16.3 16.3. 167 Projektion och Spegling Projektion och Spegling Exempel 16.14. Bestäm matrisen för projektionen P av rummet vinkelrät mot planet W : 2x − y − 2z = 0. Bestäm också bilden av basvektorerna e1 , e2 , e3 och w = e1 + 2e2 + 3e3 . (ON-bas). Lösning: a) Använd projektionsformeln b) Utnyttja att P är linjär Figur 16.15. n n u//n u v = P(v ) 2 O v1 = P(v1) P(u) = u⊥ n 2 P(n) = 0 a) Projektionsformeln ger u = u⊥n + ukn där ukn = u·n n |n|2 och P (u) = u⊥n = u − u·n n. |n|2 Matrisen A för projektionen P innehåller i sina kolonner bilden av basvektorerna. Vi följer x1 Exempel 12.34 och låter u = e x2 vara en godtycklig vektor. Då får vi x3 x1 2 e x2 · e −1 x1 2 x −2 u·n 3 e −1 n = e x2 − P (u) = u − ukn = u − |n|2 2 2 x3 −2 e −1 · e −1 −2 −2 a 2 x1 4x1 − 2x2 − 4x3 2x − x − 2x 1 1 2 3 e −1 = e x2 − e −2x1 + x2 + 2x3 = e b − 9 9 c −2 x3 −4x1 + 2x2 + 4x3 5x1 + 2x2 + 4x3 9x1 4x1 − 2x2 − 4x3 1 1 9x2 − −2x1 + x2 + 2x3 = e 2x1 + 8x2 − 2x3 = e 9 9 4x1 − 2x2 + 5x3 9x3 −4x1 + 2x2 + 4x3 5 2 4 x1 1 8 −2 x2 . = e 2 9 4 −2 5 x3 168 16 LINJÄRA AVBILDNINGAR 5 2 4 1 Alltså har P matrisen A = 2 8 −2 . 9 4 −2 5 2 1 b) P är linjär. Låt v 1 = e 2 och v 2 = e −2 vara två vektorer i planet W . 1 2 (Visa detta genom att sätta in vektorernas koordinater i planet W :s ekvation). Då kommer normalen n att avbildas på 0 och v 1 och v 2 att avbildas på sig själva eftersom dessa redan ligger i planet W . Vi har alltså att P (n) = 0 P (2e1 − e2 − 2e3 ) = 0 · e1 + 0 · e2 + 0 · e3 P (v 1 ) = v1 ⇔ P (2e1 + 2e2 + e3 ) = 2e1 + 2e2 + e3 P (v 2 ) = v2 P (e1 − 2e2 + 2e3 ) = e1 − 2e2 + 2e3 Eftersom P är linjär 2P (e1 ) 2P (e1 ) P (e1 ) så får vi systemet − P (e2 ) − 2P (e3 ) = 0 · e1 + 0 · e2 + 0 · e3 + 2P (e2 ) + P (e3 ) = 2e1 + 2e2 + e3 − 2P (e2 ) + 2P (e3 ) = e1 − 2e2 + 2e3 Löser vi systemet för de obekanta P (e1 ), P (e1 ) = P (e2 ) = P (e3 ) = P (e2 ) och P (e3 ) som i i Exempel 16.13 får vi att (5e1 + 2e2 + 4e3 )/9 (2e1 + 8e2 − 2e3 )/9 (4e1 − 2e2 + 5e3 )/9 som ger matrisen A igen. Vi projicerar nu vektorn w = e1 + 2e2 + 3e3 och får bilden 1 5 2 4 21 1 1 1 8 −2 2 = e 12 . P (w) = P e 2 = e 2 9 9 4 −2 5 3 15 3 I anmärkningen nedan tar vi upp ett antal viktiga egenskaper hos en projektion som kan verifieras för exemplet ovan. Anmärkning 16.16. Om A är matrisen för projektionen i Exempel 16.14, så är 1. A symmetrisk. 2. det A = 0. 3. A2 = A. Vi visar i Anmärkning 16.55 att i rummet har alla ortogonala projektioner på ett plan dessa egenskaper. Däremot visar vi i Kapitel 24 det allmänna fallet att i n-dimensionellt rum så har alla ortogonala projektioner på underrum dessa egenskaper. 