ICT/COS-Kista
Föreläsning Hela tal i kursen Diskret Matematik #IX1305 HT 08.
(Andra föreläsningen av Bo Åhlander)
Kapitel 4 Hela tal
4.2 Delbarhet
Definition:
Heltalet b delar heltalet a om det finns ett heltal n sådant att a = n·b
Vi skriver då kortare b | a
Exempel:
3 | 6, 5 | 100, 641 | (232 + 1)
Exempel:
3 F7, 5 F 61 där F står för är inte delare till.
Sats:
Låt a, b, c, x och y vara heltal. Då,
i)
b | a och a | b fl a = ≤b
ii)
c | b och b | a fl c | a
iii)
c | a och c | b fl c | x·a + y·b
iv)
b | a och a > 0 fl b ≤ a
Speciellt, för heltal a ≠ 0 gäller, ≤1 | a och ≤a | a
Definition:
Ett heltal p>1 kallas ett primtal om p endast har delarna ≤1 och ≤p
(d.v.s. saknar så kallade äkta delare).
Exempel:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 är alla primtal under 20.
Exempel:
20 är inte ett primtal eftersom 20 har äkta delare som t.ex. 5 och –2.
Definition:
Ett heltal a > 1 säges vara sammansatt om det inte är ett primtal (d.v.s. om
det har äkta delare).
Sats:
Aritmetikens fundamentalsats.
Varje heltal > 1 kan på ett (så när som på ordningen) entydigt sätt skrivas som en
produkt av primtalspotenser.
Exempel:
25 = 5 2 , 720 = 2 4 ⋅ 3 2 ⋅ 5, 641 = 6411 , 1024 = 210
1(5)
ICT/COS-Kista
Sats:
Det finns oändligt många primtal (Euklides)
Bevisskiss:
Sats:
Motsägelsebevis d.v.s. antag att det bara finns ändligt många primtal,
säg p1, p2, … , pk.
Vi betraktar talet P = p1· p2· … ·pk+1.
Uppenbarligen är P olika (ty större än) var och ett av primtalen
p1, p2, … , pk.
Är P ett primtal har vi då fått en motsägelse som bottnar i att vi antagit att
de ändligt många talen p1, p2, … , pk är alla primtal som finns.
Är P inte ett primtal har ändock P (enligt Aritmetikens fundamentalsats)
en primtalsdelare, säg q. Men då, q kan inte var lika med något av talen p1,
p2, … , pk eftersom inget av dessa delar P medan q gör det. Så igen har vi
funnit ett nytt primtal (q) vid sidan om p1, p2, … , pk . Motsägelse igen.
Det följer att antalet primtal är oändligt!
Q.E.D:
Divisionsalgoritmen.
Låt a och b vara heltal, b>0. Då finns heltal q och r sådana att
a = q·b + r och 0 ≤ r < b
Här är q och r entydigt bestämda.
Exempel:
a = 100, b = 7. Då q = 14, r = 2 och vi får 100 = 14·7 + 2
(Här 14·7 = 98 och 0 ≤ 2 <7)
4.3 Största gemensamma delare
Definition:
För två hela tal a och b, ej båda noll, definieras största gemensamma
delaren (a, b) som det största heltal som delar både a och b.
Exempel:
(100, 75) = 25, (–10, 16) = 2, (7, 0) = 7
Största gemensamma delaren bestäms med euklides algoritm eller med
primfaktorsuppdelning (, jämför Aritmetikens fundamentalsats).
Exempel:
euklides algoritm
a = 1000, b = 150
1000 = 6⋅150 + 100
150 = 1⋅100 + 50
100 = 2⋅50 + 0
Sista resten ≠ 0 ger (a, b) d.v.s. (1000, 150) = 50
2(5)
ICT/COS-Kista
Exempel:
Sats:
Om för heltalen a och b vi har d = (a, b) så finns heltal s och t så att d = s⋅a + t⋅b
(Direkt följd av euklides algoritm fram och baklänges)
Exempel:
Sats:
Primfaktorsuppdelning
a = 1000, b = 150
3
3
1
1
1000 = 2 ⋅ 5 , 150 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 2
Då, (1000, 150) = 2 min(3,1) ⋅ 3 min(0,1) ⋅ 5 min(3, 2) = 21 ⋅ 30 ⋅ 5 2 = 2 ⋅ 1 ⋅ 25 = 50
a = 1000, b = 150. Enligt tidigare exempel är d = (1000, 150) = 50.
Väljes s = –1, t = 7 fås,
d = s⋅a + t⋅b = (–1)⋅1000 + 7⋅150 = –1000 + 1050 = 50
Låt a och b vara två heltal, ej båda noll. För positiva heltalet d gäller:
i)
d | a och d | b
ii)
Om heltalet c sådant att c | a och c | b så c | d
Då, d = (a, b)
4.4 Diofantiska ekvationer (, ekvationer som kräver heltalslösningar)
Vi skall begränsa oss till att behandla diofantiska ekvationer av typen a⋅x + b⋅y = c där
heltalen a, b och c antas kända och heltalen x och y skall bestämmas.
