CMATD-SG1120 2017-03-17
Tentamen Mekanik SG1120 för CMATD
KTH Mekanik/Thylwe
Skrivtid 4 timmar. Inga hjälpmedel förutom skrivdon.
Problemdel
1.
2.
Två sammankopplade massor m A och mB befinner
sig i jämvikt. Den otänjbara tråd som
sammankopplar massorna har försumbar massa (dvs
ingen egen massa). Massan mB hänger vertikalt,
!
!
utan påverkan av friktion.
Massan
m A ligger an mot
en sträv yta där friktionstalet är µ .
Bestäm största möjliga massförhållandet m A / mB för
!
bibehållen jämvikt. Tyngdaccelerationen g är känd,
!
och riktad nedåt.
(6p)
!
! !
En bil med massan m kör ett varv med konstant effekt
P hos den drivande kraften i en horisontell cirkulär
bana med radien R. Bilen har ingen fart i
startögonblicket. Luftmotståndet är försumbart.
Hur stor blir farten efter ett varv?
(6p)
3.
Betrakta den horisontella krocken i figuren mellan en
bil (massa m) och en buss (massa M>m). Krocken
betraktas som en central, rak stöt utan rotationer.
Fordonen har lika ursprungliga farter.
a) Bestäm bilens hastighet efter en fullständigt
oelastisk kollision.
b) Bestäm bilens hastighet efter en fullständigt
elastisk kollision.
(6p)
4.
En lätt, stel T-format konstruktion med tre
partikelmassor pendlar friktionsfritt kring en fix
upphängningspunkt (O) med vinkelamplituden " .
T-konstruktions länk som sitter fäst i ’O’ har
längden R och den där massornaär trädda på rad har
längden 2r.
!
Bestäm masscentrums (G) fart i nedersta läget.
Tyngdaccelerationen g är riktad nedåt i figuren.
Massorna får ses som partiklar.
(6p)
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Obs: Använd separata ensidiga svarsblad per problemuppgift. Ett svarsblad för
hela teoridelen.
Tentamen Mekanik SG1120 för CMATD
2017-03-17
Teoridel
(OBS! Uppgifterna 1-16 skall redovisas på separat svarsblad.)
Välj det enda rätta alternativet!
1. Vilket av följande uttryck är dimensionslöst? Ledning: m (massa),
a (accelerationens belopp), " (tidsintervall), " (vinkelhastighet), s (sträcka).
!
!
!
!
!
!
!
!
s" 2
a
(b) ma " (c) " s (d) 1/" (e) 1 s (f) "
s
a
" a
!
!
2. Vilken uttryck är korrekt definition av ett kraftmoment med avseende på origo?
F (kraft), r (momentarm
Ledning: r (kraftens läge), !
! mot origo), F (kraftstorlek).
!
!
!
(a) r " F (b) r F (c) r " F (d) "F # r
(e) "F # r (f) F " r
(a)
3. Fullfölj meningen med korrekt alternativ:
! resultant till ett!godtyckligt kraftsystem är alltid
En
!
!
!
!
!
(a) placerad
i masscentrum.
(b) lika med noll om kraftsumman och momentsumman med avseende på origo är
vinkelräta.
(c) en tyngdkraft.
(d) ekvimoment med det godtyckliga kraftsystemet.
(e) lika i två punkter på en stel kropp.
(f) skild från noll om kroppen är i jämvikt.
4. Fullfölj meningen med korrekt alternativ:
Ett kraftsystems resultant i en punkt A och dess resultant i B satisfierar alltid följande
samband mellan kraftsummor, FA respektive FB , och momentsummor, M A
respektive M B :
(a) FA = FB och M A " M B .
(b) FA = FB och M A!= M B .
!
!
(c)
.
F
•
M
"
F
•
M
A
A
B
B
!
(d) FB !
= M A och FA = M B .
(e) FA!
• FB = M A • M B .
(f) FA • M A = FB • M B .
!
5.
Hur är ledkraften riktad? En stång med massa m hålls i jämvikt med en tråd och
en glatt led, enligt figuren. Stången och tråden ligger i figurens plan.
Tentamen Mekanik SG1120 för CMATD
2017-03-17
6. Fullfölj meningen med korrekt alternativ:
För en stel kropps masscentrum gäller …
(a) att dess läge är en punkt i kroppen som alltid har massa.