16.3 169 Projektion och Spegling Exempel 16.17. Ange matrisen för speglingen S i planet W : Lösning: a) Projektionsformeln 2x − y − 2z = 0. (ON-bas). b) S är linjär: Figur 16.18. n n u u //n v2=S(v2) v1=S(v1) O P(u)=u⊥ n S(u) S(n)= −n a a) Låt u = e b vara en godtycklig vektor i rummet. Då gäller att c a 2 2a − b − 2c u·n n = e b − 2 e −1 S(u) = u − 2ukn = u − 2 2 |n| 9 c −2 a 8a − 4b − 8c a + 4b + 8c 1 4 8 a 1 1 1 −4a + 2b + 4c 4a + 7b − 4c 4 7 −4 b . b =e =e −e = e 9 9 9 −8a + 4b + 8c 8a − 4b − c 8 −4 1 c c 1 4 8 1 Alltså ges avbildningsmatrisen för speglingen S av A = 4 7 −4 . 9 8 −4 1 b) Idén här är att utnyttja egenskapen hos S, dvs att normalen n avbildas på −n samt att två godtyckligt linjärt oberoende vektorer i planet W avbildas på sig själva. T.ex. tar vi v 1 = 2e1 + 2e2 + e3 och v 2 = e1 − 2e2 + 2e3 i W . Detta ger att S(n) = −n S(2e1 − e2 − 2e3 ) = −2e1 + e2 + 2e3 S(v 1 ) = v 1 ⇔ S(2e1 + 2e2 + e3 ) = 2e1 + 2e2 + e3 S(v 2 ) = v 2 S(e1 − 2e2 + 2e3 ) = e1 − 2e2 + 2e3 1 (e1 + 4e2 + 8e3 ) S(e1 ) = 9 1 ⇔ S(e2 ) = (4e1 + 7e2 − 4e3 ) 9 1 S(e3 ) = (8e1 − 4e2 + e3 ) 9 vilket ger samma avbildningsmatris A som ovan. Systemet ovan löses p.s.s i Exempel 16.13. 170 16 LINJÄRA AVBILDNINGAR Exempel 16.19. Bestäm matrisen för projektionen av rummet vinkelrät mot den räta linjen L : (x, y, z) = t(1, 2, −2)t (ON-bas). Lösning: a) Projektionsformeln b) P är linjär Figur 16.20. L v P(u) = u//v u v1 v2 O 1 a Låt v = e 2 vara riktningsvektorn hos linjen och låt u = e b vara en godtycklig −2 c vektor. Projektionsformeln ger: 1 a + 2b − 2c u·v ·v =e 2 P (u) = ukv = |v|2 9 −2 a + 2b − 2c 1 2 −2 a 1 1 = e 2a + 4b − 4c = e 2 4 −4 b . 9 9 −2a − 4b + 4c −2 −4 4 c 1 2 −2 1 4 −4 . Alltså ges avbildningsmatrisen till projektionen P av A = 2 9 −2 −4 4 b) P projicerar riktningsvektorn v på sig själv, samt två godtyckligt linjärt oberoende vektorer, ortogonala mot v, t.ex. v 1 = 2e1 + e2 + 2e3 och v 2 = 2e1 − 2e2 − e3 projiceras på nollvektorn 0. Detta ger att P (v) = v P (e1 + 2e2 − 2e3 ) = e1 + 2e2 − 2e3 P (v 1 ) = 0 ⇔ P (2e1 + e2 + 2e3 ) = 0 P (v 2 ) = 0 P (2e1 − 2e2 − e3 ) = 0 P (e1 ) = (e1 + 2e2 − 2e3 )/9 ⇔ P (e2 ) = (2e1 + 4e2 − 4e3 )/9 P (e3 ) = (−2e1 − 4e2 + 4e3 )/9 Vi får samma avbildningsmatris A som ovan. 16.3 171 Projektion och Spegling Exempel 16.21. Bestäm matrisen för en spegling av rummet i den räta linjen L : (x, y, z) = t(1, 2, −2)t . Bestäm också bilden av vektorn w = e1 + 2e2 + 3e3 . (ON-bas). Lösning: Figur 16.22. L v u S(u) S(v2) v1 v2 S(v1) a) Eftersom spegelbilden uppfyller S(u) = u − 2u⊥v −7 4 −4 1 4 −1 −8 . så ges avbildningsmatrisen av 9 −4 −8 −1 b) Alternativt kan vi lösa ekvationssystemet v S(v) = S(v 1 ) = −v 1 S(v 2 ) = −v 2 där vektorerna v 1 och v 2 är ortogonal mot v och kan vara som i Exempel 16.19. Vidare gäller att −7 4 −4 −11 1 11 1 1 22 23 S(w) = e 4 −1 −8 2 = e −22 = − e1 − e2 − e3 . 9 9 9 9 9 −4 −8 −1 −23 3