2006-08-28
Tentamen i Mekanik 5C1107, baskurs S2.
OBS: Inga hjälpmede förutom rit- och skrivdon får användas!
KTH Mekanik
Problemtentamen
1.
Ett glatt homogent klot med massan m vilar mot
två plana, hårda och glatta ytor enligt figuren.
m
Bestäm kontaktkrafternas storlek.
(3p)
"
En kraft P har en verkningslinje längs
sidodiagonalen AB.
2.
!
a) Bestäm kraftmomentet med
!
avseende på origo.
!
(2p)
b) Bestäm kraftmomentets komponent
med avseende på axeln ! som enligt
figuren sammanfaller med diagonalen
CD.
(1p)
3.
M
v0
m
!
!
4.
!
En projektil med massan m har farten v 0 i
en rak, horisontell bana när den träffar och
fastnar i en vagn med massan M . Vagnen
står still på horisontellt
underlag i linje med
!
projektilens bana före träffen.!Beräkna
andelen av den ursprungliga sammanlagda
!
rörelseenergin som finns kvar efter träffen?
(3p)
En vagn med massa 2M som befinner sig
i jämviktsläget enligt figuren ges plötsligt
farten v 0 så att den påbörjar en
svängningsrörelse. Fjädern som är fäst i
vagnen har en känd fjäderkonstant k .
Bestäm vagnens maximala utslag från
jämviktsläget.
(3p)
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Obs: Använd vektorstreck för att beteckna vektorstorheter. Motivera införda ekvationer!
5C1107 Mekanik, baskurs S2 2006-08-28
Teoritentamen
5
a) Figuren visar en trådrulle som står still på
ett
strävt lutande plan med hjälp av en
fastspänd tråd. Tråden löper ut horisontellt
från cylindern med radie r . Identifiera och
rita ut de krafter som verkar på trådrullen.
Ange varje krafts riktning och angreppspunkt
så realistiskt som möjligt.
(1p)
b) Betrakta en kraft som angriper i punkten rA . Bevisa att kraftmomentet av kraften
med avseende på en punkt rP inte ändras, om kraften förflyttas från rA längs sin
verkningslinje till den nya angreppspunkten rB .
(2p)
6
a) Om en kraftsumma F och en momentsumma M O för ett givet kraftsystem är
vinkelräta med origo som reduktionspunkt, är de då vinkelräta i någon annan
reduktionspunkt? Ja eller nej!
(1p)
b) Definiera masscentrum för ett partikelsystem.
(1p)
c) Ange uttrycket för accelerationen i ett cylindriskt system av koordinater och
motsvarande riktningar.
7.
(1p)
a) En partikel med massa m , läge r och hastighet v påverkas av kraften F . Några av
följande kortfattade definitioner kan innehålla felaktiga ekvationer? Skriv om de
felaktiga ekvationerna på ett korrekt sätt.
i:
Partikelns rörelsemängd p = mv .
r2
ii:
Kraftens impuls I =
! F• dr .
r1
Partikelns rörelsemängdsmoment HO = mv ! r .
dv
iv:
Partikelns acceleration a =
.
(2p)
dt
b) Ange uttrycket för potentiella energin till fjäderkraften F = !k ( x ! l)e x , där
iii:
k och l är konstanter och x är en koordinat.
(1p)
F
2
8.
a) Antag att en civilingenjör träffar på följande ekvation: x˙˙ + ! n x = 0 sin ! t , där
m
2
! n , F0 , m och ! är konstanter och t anger tiden. Vilken typ av beteende hos x(t) kan
civilingenjören vänta sig. Förklara med ord, samt med matematik.
(2p)
b) Vilka är de tre grundstorheterna i mekaniken?
(1p)
/KET
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Obs: Använd vektorstreck för att beteckna vektorstorheter. Motivera införda ekvationer!
5C1107 Mekanik, baskurs S2 2006-08-28
Problemlösningar
m
"
1)
!
