
cos(60° + x) + cos(60° − x) = cos 60°cos x − sin 60°sin x + cos 60°cos x +
1
+ sin 60°sin x = 2 cos 60°cos x = 2 ⋅
cos x = cos x.
2
Exempel 3 Visa att cos(270° + x) = sin x
Additionsformlerna för cosinus och värdet cos 60° =
Lösning
Additionsformeln för cosinus och värdena cos 270° = 0 och sin 270° = −1
ger följande: cos(270° + x) = cos 270°cos x − sin 270° sin x =
0 ⋅cos x − (−1)⋅ sin x = sin x.
G5.1 Förenkla följande uttryck med additionsformlerna:
a)
b)
c)
d)
sin(x + 30°) − sin(x − 30°)
cos(x + 14°) + cos(x − 14°)
sin(38° + x) + sin(38° − x)
cos(x − 60°) − cos(x + 60°)
G5.2 Förenkla med additionsformlerna:
a)
b)
c)
d)
sin(90° + x)
cos(180° − x)
cos(2x − 90°)
sin(90° − 3x)
Trigonometri 33
G5.3 Förenkla uttrycken och ange deras exakta värden
a)
b)
c)
d)
cos 80° cos 20° + sin 80° sin 20°
cos 40° cos 50° − sin 40° sin 50°
sin 70° cos 40° − cos 70° sin 40°
sin 70° cos 20° + cos 70° sin 20°
G5.4 Visa att
a)
b)
c)
d)
sin(270° − x) = −cos x
sin(90° + x) = cos x
sin(−x) = −sin x
(Skriv sin(−x) = sin(0° − x))
cos(−x) = cos x
Formler för dubbla vinkeln
Vi utgår från dessa additionsformler:
sin(α + β) = sinα cosβ + cosα sinβ
cos(α + β) = cosα cosβ − sinα sinβ
Sätter vi β = α i den första får vi ”sinus för dubbla vinkeln”:
sin(α + α) = sinα cos α + cosα sin α = 2 sin α cos α
Sätter vi β = α i den andra får vi ”cosinus för dubbla vinkeln”:
cos(α + α) = cosα cos α − sinα sin α = cos2α − sin2α
Trigonometriska ettan sin2α + cos2α = 1 kan skrivas
sin2α = 1 − cos2α
eller
cos2α = 1 − sin2α
Det ger oss möjlighet att skriva ”cosinus för dubbla vinkeln” på två sätt
till:
cos 2 α = cos2α − (1 − cos2α) = 2 cos2α − 1
eller
cos 2 α = 1 − sin2α − sin2α = 1 − 2 sin2α
Vi sammanfattar formlerna för dubbla vinkeln:
sin 2α = 2 sin α cosα
cos 2α = cos2α − sin 2α = 2 cos2α − 1 = 1 − 2 sin2α
Trigonometri 34
Modell ▪ Förenkling med formlerna för dubbla
Vinkeln
Exempel 1 Bestäm det exakta värdet av cos 2x om sin x = 0,3
Lösning
cos 2x = 1 − 2 sin2 x. Alltså blir cos 2x = 1 − 2 ⋅ 0,32 = 1 − 0,18 = 0,82
Exempel 2
Beräkna exakta värden
på sin 2v och cos 2v.
Lösning Hypotenusan betecknas x. Pythagoras sats ger
x2 = 32 + 42
x = ± 32 + 42 (den negativa roten förkastas)
x=5
Definitionerna på sinus och cosinus ger att sin v =
3
4
och cos v = .
5
5
Vi får direkt
3 4 24
sin 2v = 2sin v cos v = 2 ⋅ ⋅ =
5 5 25
och
2
7
3
cos 2v = 1 − 2 sin2 v = 1 − 2 ⋅   =
25
5
G5.5
a)
b)
G5.6
a)
För en spetsig vinkel gäller att tan v = 2. Beräkna exakta värden
på
sin v
c)
cos v
sin 2v
d)
cos 2v
1
För en spetsig vinkel gäller sin v = . Bestäm exakta värden på
3
cos 2v
b)
sin 2v
Trigonometri 35
G5.7
Bevisa följande formler.
(sin v + cos v)2 = 1 + sin 2v
cos 2u = cos4 u − sin4 u
1 − sin 2x ⋅ tan x = cos 2x
(cos v + sin v)(cos v − sin v) = cos 2v
V5.8
a)
Bevisa följande formler.
1 − tan 2 x
cos 2x =
2
b)
sin 2x =
c)
tan 2x =
a)
b)
c)
d)
1 + tan x
2 tan x
1 + tan 2 x
2 tan x
1 − tan 2 x
V5.9
Bevisa följande formler.
a)
sin 3x = 3sin x − 4 sin3 x
b)
cos 3x = 4 cos3 x − 3 cos x
Tips: Utnyttja likheterna sin 3x = sin(2x + x) och cos 3x = cos(2x + x)
1
V5.10 Visa att 1 + tanx ⋅ tan2 x =
cos 2 x
V5.11 Bevisa formeln
V5.12 Bevisa formeln
1
tan x
−
(CP NT ht 1988)
1
1
=.
tan 2 x sin 2 x
cos x + sin x
cos x − sin x
−
cos x − sin x
cos x + sin x
Trigonometri 36
2 tan 2 x .
=
6 Trigonometriska ekvationer
Modell ▪ Trigonometriska ekvationer (1)
Tidigare löste vi trigonometriska ekvationer av formen sin v = a, cos v = a
eller tan v = a och begränsade oss till området 0  ≤ v < 360  eller
0  ≤ v < 180  . Men nu ska vi lösa ekvationerna fullständigt. Eftersom
de trigonometriska funktionerna är periodiska får vi oftast oändligt
många lösningar till trigonometriska ekvationer.
Exempel 1
Lös ekvationen
1 − 2sin v = 0
Lösning Ekvationen
skrivs
1 = 2sin v
1
sin v =
2
Vi vet sedan förut att vinklarna 30° och 150° uppfyller denna ekvation,
eftersom sin v = sin(180° − v). Men de vinklarna är inte de enda som
löser ekvationen. Adderar vi 360°, alltså ett helt varv, till var och en av
dessa vinklar får vi 390° och 510° och dessa vinklar är också lösningar.
Subtraherar vi 360° får vi lösningarna −330° och −210°. Den rörliga
radien kommer ju tillbaka till det ursprungliga läget efter ett helt antal
varv. Samtliga lösningar till ekvationen sammanfattas så här:
v = 30° + n ⋅ 360° och v = 150° + n ⋅ 360°
Lägg märke till att n står för heltal, alltså {…, −2, −1, 0, 1, 2,…}.
Resultat: v = 30° + n ⋅ 360° eller v = 150° + n ⋅ 360°
Trigonometri 37
Exempel 2
Lös ekvationen cos v = 0,3
Lösning: Vi får direkt att
v = 72,5°.
Lösningarna till ekvationen
blir antingen
v = 72,5° + n ⋅ 360°
eller, eftersom
cos v = cos(−v):
v = −72,5° + n ⋅ 360°
men de senare lösningarna
kan också skrivas
v = 287,5° + n ⋅ 360°
Här har vi adderat 360°
vilket motsvarar samma
läge i enhetscirkeln.
Resultat:
v = 72,5° + n ⋅ 360° eller
v = 287,5° + n ⋅ 360°.
G6.1 Lös följande ekvationer:
a)
b)
c)
d)
e)
2 + 3sin v = 0
v = 0,365
sin v = −0,098
2,5 + sin v = 3,15
4sin v − 3 = 0
G6.2 Bestäm funktionens nollställen:
a) f(x) = 3sin x − 1
b) f(x) = 2 + 5cos x
f) 5 + 2cos v = 4
g) 1 + cos v = 1
sinv
h)
= 0 ,13
2
c) f(x) = sin x − 1,3
d) f(x) = 3cos x − 1
V6.3 Lös ekvationen sin x = sin 38°
Trigonometri 38
Modell ▪ Trigonometriska ekvationer (2)
Exempel 3 Lös ekvationen sin(v − 14°) = 0,7
Lösning Vi får dels
v − 14° = 44,4°+ n ⋅ 360°
v = 58,4°+ n ⋅ 360
v − 14° = (180° − 44,4)°+ n ⋅ 360°
v − 14° = 135,6° + n ⋅ 360°
v = 149,6°+ n ⋅ 360
Resultat: v = 58,4°+ n ⋅ 360° eller v = 149,6°+ n ⋅ 360°
Pröva resultatet genom att välja ett godtyckligt n och beräkna värdet av
sin(58,4°+ 2 ⋅ 360°− 14°) (n = 2) eller
sin(149,6°− 3 ⋅ 360°− 14°) (n = −3). Värdet ska bli 0,7.
och
Exempel 4 Lös ekvationen sin(3v + 10°) = 0,34
Lösning: Först får vi
3v + 10° = 19,9° + n ⋅ 360°
3v = 9,9° + n ⋅ 360°
v = 3,3° + n ⋅ 120°
3v + 10°= 160,1° + n ⋅ 360°
3v = 150,1° +n ⋅ 360°
v = 50,0° + n ⋅ 120° (Glöm inte att perioden
också ska divideras med 3)
Resultat: v = 3,3° + n ⋅ 120° eller v = 50,0° + n ⋅ 120°
sedan
G6.4 Lös följande ekvationer
a)
sin (x − 12°) = 0,5
b) sin (2x + 10°) = − 0,3
c)
sin (0,5x − 72°) = 0,04
d) sin (
3
x
+15°) =
7
3
Trigonometri 39
Modell ▪ Trigonometriska ekvationer (3)
Exempel 5 Lös ekvationen cos(0,5v − 6°) = 0,71
Lösning
1.
