ANTECKNINGAR TILL RÄKNEÖVNING 1 & 2 - KOMPLEXA
TAL
Det nns era olika talmängder; de positiva heltalen (0, 1, 2, . . . ) kallas de naturliga
talen N, tal som kan skrivas som kvoter av andra tal kallas rationella tal Q, och
alla tal som kan skrivas som en kontinuerlig följd av punkter på en linje, kallas
reella tal, R. N och Q innefattas i R, liksom gör tal som varken är heltal eller kan
√
skrivas som kvoter av andra tal, såsom 2, π etc. Alla ekvationer kan inte lösas
av reella tal, t.ex. x2 = −1 har ingen reell lösning. För att lösa detta problem
måste vi deniera en ny typ av tal som kan hantera problem som dessa. Dessa tal
kallas komplexa tal och ingår i den komplexa talmängden C.
1.
Definition och det komplexa talplanet
Ett komplext tal z denieras:
(1)
z = a + bi
där den reella delen av z ges av a = Re{z} och och den imaginära delen av z ges
av b = Im{z}. Ett komplext tal består alltså av en reell del, en taltyp som vi
känner igen och en sk. imaginär del. Det som karakteriserar den imaginära delen
är den imaginära talenheten i, som denieras på följande vis
(2)
i2 = −1.
I det komplexa
talplanet
ges den imaginära talenheten på den vertikala axeln och
Im{z}
z = a + bi
b
a
Re{z}
1. Det komplexa talplanet med det komplexa talet z
beskrivet som en vektor från origo till punkten (a, b).
Figure
den reella delen på den horisontella axeln, se Figur (1).
1
2
ANTECKNINGAR TILL RÄKNEÖVNING 1 & 2 - KOMPLEXA TAL
2.
Räkneregler
Vi kan addera två komplexa tal z = a + bi och w = c + di:
(3)
z + w = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i.
| {z } | {z }
Re{z
+ w}
Im{z
+ w}
Vi adderar alltså de reella och imaginära delarna för sig. Multiplikation av z och
w fungerar som vanligt:
(4)
zw = (a + bi)(c + di) = (ac + adi + bic + bdi2 ) = (ac − bd) + {ad + bc} i.
| {z } | {z }
Re{zw }
Im{zw }
Vi måste bara komma ihåg att i = −1. För att kunna dividera z och w måste vi
införa komplexkonjugatet av ett komplext tal, z ∗ :
2
(5)
z ∗ = a − bi.
Vi ser alltså att komplexkonjugering av ett komplext tal resulterar i ombytt tecken
för imaginärdelen. Vi kan räkna ut produkten av det komplexa talet med sitt
konjugat:
(6)
+
− b2 i2 ) = (a2 + b2 ).
zz ∗ = (a + bi)(a − bi) = (a2 − abi
abi
Produkten zz ∗ blir ett reellt tal. Nu kan vi dividera två komplexa tal:
(7)
(a + bi)
(a + bi)(c − di)
ac − adi + bic − bdi2
(ac + bd) (bc − ad)
z
=
=
=
= 2
+
i.
2
2
w
(c + di)
(c + di)(c − di)
c +d
+ d2 } | c2 {z
+ d2 }
| c {z
Re{
z
}
w
Im{
z
}
w
Vi använder komplexkonjugatet för att få bort det komplexa talen i nämnaren.
3.
Polär form
Vi kan även uttrycka det komplexa talet i form av längden av vektorn, r och
dess vinkel med den reella koordinataxeln, θ (se Figur (2)):
(8)
z = r(cos θ + i sin θ).
I denna form ges den reella och imaginära delen av z med hjälp av sinus och cosinus
på följande sätt:
(9)
a = r cos θ
b = r sin θ
Längden av vektorn ges enligt Pythagoras sats:
(10)
r=
√
a2 + b 2
Från denitionen av komplexkonjugatet ser vi dessutom att:
(11)
r2 = zz ∗ = |z|2 .
ANTECKNINGAR TILL RÄKNEÖVNING 1 & 2 - KOMPLEXA TAL
3
Im{z}
r sin θ
r
θ
Re{z}
r cos θ
Ett komplext tal, z , på polär form i det komplexa
talplanet. θ är vinkeln mellan den reella koordinataxeln och z vektorn, och r är vektorns längd.
Figure 2.
Vinkeln θ kan vi bestämma på följande sätt:
(12)
b
tan θ =
a
4.
⇒
θ = tan
b
.
a
Euler's formel
En annan mycket användbar formel är
(13)
−1
Euler's formel
:
eiθ = (cos θ + i sin θ)
Det är inte nödvändigt att ni kan bevisa denna formel, men för er som är supernykna så har jag skrivit ner ett kort bevis att gå igenom på egen hand (det
förutsätter dock att ni känner till Taylorutveckling).
Kort bevis av Euler's formel med Taylor talserier
x2 x3
+
+ ...
2!
3!
x2 x4
cos x = 1 −
+
+ ...
2!
4!
x3 x5
sin x = x −
+
+ ...
3!
5!
ex = 1 + x +
(14)
4
ANTECKNINGAR TILL RÄKNEÖVNING 1 & 2 - KOMPLEXA TAL
(iθ)2 (iθ)3 (iθ)4 (iθ)5
+
+
+
+ ...
2!
3!
4!
5!
θ2 iθ3 θ4 iθ5
= 1 + iθ −
−
+
+
− ...
2!
3! 4! 5!
θ3 θ5
θ2 θ4
+
− ... + i θ −
+
= 1−
2!
4!
3!
5!
= cos θ + i sin θ
eiθ = 1 + iθ +
(15)
Med Euler's formel kan vi uttrycka det komplexa talet z på ytterligare ett sätt:
(16)
z = reiθ
Vi kan också deniera två användbara uttryck för cosinus och sinus. Vi börjar
med att deniera komplexkonjugatet:
(17)
z ∗ = (eiθ )∗ = e−iθ = cos θ − i sin θ.
Nu kan vi deniera de nya uttrycken på följande sätt
(18)
eiθ + e−iθ
(cos θ + i sin
θ ) + (cos θ − i sin
θ)
2 cos θ
=
=
= cos θ
2
2
2
(
cos
θ + i sin θ) − (
cos
θ − i sin θ)
eiθ − e−iθ
2i sin θ
=
=
= sin θ.
2i
2
2i
5.
Relaterade problem
1-P4. Omvandla de komplexa talen till polär form:
d) 5 + i
Lösningsförslag.
r2 = 52 + 12 = 26
1
−1
θ = tan
5
√ i tan−1 1
(5)
⇒ z = 26e
e) −2 + i
Lösningsförslag.
r2 = (−2)2 + 12 = 5
1
tan(π − θ) = ⇔ π − θ = tan−1
2
√ i π−tan−1 1
( 2 ))
⇒ z = 5e (
1
2
ANTECKNINGAR TILL RÄKNEÖVNING 1 & 2 - KOMPLEXA TAL
1-P5. Omvandla talet till komplex representation (a + bi form):
a) 3ei 3
π
Lösningsförslag. Vi använder Euler's
formel
π π
+ i sin
z = 3e = 3 cos
3
3
π 1
cos
=
3
2
π √3
=
sin
3
2√
3 3 3
⇒z= +
i
2
2
i π3
5
