MATEMATIK
Karlstads universitet
2010-11-02, kl 8.15-13.15
Hjälpmedel: Inga
Ansvarig lärare: Håkan Granath
Tel: 2181, alt. 0735-37 37 34
Tentamen Matematisk grundkurs, MAGA60
För uppgift 1 skall endast svar lämnas, skriv svaren på det separata svarsbladet.
Poäng ges endast för helt korrekta svar.
1. Följande uppgifter är värda 0.5 poäng vardera:
(a) Bestäm vinkeln mellan vektorerna u = 2i − j och v = −i + 3j.
(b) Förenkla cos(arctan(3)).
(c) Förenkla 26/ ln 4 så långt som möjligt.
(d) Beräkna den aritmetiska summan 1 + 6 + 11 + · · · + 96.
(e) Bestäm f 0 (1) om f (x) = ln(arctan(x3 )).
√
(f) Bestäm (1 − 3i)9 på formen a + bi (med a, b ∈ R).
(g) Bestäm mängden M = {x ∈ N | 5 < x3 < 30}.
(h) Betrakta intervallen A = (−2, 1), B = [−1, 3] och C = (0, 2]. Bestäm
(A ∩ B) ∪ C.
(i) Betrakta följande utsagor om reella tal x:
P : x > 1,
Q : x > 0,
R : x2 > 1.
Vilka av utsagorna A, B, C och D är sanna?
A : P ⇒ Q,
B : P ⇔ R,
C : (Q ∧ R) ⇒ P,
D : R ⇒ P ∨ (¬Q).
x−1
.
(j) Beräkna gränsvärdet lim √
x→1
x+3−2
2x10 ex + 3e2x
.
(k) Beräkna lim
x→∞
e2x + ln x
(l) Man vet att g(x) = ex och (f ◦ g)(x) = x2 . Bestäm funktionen f .
Var god vänd!
Alla uppgifter nedan kräver fullständiga lösningar. För full poäng skall lösningarna vara prydligt nedskrivna, formellt korrekta och lätta att följa.
2. (a) Bestäm ekvation för planet som innehåller punkterna (2, −1, 0), (1, −1, 1)
och (1, −3, 0).
(b) Bestäm kortaste avståndet från origo till planet i (a).
(2p)
(2p)
3. Lös olikheterna
2
3
≤
x−2
x−3
x
(b) ln(e − 2) ≤ x − ln 2
1 2 0
1
4. Låt A = 0 1 −1 och b = −1.
3 8 −1
0
(a)
(1.5p)
(1.5p)
(a) Bestäm inversen till A.
(2p)
(b) Lös matrisekvationen Ax = b.
(1p)
(c) Lös matrisekvationen yA = bT .
(1p)
5. Bestäm lutningen för tangentlinjen till kurvan xy + 1 = y 2 i punkten (2, 3).
√
6. Bestäm inversen till funktionen f (x) = x − 2−1. Ange inversens definitionsoch värdemängder. Rita graferna till f och f −1 i samma koordinatsystem.
7. Bestäm ekvationen för den eller de tangenter till kurvan y = x4 + 1 som går
genom origo.
(2p)
(3p)
(2p)
MATEMATIK
Karlstads universitet
2011-01-10, kl 8.15-13.15
Hjälpmedel: Inga
Ansvarig lärare: Håkan Granath
Tel: 2181, alt. 0735-37 37 34
Tentamen Matematisk grundkurs, MAGA60
För uppgift 1 skall endast svar lämnas, skriv svaren på det separata svarsbladet.
Poäng ges endast för helt korrekta svar.
1. Följande uppgifter är värda 0.5 poäng vardera:
(a) Förenkla arcsin(cos(3π/4)).
(b) Förenkla 2 log3 6 − log3 20 + log3 15 så långt som möjligt.
(c) Bestäm a så att vektorerna u = 2i − aj − 3k och v = 6i + j + ak blir
vinkelräta.
(d) Lös ekvationen 4 sin2 x + 4 cos x = 5.
√
(e) Bestäm f 0 (4) om f (x) = x x .
11
(f) Bestäm binomialkoecienten
.
3
19
1+i
på formen a + bi (med a, b ∈ R).
(g) Bestäm √
2
(h) Sambandet x2 y 3 + y = 2 bestämmer y som en funktion av x. Bestäm
y 0 (1).