0,5v − 6° = 44,8° + n ⋅ 360°
0,5v = 50,8° + n ⋅ 360°
50,8  n ⋅ 360 
+
v=
0,5
0,5
v = 101,5° + n ⋅ 720°
0,5v − 6° = 315,2° + n ⋅ 360°
(Eftersom −44,8° + 360° = 315,2° har
vinklarna 315,2° och −44,8° samma läge i
enhetscirkeln)
0,5v = 321,2° + n ⋅ 360°
v = 642,5° + n ⋅ 720°
Resultat: v = 101,5° + n ⋅ 720°eller v = 642,5° + n ⋅ 720°
2.
Exempel 6 Lös ekvationen 5tan v = 17
Lösning: Vi skriver ekvationen
17
tan v =
5
v = 73,6°+ n ⋅ 180°
Resultat: v = 73,6°+ n ⋅ 180°
Exempel 7 Lös ekvationen sin v = 4cos v
Lösning: Vi får här användning för sambandet tanv =
med cos v i båda led ger
sin v
=4
cos v
tan v = 4
v = 76,0°+ n ⋅ 180°
Resultat: v = 76,0°+ n ⋅ 180°
Trigonometri 40
sinv
. Division
cosv
G6.5 Lös ekvationerna. Ange resultatet med två decimalers
a)
noggrannhet.
cos(0,8v − 11°) = 0,65
b) cos(
c)
d)
e)
f)
g)
x
− 43°) = 0,13
4
2tan x = − 3
3tan 4x = 5
4sin x = 3cos x
8cos x = 2sin x
sin x = cos 2x (Använd sambandet sin x = cos (90° − x))
Modell ▪ Trigonometriska ekvationer (4)
Exempel 8 Lös ekvationen sin 3v = sin v. Markera lösningarnas läge i
enhetscirkeln.
3v = v + n ⋅ 360°
2v = n ⋅ 360°
v = n ⋅ 180°
2.
3v = 180° − v + n ⋅ 360°
4v = 180° + n ⋅ 360°
v = 45°+ n ⋅ 90°
Resultat: v = n ⋅ 180° eller v = 45°+ n ⋅ 90°
Lösning
1.
Exempel 9 Lös ekvationen sin 5v = sin(v + 15°)
Lösning
1.
5v = v + 15° + n ⋅ 360°
4v = 15° + n ⋅ 360°
v = 3,75° + n ⋅ 90°
5v = 180° − (v + 15°) + n ⋅ 360°
5v = 180° − v − 15° + n ⋅ 360°
6v = 165° + n ⋅ 360°
v = 27,5° + n ⋅ 60°
Resultat: v =3,75° + n ⋅ 90° eller v = 27,5° + n ⋅ 60°
2.
Trigonometri 41
Vi prövar med att sätta in vinkeln v = 27,5° + 2 ⋅ 60° i den ursprungliga
ekvationen: V. L. = sin[5 ⋅ (27,5°+ 2 ⋅ 60°)] = 0,30
H. L. = sin(27,5° + 2 ⋅ 60° + 15°) = 0,30
Vinkeln är alltså en lösning. Pröva själv några fler vinklar.
Exempel 10 Lös ekvationen cos3v = cos(v + 36°)
Lösning
1.
3v = v + 36° + n ⋅ 360°
2v = 36° + n ⋅ 360°
v = 18° + n ⋅ 180°
4v = −36° + n ⋅ 360°
v = −9° + n ⋅ 90°
Resultat: v = 18° + n ⋅ 180° eller v = −9° + n ⋅ 90°
2.
Exempel 11 Lös ekvationen cos v = cos(60° − v)°
Lösning
1.
v = (60° − v) + n ⋅ 360°
2v = 60° + n ⋅ 360°
v = 30° + n ⋅ 180°
v = −(60° − v) + n ⋅ 360°
60° = n ⋅ 360°(motsägelse)
Resultat: v = 30° + n ⋅ 180°
2.
G6.6 Lös ekvationerna
a)
c)
d)
e)
sin 3v = sin2v
b) cos 2x = cos x
sin 3v = sin (2v + 26°)
sin 2v = − sin v (Använd sambandet sin (−v) = − sin v)
sin (x + 15°) = cos (3x + 20°)
G6.7 Lös ekvationerna och markera lösningarnas läge i enhetscirkeln.
cos 2x = cos (60° − x)
v
b) cos v = cos ( +36°)
3
a)
c)
cos 4v = cos 100°
x
d) cos
= cos 12°
5
Trigonometri 42
Modell ▪ Trigonometriska ekvationer (5)
Exempel 12 Lös ekvationen sin 2v = 2sin v
Lösning
2sin v cos v = 2sin v
2sin v cos v − 2sin v = 0
2sin v (cos v − 1) = 0
1.
sin v = 0 v = n ⋅ 180°
2.
cos v − 1 = 0
cos v = 1 v = n ⋅ 360°
(Vinklarna i 2. finns med i v = n ⋅ 180°.)
Resultat: v = n ⋅ 180°
Exempel 13 Lös ekvationen cos2 v − 5cos v = 0
Lösning: Sätt cos v = t och ekvationen övergår i:
t2 − 5t = 0
t(t − 5) = 0
t = 0 eller t = 5
1.
cos v = 0
v = 90° + n ⋅ 180°
2.
cos v = 5
Saknar lösning
Resultat: v = 90° + n ⋅ 180°
Exempel 14 Lös ekvationen sin2 v + sin v − 2 = 0
Lösning Sätt sin v = t och ekvationen övergår i:
t2 + t − 2= 0
1
1+ 8
t= − ±
2
4
t1 = − 2 t2 = 1
1.
sin v = − 2
lösning saknas
2.
sin v = 1
v = 90° + n ⋅ 360°
Resultat: v = 90° + n ⋅ 360°
Trigonometri 43
1
.
2
G6.8
Lös ekvationen cos2 x =
G6.9
Lös ekvationen 2cos2 x − 3cos x + 1 = 0
G6.10 Lös ekvationen 2cos2 x − sin x = 1
G6.11 Lös ekvationen sin2 x + cos x =
5
4
V6.12 Lös ekvationen cos 2x + cos x + 1 = 0
V6.13 Lös ekvationen 2cos x + cos 2x = sin2 x − 1
V6.14 För vilka vinklar i intervallet 0° < x < 180° gäller olikheten
4+ 2cos x − 5sin x > 0?
V6.15 Är följande trigonometriska lösning korrekt?
(sin x + cos x)2 = 2
sin2 x + cos2 x + 2 sin x cos x = 2
2sin x cos x = 1
sin 2x = 1
2x = 90° + n ⋅ 360°
x = 45° + n ⋅ 180°
Resultat: x = 45° + n ⋅ 180°
Trigonometri 44
180 o
7 1 radian=
π
Teori ▪ Absolut vinkelmått
Vi har tidigare nämnt
vinkelmåttet radian. Det
definieras som den vinkel
som upptar båglängden 1
i enhetscirkeln. När vi
studerar trigonometriska
funktioner och deras
derivator använder vi
alltid vinkelenheten
radianer.
Eftersom enhetscirkelns omkrets är 2π längdenheter så gäller följande
samband: 2π radianer = 360°
π
2π
radianer =
radianer = 1°
180
360
1 radian =
360 
2π
=
180 
π
Vinkeln 1 radian förkortas 1 rad, men enhetsbeteckningen utelämnas
3π
3π
oftast. Man skriver till exempel v =
och menar då vinkeln
4
4
radianer.
Kontrollera att du vet hur man ställer in räknaren för vinkelenheten
radianer. Sedan du gjort det, pröva att mata in π [÷] 6 [=] [sin]
alternativt [sin] ( π [÷] 6 ) [=]. Om du får svaret 0,5 är din räknare rätt
inställd på radianer. (Vinkeln 30° = π/6 rad, sin (π/6) = 0,5.)
Trigonometri 45
Modell ▪ Omvandling mellan grader och radianer
Exempel 1 Skriv vinkeln 25° i radianer.
Lösning:
π
5π
25° = 25 ⋅
= 0,436
=
180 36
3π
Exempel 2 Skriv vinkeln
i grader.
8
Lösning:
3π 3π 180
= 67,5°
=
⋅
8
8 π
Exempel 3 Skriv vinkeln 90° i radianer.
Lösning:
90° = 90° ⋅
G7.1
a)
b)
c)
G7.2
a)
b)
c)
d)
G7.3
a)
b)
G7.4
a)
b)
π
π
= = 1,571
180 2
Skriv följande vinklar i radianer. Svara exakt.
60°
d)
120°
135°
e)
270°
90°
f)
45°
g)
h)
300°
30°
Vinklarna är uttryckta i radianer. Skriv dem i grader.
π
π
5π
e)
2π
12
2
h)
2π
3
f)
6
g)
π
5π
6
11π
6
Uttryck i radianer. Svara både exakt och med närmevärde (tre
värdesiffror).
48°
c)
2,26°
237°
d)
109°
Uttryck vinklarna i grader. Avrunda till heltal.
0,5 rad
c)
6,5 rad
3 rad
d)
1,5 rad
Trigonometri 46
G7.5
a)
b)
G7.6
a)
b)
c)
d)
G7.7
a)
b)
c)
Illustrera i en enhetscirkel följande vridningar uttryckta i
radianer:
2π
13π
c)
3
6
5π
d)
− 6π
−
3
Beräkna följande värden med hjälp av räknare.
3π
2sin 1,5
4 tan
e)
sin 0,02
4
tan
3
cos 0,5 π
f)
0,05 cos(π/3)
4
Beräkna uttryckets värde för x =
sin(x + 1)
tan(2x − 1)
sin x − 2π
(
π
3
. Avrunda till tre decimaler.
d)
3
(
1,5cos 2 x − π 6
)
)
π

f ( x) sin  x −  .
Beräkna f(π) om =
2

2π 

x) 2 cos  2 x −
G7.9 Beräkna f(π) − f(0) om f (=
+ x.
3 

V7.10 Lös ekvationen sin x − sin3 x = 0 fullständigt. Svara i radianer.
3
V7.11 Lös ekvationen sin x cos x =
fullständigt. Svara i radianer.
4
G7.8
Om en cirkelsektor har vinkeln v°, så är dess area
v
av hela cirkelns omkrets.