Sats:
a, b och c är heltal. Den diofantiska ekvationen a⋅x + b⋅y = c har lösning precis då
(a, b) | c
Exempel:
Diofantiska ekvationen 6⋅x + 9⋅y = 4 har inga lösningar eftersom
(6, 9) = 3 och 3 F 4.
Exempel:
Diofantiska ekvationen 7⋅x + 5⋅y = 2 har lösningar eftersom
(7, 5) = 1 och 1 | 2.
Vi bestämmer en lösning med euklides algoritm (fram och baklänges).
Divisionsalgoritmen ger:
7 = 1⋅5 + 2
⇔
2 = 7 – 1⋅5
5 = 2⋅2 + 1
⇔
1 = 5 – 2⋅2
2 = 2⋅1 + 0
Sedan, 1 = 5 – 2⋅2 = 5 – 2(7 – 1⋅5) = (–2)⋅7 + 5 + 2⋅5 = (–2)⋅7 + 3⋅5
Sålunda, (–2)⋅7 + 3⋅5 = 1
Multiplikation med 2 ger,
2⋅(–2)⋅7 +2⋅3⋅5 = 2⋅1
(–4)⋅7 + 6⋅5 = 2
Således, vi har funnit lösningen (x, y) = (– 4, 6) åt 7⋅x + 5⋅y = 2
3(5)
ICT/COS-Kista
Sats:
Om ( x0 , y 0 ) är en lösning till diofantiska ekvationen ax + by = c fås alla
lösningar (= den allmänna lösningen) genom
b
⎧
x
=
x
−
n
⋅
0
⎪
d
där d = (a, b) och n ∈ Z (d.v.s. n är ett godtyckligt heltal)
⎨
a
⎪ y = y0 + n ⋅
d
⎩
Bevis: Antag att (x, y) liksom ( x0 , y 0 ) är lösning åt ax + by = c . Vi får,
ax + by = c = ax0 + by 0 ⇒ a( x − x0 ) + b( y − y 0 ) = 0 .
a
b
⎛a b⎞
( x − x0 ) + ( y − y 0 ) = 0 där ⎜ , ⎟ = 1 .
d
d
⎝d d ⎠
a
a
a
| ( y − y0 ) ⇒ y − y0 = n ⋅ , n ∈ Z ⇒ y = y0 + n ⋅
Det följer,
d
d
d
Sedan,
a
b
a
b
a
( x − x0 ) + ( y − y 0 ) = ( x − x0 ) + ⋅ n ⋅ = 0 ⇒
d
d
d
d
d
b
b
⇒ x − x0 + ⋅ n = 0 ⇒ x = x0 − n ⋅
d
d
Q.E.D
Då,
4.5 Aritmetikens fundamentalsats (formulerad tidigare)
4.6 Minsta gemensamma multipel
Definition:
Låt a och b vara två heltal, båda skilda från noll.
Med minsta gemensamma multipel till a och b menar vi det minsta
positiva heltalet m som delas av både a och b.
Vi skriver, m = [a, b]
Exempel:
a = 8, b = 12. Då, [a, b] = 24
Exempel:
[3, 5] = 15
Sats:
Om a, b ∈ Z+ så (a, b)⋅ [a, b] = a⋅b
Exempel:
a = 10, b = 15
Då, (a, b) = 5 och [a, b] = 30
(a, b)⋅[a, b] = 5⋅30 = 150 och a⋅b = 10⋅15 = 150. Stämmer!
4(5)
ICT/COS-Kista
Exempel:
Bestämma [a, b] med primfaktorsuppdelning
a = 100, b = 375
Då, a = 22⋅52 och b = 31⋅53 .
Vi får, [a, b] = 2max(2,0)⋅3max(0,1)⋅5max(2,3) = 22⋅31⋅53 =
= 4⋅3⋅125 = 1500
Exempel:
a = 100, b = 375
Då, a = 22⋅52 och b = 31⋅53 .
Vi får, [a, b] = 2max(2,0)⋅3max(0,1)⋅5max(2,3) = 22⋅31⋅53
(a, b) = 2min(2,0)⋅3min(0,1)⋅5min(2,3) = 20⋅30⋅52
Då, (a,b)ÿ[a,b] = 2min(2,0)⋅3min(0,1)⋅5min(2,3) ÿ2max(2,0)⋅3max(0,1)⋅5max(2,3)=
= 2min(2,0)+max(2,0)⋅3min(0,1)+max(0,1)⋅5min(2,3)+max(2,3)=
= 20+2⋅30+1⋅52+3=(22⋅30⋅52)ÿ(20⋅31⋅53)ÿ= (22⋅52)ÿ(31⋅53)ÿ= a⋅b
(Allmänt gäller min(m,n) + max(m,n) = m + n vilket kan användas för ett bevis av
sambandet (a, b)⋅ [a, b] = a⋅b efter primfaktorsuppdelning av a och b och användning av
min(m,n) + max(m,n) = m + n för primtalsexponenterna analogt med sista exemplet).
Speciellt: Om, (a, b) = 1 fås [a, b] = a⋅b
Definition:
Om (a, b) = 1 sägs a och b vara relativt prima.
Slut!
5(5)