(i) Skriv den aritmetiska summan 5 + 9 + 13 + · · · + 997 med summatecken.
(j) Bestäm mängden M = {x ∈ R | x3 = x} ∩ {x ∈ R | x < 1}.
(k) Vilka utsagor om realla tal x är sanna?
A : ∃x : x3 ≥ x2 ,
B : ∀x : x3 ≥ x2 ,
C : ∀x : sin(x) < 2
D : ¬(x < 1 ⇒ x2 < 1)
(l) Bestäm asymptoterna för hyperbeln y 2 − 2y − 4x2 + 8x = 1.
Var god vänd!
Alla uppgifter nedan kräver fullständiga lösningar. För full poäng skall lösningarna vara prydligt nedskrivna, formellt korrekta och lätta att följa.
2. Lös följande ekvationer och olikhet
√
(1.5p)
(a) x + 17 + 3 = x
(b) 2 ln x − ln(6 − x) = ln 3
(1.5p)
x
(c)
≤x
3−x
(d) z 3 − 2iz 2 − 2z = 0.
(1.5p)
(1.5p)
3. Låt L vara linjen som ges av ekvationerna x + 3y = 7 och 2y + z = 4. Bestäm (3p)
ekvation för planet som innehåller L och punkten P = (3, 1, 1).
4. Ekvationssystemet
(2p)
x − 3y − z = −2
2x − 4y + 2z = p
−x + 2y − z = 1
har oändligt många lösningar för ett visst värde på p, vilket? Lös ekvationssystemet för detta värde på p.
2 5
5. Låt A =
. Bestäm matrisen X som uppfyller ekvationen AXA = E .
1 3
(2p)
. Ange inversens denitions6. Bestäm inversen till funktionen f (x) =
3x + 1
och värdemängder.
2x + 1
(2p)
7. Bestäm konstanterna a och b så att funktionen
(3p)
a(x − 1)
√
√
x + 3 − x2 + 3
f (x) = b
x2 + a
|x − 3|
blir kontinuerlig på hela R.
om x > 1,
om x = 1,
om x < 1,
MATEMATIK
2011-11-01, kl 8.15-13.15
Karlstads universitet
Hjälpmedel: Inga
Ansvarig lärare: Håkan Granath
Tel: 2181, alt. 0735-37 37 34
Tentamen Matematisk grundkurs, MAGA60
För uppgift 1 skall
endast svar lämnas, skriv svaren på det separata svarsbladet.
Poäng ges endast för helt korrekta svar.
1. Följande uppgifter är värda 0.5 poäng vardera:
(a) Förenkla
e− ln(arctan 1)
(b) Lös ekvationen
(c) Förenkla
så långt som möjligt.
sin(x) = sin(x + π/4).
tan(arcsin(2/3)).
(d) Beräkna den aritmetiska summan
(e) Bestäm denitionsmängden till
(f ) Bestäm
0
f (2)
om
f (x) = arcsin(2x + 1).
f (x) = ln(1 + xx ).
(g) Bestäm vinkeln mellan vektorerna
√
v = i + 2j + 3k och u = −3i + j − 2k.
x+5−2
.
x→−1
x+1
√
M = {n ∈ Z | n2 < 5} ∩ (−∞, 3].
(h) Beräkna gränsvärdet
(i) Bestäm mängden
11 + 21 + 31 + · · · + 1001.
lim
(j) Negera utsagan För varje positivt heltal
(k) Bestäm
x4 -koecienten
i polynomet
n
är
sin n ≤ 1 −
(x − 2)7 .
(l) Bestäm medelpunkt och halvaxlar för ellipsen
2x2 − 12x + y 2 + 2y + 15 = 0.
Var god vänd!
1
.
20n
Alla uppgifter nedan kräver
fullständiga lösningar. För full poäng skall lösning-
arna vara prydligt nedskrivna, formellt korrekta och lätta att följa.
2. Lös olikheterna
(a)
(b)
3.
2
x
+
≤1
x+1 x+3
ln(3 − ex ) − 2 ≤ x
(1.5p)
(1.5p)
(a) Bestäm ekvationen för planet genom punkterna
(0, 1, 1), (2, −1, −1) och
(2p)
(1, 1, 3).