360
v ⋅ 2 ⋅π ⋅ r v ⋅π ⋅ r
Cirkelbågens =
längd b =
360
180
2
v ⋅π ⋅ r
v ⋅ π ⋅ r ⋅ r br
Cirkelsektorns area = = =
360
180 ⋅ 2
2
area och dess cirkelbåge b =
•
•
v
av hela cirkelns
360
Trigonometri 47
8 Derivatan av f (x) = sin x
Teori ▪ Derivatan av sinusfunktionen
För att kunna härleda derivatan av sinusfunktionen måste vi först
sin x
sin x
. Kvoten
saknar värde för x = 0,
bestämma gränsvärdet lim
x →0 x
x
men om vi beräknar kvoten för olika x i närheten av 1 ser vi, att det
verkar som om gränsvärdet är = 1.
sin x
x
x
-0,1
-0,01
-0,001
0
0,001
0,01
0,1
0,998334166
0,999983333
0,999999833
värde saknas
0,999999833
0,999983333
0,998334166
Låt oss kalla punkten (1, 0) för E. Av figuren framgår att arean av
sin x ⋅1
x ⋅1
triangeln AOE är
a.e., arean av motsvarande cirkelsektor
2
2
a.e. (cirkelsektorns area se föregående sida) och arean av triangeln BOE
tan x ⋅1
sin x ⋅1 x ⋅1 tan x ⋅1
<
<
a.e. Vi får olikheten
Vi kan skriva
2
2
2
2
denna olikhet efter multiplikation med 2 som sin x < x < tan x
sin x
och vidare som sin x < x <
som i sin tur ger
cos x
sin x
sin x < x och x <
cos x
π
sin x
<1
För vinklar i intervallet 0 < x <
gäller då cos x <
x
2
Trigonometri 48
Eftersom cos x går mot 1 när x går mot 0, blir lim
x →0
sin x
x
=1.
Vi tecknar nu ändringskvoten mellan x-värdena (x − ∆x) och (x + ∆x)
för funktionen f(x) = sin x . Anledningen till att vi använder den
”symmetriska” differenskvoten är att det förenklar räkningarna.
sin( x + ∆x ) − sin( x − ∆x )
f ( x ) = lim
=
∆x →0
2 ∆x
(sin x cos ∆x + cos x sin ∆x ) − (sin x cos ∆x − cos x sin ∆x )
= lim
=
∆x →0
2∆x
2 cos x sin ∆x
sin ∆x
= lim cos x ⋅
= cos x
= lim
∆x →0
∆x →0
2 ∆x
∆
x
=1
Om f(x) = cos x så är f ´(x) = −sin x. Vi väntar med att visa detta, tills
vi studerat sammansatta funktioners derivator.
f(x)
f ´(x)
sin x
cos x
cos x
−sin x
Trigonometri 49
Modell ▪ Derivatan av sinus- och cosinus
Exempel 1
Beräkna f’(x) om f(x) = 2sin x + cos x
Lösning f ’(x) = 2cos x + (−sin x) = 2cos x − sin x
Exempel 2
Beräkna derivatans nollställen till funktionen f(x) = 0,3x + cos x
Lösning: f ’(x) = 0,3 − sin x . Vi tecknar ekvationen f ’(x) = 0 :
0,3 − sin x = 0
sin x = 0,3
x = 0,305 + n ⋅ 2π eller x = 2,837 + n ⋅ 2π
Exempel 3
Funktionen f(x) = 2x − 3cos x är given. Beräkna f ’(π)
Lösning:
f ’(x) = 2 + 3sin x .
f ’(π) = 2+3 ⋅ sin π = 2 + 3 ⋅ 0 = 2
'HWILQQVLQJHWIDFLWWLOO**$QYlQG
V\PEROUlNQDUHRPGXlURVlNHUSnVYDUHW
G8.1
a)
b)
Bestäm följande derivator.
D(3sin x)
D(cos x − 2sin x)
c)
D(
d)
Dsin3 x
G8.2
sin x
3
)
a)
Derivera funktionerna.
f(x) = Acos x + Bsin x
b)
f(x) = (3cos x)2
c)
y=
G8.3
cos x
1 + sin x
Bestäm f’(
π
2
) då
a) f(x) = 3x + 3cos x
b) f(x) = sin x +
3cos x
2
Trigonometri 50
G8.4
a)
Bestäm derivatans nollställen till dessa funktioner.
3 sin x
f(x) = 2 sin x + x
c)
f(x) =2cos x +
b)
f(x) =
x
3
+
cos x
2
2
π
V8.5
Bestäm värdet på konstanten a, så att f ′( ) = 0, när
3
2
f(x) = a cos x + 3x ?
V8.6
Bestäm ekvationen för den tangent till kurvan f(x) =4cos x där
x = π.
Ange värdet av konstanten k så
π
3π
cos( x − ) + cos( x − ) =
k sin x för alla reella x.
4
4
(CP 1969 NT åk2)
V8.7
Fundera på detta!
Förklara med begreppet derivata vad som hänt utifrån
den översta kurvan till den nedersta
Trigonometri 51
Modell ▪ Mer om trigonometriska ekvationer
Exempel 1
Rita grafen till funktionen f(x) = 3 sin (x −
π
). Bestäm de x-värden i
2
intervallet 0 ≤ x ≤ 2π för vilka funktionsvärdet är > 2.
Funktionsuttrycket kan skrivas enklare. Hur?
Lösning: Vi ritar först kurvan:
Kurvan ligger ovanför linjen y = 2 för x-värdena 2,3 < x < 4,0 (avrundat
till en decimal). Uttrycket kan förenklas så här:
3 sin (x −
π
2
) = 3⋅[sin x cos
π
2
− cos x sin
π
2
] = − 3⋅cos x.
Resultat: Funktionsvärdet är > 2 för x-värdena 2,3 < x < 4,0.
Funktionen kan skrivas f(x) = − 3cos x.
Trigonometri 52
Exempel 2
π
1
Lös ekvationen cos(2 x + ) = .
Lösning:
6
2
π
1
π
π
=
fås 2 x + =± + n ⋅ 2π
4
2
6
4
π
π
2 x + =+ + n ⋅ 2π
(1)
Eftersom cos
Vi får
eller
6
2x +
π
6
4
=−
π
4
+ n ⋅ 2π
(2)
π
π
+ n ⋅π
+ n ⋅ 2π , alltså x =
12
24
5π
5π
+ n ⋅ 2π , alltså x =− + n ⋅ π
(2) ger 2 x =−
(1) ger 2 x =
24
π
5π
+ n ⋅ π eller x =−
+ n ⋅π .
Resultat: Ekvationslösningarna: x =
24
24
12
Exempel 3
Bestäm värdemängden och perioden till funktionen f(x) = 3sin
grafen.
3x
2
. Rita
Lösning:
Grafens
utseende
3x
antar värden i intervallet − 1 ≤ x ≤ 1. Alltså antar
2
3x
2π 4π
=
3 sin
värden i intervallet − 3 ≤ f(x) ≤ 3. Perioden blir
.
2
32 3
4π
Resultat: Värdemängden är − 3 ≤ f(x) ≤ 3 och perioden
.
3
Faktorn sin
Trigonometri 53
G8.8
a)
Lös ekvationen sin 2x = cos x grafiskt i intervallet − π ≤ x ≤ 2π.
b)
Lös grafiskt olikheten 2sin (x −
c)
G8.9
π
4
Lös ekvationen cos x = x grafiskt.
) ≥ 0,5 i intervallet − 0 ≤ x ≤ π.
Bestäm den punkt där kurvan y = 6⋅sin(x +
G8.10 Lös ekvationen cos 2x + cos x = 1.
π
6
) skär y-axeln.
G8.11 På grund av tidvattnet varierar vattendjupet i en hamn Djupet
a)
b)
c)
d)
h m beskrivs approximativt av den trigonometriska funktionen
πx
h(x) = 3,0 + 1,5 sin
där x är antalet timmar efter midnatt.
6
Rita grafen med grafritande hjälpmedel.
Bestäm det minsta och det största djupet.
Vid vilka tidpunkter råder högvatten?
Mellan vilka klockslag sjunker vattenståndet?
V8.12 Bestäm den största vinkeln i en triangel vars sidor förhåller sig
som 8:13:15.
V8.13 En triangels sidor är 3 cm, 4 cm och 6 cm. Vilken längd har
medianen mot den största sidan? (Kalla vinkeln mellan medianen och den största sidan för α och utnyttja cosinussatsen.
V8.14 Sidorna i en parallellogram är a och b och diagonalerna d 1 och
d 2 . Visa att följande samband gäller: d 1 2 + d 2 2 = 2(a2 + b2)
V8.15 Visa att om A är en vinkel med 0 < A <
1 + 1  1 + 1  > 5



 sin A   cos A 
Skolornas matematiktävling 1979
Trigonometri 54
π
2
så är
M atematiken i historien
Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768 – 1830) var fransk
matematiker och fysiker. Han undervisade först vid École Polytechnique
i Paris som då var en nystartad högskola för utbildning av ingenjörer och
militärer. Där undervisades både i ren och tillämpad matematik. Många
skickliga matematiker var lärare vid den skolan.
Vid École Polytechnique började
man också skapa läroböcker som
var speciellt avsedda för undervisning. Fram till den tiden hade matematikböcker mest varit avhandlingar skrivna för specialister. År
1798 lät sig Fourier liksom många
av den tidens franska vetenskapsmän värvas att delta i Napoleons
fälttåg till Egypten. Han återvände
till Frankrike 1801 och tänkte
återuppta undervisandet vid École
Polytechnique, men fick i stället av
Napoleon en utnämning som
prefekt för ett departement i
sydöstra Frankrike. Parallellt med
uppgiften att ställa till rätta den oreda som franska revolutionen
åstadkommit arbetade han vetenskapligt. Fourier var mycket intresserad
av matematikens användning för att lösa fysikaliska problem och han
studerade hur värmeenergi breder ut sig i en fast kropp. Vid arbetet med
detta utvecklade han år 1807 en metod som kommit att kallas Fourieranalys och som är ett effektivt verktyg för att analysera periodiska
fenomen. Fourier kom fram till att en kontinuerlig funktion kan skrivas
som en summa av sinus- och cosinusfunktioner.
