ICT/COS-Kista Föreläsning Hela tal i kursen Diskret Matematik #IX1305 HT 08. (Andra föreläsningen av Bo Åhlander) Kapitel 4 Hela tal 4.2 Delbarhet Definition: Heltalet b delar heltalet a om det finns ett heltal n sådant att a = n∙b Vi skriver då kortare b | a Exempel: 3 | 6, 5 | 100, 641 | (232 + 1) Exempel: 3 7, 5 61 där står för är inte delare till. Sats: Låt a, b, c, x och y vara heltal. Då, i) b | a och a | b a = b ii) c | b och b | a c | a iii) c | a och c | b c | x∙a + y∙b iv) b | a och a > 0 b ≤ a Speciellt, för heltal a ≠ 0 gäller, 1 | a och a | a Definition: Ett heltal p>1 kallas ett primtal om p endast har delarna 1 och p (d.v.s. saknar så kallade äkta delare). Exempel: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 är alla primtal under 20. Exempel: 20 är inte ett primtal eftersom 20 har äkta delare som t.ex. 5 och –2. Definition: Ett heltal a > 1 säges vara sammansatt om det inte är ett primtal (d.v.s. om det har äkta delare). Sats: Aritmetikens fundamentalsats. Varje heltal > 1 kan på ett (så när som på ordningen) entydigt sätt skrivas som en produkt av primtalspotenser. Exempel: Sats: 25 5 2 , 720 2 4 3 2 5, 641 6411 , 1024 210 Det finns oändligt många primtal (Euklides) 1(5) ICT/COS-Kista Bevisskiss: Sats: Motsägelsebevis d.v.s. antag att det bara finns ändligt många primtal, säg p1, p2, … , pk. Vi betraktar talet P = p1∙ p2∙ … ∙pk+1. Uppenbarligen är P olika (ty större än) var och ett av primtalen p1, p2, … , pk. Är P ett primtal har vi då fått en motsägelse som bottnar i att vi antagit att de ändligt många talen p1, p2, … , pk är alla primtal som finns. Är P inte ett primtal har ändock P (enligt Aritmetikens fundamentalsats) en primtalsdelare, säg q. Men då, q kan inte var lika med något av talen p1, p2, … , pk eftersom inget av dessa delar P medan q gör det. Så igen har vi funnit ett nytt primtal (q) vid sidan om p1, p2, … , pk . Motsägelse igen. Det följer att antalet primtal är oändligt! Q.E.D: Divisionsalgoritmen. Låt a och b vara heltal, b>0. Då finns heltal q och r sådana att a = q∙b + r och 0 ≤ r < b Här är q och r entydigt bestämda. Exempel: a = 100, b = 7. Då q = 14, r = 2 och vi får 100 = 14∙7 + 2 (Här 14∙7 = 98 och 0 ≤ 2 <7) 4.3 Största gemensamma delare Definition: För två hela tal a och b, ej båda noll, definieras största gemensamma delaren (a, b) som det största heltal som delar både a och b. Exempel: (100, 75) = 25, (–10, 16) = 2, (7, 0) = 7 Största gemensamma delaren bestäms med euklides algoritm eller med primfaktorsuppdelning (, jämför Aritmetikens fundamentalsats). Exempel: euklides algoritm a = 1000, b = 150 1000 = 6150 + 100 150 = 1100 + 50 100 = 250 + 0 Sista resten 0 ger (a, b) d.v.s. (1000, 150) = 50 Exempel: Primfaktorsuppdelning a = 1000, b = 150 3 3 1 1 1000 2 5 , 150 2 3 52 Då, (1000, 150) 2 min(3,1) 3min(0,1) 5 min(3, 2) 21 30 5 2 2 1 25 50 Sats: Om för heltalen a och b vi har d = (a, b) så finns heltal s och t så att d = sa + tb 2(5) ICT/COS-Kista (Direkt följd av euklides algoritm fram och baklänges) Exempel: Sats: a = 1000, b = 150. Enligt