(b) att dess läge har en xG -koordinat som definierar ett yz-plan sådan att det alltid är
lika mycket massa på vardera sidan av planet.
(c) att det läget ligger på en linje, parallell med kroppens totala tyngdkraft, på vilken
tyngdkraftresultanten består av bara en kraft.
! läget för alla normalkrafters gemensamma resultant.
(d) att det anger
(e) att det läget aldrig rör sig.
(f) att det läget alltid rör sig längs en parabelbana.
7. En partikels acceleration a kan uttryckas med cylinderkomponenters riktningar på
följande sätt:
(a) a = (r"˙˙ + 2r˙"˙) e" + r˙˙ # r"˙2 er + z˙˙ez (b) a = (r˙˙ " r#˙˙) er + r#˙˙ " 2r˙# 2 e# + z˙˙ez
(
!
!
!
)
(
2 !
(c) a = s˙et + v en
(d) a = (r˙˙ + r"˙2 ) er + (r"˙˙ # 2r"˙) e" + z˙˙ez
"
2
(e) a = (˙r˙ " r#˙˙2 ) er + ( r#˙˙ + 2r#˙ 2 ) e#!+ ˙z˙ez (f) a = v˙et + v en
"
)
!
8. Newtons 2:a lag (kraftekvationen) för en rörlig partikel kan se olika ut med
olika val av komponenter. Vilken ekvation avser komponenter i den radiella
!
riktningen?
(a) mx˙˙ = Fkomp , (b) my˙˙ = Fkomp , (c) m r˙˙ " r#˙2 = Fkomp ,
(
)
2
!
!
(d) m(r"˙˙ + 2r˙"˙) = Fkomp , (e) mv˙ = Fkomp , (f) m v = Fkomp .
"
Ledning: m
(partikelmassa),
x,
y,
r,
θ
(lägets
koordinater),
v (fart), Fkomp(radiell
!
!
kraftkomponent), v (partikelns fart), " (rörelsens krökningsradie).
!
9.
!
Hur är accelerationen riktad? En liten hylsa med
!
massa m glider längs en glatt, cirkulär ledstång i
vertikalplanet. Hylsan är på väg upp mot översta läget
av ledstången. Tyngdkraften är riktad nedåt i figurens
plan.
10. En logisk följd av ekvationer, från vänster led, ges i kursens beteckningar
(föreläsningarna) enligt:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
}#
} t1
} t1
} r1
}
&(
#% mv • v &(
mv
•
v
%
T (t1 ) " T (t0 ) = $
"
=
P
dt
=
F
•
v
dt
=
F
•
dr
=
U0*1 .
)
)
)
t0
t0
r0
2 't=t $ 2 't=t
1
0
Vid vilken likhet (ekvation) används definitionen av en krafts effekt?
!
11. En logisk följd av ekvationer (från vänster), för en partikel, ges i kursens
(a)
(c)
(d)
(e)
(f)
} d( r " p) (b)
}
}
}
}
}
˙
˙
˙
= v " p + r " p = r " p = r " F = MO = 0 .
beteckningar av: HO =
dt
Vid vilken likhet används Newtons 2:a lag?
!
Tentamen Mekanik SG1120 för CMATD
2017-03-17
12. Rörelsemängdsmomentet för en partikel är alltid …
(a) riktad mot partikelns läge.
(b) parallell med partikelns hastighet.
(c) en skalär storhet.
(d) riktad som totala kraftmomentet på partikeln.
(e) parallell med partikelns acceleration.
(f) vinkelrät mot partikelns hastighet.
13.
Två partiklar roterar stelt med en viss vinkelhastighet " kring en fix, vertikal z-axel
mitt emellan dem och riktad rakt ut ur figurens plan. Ur figuren kan utläsas
rörelsemängdsmomentet för det stela partikelsystemet. Rörelsemängdsmomentet
kring z-axeln är …
!
(a) 2mr 2" (b) "mr 2# 2 (c) 2mr (d) mr 2" (e) "2mr 2 (f) 2mr 2" 2 .
!
!
!
!
!
!
14.
Om en jämförelse görs mellan att rotera det T-formade, stela partikelsystemet kring O
och kring G; hur stor är skillnaden för motsvarande rörelsemängdsmoment med lika
vinkelhastighet " ?
(a) 0 (b) " 1 mr 2# 2 (c) 1 mR 2" 2 (d) 2mR 2" (e) "2mr 2 v 2 (f) 2mR 2" 2 .
2
2
!