Fouriers resultat togs emot med stor misstänksamhet och det kom att
dröja ända till år 1822 innan han publicerade sitt viktigaste verk, Théorie
Trigonometri 55
analytique de la chaleur (En analytisk teori om värmet) som haft en stor
betydelse för användningen av matematik inom naturvetenskaperna.
Fourieranalys har mycket vidsträckta tillämpningar. Några exempel:
Inom akustiken utnyttjas tekniken bland annat vid digitala musikinspelningar och i kemi och biologi Fourieranalyserar man röntgendiffraktionsmönster för att bestämma strukturen hos makromolekyler.
Karta över planeten Pluto sammanställd av data från Hubbleteleskopet.
Astronomerna använder tekniken för att analysera bilder av himlakroppar tagna med sonder och satelliter.
En Fourierserie är en trigonometrisk serie av typen
a0
+ ( a1 cos x + b1 sin x ) + ( a2 cos 2 x + b2 sin 2 x ) + ( a3 cos 3 x + b3 sin 3 x ) +  =
2
a0
=
+ ∑ ( an cos nx + bn sin nx )
2
Fourierserier kan användas för att analysera toner från musikinstrument
och bestämma vilka deltoner tonerna består av. Det innebär att
bestämma Fourierkoefficienterna a n och b n . Den term som svarar mot
n = 1 kallas grundtonen, n = 2 första deltonen och så vidare.
Uppgift:
Använd grafritande hjälpmedel för att rita graferna till Fourierserierna
sin 3 x sin 5 x sin 7 x sin 9 x
f ( x ) =sin x +
+
+
+
+
3
5
7
9
sin 2 x sin 3 x sin 4 x sin 5 x sin 6 x
och f ( x ) =sin x −
+
−
+
−
+
2
3
4
5
6
Trigonometri 56
Facit
41.10
1.1
Antag att sträckan OA är x km samt att
ballongen befinner sig på höjden h km.
h
h
– = tan42° och –––– = tan28°
x
1+ x
vilket medför
h
h
–––––– = x och –––––– = 1+ x
tan42°
tan28°
h
h
Alltså är –––––– = 1 + –––––– eller
tan28°
tan42°
1,88h = 1 + 1,11h.
Ballongens höjd över marken är 1,3 km.
Facit
y
1
c
b
d
a
x
g
1
f
e
41.11
Antag att det är x m till fyren.
70
–– = tan3,5° vilket medför att
x
x = 1144
Skeppet befinner sig 1,1 km från fyren.
1.2
y
1
g
b
d
a
41.12
Eftersom vi har en sjuhörning är
360° och β° = ––––
360° = 25,71°
α° = ––––
7
14
Alltså är höjden h i triangeln ABC =
3,5
= –––––––––
tan25,71°
Detta innebär att sjuhörningens area =
7·3,5
= 7· ––––––––––
cm2 = 178 cm2
2·tan25,71°
e
f 1
c
1.3
c) och d) och e)
1.4
a) sinv ≤ 1 och sinv ≥ –1
b) cos v ≤ 1 och cosv ≥ –1
1.5
a)
b)
c)
d)
e)
f)
v = 90° eller v = 270°
v = 0° eller v = 180°
v = 0°
v = 90°
v = 180°
v = 270°
Trigonometri - 57
x
1.6
a)
b)
c)
d)
e)
c) Längden av sidan BO i triangeln OAB
betecknas med x. Hypotenusan är
1 längdenhet.
2
EF
3
Pythagoras sats ger ––– + x 2 = 12
2
1
som ger x = –.
2
Alltså är cos v = –1 och v = 60°.
2
Vinklarna som uppfyller villkoret är
alltså v = 60° och v = 120°.
y
v = 26,7° eller v = 153,3°
v = 328,0° eller v = 212,0°
v = 68,3° eller v = 291,7°
v = 95,2° eller v = 264,8°
inga vinklar uppfyller villkoret
( )
1.7
a) Triangeln OAB är en halv liksidig
triangel. Lösningarna blir v = 30°
eller v = 150°.
y
1
1
A
A
3
1 EF
–––
2
120°
60°
x B
O
150° 1
0,5
30°
O
x
B
1
b) Triangeln OAB är en halv liksidig
triangel. Vinkeln A = 30°. Lösningarna blir v = 120° eller v = 240°
y
1
A
–0,5
B
240°
120°
O
1
1.8
Trigonometriska ettan ger
(0,6)2 + (cosv)2 = 1
(cosv)2 = 1 – (0,6)2
cosv = ± 0,8
Den negativa roten förkastas
eftersom vinkeln är spetsig.
Resultat: cosv = 0,8.
1.9
x Trigonometriska ettan ger
(0,8)2 + (cosv)2 = 1
(cosv)2 = 1 – (0,8)2
cosv = ± 0,6
Den positiva roten förkastas eftersom
vinkeln ligger i andra kvadranten.
Resultat: cosv = –0,6
Trigonometri - 58
x
1
2.1
a)
b)
c)
d)
2.5
0,176
5,671
–5,671
–0,176
e) 0,176
f ) 5,671
g) –5,671
h) –0,176
y
1
(a, a)
(–a, a)
2.2
225°
sin(α +180°) =
tan(α + 180°) = –––––––––––
cos(α +180°)
–sinα = tanα.
= ––––––
–cosα
315°
sin(90°– α) = –––––
cos α =
tan(90°– α) = ––––––––––
cos(90°– α) sinα
1 (Funktionen ––––
1 kallas
= ––––.
tanα
tanα
cotangens för α som förkortas cot α.)
2.4
Triangeln OAB är en halv kvadrat.
Då fås tan45° = –x = 1.
x
y
1
A
1
x
)45° x
B
x
1
2.3
O
135°
1
(–a, –a)
(a, –a)
a = –1,
Följande gäller: tan135°= ––
–a
–a = 1
tan225° = ––
–a
–a = –1.
och tan315° = ––
a
2.6
a) tan v = 2,36
v = 67,0°
b) 2 · tanv = –0,34
–0,34
tanv = –––––
2
tanv = –0,17
x
v = 170°
c) 2,5 + 0,4 · tanv = 1,6
tanv = –2,25
v = 114°
d) sinv = 2–
3
v = 42°
eller v = 138°
e) cos v = –0,6
v = 127°
f ) cosv = –0,5
v = 120°
Trigonometri - 59
3.1
a)
d)
y
y
3
1
2
1
–60°
x
x
–60°
60° 120° 180° 240° 300°
–1
60° 120° 180° 240° 300°
–2
–1
–3
b)
e)
y
y
3
1
2
1
–60°
–1
x
x
–90° –60° –30°
60° 120° 180° 240° 300°
–2
30° 60° 90° 120°150°
–1
–3
c)
f)
1 y
0,8
0,6
0,4
0,2
–60°
–0,2
–0,4
–0,6
–0,8
y
1
x
x
60° 120° 180° 240° 300°
120° 240° 360° 480° 600°
–1
Trigonometri - 60
3.2
a)
3.3
2,5
2
1,5
1
0,5
y
x
30° 60° 90° 120°150°180°
–90°–60°–30°
–0,5
–1
–1,5
–2
–2,5
360° = 180°
a) Amplitud = 3, period = ––––
2
1
b) Amplitud = –, period = 360°
3
360° =
c) Amplitud = 2,5, period = ––––
1–
3
= 1080°
3.4
360°
Amplitud = A, period = ––––
k
Amplitud = 2,5
Period = 180°
b)
y
3
2
1
x
240° 480° 720° 960° 1200°1440°
–1
–2
–3
Amplitud = 3
Period = 1440°
3.6
c)
y
0,8
0,6
0,4
0,2
–90°–60°–30°
–0,2
–0,4
–0,6
–0,8
Amplitud = 0,5
Period = 60°
3.5
a) Värdemängd: – 3 ≤ y ≤ 3,
360° = 480°.
Period: ––––
3–
4
b) Värdemängd: –1,5 ≤ y ≤ 1,5,
360° = 120°.
Period: ––––
3
c) Värdemängd:
– 2,3 · 10 –3 ≤ y ≤ 2,3 · 10 –3,
360° = 7200°.
Period: ––––
0,05
x
30° 60° 90° 120°150°180°
360° där p = perioden.
Det gäller att p = ––––
k
360°
Då är k = ––––.
p
ymax – ymin
Amplituden A = ––––––––.
2
3 –(–3) = 3 och k = –––
360 = 2.
a) A = ––––––
2
180
Alltså är y = 3sin2x.
360 = –.
2
b) A = 0,75 och k = –––
540 3
2x
Alltså är y = 0,75sin ––.
3
9 –(–9) = 9 och k = ––––
360 = 1–.
c) A = ––––––
2
1080 3
x
Alltså är y = 9sin –.
3
Trigonometri - 61
3.8
a)
3.7
a)
6
5
4
3
2
1
–60°
–1
–2
–3
–4
–5
–6
2,5
2
1,5
1
0,5
60° 120° 180° 240°300°360°
–60°
–0,5
60° 120° 180°240°300° 360°
–1
–1,5
–2
–2,5
b)
b)
0,5
0,5
0,4
0,4
0,3
0,3
0,2
0,2
0,1
0,1
–60°
–0,1
60° 120° 180°240° 300°360°
–120°
–0,1
–0,2
–0,2
–0,3
–0,3
–0,4
–0,4
–0,5
–0,5
c)
120° 240° 360° 480° 600° 720°
c)
2
0,8
1,5
0,6
1
0,4
0,5
0,2
–60°
180° 360° 540° 720° 900° 1080°
60° 120°180° 240°300°360°
–0,5
–0,2
–1
–0,4
–1,5
–0,6
–2
–0,8
Trigonometri - 62
3.9
3.10
360° = 720°, A = –3 = 0,6.
a) p = ––––
1–
5
2
0,8
3.11
a) Värdemängd: – 5 ≤ y ≤ 5,
360° = 288°.
period: ––––
5–
4
0,6
0,4
0,2
–120°
360°
Amplitud = A, period = ––––
k
120° 240° 360° 480° 600° 720°
–0,2
–0,4
–0,6
–0,8
360° = 1080°
b) A = 2,5, p = ––––
1–
3
3
2
1
180° 360° 540° 720° 900°1080°
–1
b) Värdemängd: – 2,5 ≤ y ≤ 2,5,
360° = 90°.
period: ––––
4
c) Värdemängd:
– 3,6 · 10 –9 ≤ y ≤ 3,6 · 10 –9,
360° = 120000°.
period: –––––
0,003
3.12
360° = 0,5; A = 12,
a) k = ––––
720°
Funktionsuttrycket blir y = 12·cos0,5x.