tidigare exempel är d = (1000, 150) = 50. Väljes s = –1, t = 7 fås, d = sa + tb = (–1)1000 + 7150 = –1000 + 1050 = 50 Låt a och b vara två heltal, ej båda noll. För positiva heltalet d gäller: i) d | a och d | b ii) Om heltalet c sådant att c | a och c | b så c | d Då, d = (a, b) 4.4 Diofantiska ekvationer (, ekvationer som kräver heltalslösningar) Vi skall begränsa oss till att behandla diofantiska ekvationer av typen ax + by = c där heltalen a, b och c antas kända och heltalen x och y skall bestämmas. Sats: a, b och c är heltal. Den diofantiska ekvationen ax + by = c har lösning precis då (a, b) | c Exempel: Diofantiska ekvationen 6x + 9y = 4 har inga lösningar eftersom (6, 9) = 3 och 3 4. Exempel: Diofantiska ekvationen 7x + 5y = 2 har lösningar eftersom (7, 5) = 1 och 1 | 2. Vi bestämmer en lösning med euklides algoritm (fram och baklänges). Divisionsalgoritmen ger: 7 = 15 + 2 2 = 7 – 15 5 = 22 + 1 1 = 5 – 22 2 = 21 + 0 Sedan, 1 = 5 – 22 = 5 – 2(7 – 15) = (–2)7 + 5 + 25 = (–2)7 + 35 Sålunda, (–2)7 + 35 = 1 Multiplikation med 2 ger, 2(–2)7 +235 = 21 (–4)7 + 65 = 2 Således, vi har funnit lösningen (x, y) = (–4, 6) åt 7x + 5y = 2 Sats: Om ( x0 , y 0 ) är en lösning till diofantiska ekvationen ax by c fås alla lösningar (= den allmänna lösningen) genom b x x0 n d där d (a, b) och n Z (d.v.s. n är ett godtyckligt heltal) a y y0 n d 3(5) ICT/COS-Kista Bevis: Antag att (x, y) liksom ( x0 , y 0 ) är lösning åt ax by c . Vi får, ax by c ax0 by0 a( x x0 ) b( y y0 ) 0 . a b a b ( x x0 ) ( y y 0 ) 0 där , 1 . d d d d a a a | ( y y0 ) y y0 n , n Z y y0 n Det följer, d d d Då, Sedan, a b a b a ( x x0 ) ( y y 0 ) ( x x0 ) n 0 d d d d d b b x x0 n 0 x x0 n d d Q.E.D 4.5 Aritmetikens fundamentalsats (formulerad tidigare) 4.6 Minsta gemensamma multipel Definition: Låt a och b vara två heltal, båda skilda från noll. Med minsta gemensamma multipel till a och b menar vi det minsta positiva heltalet m som delas av både a och b. Vi skriver, m = [a, b] Exempel: a = 8, b = 12. Då, [a, b] = 24 Exempel: [3, 5] = 15 Sats: Om a, b Z+ så (a, b) [a, b] = ab Exempel: a = 10, b = 15 Då, (a, b) = 5 och [a, b] = 30 (a, b)[a, b] = 530 = 150 och ab = 1015 = 150. Stämmer! Exempel: Bestämma [a, b] med primfaktorsuppdelning a = 100, b = 375 Då, a = 2252 och b = 3153 . Vi får, [a, b] = 2max(2,0)3max(0,1)5max(2,3) = 223153 = 4(5) ICT/COS-Kista = 43125 = 1500 Exempel: a = 100, b = 375 Då, a = 2252 och b = 3153 . Vi får, [a, b] = 2max(2,0)3max(0,1)5max(2,3) = 223153 (a, b) = 2min(2,0)3min(0,1)5min(2,3) = 203052 Då, (a,b)[a,b] = 2min(2,0)3min(0,1)5min(2,3) 2max(2,0)3max(0,1)5max(2,3)= = 2min(2,0)+max(2,0)3min(0,1)+max(0,1)5min(2,3)+max(2,3)= = 20+230+152+3=(223052)(203153)= ab (Allmänt gäller min(m,n) + max(m,n) = m + n vilket kan användas för ett bevis av sambandet (a, b) [a, b] = ab efter primfaktorsuppdelning av a och b och användning av min(m,n) + max(m,n) = m + n för primtalsexponenterna analogt med sista exemplet). Speciellt: Om, (a, b) = 1 fås [a, b] = ab Definition: Om (a, b) =1 säges a och b vara relativt prima. Slut! 5(5)