(b) Visa att skärningslinjen mellan planen
x−y−z = 2
och
3x − 2y = 1
(1p)
är vinkelrät mot planet i (a).
(c) Låt
1 2
A=
3 5
. Lös matrisekvationen
AX + 3E = A.
4. Bestäm lutningen för tangentlinjen till kurvan
(2p)
4 arctan(xy) = πy 2
i punkten
(2p)
(1, 1).
5. Bestäm lösningarna till ekvationen
z 4 + 16 = 0
på formen
z = a + bi
med
(2p)
a, b ∈ R.
6. Låt
f (x) =
x−1
.
x
(a) Visa att
f
är inverterbar och bestäm
(b) Bestäm funktionen
g
(c) Beräkna och förenkla
7. Kurvan
y = ln x
tangentlinje.
så att
f −1 .
(1p)
(f ◦ g)(x) = ex .
(1p)
(f ◦ f ◦ f )(x).
har en tangent som passerar punkten
(1p)
(0, 1).
Bestäm denna
(3p)
MATEMATIK
Karlstads universitet
2012-01-09, kl 14.00-19.00
Hjälpmedel: Inga
Ansvarig lärare: Håkan Granath
Tel: 2181, alt. 0735-37 37 34
Tentamen Matematisk grundkurs, MAGA60
För uppgift 1 skall endast svar lämnas, skriv svaren på det separata svarsbladet.
Poäng ges endast för helt korrekta svar.
1. Följande uppgifter är värda 0.5 poäng vardera:
(a) Förenkla
3a
a+3b2
9b
2a+6b2
3−
så långt som möjligt.
9
(b) Bestäm binomialkoecienten
.
4
(c)
(d)
(e)
(f)
Förenkla log2 (3) log3 (4) så långt som möjligt.
Lös ekvationen sin 2x = sin 3x.
√
Beräkna f 0 (4) om f (x) = ( x)x .
Bestäm (1 − i)6 på polär form.
2e2x + 3e−x
.
x→∞ 4x10 + 5e2x
(h) Bestäm talet a så att vektorerna u = ai − j + ak och v = i + 2j − 4k
(g) Beräkna lim
blir vinkelräta.
(i) Bestäm mängden M = {x ∈ Z | x2 < 5} ∩ {x ∈ Z | 3x + 1 < 5}.
(j) Betrakta följande utsagor om reella tal x:
P : x > 2,
Q : x > −1,
R : x2 > 4.
Vilka av utsagorna A, B , C och D är sanna?
A : P ⇒ R,
B : P ⇔ R,
C : (R ∧ Q) ⇒ P,
D : R ⇒ P ∨ (¬Q).
(k) Beräkna den geometriska summan 2100 + 299 e + 298 e2 + · · · + e100 .
(l) Bestäm asymptoterna för hyperbeln x2 − 2x − 4y 2 − 8y = 4.
Var god vänd!
Alla uppgifter nedan kräver fullständiga lösningar. För full poäng skall lösningarna vara prydligt nedskrivna, formellt korrekta och lätta att följa.
2. Lös ekvationerna och olikheten:
√
(a) 3 − x − 3 =
√
(1.5p)
4x − 3,
2x
≤ x + 3,
x−2
(c) z 2 + 2iz − 5 = 0.
(1.5p)
(1p)
(b)
3. (a) Bestäm ekvation för planet som innehåller punkterna (0, 1, 1), (2, 0, 1)
och (1, 1, 3).
(b) Bestäm kortaste avståndet från punkten (1, 1, 2) till planet i (a).
4. (a) Beräkna gränsvärdet lim
x→2− x3
|x − 2|
.
− x2 − 5x + 6
(b) Bestäm f 0 (x) utifrån derivatans denition om f (x) =
(2p)
(2p)
(1p)
√
x2 + 5 .
√
5. Visa att f (x) = 2x − 1 + 3 är inverterbar och bestäm dess invers. Ange
denitions- och värdemängd för f −1 .
(2p)
(2p)
0 −1 −3
1
6. Låt A = 1 0 3 och b = 2 .
−1 4 10
−3
(a) Bestäm inversen till A.
(b) Lös matrisekvationen Ax = b.
7. Bestäm konstanten a > 0 så att kurvorna xa + xy a = 2 och 2x2 = y 5 + y skär
varandra under rät vinkel i punkten (1, 1).
(2p)
(1p)
(2p)