Ett glatt homogent klot med massan m vilar mot två plana, hårda och glatta ytor enligt figuren.
Bestäm kontaktkrafternas storlek.
!
Lösning:
Kraftanalys:
Det finns ingen friktion vid kontaktytorna enligt uppgift, endast tyngdkraften och
normalkrafterna beaktas. Inför de två kontaktpunkterna A och B. Vi bestämmer N A > 0 och
N B > 0 på följande sätt.
Den plana jämvikten kräver:
(vertikalt)
N A cos" # mg = 0 ,
!
(horisontellt) N A sin " # N B = 0 ,
dvs
mg
, N B = mg tan " .
! NA =
cos"
!
!
!
!
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Obs: Använd vektorstreck för att beteckna vektorstorheter. Motivera införda ekvationer!
5C1107 Mekanik, baskurs S2 2006-08-28
2
En kraft har en verkningslinje längs sidodiagonalen AB.
a) Bestäm kraftmomentet med avseende på origo.
b) Bestäm kraftmomentets komponent med avseende på axeln ! .
Lösning:
a) Riktningen på diagonalen AB.
( 0, b, c) ! (a, b, 0 ) (!a, 0, c )
e A B=
=
.
a 2 + c2
a 2 + c2
Kraftvektorn blir:
(! a, 0,c ) P
F=
.
a2 + c 2
Det spelar ingen roll för momentet var kraften angriper längs verkningslinjen. Räkna med
angreppet i A.
e x ey ez
P
MO = r ! F = a b 0
a2 + c 2
"a 0 c
P
= (bc, !ac, ba) 2
.
a + c2
b) Komponenten map axeln kräver momentvektorn någonstans på axeln
ex ey ez
P
M C = (r ! rC ) " F = a 0 0
2
a + c2
!a 0 c
(0, !ac,0) P
=
.
a2 + c 2
och en skalärprodukt med axelriktningen.
(a, 0, c ) " (0, b, 0)
(a, "b, c )
e! =
=
2
2
2
a +b +c
a2 + b2 + c 2
Vi får
abc
P
M! = M C • e ! =
.
2
2
2
2
a + b + c a + c2
-------------------------------
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Obs: Använd vektorstreck för att beteckna vektorstorheter. Motivera införda ekvationer!
5C1107 Mekanik, baskurs S2 2006-08-28
3
M
v0
m
Problem: En projektil med massan m har farten v 0 när den träffar och fastnar i en vagn med
massan M . Vagnen befinner sig i vila före träffen. Beräkna andelen av den ursprungliga
sammanlagda rörelseenergin som finns kvar efter träffen.
!
!
!
!
!
Lösning:
!
På grund av att kraftpåverkan mellan projektil och block är ömsesidig ändras inte totala
rörelsemängden.
före: efter:
mv 0 + 0 = mv + Mv ,
dvs sluthastigheten blir
m
v=
v0 .
m+ M
! Om vi jämför kinetiska energier före och efter som en kvot, erhålls
1
2
Te 2 ( m + M )v
m
=
=
!
1 2
Tf
m+ M
mv 0
2
-------------------------------
!
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Obs: Använd vektorstreck för att beteckna vektorstorheter. Motivera införda ekvationer!
5C1107 Mekanik, baskurs S2 2006-08-28
4
En vagn med massa 2M som befinner sig i jämviktsläget enligt figuren ges plötsligt farten v 0
så att den påbörjar en svängningsrörelse. Fjädern som är fäst i vagnen har en känd
fjäderkonstant k . Bestäm vagnens maximala utslag från jämviktsläget.
Lösning: Bara fjäderkraften F = !kx i rörelseriktningen. Konservativ kraft.
Newtons 2:a lag:
2Mx˙˙ = ! kx
Mekaniska energin bevaras. Jämför energier i jämviktsläget och vid maxutslaget.
1
1
2Mv 20 = kx 2max
2
2
2M
dvs maxutslaget blir x max = v 0
.
k
Alternativ lösning:
Svängningsekvationen:
k
x˙˙ +
x=0
2M
Naturliga vinkelfrekvensen för svängningen:
k
.
