16.3. Projektion och Spegling

16.3
16.3.
167
Projektion och Spegling
Projektion och Spegling
Exempel 16.14. Bestäm matrisen för projektionen P av rummet vinkelrät mot planet
W :
2x − y − 2z = 0.
Bestäm också bilden av basvektorerna e1 , e2 , e3 och w = e1 + 2e2 + 3e3 . (ON-bas).
Lösning: a) Använd projektionsformeln
b) Utnyttja att P är linjär
Figur 16.15.
n
n
u//n
u
v = P(v )
2
O
v1 = P(v1)
P(u) = u⊥ n
2
P(n) = 0
a) Projektionsformeln ger
u = u⊥n + ukn
där
ukn =
u·n
n
|n|2
och
P (u) = u⊥n = u −
u·n
n.
|n|2
Matrisen A för projektionen P 
innehåller
 i sina kolonner bilden av basvektorerna. Vi följer
x1
Exempel 12.34 och låter u = e  x2  vara en godtycklig vektor. Då får vi
x3

 

x1
2

 e  x2  · e  −1  

x1
2
x
−2
u·n
3
 
 e  −1 
n = e  x2  − 
P (u) = u − ukn = u −
|n|2
2
2
x3
−2
e  −1  · e  −1 
−2
−2
 






a
2
x1
4x1 − 2x2 − 4x3
2x
−
x
−
2x
1
1
2
3 
e
−1  = e  x2  − e  −2x1 + x2 + 2x3 
= e b  −
9
9
c
−2
x3
−4x1 + 2x2 + 4x3



 

5x1 + 2x2 + 4x3
9x1
4x1 − 2x2 − 4x3 
1 
1
9x2  −  −2x1 + x2 + 2x3  = e  2x1 + 8x2 − 2x3 
= e

9
9
4x1 − 2x2 + 5x3
9x3
−4x1 + 2x2 + 4x3



5
2
4
x1
1
8 −2   x2  .
= e  2
9
4 −2
5
x3
168
16
LINJÄRA AVBILDNINGAR


5
2
4
1
Alltså har P matrisen A =  2
8 −2 .
9
4 −2
5
 


2
1
b) P är linjär. Låt v 1 = e  2  och v 2 = e  −2  vara två vektorer i planet W .
1
2
(Visa detta genom att sätta in vektorernas koordinater i planet W :s ekvation). Då kommer
normalen n att avbildas på 0 och v 1 och v 2 att avbildas på sig själva eftersom dessa redan
ligger i planet W . Vi har alltså att


 P (n) = 0
 P (2e1 − e2 − 2e3 ) = 0 · e1 + 0 · e2 + 0 · e3
P (v 1 ) = v1
⇔
P (2e1 + 2e2 + e3 ) =
2e1 + 2e2 + e3


P (v 2 ) = v2
P (e1 − 2e2 + 2e3 ) =
e1 − 2e2 + 2e3
Eftersom P är linjär

 2P (e1 )
2P (e1 )

P (e1 )
så får vi systemet
− P (e2 ) − 2P (e3 ) = 0 · e1 + 0 · e2 + 0 · e3
+ 2P (e2 ) + P (e3 ) =
2e1 +
2e2 +
e3
− 2P (e2 ) + 2P (e3 ) =
e1 −
2e2 +
2e3
Löser vi systemet för de obekanta P (e1 ),

 P (e1 ) =
P (e2 ) =

P (e3 ) =
P (e2 ) och P (e3 ) som i i Exempel 16.13 får vi att
(5e1 + 2e2 + 4e3 )/9
(2e1 + 8e2 − 2e3 )/9
(4e1 − 2e2 + 5e3 )/9
som ger matrisen A igen.
Vi projicerar nu vektorn w = e1 + 2e2 + 3e3 och får bilden


 
  

1
5
2
4
21
1
1
1
8 −2   2  = e  12  .
P (w) = P e  2  = e  2
9
9
4 −2
5
3
15
3
I anmärkningen nedan tar vi upp ett antal viktiga egenskaper hos en projektion som kan
verifieras för exemplet ovan.
Anmärkning 16.16. Om A är matrisen för projektionen i Exempel 16.14, så är
1. A symmetrisk.
2. det A = 0.
3. A2 = A.
Vi visar i Anmärkning 16.55 att i rummet har alla ortogonala projektioner på ett plan dessa
egenskaper. Däremot visar vi i Kapitel 24 det allmänna fallet att i n-dimensionellt rum så
har alla ortogonala projektioner på underrum dessa egenskaper.
16.3
169
Projektion och Spegling
Exempel 16.17. Ange matrisen för speglingen S i planet W :
Lösning: a) Projektionsformeln
2x − y − 2z = 0. (ON-bas).
b) S är linjär:
Figur 16.18.
n
n
u
u //n
v2=S(v2)
v1=S(v1)
O
P(u)=u⊥ n
S(u)
S(n)= −n


a
a) Låt u = e  b  vara en godtycklig vektor i rummet. Då gäller att
c
 


a
2
2a − b − 2c 
u·n
n = e b  − 2
e −1 
S(u) = u − 2ukn = u − 2
2
|n|
9
c
−2
 





 
a
8a − 4b − 8c
a + 4b + 8c
1
4
8
a
1
1
1






−4a + 2b + 4c
4a + 7b − 4c
4
7 −4
b .
b
=e
=e
−e
= e
9
9
9
−8a + 4b + 8c
8a − 4b − c
8 −4
1
c
c