360° = 12; A = 0,5,
b) k = ––––
30°
Funktionsuttrycket blir y = 0,5·cos12x.
360° = 4; A = 1,5,
c) k = ––––
90°
Funktionsuttrycket blir y = 1,5·cos4x.
–2
3.13
a) Kurvan y = sinx förskjuts 0,5 enheter
uppåt.
–3
360° = 900°
c) A = 0,7, p = ––––
0,4
1
2
0,8
1,5
0,6
1
0,4
0,5
0,2
180° 360° 540° 720° 900° 1080°
–0,2
–0,4
–60°
–0,5
–1
–0,6
–0,8
–1
–1,5
–2
Trigonometri - 63
60° 120°180° 240°300° 360°
b) Kurvan y = cos x förskjuts 2 enheter
nedåt.
0,5
–60°
–0,5
60° 120° 180° 240°300° 360°
–1
–1,5
–2
e) Sätt 3x
–– + 60° = 0
2
vilket ger –40°.
360° = 240°.
Perioden blir ––––
3–
2
3x flyttas
Kurvan y = 3cos ––
2
40° till vänster och 2 enheter uppåt.
–2,5
5
–3
–3,5
4
–4
3
2
c) Kurvan y = 2cos x förskjuts 2 enheter
uppåt och 30° åt höger.
5
4,5
4
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
–80°
80°
160° 240° 320° 400°
–1
60° 120° 180°240° 300°360°
–0,5
–1
d) Uttrycket skrivs
y = 2,5sin(x – 60°) – 3.
Kurvan y = 2,5sinx förskjuts
3 enheter nedåt och 60° åt höger.
y
–60°
1
x
60° 120°180°240°300°360° 420°
5x + 50° = 0
f ) Sätt ––
3
vilket ger x = –30°.
360° = 216°
Perioden blir ––––
5–
3
5x flyttas
Kurvan y = 4·sin––
3
30° åt vänster och i enhet nedåt.
3
2
1
–1
60°
–2
–1
–3
–2
–4
–3
–5
–6
–4
–5
–7
Trigonometri - 64
120° 180° 240° 300°
3.14
a) Period: 360°,
värdemängd –5 ≤ y ≤ –3
360° = 1200°,
b) Period: ––––
0,3
y min = –8 –2 = –10,
y max = –8 +2 = –6.
Värdemängden blir alltså –10 ≤ y ≤ –6.
c) Period: 360°,
y min = 10 –2 = 8,
y max = 10 +2 = 12.
Värdemängden blir alltså 8 ≤ y ≤ 12.
3.15
a) Perioden är 360°, alltså är k = 1.
Amplituden är 1, alltså är A = 1.
Sinuskurvan är förskjuten
150° åt vänster. Uttrycket blir
y = sin(x + 150°). (Uttrycket kan
också skrivas y = –sin(x – 30°) eller
y = cos(x + 60°))
b) y = sin(x – 30°)
c) Perioden är 180°, alltså är k = 2.
Amplituden är 2. Maximalt värde fås
för x = 0. Funktionen kan skrivas
y = 2cos2x. Uttrycket skrivet som
sinusfunktion blir y = 2sin2(x + 45°).
3.16
Acosx – 2 ≤ 1
Acosx ≤ 3
3
cosx ≤ –.
A
Men cosx ≤ 1
Alltså gäller att 3– = 1 som ger A = 3.
A
3.17
Asin3x – 5 ≤ 3
Asin3x ≤ 8
8
sin3x ≤ –.
A
Men sin3x ≤ 1
Alltså gäller att –8 = 1 som ger A = 8.
A
3.18
2sin0,5x – b ≤ 5
2sin0,5x ≤ 5 + b
5+b
sin0,5x ≤ –––––
2
Men sin0,5x ≤ 1
5 + b = 1 som ger b = –3.
Alltså gäller att ––––
2
3.19
a) Kurvan är en sinuskurva med perioden
360° och amplituden 1. Den är förskjuten 2 enheter nedåt längs y-axeln
d) Perioden är 360° och amplituden 2,5.
men inte förskjuten i x-led. Alltså är
Kurvan är förskjuten 45° åt höger. Utk = 1, v = 0, b = –2 och A = 1.
trycket blir alltså y = 2,5sin(x – 45°)
Uttrycket blir alltså y = sinx – 2
e) Perioden är 720°, alltså är k = 0,5.
b) Kurvan är en sinuskurva med perioden
Amplituden är 3. Kurvan är förskjuten
180° och amplituden 1. Den är för60° åt höger. Uttrycket blir alltså
skjuten 1 enhet uppåt längs y-axeln
y = 3sin0,5(x – 60°).
men inte förskjuten i x-led. Alltså är
f ) Perioden är 3600°, alltså är k = 0,1.
Amplituden är 1,5. Uttrycket blir
alltså y = 1,5sin0,1x.
k = 2, v = 0, b = 1 och A = 1.
Uttrycket blir alltså y = sin2x + 1
c) Kurvan är en sinuskurva med perioden
360° och amplituden 0,5. Den är förskjuten 1 enhet uppåt längs y-axeln
men inte förskjuten i x-led. Alltså är
k = 1, v = 0, b = 1 och A = 0,5.
Uttrycket blir alltså y = 0,5sinx + 1
Trigonometri - 65
3.20
e) Perioden blir 180°.
180° = 60°.
a) Perioden blir ––––
3
10
8
5
4
3
2
1
–90° –60° –30°
–1
–2
–3
–4
–5
6
4
2
30°
60°
90° 120°
60°
120° 180° 240° 300° 360°
–2
–4
–6
–8
180° = 360°.
b) Perioden blir ––––
0,5
–10
y
4
3
2
1
–180° –90°
x
4.1
Areorna fås med areasatsen:
4,3 ·2,7· sin33° cm2 = 3,2 cm2
a) A = –––––––––––––
2
90° 180° 270° 360°
–1
–2
–3
–4
11,5·9,7·sin112° cm2 = 51,7cm2
b) A = ––––––––––––––
2
c) A =
0,46·0,37·sin(180°–(56°+43°)) km2 =
= ––––––––––––––––––––––––––
2
= 0,084 km2
180° = 180°.
c) Perioden blir ––––
1
y
4
3
2
1
x
–180°–120°–60°
–1
–2
–3
–4
–5
60° 120°180°240°300°
d) Perioden blir 180°. Grundkurvan
y = tanx är förskjuten 3 enheter
uppåt i y-led.
y
7
6
5
4
3
2
1
–180°–120°–60°
–1
–2
x
60° 120° 180° 240°300°
4.2
Den minsta sidan står mot den minsta
vinkeln. De två sidorna som bildar den
minsta vinkeln är alltså 1,8 cm och
2,0 cm. Det ger
1,8 · 2,0 · sin26,2° cm2 = 0,79 cm2
A = –––––––––––––––
2
4.3
Antag att vinkeln är v°. Areasatsen ger
ekvationen
50 · 40 · sinv = 866
–––––––––––
2
sinv = 0,866
v = 60°
[v = 120° förkastas, eftersom vinkeln ska
vara spetsig.]
Resultat: Vinkeln är 60°
Trigonometri - 66
4.4
Antag att den sökta sidan är x cm.
Sätt de båda trianglarnas areor lika:
4,2 · 3,9 · sin43,7° =
––––––––––––––––
2
x · 5,6 · sin36,5°
= ––––––––––––––
2
4,2 · 3,9 · sin43,7°
x = –––––––––––––––
5,6 · sin36,5°
x = 3,397...
Resultat: Den sökta sidan är 3,4 cm.
4.5
Antag att vinkeln ska ökas till x°.
8,3 · 13,2 · sin28° =
2 · ––––––––––––––
2
8,3
·
13,2
· sinx =
= –––––––––––––
2
2 · sin28° = sinx
0,9389 = sin x
x = 69,87°
x = 110,1°
Resultat: Arean fördubblas om vinkeln
ökas till 70° eller 110°.
4.6
a) Sinussatsen tillämpas två gånger
sin36° = ––––––
sin59°
––––––
13
b
b = 18,96
och
sin36° = ––––––
sin85°
––––––
13
c
c = 22,03
Resultat: De återstående sidorna är
19 m och 22 m.
b) Den återstående vinkeln är
180° – (29° + 106°) = 45°.
Sinussatsen ger
sin45° = ––––––
sin29°
––––––
25
b
b = 17,14
och
sin45° = –––––––
sin106°
––––––
25
c
c = 33,99
Resultat: De återstående sidorna är
17 m och 34 m.
4.7
a) Den återstående vinkeln är 115°.
Sidan b beräknas med sinussatsen:
sin115° = ––––––
sin29°
–––––––
38
b
38
·
sin29°
b = ––––––––––
sin115°
38·sin29°
38·––––––––·sin36°
sin115°
Arean blir –––––––––––––––––
cm2 =
2
= 227 cm2
Resultat: 2,3·102 cm2
b) Den återstående vinkeln är 59°.