!
!
!
!
!
!
! att ett mekaniskt system satisfierar svängningsekvationen:
15. Antag
2k
!
!
!
˙˙
!x + m x = a , där
! k, m, och a är konstanter.
Svängningsperioden för svängningen är …
(a) 2 m , (b) " m , (c) 2" m , (d) 2" k , (e) 2" k , (f) " m
k
k
2k
m
2m
2k
16. Antag att ett mekaniskt system satisfierar svängningsekvationen:
! x = 0 , där!k och m är konstanter.
!
!
!
x˙˙ + 2k
m
Vilka begynnelsevillkor resulterar i en svängningsamplitud A?
(a) x(0) = A, x˙(0) = A 4m , (b) x(0) = 0, x˙(0) = A 4m ,
k
k
(c) x(0) = A 2m , x˙(0) = 0 ,
k
!
(e) x(0) = 0, x˙(0) = A 2k ,
m
!
!
(d) x(0) = 0, x˙(0) = A 2m ,
k
(f) x(0) = A 2k , x˙(0) = 0 .
m
Tentamen Mekanik SG1120 för CMATD
2017-03-17
Svarsblad
(Markera svar med ett tydligt kryss ’X’ på varje rad)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
Person-nr:__________________________________________________
För- och efternamn (texta):
_______________________________________________________________
Tentamen Mekanik SG1120 för CMATD
2017-03-17
1. Lösning: Inga accelerationer, jämvikt gäller. Friläggning ges i figur.
Betrakta gränsfallet till glidning!
Jämviktsekvationer:
B: Vertikalt: T " mB g = 0 .
A: Normal till ytan: N " m A g cos 60° = 0 .
Dvs N = 1 m A g .
2
!
Upp längs ytan: 1 µm A g + mB g " m A g cos 30° = 0 .
2
!
mA
3 " µ = mB .
! Dvs 2
m
Svar: A " 2 , där högerledet är maxvärdet. !
mB
3#µ
(
2.
!
!
)
!
Lösning:
Bansträckan s är 2"R , men tiden det tar att köra den är
obestämd. N2 ( et ) mv˙ = Ft , samt effektlagen P = Ft v ger
mvv˙ = P . Byte av tidsderivata mot derivata med avseende på
sträckan!s ger: mv 2 dv = P (o), eftersom ds = v .
ds
dt
3
! !
2 dv ! d " mv %
VL i (o) är en total derivata mv
. Primitiva
= $
ds ds # 3 '&
(b.v.)
3
!
! mv = Ps + 0 (1).
funktioner
av VL och HL i (o) ger:
3
! ett varv blir farten v = 6 P"R
Slutligen sätts s = 2"R i (1) och farten löses ut. Efter
m
(SVAR, DIMkoll).
!
(
!
1/ 3
)
!
3. Lösning:
På grund av att kraftpåverkan mellan bil
och buss är ömsesidig ändras inte totala rörelsemängden (impulslagen för totala
systemet).
Fullständigt oelastisk stöt betyder att fordonen fastnar i varandra. Väljer positiv
hastighet åt vänster i figuren.
a)
Stötlag:
före:
efter:
Mv " mv = ( M + m)w , där w är slutfarten.
Dvs sluthastigheten blir w = M " m v (fullst. oelastisk).
M +m
b) Fullständigt elastisk stöt innebär att relativa farten bevaras med ombytt tecken.
!
Stötlag:
Mv " mv = Mw +!m(w + 2v) , där w är bussens fart efter krock.
För bussen: w!= M " 3m v , som medför bilens fart åt vänster:
M +m
M
"
3m
w + 2v =
v + 2v (fullst. elastisk).
M +m
!
!
!
Tentamen Mekanik SG1120 för CMATD
2017-03-17
4. Lösning: Kraftbilden (yttre krafter): Ledkraft (reaktionskraft)+tyngdkraft.
Energiprincipen gäller:
1 I " 2 + 4mgR(1# cos $ ) b.v.
= 4mgR(1# cos % ) .
2 z
I nedersta läget är " = 0 :
1 I " 2 = 4mgR(1# cos $ ) => " 2 = 8mgR (1# cos $ )
2 z
Iz
G rör sig i cirkelbana:
!
2mg
=> vG = R" = 2 R
(1# cos $ ) =
I
! z
g
2R
(1" cos # ) . (Svar)
2
(r + 2 R2 )
!
!
!
!
