Föreläsning 10

Flerdimensionell analys (FMA 430)
Frank Wikström
Föreläsning 10
Implicita funktioner
Oftast studerar vi explicita funktioner, dvs funktioner där vi t.ex. ser y som
en funktion av x, y = f (x). Vanligen har vi en formel för f , till exempel
terar implicita funktionssatsen att antagandet var korrekt, dvs att y är
en funktion av x, åtminstone i närheten av den aktuella punkten.
y = x2.
Man kan förstås göra tvärtom, och fråga sig när x går att se som en funktion
av y. För enhetscirkeln får vi i så fall (med x = x(y))
I andra sammanhang känner vi ett samband mellan x och y, i form av en
ekvation, till exempel
x 2 + y 2 = 1.
(x(y))2 + y 2 = 1
Ibland kan vi lösa denna ekvation med mer eller mindre stort besvär, men
andra gånger är det praktiskt taget omöjligt.
Låt oss titta lite närmare på ekvationen ovan, som vi känner igen som enhetscirklens ekvation.
y
y=
√
2x(y) x ′ (y) + 2y = 0
⇔
x ′ (y) = −
y
x(y)
vilket går bra om x(y) ≠ 0, dvs bortsett från punkter på y-axeln.
Precis samma idé fungerar för funktioner av fler variabler.
Exempel Anta att x y 2 + yz 2 + zx 2 = 25. Går det att lösa ut z som en funktion av x och y i närheten av punkten (1, 2, 3)? Vad blir i så fall z ′x (1, 2) och
z ′y (1, 2)?
1 − x2
y =?
Lösning. Observera för det första att punkten (1, 2, 3) verkligen ligger på ytan.
Vi gör som innan. Låtsas att z är en funktion av x och y, z = z(x, y). Ekvationen blir då
x y 2 + y(z(x, y))2 + z(x, y)x 2 = 25
x
y=−
och derivering med avseende på y ger
√
1 − x2
Derivation med avseende på x respektive y ger
y 2 + 2yz(x, y)z ′x (x, y) + z ′x (x, y)x 2 + 2z(x, y)x = 0
Det är klart att ekvationen inte definierar y som en funktion av x, eftersom
(många) lodräta linjer skär cirkeln i två punkter. Om vi däremot ”zoomar” in
på kurvan nära en punkt, så kan se y som en funktion av x, vi kan till och med
lösa ut y för att få en formel:
y=
√
1 − x2
eller
√
y = − 1 − x2
beroende på om vi tittar nära en punkt i övre eller undre halvplanet. Det är
bara i punkter på x-axeln som detta misslyckas: Oavsett hur mycket vi zoomar
in runt punkten (−1, 0), så kommer det att finnas lodräta linjer som skär
cirkeln i två punkter, dvs det går inte att se y som en funktion av x i närheten
av (−1, 0) eller (1, 0).
Detta faktum går att upptäcka utan att rita någon graf eller att lösa ut y ur
ekvationen. Låt oss låtsas att y verkligen går att skriva som en funktion av x,
dvs vi tänker oss att y = y(x). Cirkelns ekvation blir alltså
och om vi deriverar detta uttryck med avseende på x, så får vi
⇔
Ur dessa ekvationer kan vi lösa ut z ′x respektive z ′y . (För att få lite enklare
uttryck, så skriver vi inte ut z:s och z ′ :s beroende av x och y.)
z ′x = −
2xz + y 2
2yz + x 2
z ′y = −
2x y + z 2
.
2yz + x 2
Ovanstående går bra så länge som 2yz + x 2 ≠ 0. I punkten (1, 2, 3) blir
nämnaren lika med 13 (och på grund av kontinuitet, så är 2yz + x 2 ≠ 0 även
i närheten av punkten (1, 2, 3)). Om vi sätter in x = 1, y = 2 och z = 3, så får
vi slutligen
10
13
13
′
z y (1, 2) = − = −1.
13
z ′x (1, 2) = −
x 2 + (y(x))2 = 1
2x + 2y(x)y ′ (x) = 0
2x y + z(x, y)2 + 2yz(x, y)z ′y (x, y) + z ′y (x, y)x 2 = 0.
y ′ (x) = −
x
y(x)
under förutsättning att y(x) ≠ 0. Slutsatsen vi kan dra av denna beräkning
är att ekvationen x 2 + y 2 = 1 definierar y som en funktion av x förutom i
närheten av punkter där y = 0, dvs i punkter där vi kan lösa ut y ′ (i termer av
x och y), där kan vi också betrakta y som en funktion av x.
Resultatet som garanterar att ovanstående argument är korrekt kallas implcita funktionssatsen. Om du absolut vill se en detaljerad formulering av denna
sats, titta i boken för ett par olika versioner. Jag tycker att det är bättre att
tänkta på implicita funktionssatsen på följande sätt:
Om vi har en ekvation i x och y och vill veta om denna ekvation
definierar y som en funktion av x, gör så här:
Låtsas som att y = y(x) verkligen är en funktion, sätt in i ekvationen
och derivera med avseende på x. Om du kan lösa ut y ′ (x), så garan-
Det går också bra att hantera ekvationssystem.
Exempel Antag att
⎧
⎪
⎪x 4 + y 4 + z 4 = 3
⎨ 2
2
2
⎪
⎪
⎩x + 2y + 3z = 6.
Går det att lösa ut y och z som en funktion av x i närheten av punkten (1, 1, 1)?
Lösning. Observera att skärningen mellan två ytor i R3 i allmänhet är en kurva.
Vi förväntar oss att de flesta kurvor kan beskrivas med en av koordinaterna
som parameter. Vi hanterar detta problem på samma sätt som ovan. Anta att
y = y(x) och z = z(x). Sätt in i ekvationssystemet:
⎧
⎪
⎪x 4 + y(x)4 + z(x)4 = 3
⎨ 2
2
2
⎪
⎪
⎩x + 2(y(x)) + 3(z(x)) = 6.
och derivera med avseende på x:
⎧
⎪
⎪4x 3 + 4(y(x))3 y ′ (x) + 4(z(x))3 z ′ (x) = 0
⎨
′
′
⎪
⎪
⎩2x + 4y(x)y (x) + 6z(z)z (x) = 0.
I punkten (1, 1, 1) får vi
⎧
⎪
⎪4 + 4y ′ (1) + 4z ′ (1) = 0
⎨
′
′
⎪
⎪
⎩2 + 4y (1) + 6z (1) = 0.
⇔
⎧
⎪
⎪ y ′ (1) = −2
⎨ ′
⎪
⎪
⎩z (1) = 1
Eftersom ekvationssystemet var lösbart, så garanterar implicita funktionssatsen att y och z verkligen kan ses som funktioner av x i närheten av (1, 1, 1).
Om vi inte sätter in konkreta värden på x, y och z, så ser vi att ekvationssystemet ovan är lösbart då
4y 3
det [
4y
4z 3
]≠0
6z
⇔
yz(3y 2 − 2z 2 ) ≠ 0.