Sidan b beräknas med sinussatsen:
sin59° = ––––––
sin53°
––––––
11
b
11·
sin53°
b = –––––––––
sin59°
11·sin53°
11·––––––––·sin68°
sin59°
Arean blir –––––––––––––––––
cm2 =
2
= 52,26 cm2
Resultat: 52 m2
Trigonometri - 67
4.8
26 · 67· sin49° · 2 m2 =
Arean blir –––––––––––––
2
= 1314 m2
Resultat: 1,3 · 103 m2
c) Cosinussatsen ger
d 2 = 192 + 162 – 2 · 19 · 16 · cos63°,
d = (+
192 +162 –2 ·19 ·16· cos63° =
–) EFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF
= 18,5. Resultat: 18,5 cm.
4.12
a) Den största vinkeln står mot den
största sidan. Cosinussatsen ger
122 = 82 + 102 – 2 · 8 · 10 · cosv°,
122 – 82 – 102 v = 82,82°.
cosv = ––––––––––––,
–2 · 8 ·10
Resultat: 83°.
4.9
sin63° = –––––
sinA
––––––
35
25
sin63°· 25
sin A = –––––––––
35
sin A = 0,63643
A = 39,526°
Resultat: Vinkeln A = 40°
4.10
Vinkeln ACB = 27,2°. Avstånden
AC = a och BC = b. Sinussatsen ger:
sin27,2° = –––––––,
sin43,5°
–––––––
1080
a
1080 · sin43,5°
a = –––––––––––––
sin27,2°
sin27,2° = ––––––––,
sin109,3°
–––––––
1080
b
1080 · sin109,3° = 2230
b = ––––––––––––––
sin27,2°
Resultat: Det är 1,63 km från A och
2,23 km från B till oljetankern.
4.11
a) Cosinussatsen ger
d 2 = 32 + 42 – 2 · 3 · 4 · cos55°,
d = (+
32 + 42 – 2 · 3 · 4 · cos55° =
–) EFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF
= 3,35. Resultat: 3,4 cm.
b) Cosinussatsen ger
d 2 = 4,92 + 13,12 – 2 · 4,9 · 13,1 ·
· cos118°,
d=
+
= (–)EFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF
4,92 +13,12 –2·4,9·13,1· cos118° =
b) Cosinussatsen ger
12,62 = 8,12 + 4,92 –2 · 8,1· 4,9·cos v°,
12,62 – 8,12 – 4,92
cosv = –––––––––––––––,
–2 · 8,1 · 4,9
v = 150,58°.
Resultat: 151°.
c) Cosinussatsen ger
132 = 52 + 122 – 2 · 5 · 12 · cosv°,
132 – 52 – 122
cosv = ––––––––––––,
v = 90°.
–2 · 5 · 12
Resultat: 90°.
4.13
Vi beräknar vinkeln v mellan
7,5 cm-sidan och 9,0 cm-sidan.
Cosinussatsen ger
10,52 – 7,52 – 9,02 v = 78,46°.
cos v = –––––––––––––––,
– 2 · 7,5 · 9,0
Areasatsen ger sedan
7,5 · 9,0 · sin78,46° = 33,07.
A = ––––––––––––––––
2
Resultat: Arean är 33 cm2.
[Anm: Man kan också använda Herons
formel (se F3.18 sid 301 i Matematisk
Tanke AB) för att beräkna arean av en
triangel, vars tre sidor är kända.]
= 16,0. Resultat: 16 cm.
Trigonometri - 68
P
4.17
4.14
Rita en kraftparallellogram enligt figuren. Sträckorna AB, BC och AC beräknas
Sidan PB motsvarar kraften 53,7 N
med Pythagoras sats:
och sidan BR motsvarar 42,5 N.
AB = EFFFFFFFFF
9,02 + 4,52
Resultanten r fås ur cosinussatsen enligt
r 2 = 53,72 + 42,52 – 2 · 53,7 · 42,5 ·
BC = EFFFFFFFFF
7,52 + 4,52
· cos137°
AC = EFFFFFFFFF
9,02 + 7,52
r = 89,6
Resultat: resultanten är 89,6 N.
Vinkeln ABC fås med cosinussatsen:
cosv =
42,5 N A
9,02 +7,52–(7,52+4,52)–(9,02+4,52)
= ––––––––––––––––––––––––––––,
–2 · EFFFFFFFFF
7,52 + 4,52 · EFFFFFFFFF
9,02 + 4,52
43°
r
v = 76,7°
R
Resultat: Vinkeln ABC = 77°.
137°
C
(cm)
53,7 N B
4,5
4.15
A
De båda fartygens kurser bildar en vinkel
av 120,14°.
7,5
Den första båten har nått 23,5 · 10
–– km
3
B
9,0
och den andra 13,8 · 10
–– km.
3
Avståndet d fås med cosinussatsen:
4.18
10 2
10 2
Antag att det tar t h tills båtarna träffas.
d 2 = 23,5 · –– + 13,8 · –– – 2 ·
3
3
Sträckan som den första båten går tills de
möts är 20t km. Den andra båtens
10
10
· 23,5 · –– · 13,8 · –– · cos120,14°
sträcka till mötesplatsen är 70(t – 3) km.
3
3
Cosinussatsen ger ekvationen
d = 109,0. Resultat: Avståndet mellan
(70(t – 3))2 = (20t)2 + 1602 – 2 · 20t ·
fartygen är 109 km.
· 160 · cos60°
1
som förenklas till (obs att cos60° = –):
2
4.16.
262
185
Avståndet d fås med cosinussatsen:
2
t – –––t + ––– = 0
45
45
d 2 = 972 + 972 –2 · 97 · 97 · cos104,5°,
d = 153,4. Resultat: Avståndet mellan
131 ± FFFFFFFFFFF
17161
– 8325
t = –––
–––––––––––
väteatomerna är 153,4 pm ≈ 0,15 nm.
45
452
(
(
) (
)(
)
)
E
{
37
t 1 = ––
45
t2 = 5
t 1 < 3 (förkastas).
Trigonometri - 69
N
{
{
=1
=0
= –1
{
b) cos(180° – x) =
= cos180°cos x + sin180° sinx =
=0
= –cos x
c) cos(2x – 90°) = cos2x cos90° +
+ sin2x sin90° = sin2x
d) sin(90° – 3x) = sin90° cos3x –
– cos90° sin3x = cos3x
Ö
V
5.2
a) sin(90° + x) =
= sin90° cos x + cos90° sinx = cos x
{
Sinussatsen ger sedan
100 = ––––––;
140
––––
sin x sin60°
5EF3
sinx = ––––;
14
x = 38,2° (Lösningen x = 141,8° är
inte tillämplig).
Den sökta vinkeln är alltså
90° – 38,2° = 51,8°.
Resultat: Kursen skall vara N 51,8° V.
S
d) cos(x – 60°) – cos(x + 60°) =
= cosx cos60° + sin x sin60° –
– cosx cos60° + sin x sin60° =
= 2sinx sin60° =
EF3 = EF
= 2sinx · –––
3 · sin x
2
{
= –1
=0
= –cosx
b) sin(90° + x) =
= sin90° cosx + cos90° sinx = cosx
{
c) sin(38° + x) + sin(38° – x) =
= sin38° cosx + cos38° sinx +
+ sin38° cosx – cos38° sinx =
= 2sin38° cosx = 1,231· cos x
5.4
a) sin(270° – x) =
= sin270° cosx – cos270° sinx =
=1
=0
c) sin(–x) = sin(0° – x) =
= sin0° cosx – cos0° sinx = – sinx
{
b) cos(x +14°) + cos(x –14°) =
= cosx cos14° – sin x sin14° +
+ cosx cos14° + sin x sin14° =
= 2cosx cos14° = 1,941 · cosx
c) sin70° cos40° – cos70° sin40° =
= sin(70° – 40°) = sin30° = –1
2
d) sin70° cos20° + cos70° sin20° =
= sin(70° + 20°) = sin90° = 1
=0
=1
d) cos(–x) = cos(0° – x) =
= cos0° cosx + sin0° sinx = cosx
{
5.1
a) sin(x + 30°) – sin(x – 30°) =
= sinx cos30° + cos x sin30° –
– sinx cos30° + cos x sin30° =
= 2cosx sin30° =
= 2cosx · –1 = cosx
2
{
160
{
(90–x)°
x°
{
70(t–3)
{
20t
30°
60°
5.3
a) cos80° cos20° + sin80° sin20° =
= cos(80°– 20°) = cos60° = 1–
2
b) cos40° cos50° – sin40° sin50° =
= cos(40° + 50°) = cos90° = 0
=1
=0
Trigonometri - 70
5.5
a) Vi vet att tanv = 2. I den rätvinkliga
triangeln kan vinkeln v:s moststående
katet därmed vara = 2 l.e och närliggande katet = 1 l.e. Då är
hypotenusan = EF5 l.e.
2 = 0,4EF5.
Det ger sin v = –––
EF
5
b) sin2v = 2sinv cos v =
2 · –––
1 = 4–.
= 2 · –––
EF5 EF
5 5
5.8
2
sin x
1 – –––––
2x
1
–
cos
a) ––––––––
= ––––––––
=
2
2
1 + tan x 1 + –––––
sin x
cos2x
tan2x
cos2x – sin2x
–––––––––––
cos2x
= –––––––––––
=
2
cos x + sin2x
–––––––––––
cos2x
cos2x – sin2x · –––––––––––
cos2x
= –––––––––––
=
2
2
cos x
cos x + sin2x
1 = 0,2EF5.
c) cosv = –––
EF5
= cos 2x – sin2x = cos 2x
d) cos2v = 1 – 2sin2v = 1 – 2 ·
2 2 = 1 – 8– = – –.
3
· –––
EF5
5
5
( )
5.6
a) cos2v = 1 – 2sin2v = 1 – 2 ·
2
7
· –1 = 1 – 2 · –1 = –.
3
9
9
()
b) Trigonometriska ettan ger
sin2 2v = 1 – cos2 2v som ger
FFFFF2
FF
32 = ––––.
