Vektorer

IX1303 Algebra och geometri HT2011
Elementära metoder och formler 1
Jan-Olof Åkerlund
Detta dokument sammanfattar några av de viktigaste momenten från början av kursen:
Vektorer
Linjer
Plan
Vektorer
Paralella vektorer
Ortogonala vektorer
Linjär kombination av vektorer
v = a1 v1 + a2 v2 ...
Två vektorer
Linjär kombination
Addition av vektorer
a Hx, y, zL + b Ht, u, vL = Ha x, a y, a zL + Hb t, b u, bvL =
Ha x + b t, a y + b u, a z + bvL
(1)
2
formler.nb
Längden (normen) av vektorer
ÈÈ v ÈÈ = ÈÈ Hx, y, zL ÈÈ =
x2 + y2 + z2
(2)
Enhetsvektor
En vektor med längden (normen) 1
ÈÈ u ÈÈ = 1;
x
xnorm =
ÈÈ x ÈÈ
Þ ÈÈ xnorm ÈÈ = 1
(3)
Skalärprodukt
v = Ha, b, cLL; u = Hx, y, zL; v × u = Ha x, b y, c zLL
v × u = ÈÈ v ÈÈ × ÈÈ u ÈÈ CosΦ; där Φ är vinkeln mellan u och v
(4)
(5)
Ortogonala vektorer
u × v = 0 • u och v är ortogonala
(6)
Ortogonal projektion på linje
Linjen L spänns upp av vektorn u,
En ortogonal projektion av v på linjen ges då av
u×v
vL =
u
u×u
(7)
En standardbas för R3
R3 spänns upp av tre ortogonala
enhetsvektorer riktade längs koordinataxlarna
ex = H1, 0, 0L ey = H0, 1, 0L ez = H0, 0, 1L
(8)
Observera att detta inte är det enda sättet att definiera en bas för R3 !
Linjer
Ekvationen för en linje i R2 (normalform)
Ax + By + C = 0
Genom att lösa ut y ur ekvationen kan man få ekvationen på formen y = k x + m
(9)
formler.nb
3
Ekvationen för en linje i parameterform IR2 och R3 M
Vi uttnyttjar då att en linje spänns upp av en vektor v = Hv1 ,v2 ,v3 L som är parallell med linjen.
En linje som går genom en punkt P = Hp1 , p2 , p3 L har då ekvationen
R=P+ tv
där R = Hx, y, zL är en godtycklig punkt på linjen
(10)
Vilket också kan skrivas
Hx, y, zL = Hp1 , p2 , p3 L + t Hv1 , v2 , v3 L
(I R2 skall givetvis vektorerna ha två komponenter, R = Hx, yL , etc. )
(11)
Som kolonvektorer kan vi skriva:
x
y
z
=
p1
p2
p3
+t
v1
v2
v3
(12)
Vi kan också skriva sambandet som tre separata ekvationer som tillsammans beskriver linjen:
x = p1 + t v1
y = p2 + t v2
z = p3 + t v3
(13)
Ekvationen för en linje genom två kända punkter
Använd de kända punkterna för att bestämma vektorn v som är parallell med linjen. Fortsätt sedan som ovan.
Plan
Det finns två metoder att beskriva ett plan:
1. Med hjälp av normalen
2. Med hjälp av två vektorer som spänner upp planet
Med hjälp av normalen
Om vi har planets normal n kan vi unyttja att n är ortogonal mot alla vektorer parallella med planet, och speciellt då alla
vektorer v som ligger i planet.
Ortogonaliteten ger då för ett plan genom origo
n × v = 0 • Hn1 , n2 , n2 L × Hx, y, zL = 0
• n1 x + n2 y + n3 z = 0
(14)
Exempel: Ett plan genom origo med normalen (1,2,3) beskrivs av ekvationen x + 2 y + 3 z = 0
För ett plan som inte går genom origo blir ekvationen
n × v = A • Hn1 , n2 , n2 L × Hx, y, zL = A
• n1 x + n2 y + n3 z = A
Konstanten A kan bestämmas genom att koordinaterna för den kända punkten sätts in i ekvationen
Exempel: Ett plan genom punkten (2,-6,4) med normalen (1,2,3) beskrivs av ekvationen x + 2 y + 3 z = A
x = 2, y = -6 och z = 4 ger då: 2 + 2 H-6L + 3 × 4 = A, dvs )A = 2
Ekvationen för planet är x + 2 y + 3 z = 2
(15)
4
formler.nb
Exempel: Ett plan genom punkten (2,-6,4) med normalen (1,2,3) beskrivs av ekvationen x + 2 y + 3 z = A
x = 2, y = -6 och z = 4 ger då: 2 + 2 H-6L + 3 × 4 = A, dvs )A = 2
Ekvationen för planet är x + 2 y + 3 z = 2
Med hjälp av två vektorer i planet
Om två vektorer v1 och v2 spänner upp ett plan som går genom origo, kan en godtycklig vektor u i planet skrivas som en
linjär kombination:
u = t1 v1 + t2 v2
(16)
Om två vektorer v1 och v2 spänner upp ett plan som går genom punkten P0 , kan en godtycklig vektor u i planet skrivas som
en linjär kombination:
u = P0 + t1 v1 + t2 v2
(17)