!n =
2M
Tidsberoendet är x(t) = A cos ! n t + B sin ! n t ,
v
där A =0 enligt begynnelsevläget och B = 0 enligt begynnelsehastigheten.
!n
v
Svängningsutslaget x(t) = 0 sin ! n t har sitt största positiva värde
!n
v
2M
x max = 0 = v 0
.
!n
k
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Obs: Använd vektorstreck för att beteckna vektorstorheter. Motivera införda ekvationer!
5C1107 Mekanik, baskurs S2 2006-08-28
Teoridelen
5a)
T=trådkraft, N=normalkraft, mg=tyngdkraft, och f =friktionskraft.
b)
Definitionen av kraftmoment ger M P = (rA ! rP ) " F respektive M' P = (rB ! rP ) " F .
Skillnaden blir M P ! M' P = (rA ! rB ) " F . Om rA och rB ligger på samma
verkningslinje som kraften så är vektorn rA ! rB parallell med kraften F .
Kryssprodukten för två parallella vektorer blir nollvektorn. Alltså M P = M' P .
6a)
Ja! Val av reduktionspunkt påverkar inte den del av momentet som är parallell med
kraften (som här var 0 i en viss reduktionspunkt).
N
! m i ri
b)
rG = i=1
N
, där m i är massan för partikeln som befinner sig i ri .
! mi
i =1
(
) (
c)
a = ˙r˙ ! r"˙ 2 e r + r"˙˙ + 2 ˙r"˙ e" + ˙z˙e z .
7a)
i:
)
Partikelns rörelsemängd: p = m v
t2
ii:
Kraftens impuls I =
! Fdt .
t1
Partikelns rörelsemängdsmoment HO = r! mv .
dv
iv:
Partikelns acceleration a =
.
.
dt
Enligt definitionen av potentiell energi:
r
k
V ( r) = ! " (! k (x ! l)e x ) • dr = (x ! l )2 + konst .
2
iii:
b)
fix
8a)
Ord: Superposition av naturlig fjädersvängning och en respons från en harmoniskt
tidsberoende yttre kraft, möjlig resonans.
F0
sin !t ,
Matematik: Ekvationen har lösningen x(t) = A cos ! n t + B sin ! n t +
2
m ! n " !2
(
)
där A och B beror av begynnelsevillkoren. Sista termen är responsen som kan bli stor
och kan byta tecken.
8b) Läge, massa och tid.
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Obs: Använd vektorstreck för att beteckna vektorstorheter. Motivera införda ekvationer!
5C1107 Mekanik, baskurs S2 2006-08-28
5C1107 Mekanik
Bedömningar
OBS: Alla ekvationer skall motiveras!!
Följande brister i redovisning av uppgifter 1-8 ligger till grund för
poängavdrag. En viss tolerans gällande bedömningar M, B och S finns.
Helhetsbedömningen av skrivningen kan innebära att ett poängavdrag
(gällande M, B och S) drabbar bara ett av flera bristfälliga
svarsredovisningar.
• M : Otydliga motiveringar, motsägelsefulla
ekvationer, odefinierade symboler, felaktiga
definitioner, missuppfattning.
-1p
• B : Vilseledande, ologiska beteckningar.
Komposanter i stället för komponenter etc.
-1p
• S : Ofullständigt svar, ''införda beteckningar'' kvar i
svaret, svar innehåller obestämda storheter etc.
-1p
• L : Ologiska matematiska operationer.
-1p
• K : Bristfällig kraftanalys eller kinematisk analys.
-1p
• D : Dimensionsfel i svar eller viktiga ekvationer.
-1p
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Obs: Använd vektorstreck för att beteckna vektorstorheter. Motivera införda ekvationer!
5C1107 Mekanik, baskurs S2 2006-08-28
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Obs: Använd vektorstreck för att beteckna vektorstorheter. Motivera införda ekvationer!