4EF2
sin2v = 1– –7 = ––
9
81
9
E () E
sinx
2 · ––––
cosx
2sinx ·cos2x =
= ––––––– = ––––––––––
1
cosx
–––––
cos2x
= 2sinx cosx = sin2x.
{
5.7
a) (sin v + cosv)2 = sin2v + cos2v +
sinx
2 · ––––
2tanx
cosx
b) ––––––––
= ––––––––
=
1 + tan2x 1 + –––––
sin2x
cos2x
sinx
2 · ––––
cosx
= ––––––––––––
=
cos2x + sin2x
––––––––––––
cos2x
=1
+ 2sinv cosv = 1 + sin2v.
{
b) Högerledet faktoruppdelas med
konjugatregeln:
(cos4u – sin4u) =
= (cos2u + sin2u)(cos2u – sin2u) =
=1
= cos2u – sin2u = cos2u.
c) 1 – sin2x · tan x = 1 – 2sin x cos x ·
sin x = 1 – 2sin2x = cos2x.
· ––––
cosx
sinx
2 · ––––
2tanx
cosx
c) ––––––––
= –––––––––––
=
2x – sin2x
1 – tan2x
cos
––––––––––
cos2x
sinx · –––––––––––
cos2x
= 2 · ––––
=
cosx cos2x – sin2x
2sinx cosx = ––––––
sin2x = tan2x.
= –––––––––––
cos2x – sin2x
cos2x
d) (cosv + sinv)(cosv – sinv) =
= cos2v – sin2v = cos2 v.
Trigonometri - 71
5.9
a) sin(2x + x) = sin2x cosx +
+ cos2x sinx = 2sin x cosx · cos x +
+ (1 – 2sin2x) · sinx =
= 2sinx cos2x + sin x – 2sin3x =
= 2sinx (1 – sin2x ) + sin x –
– 2sin3x = 2sin x – 2sin3x +
+ sinx – 2sin3x = 3sinx – 4sin3 x .
b) cos(2x + x) = cos2x cos x –
– sin2x sinx = (2cos2x –1) · cos x –
– 2sin x cosx · sinx = 2cos3x –
– cosx – 2sin2x · cosx = 2cos3x –
– cosx – 2·(1 – cos2x ) · cos x =
= 2cos3x – cosx – 2cosx +
+ 2cos3x = 4cos3x – 3cos x .
5.10
sinx · –––––
sin2x =
1 + tan x · tan2 x = 1 + ––––
cos x cos2x
sinx · 2sin x cos x =
= 1 + ––––––––––––––––
cosx · (2cos2x –1)
2sin2x =
= 1 + –––––––––
2cos2 x – 1
2cos2 x – 1 + 2sin2x =
= ––––––––––––––––
2cos2 x – 1
2(cos2 x + sin2x) – 1 =
= –––––––––––––––––
2cos2 x – 1
2 – 1 = –––––
1
= –––––––––
2
2cos x – 1 cos2x
6.1
a) 3sinv = –2
sinv = – –2
3
v = –41,8° + n · 360° eller
v = 221,8° + n · 360°
b) v = 21,4° + n · 360° eller
v = 158,6° + n · 360°
c) v = –5,62° + n · 360° eller
v = 185,6° + n · 360°
d) sinv = 3,15 – 2,5
sinv = 0,65
v = 40,5° + n · 360° eller
v = 139,5° + n · 360°
e) 4sinv = 3
sinv = –3
4
v = 48,6° + n · 360° eller
v = 131,4° + n · 360°
f ) 2cosv = –1
cosv = –0,5
v = 120° + n · 360° eller
v = 240° + n · 360°
[Lösningen kan också skrivas
v = ±120° + n · 360°.]
g) cos v = 0
v = 90° + n · 180°
h) sinv = 0,26
v = 15,1° + n · 360° eller
v = 164,9° + n · 360°
6.2
a) f (x) = 0 ⇔ sinx = –1 ⇔ x = 19,5° +
3
+ n · 360° eller x = 160,5° + n · 360°
b) f (x) = 0 ⇔ cosx = –0,4 ⇔ x =
= 113,6° + n · 360° eller x =
= 246,4° + n · 360°
[Nollställena kan också skrivas
x = ±113,6° + n · 360°.]
c) f (x) = 0 ⇔ sinx = 1,3
Ekvationen saknar lösning, alltså
saknar funktionen f (x) nollställen.
d) f (x) = 0 ⇔ cosx = –1 ⇔
3
x = 70,5° + n · 360° eller
x = 289,5° + n · 360°
[Nollställena kan också skrivas
x = ±70,5° + n · 360°.]
6.3
sin x = sin38°
x = 38°+ n ·360° eller x =142°+ n · 360°
Trigonometri - 72
6.4
a) x – 12° = 30° + n · 360°
x = 42° + n · 360°
eller
x – 12° = 150° + n · 360°
x = 162° + n · 360°
b) 2x + 10° = –17,46° + n · 360°
2x = –27,46° + n · 360°
x = –13,73° + n · 180°
eller
2x + 10° = 197,46° + n · 360°
2x = 187,46° + n · 360°
x = 93,73° + n · 180°
c) sin(0,5x – 72°) = 0,04
0,5x – 72° = 2,29° + n · 360°
0,5x = 74,29° + n · 360°
x = 148,58° + n · 720°
eller
0,5x – 72° = 177,71° + n · 360°
0,5x = 249,71° + n · 360°
x = 499,42° + n · 720°
d) x– + 15° = 25,38° + n · 360°
3
x– = 10,38° + n · 360°
3
x = 31,13° + n · 1080°
eller
x– + 15° = 154,62° + n · 360°
3
x– = 139,62° + n · 360°
3
x = 418,87° + n · 1080°
6.5
a) 0,8v – 11° = 49,46° + n · 360°
0,8v = 60,46° + n · 360°
v = 75,57° + n · 450°
eller
0,8v – 11° = 310,54° + n · 360°
0,8v = 321,54° + n · 360°
v = 401,93° + n · 450° (kan också
skrivas v = –48,07° + n · 450°)
b) –x – 43° = 82,53° + n · 360°
4
x– = 125,53° + n · 360°
4
x = 502,12° + n · 1440°
eller
x– – 43° = – 82,53° + n · 360°
4
x– = – 39,53° + n · 360°
4
x = –158,12° + n · 1440°
c) tan x = –1,5
x = –56,31° + n · 180°
d) tan4x = –5
3
4x = 59,04° + n · 180°
x = 14,76° + n · 45°
e) Dividera båda leden med cosx:
sinx = 3 · –––––
cosx
4 · –––––
cosx
cosx
4tanx = 3
tanx = 0,75
x = 36,87° + n · 180°
f ) Dividera båda leden med cosx:
cosx = 2 · –––––
sinx
8 · –––––
cosx
cosx
8 = 2tanx
tanx = 4
x = 75,96° + n · 180°
g) cos(90° – x) = cos2x
2x = 90° – x + n · 360°
3x = 90° + n · 360°
x = 30° + n · 120°
eller
–2x = 90°– x + n · 360°
x = –90° + n · 360°
6.6
a) 3v = 2v + n · 360°
v = n · 360°
eller
3v = 180° – 2v + n · 360°
5v = 180° + n · 360°
v = 36° + n · 72°
Trigonometri - 73
b) 2x = x + n · 360°
v = – (–v + 36°) + n · 360°
x = n · 360°
3
eller
4v
–– = – 36° + n · 360°
2x = –x + n · 360°
3
3x = n · 360°
v = –27° + n · 270°
x = n · 120°
c) 4v = 100° + n · 360°
Resultat: x = n ·120° (räcker att ange,
v = 25° + n · 90°
ovanstående vinklar finns med här).
eller
c) 3v = 2v + 26° + n · 360°
–4v = 100° + n · 360°
v = 26° + n · 360°
v = –25° + n · 90°
eller
d) –x = 12°+ n · 360°
3v = 180° – (2v + 26°) + n · 360°
5
5v = 154° + n · 360°
x = 60° + n · 1800°
v = 30,8° + n · 72°
eller
d) sin2v = sin(–v)
– x– = 12°+ n · 360°
2v = –v + n · 360°
5
3v = n · 360°
x = –60° + n · 1800°
v = n · 120°
eller
6.8
2v = 180° – (–v) + n · 360°
1
cosx = ± –––
v = 180° + n · 360°
EF2
Plustecknet ger: x = ± 45° + n · 360°
e) sin(x + 15°) = sin(90° – (3x + 20°))
Minustecknet ger: x = ± 135° + n · 360°
x + 15° = 90° – (3x + 20°) + n · 360°
Lösningarna sammanfattas lämpligen
4x = 55° + n · 360°
så här: x = 45° + n · 90°
x = 13,75° + n · 90°
eller
6.9
sin(x + 15°) = sin[180° –
Lös ekvationen 2cos2x – 3cosx + 1 = 0
– (90° – (3x + 20°))]
Sätt cos x = t. Vi får följande ekvation:
x + 15° = 110° + 3x + n · 360°
–2x = 95° + n · 360°
2t 2 – 3t +1 = 0
x = –47,5° + n · 180°
t 2 – –3 t + 1– = 0
2
2
6.7
a) 2x = 60° – x + n · 360°
9–8
t = 3– ± FFFF
––––
3x = 60° + n · 360°
4
16
x = 20° + n · 120°
t 1 = –1
eller
2
2x = – (60° – x) + n · 360°
t2 = 1
x = – 60° + n · 360°
1. cos x = –1
b) v = v– + 36° + n · 360°
2
3
x = ±60° + n · 360°
2v
–– = 36° + n · 360°
3
2. cos x = 1
v = 54° + n · 540°
x = n · 360°
eller
E
{
Trigonometri - 74
6.10
Använd sambandet cos2x = 1 – sin2x.
