Formler till nationellt prov i matematik kurs 5

1(8)
Formler till nationellt prov i matematik kurs 5
Algebra
Regler
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
( a − b) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3
(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
( a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a + b)(a − b) = a 2 − b 2
a 3 + b 3 = ( a + b)( a 2 − ab + b 2 )
a 3 − b 3 = ( a − b)( a 2 + ab + b 2 )
x + px + q = 0
Andragradsekvationer
( a + b) =
n
Binomialsatsen
2
p
 p
x = − ±   −q
2
2
2
n
n
n
n
n
n

 
 
 
 
∑  k a n − k b k =  0 a n + 1 a n −1b +  2 a n − 2b 2 + ... +  n b n
k = 0
Aritmetik
Prefix
Potenser
T
G
M
k
h
d
c
m
µ
n
p
tera
giga
mega
kilo
hekto
deci
centi
milli
mikro
nano
piko
1012
109
106
103
102
10-1
10-2
10-3
10-6
10-9
10-12
a a =a
x y
x+ y
a b = (ab)
x x
Logaritmer
Absolutbelopp
14-01-24
ax
ay
x
ax
= a x− y
a
= 
x
b
b
x
(a x ) y = a xy
a− x =
1
an
a0 = 1
=na
y = 10 x ⇔ x = lg y
y = e x ⇔ x = ln y
lg x + lg y = lg xy
lg x − lg y = lg
x
y
1
ax
lg x p = p ⋅ lg x
om a ≥ 0
a
a =
− a om a < 0
© Skolverket
2(8)
Funktioner
Räta linjen
y = kx + m
Andragradsfunktioner
k=
y2 − y1
x2 − x1
y = ax 2 + bx + c
Potensfunktioner
a≠0
Exponentialfunktioner
y = C ⋅ ax
y = C ⋅ xa
a > 0 och a ≠ 1
Statistik och sannolikhet
Standardavvikelse
s=
( x1 − x ) 2 + ( x2 − x ) 2 + ... + ( xn − x ) 2
(stickprov)
n −1
Lådagram
Normalfördelning
Täthetsfunktion
för normalfördelning
14-01-21
f ( x) =
1
σ 2π
1  x−µ 
− 