1
4
8
1
Alltså ges avbildningsmatrisen för speglingen S av A =
4
7 −4  .
9
8 −4
1
b) Idén här är att utnyttja egenskapen hos S, dvs att normalen n avbildas på −n samt att
två godtyckligt linjärt oberoende vektorer i planet W avbildas på sig själva. T.ex. tar vi
v 1 = 2e1 + 2e2 + e3 och v 2 = e1 − 2e2 + 2e3 i W . Detta ger att


 S(n) = −n
 S(2e1 − e2 − 2e3 ) = −2e1 + e2 + 2e3
S(v 1 ) = v 1
⇔
S(2e1 + 2e2 + e3 ) =
2e1 + 2e2 + e3


S(v 2 ) = v 2
S(e1 − 2e2 + 2e3 ) =
e1 − 2e2 + 2e3

1


(e1 + 4e2 + 8e3 )
S(e1 ) =


9

1
⇔
S(e2 ) =
(4e1 + 7e2 − 4e3 )

9


1

 S(e3 ) =
(8e1 − 4e2 + e3 )
9
vilket ger samma avbildningsmatris A som ovan. Systemet ovan löses p.s.s i Exempel 16.13.
170
16
LINJÄRA AVBILDNINGAR
Exempel 16.19. Bestäm matrisen för projektionen av rummet vinkelrät mot den räta
linjen L : (x, y, z) = t(1, 2, −2)t (ON-bas).
Lösning: a) Projektionsformeln
b) P är linjär
Figur 16.20.
L
v
P(u) = u//v
u
v1
v2
O

 

1
a
Låt v = e  2  vara riktningsvektorn hos linjen och låt u = e  b  vara en godtycklig
−2
c
vektor. Projektionsformeln ger:


1
a + 2b − 2c 
u·v
·v =e
2 
P (u) = ukv =
|v|2
9
−2



 
a + 2b − 2c
1
2 −2
a
1
1
= e  2a + 4b − 4c  = e  2
4 −4   b  .
9
9
−2a − 4b + 4c
−2 −4
4
c


1
2 −2
1
4 −4 .
Alltså ges avbildningsmatrisen till projektionen P av A =  2
9
−2 −4
4
b) P projicerar riktningsvektorn v på sig själv, samt två godtyckligt linjärt oberoende
vektorer, ortogonala mot v, t.ex. v 1 = 2e1 + e2 + 2e3 och v 2 = 2e1 − 2e2 − e3 projiceras
på nollvektorn 0. Detta ger att


 P (v) = v
 P (e1 + 2e2 − 2e3 ) = e1 + 2e2 − 2e3
P (v 1 ) = 0 ⇔
P (2e1 + e2 + 2e3 ) = 0


P (v 2 ) = 0
P (2e1 − 2e2 − e3 ) = 0

 P (e1 ) = (e1 + 2e2 − 2e3 )/9
⇔
P (e2 ) = (2e1 + 4e2 − 4e3 )/9

P (e3 ) = (−2e1 − 4e2 + 4e3 )/9
Vi får samma avbildningsmatris A som ovan.
16.3
171
Projektion och Spegling
Exempel 16.21. Bestäm matrisen för en spegling av rummet i den räta linjen
L : (x, y, z) = t(1, 2, −2)t . Bestäm också bilden av vektorn w = e1 + 2e2 + 3e3 . (ON-bas).
Lösning:
Figur 16.22.
L
v
u
S(u)
S(v2)
v1
v2
S(v1)
a) Eftersom spegelbilden uppfyller
S(u) = u − 2u⊥v


−7
4 −4
1
4 −1 −8 .
så ges avbildningsmatrisen av
9
−4 −8 −1
b) Alternativt kan vi lösa ekvationssystemet

v
 S(v) =
S(v 1 ) = −v 1

S(v 2 ) = −v 2
där vektorerna v 1 och v 2 är ortogonal mot v och kan vara som i Exempel 16.19.
Vidare gäller att


 

−7
4 −4
−11
1
11
1
1
22
23
S(w) = e  4 −1 −8   2  = e  −22  = − e1 − e2 − e3 .
9
9
9
9
9
−4 −8 −1
−23
3