Ekvationen övergår i:
2 (1 – sin2x) – sinx = 1
2 – 2sin2x – sinx = 1
2sin2x + sinx – 1 = 0
Sätt sin x = t:
2 t2 + t – 1 = 0
t2 + –t – 1– = 0
2 2
1+ 8
––––
t = – 1– ± FFFF
4
16
E
{
t 1 = –1
t 2 = –1
2
1. sinx = –1
x = 270° + n · 360°
2. sinx = –1
2
x = 30° + n · 360°
x = 150° + n · 360°
6.11
Använd sambandet sin2x = 1 – cos2x.
Ekvationen övergår i:
1 – cos2x + cos x = –5
4
1
2
cos x – cosx + – = 0
4
1
1
FFFF
cosx = – ± – – –1
2 4 4
1
cosx = –
2
x = ± 60° + n · 360°
E
6.12
Använd sambandet cos2x = 2cos2x – 1.
Ekvationen övergår i:
2cos2x – 1 + cos x + 1 = 0
2cos2x + cosx = 0
cosx(2cosx + 1) = 0
cosx = 0 ger x = 90° + n · 180°
cosx = – –1 ger x = 120° + n · 360° eller
2
x = 240° + n · 360°
6.13
Utnyttja sambanden cos2x = 2cos2x – 1
och sin2x = 1 – cos2 x . Då fås
2cosx + 2cos2x – 1 = 1 – cos2x – 1
3cos2x + 2cosx – 1 = 0
cos2x + 2– cosx – 1– = 0
3
3
1
1
FFFF
cosx = – – ± – + –3
3 9 9
cosx = –1 ger x = 180° + n · 360°
cosx = –1 ger x = ±70,5° + n · 360°
3
E
6.14
Eftersom cos2x = 1 – 2sin2x, kan
olikheten skrivas
4 + 2 (1 – 2sin2x) – 5sinx > 0,
som efter förenkling och division
med –4 ger:
sin2x + –5 sinx – –3 < 0
4
2
Vi sätter sinx = t och tecknar
motsvarande ekvation:
5 3
t2 + –t
––=0
4 2
25+96
––––––
t = – 5– ± FFFFFF
8
64
E
{tt == 0,75
–2
1
1
Endast t1 ligger i sinusfunktionens
värdemängd, intervallet –1 < t < 1.
sin x = 0,75 ⇔ x = 48,59° eller
x = 131,41°. Vi sätter in vinkeln x = 90°
i olikheten och får
4 + 2 · cos2 · 90° – 5 · sin90° =
= 4 + 2 · (–1) – 5 · 1 = –3.
Olikheten är alltså inte uppfylld för
x-värden mellan de båda vinklarna utan
gäller för 0 < x < 49° eller
131°< x < 180°.
Trigonometri - 75
7.1
π =π
a) 60° = 60 · –––
–
180 3
π = 3π
b) 135° = 135 · –––
––
180 4
π =π
c) 90° = 90 · –––
–
180 2
π = 2π
d) 120° = 120 · –––
––
180 3
π = 3π
e) 270° = 270 · –––
––
180 2
π =π
f ) 45° = 45 · –––
–
180 4
π = 5π
g) 300° = 300 · –––
––
180 3
π = –π
h) 30° = 30 · –––
180 6
7.4
180° = 29°
a) 0,5 rad = 0,5 · ––––
π
180°
b) 3 rad = 3 · –––– = 172°
π
180° = 372°
c) 6,5 rad = 6,5 · ––––
π
180°
d) 1,5 rad = 1,5 · –––– = 86°
π
7.5
a)
y
1
2π
–––
3
x
7.2
180° = 180°
a) π = π · ––––
π
180° = 360°
b) 2π = 2π · ––––
π
2π
2π
180°
c) –– = –– · –––– = 120°
3
3
π
π
π
180°
d) – = – · –––– = 30°
6 6
π
π
π
180°
e) – = – · –––– = 90°
2 2
π
5π
5π
180° = 150°
f ) –– = –– · ––––
6
6
π
11π
11π
180° = 330°
g) ––– = ––– · ––––
6
6
π
5π
5π
180°
h) –– = –– · –––– = 75°
12 12
π
7.3
1
y
b)
1
–5π
––––
3
π = –––
4π ≈ 0,838
a) 48° = 48 · –––
180 15
π = 79π
b) 237° · –––
––– ≈ 4,14
180 60
π ≈ 0,0394
c) 2,26° · –––
180
π ≈ 1,90
d) 109° · –––
180
x
1
Trigonometri - 76
c)
7.7
y
1
13π
––––
6
a) sin(x + 1) = sin(–π + 1) = 0,889
3
b) tan(2x – 1) = tan(2 · π
– – 1) = 1,938
3
2π
π
c) sin x – –– = sin – – 2π
–– =
3
3 3
= sin – π
– = –0,866
3
– =
d) 1,5cos 2x – π
6
= 1,5cos 2 · π
––π
– = 1,5cos π
–=0
3 6
2
(
x
1
) (
)
( )
( )
( )
7.8
( )
f (π) = sin π – π
– = sin–π = 1.
2
2
d)
7.9
y
(
1
[ (
x
–6π
1
7.6
a)
b)
c)
d)
2sin1,5 = 1,99
sin0,02 = 0,0200
cos0,5π = 0
0,05cos(π/3) = 0,025
3π = –4
e) 4tan––
4
tan3
f ) –––– = –0,0356
4
)
f (π) – f (0) = 2cos 2· π – 2π
–– + π –
3
2π
– 2cos 2 · 0 – –– + 0 =
3
= 2cos 4π
–– + π – 2cos – 2π
–– =
3
3
= 2 · (–0,5) + π – 2 · (–0,5) = π.
) ]
( )
7.10
sinx – sin3x = 0
sinx (1 – sin2x) = 0
sinx = 0 ⇔ x = n · π
– + n · 2π
1 – sin2x = 0 ⇔ x = π
2
eller x = 3π
–– + n · 2π
2
Lösningarna sammanfattas x = n · π
–.
2
7.11
EF3
sin2x = –––
2
π
2x = – + n·2π; x = π
– + n·π
3
6
eller
2x = π – π– + n·2π; x = π
– + n·π
3
3
Trigonometri - 77
8.7
Uttrycket skrivs om med hjälp av en
trigonometrisk formel:
π + cosx cos––
3π +
cosx cos–π + sinx sin–
4
4
4
3π
+ sinx sin–– = k sinx. Det gäller att
4
π
π
1
cos – = sin – = sin 3π
–– = –––
4
4
4 EF2
3π
1
och cos –– = – ––– . Då fås
4
EF2
1
1 – cosx · –––
1
cosx · ––– + sinx · –––
EF2
EF
2
EF2
1 = k sin x som ger
+ sin x · –––
EF2
EF2 sinx = k sinx .
När k = EF2 gäller likheten för alla x.
c) Avläsning ger x = 0,739
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,2
–0,1
0,4 0,6 0,8
1
1,2
1,4
8.9
Sätt in x = 0 i uttrycket. Då fås
6 · sin(0 + π
–) = 6 · sin π
– = 6 · –1 = 3.
6
6
2
Punkten där kurvan skär y-axeln är alltså
(0, 3).
8.8
a) Avläsning ger lösningarna x 1 = –1,57 ; 8.10
x 2 = 0,52 ; x 3 = 1,57 ; x 4 = 2,62 ;
2cos 2 x – 1 + cosx = 1 ⇔ 2cos 2x +
x 5 = 4,71
+ cosx – 2 = 0 ⇔ cos 2x + –1 cosx –1 =
2
1
1+16
FFFF
1
= 0 ⇔ cosx = – – ± –––– ⇔
4
16
⇔ x = 0,675 + n · 2π eller x = –0,675 +
+ n · 2π. (Minustecknet ger värdet –1,28
som inte är cosinus för någon vinkel.)
6
3
–3
E
8.11
a)
–1
5
4
b) Avläsning ger att olikheten är uppfylld
för 1,04 ≤ x ≤ π.
3
2
2
1
1
1
2
3
2 4
–1
–2
6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
b) h min = 1,5 m, h max = 4,5 m.
c) Kl 03 och kl 15.
d) Mellan kl 03 och kl 09 samt mellan
kl 15 och kl 21.
Trigonometri - 78
8.12
Den största sidan står mot den största vinkeln, som här kallas C. Cosinussatsen
225 − 169 − 64
; cos C = 0,0385;
ger 152 = 132 + 82 − 2 ⋅ 13 ⋅ 8 ⋅ cos C; cos C =
−2 ⋅13 ⋅ 8
C = 87,8°
8.13 Cosinussatsen ger:
i)
42 = 32 + x2 − 2 ⋅ x ⋅ 3 ⋅ cos (180° − α)
ii)
32 = 32 + x2 − 2 ⋅ x ⋅ 3 ⋅ cos α
i) − ii) ger:
iii)
7 = 12 x cos α
ii)
ger 0 = x2 − 6x cos α
x = 6cos α (eller x = 0)
som insatt i iii) ger
7 = 12 ⋅ 6 cos2α
cos α = ±
x=6⋅
8.14
7
. Negativa lösningen förkastas, vinkeln α < 90°.
72
7
7
=
≈ 1,87 Medianen mot den största sidan är
72
2
7
≈ 1,87 (
2
Cosinussatsen tillämpas två gånger:
d 2 =
2

2
d`1=
d 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos α
Û  2
d`12 = a 2 + b 2 + 2ab cos α
a 2 + b 2 − 2ab cos(180 − α)
a 2 + b 2 − 2ab cos α
Addition ger
d12 + d 22 = 2(a 2 + b 2 ) , V.S.B.
8.15
1
1
1
1 + 1 1 + 1  = 1 + 1 + 1 +
=1 +
+
+



sin A cos A sin A cos A
sin A cos A
 sin A  cos A 
+
1
1
2
1
=1 +
+
+
; Om 0 < A <
1
sin A cos A sin 2A
sin 2 A
2
0 < cos A < 1 och 0 < sin 2A ≤ 1. Alltså är 1 +
1 + 1 1 + 1  > 5.
=



 sin A  cos A 
π
är 0 < sin A < 1;
2
1
1
2
+
+
=
sin A cos A sin 2A
Trigonometri - 80