Lars Madej
[email protected]
Bråting, Sollervall, Stadler: Geometri för lärare
Löwing: Grundläggande geometri
Kiselman: Matematiktermer för skolan
http://www2.math.uu.se/~kiselman/termer12.pdf
Föreläsningar
Lektioner/Seminarier
Från grekiskans
◦ Geo = jord
◦ Metria = mäta
Geometri = ”jordmätning”
Geometri kan beskrivas som studier av
rumsliga samband, dvs vilka egenskaper
figurer har i ett rum.
Elementa är ett verk som sammanfattar den
grekiska antikens matematik. Elementa är
skriven av bland andra Euklides (300 f Kr).
Elementa består av 13 böcker som är
indelade i plangeometri (bok I-VI), aritmetik
(bok VII-IX) inkommensurabla storheter (bok
X), rymdgeometri (bok XI-XIII).
Näst efter Bibeln är Elementa den mest
spridda boken i Västerlandet.
Euklides Elementa, 23 definitioner
En punkt är något som inte kan delas
En linje är längd utan bredd
En linjes ändar är punkter
En rät linje är en linje som ligger jämnt mellan
punkterna på sig själv
◦ En yta har längd och bredd, men saknar tjocklek
◦
◦
◦
◦
En linje?
◦ Vinkel är den lutning som två linjer, vilka ligger i
samma plan, men inte ligger i en rät linje, har till
varandra
◦ När en rät linje stående på en annan rät linje gör
vinklarna på båda sidor om denna lika stora kallas
var och en av dessa vinklar en rät vinkel
◦ En trubbig vinkel är en vinkel större än en rät vinkel
OBS! Skrivet fritt från minnet och inte
ordagrant vad som står i översättningen av
Elementa.
Det är möjligt att dra en sträcka från en punkt till
en annan
En sträcka kan godtyckligt förlängas till en längre
sträcka
Kring varje punkt kan beskrivas en cirkel med
given radie
Alla räta vinklar är lika med varandra
Om en rät linje skär två räta linjer och bildar inre
vinklar på samma sida, vars summa är mindre än
två räta vinklar, så kommer de två räta linjerna,
om de utdras obegränsat, att skära varandra på
den sida de två inre vinklarna ligger
Konstruktion av en liksidig triangel på en
given ändlig rät linje
C
AA
B
Nu lämnar vi Antiken!
Vi kommer till att börja med inte prata om
grader, nygrader eller radianer (eller något
annat vinkelmått).
Begrepp:
◦
◦
◦
◦
◦
Rät vinkel
Trubbig vinkel
Spetsig vinkel
Halvt varv (= två räta vinklar)
Helt varv (= fyra räta vinklar)
Elevexempel från Gunneboskolan
Två trianglar med vinkelsumma ett halvt varv
Tillsammans blir vinklarna ett helt varv!
Vilken vinkelsumma (uttryckt i hela och halva
varv) har en
A. Triangel? Svar: ½ varv
B. Fyrhörning? Svar: 1 varv
C. Femhörning?
D. Sexhörning?
E. Tiohörning?
F. N-hörning? (Dvs beskriv med ord hur du
kan räkna fram vinkelsumman om du vet
antalet hörn)
A.
B.
C.
D.
E.
Vad är en:
Likbent triangel?
Liksidig triangel?
Rätvinklig triangel?
Trubbvinklig triangel?
Spetsvinklig triangel?
Är en liksidig triangel alltid spetsvinklig?
Är en spetsvinklig triangel alltid liksidig?
Är en likbent triangel alltid rätvinklig?
Kan en trubbvinklig triangel vara likbent?
Kan en triangel ha två spetsiga vinklar?
Kan en triangel ha två trubbiga vinklar?
Är vinkelsumman i en triangel ett halvt varv?
Euklidisk geometri:
Postulat 1
Det är möjligt att dra EXAKT
en sträcka från en punkt
till en annan
Gäller detta postulat på
ett klot?
Sadelyta. Bilden hämtad från
http://sv.wikipedia.org/wiki/Paraboloid
Fungerar inte den geometri vi lär oss?
På en begränsad del av ett klot (dvs lokalt)
blir skillnaden så liten att geometrin är nästan
euklidisk
Alltså räknar vi som om jorden vore platt!
Hur kan vi övertyga oss själva och våra elever
om att jorden verkligen är klotformat?