e 2 σ 
2
© Skolverket
3(8)
Differential- och integralkalkyl
Derivatans definition
f ′(a ) = lim
h →0
Derivator
Kedjeregeln
14-01-24
f ( a + h) − f ( a )
f ( x) − f (a)
= lim
x→a
h
x−a
Funktion
Derivata
x n där n är ett reellt tal
nx n −1
ax ( a > 0 )
a x ln a
ln x ( x > 0 )
1
x
ex
ex
e kx
k ⋅ e kx
1
x
−
sin x
cos x
cos x
− sin x
tan x
1 + tan 2 x =
f (x) + g (x)
f ′(x) + g ′(x)
f ( x) ⋅ g ( x)
f ( x) ⋅ g ′( x) + f ′( x) ⋅ g ( x)
f ( x)
g ( x)
f ′( x) ⋅ g ( x) − f ( x) ⋅ g ′( x)
( g ( x ) ≠ 0)
1
x2
1
cos 2 x
( g ( x)) 2
Om y = f ( z ) och z = g ( x) är två deriverbara funktioner
så gäller för y = f ( g ( x )) att
d y d y dz
= ⋅
y ′ = f ′( g ( x )) ⋅ g ′( x ) eller
d x d z dx
© Skolverket
4(8)
Primitiva
funktioner
Funktion
Primitiv funktion
k
kx + C
x
x n +1
+C
n +1
( n ≠ −1)
n
1
x
ln x + C
ex
ex + C
e
( x > 0)
e kx
+C
k
kx
a x ( a > 0, a ≠ 1)
ax
+C
ln a
sin x
− cos x + C
cos x
sin x + C
Komplexa tal
Representation
z = x + iy = reiv = r (cos v + i sin v) där i 2 = −1
Argument
arg z = v
Absolutbelopp
z = r = x2 + y2
tan v =
y
x
Konjugat
Om z = x + iy så z = x − iy
Räknelagar
z1z2 = r1r2 (cos(v1 + v2 ) + i sin(v1 + v2 ))
z1 r1
= (cos(v1 − v2 ) + i sin(v1 − v2 ))
z2 r2
de Moivres formel
14-01-21
z n = (r (cos v + i sin v)) n = r n (cos nv + i sin nv)
© Skolverket
5(8)
Geometri
Triangel
bh
2
A=
Parallelltrapets
h( a + b)
2
A=
Parallellogram
A = bh
Cirkel
A = πr 2 =
πd 2
4
O = 2 πr = πd
Cirkelsektor
b=
v
⋅ 2 πr
360
A=
br
v
⋅ πr 2 =
2
360
Prisma
V = Bh
Cylinder
Pyramid
V = πr 2 h
V=
A = 2πrh
Bh
3
(Mantelarea)
Kon
V=
Klot
πr 2 h
3
A = πrs
V=
4πr 3
3
A = 4πr 2
(Mantelarea)
Likformighet
Skala
Trianglarna ABC
och DEF är
likformiga.
Areaskalan = (Längdskalan)2
Volymskalan = (Längdskalan)3
a b c
= =
d e f
14-01-24
© Skolverket
6(8)
Topptriangel- och
transversalsatsen
Om DE är parallell
med AB gäller
Bisektrissatsen
AD AC
=
BD BC
DE CD CE
och
=
=
AB AC BC
CD CE
=
AD BE
Vinklar
u + v = 180°
Sidovinklar
w=v
Vertikalvinklar
L1 skär två parallella linjer L2 och L3
v=w
Likbelägna vinklar
u=w
Alternatvinklar
Kordasatsen
Randvinkelsatsen
ab = cd
u = 2v
Pythagoras sats
c2 = a 2 + b2
Avståndsformeln
Mittpunktsformeln
d = ( x2 − x1) 2 + ( y2 − y1 ) 2
xm =
14-01-21
x1 + x2
y + y2
och ym = 1
2
2
© Skolverket
7(8)
Trigonometri
Definitioner
a
c
b
cos v =
c
a
tan v =
b
sin v =
Enhetscirkeln
sin v = y
cos v = x
tan v =
y
x
Sinussatsen
sin A sin B sin C
=
=
c
a
b
Cosinussatsen
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A
Areasatsen
T=
Trigonometriska
formler
ab sin C
2
sin 2 v + cos 2 v = 1
sin(v + u ) = sin v cos u + cos v sin u
sin(v − u ) = sin v cos u − cos v sin u
cos(v + u ) = cos v cos u − sin v sin u
cos(v − u ) = cos v cos u + sin v sin u
sin 2v = 2 sin v cos v
cos 2 v − sin 2 v (1)

cos 2v =  2 cos 2 v − 1
(2)

2
(3)
1 − 2 sin v
a sin x + b cos x = c sin( x + v ) där c = a 2 + b 2 och tan v =
Cirkelns
ekvation
14-01-24
b
a
( x − a ) 2 + ( y − b) 2 = r 2
© Skolverket
8(8)
Exakta
värden
Vinkel v
(grader)
0°
(radianer)
0
sin v
0
cos v
1
0
tan v
30°
π
6
1
2
3
2
1
3
45°
π
4
1
2
1
2
1
60°
π
3
3
2
1
2
90°
π
2
120°
2π
3
3
2
1
−
2
2
1
−
2
3 Ej def. − 3
−1
1
0
135°
3π
4
1
150°
5π
6
1
2
180°
3
2
1
−
3
−1
−
π
0
0
Mängdlära
A ∩ B = {x x ∈ A och x ∈ B}
A ∪ B = {x x ∈ A eller x ∈ B}
A \ B = {x x ∈ A och x ∉ B}
AC = {x x ∈ G och x ∉ A}
Talteori
a ≡ b(mod n) om differensen a − b är delbart med n
Kongruens
Om a1 ≡ b1 (mod c) och a2 ≡ b2 (mod c) gäller att
1.
a1 + a2 ≡ b1 + b2 (mod c)
2.
a1 ⋅ a2 ≡ b1 ⋅ b2 (mod c)
Om a ≡ b (modc) gäller att
3.
m ⋅ a ≡ m ⋅ b (modc) för alla heltal m
4.
a n ≡ b n (modc) för alla heltal n
Aritmetisk
summa
sn = n ⋅
a1 + an
, där a n = a1 + (n − 1) ⋅ d
2
Geometrisk
summa
sn = a1
k n −1
där an = a1 ⋅ k n −1
k −1
Kombinatorik
n!
där 0 ≤ k ≤ n
(n − k ) !
Permutationer
P(n, k ) = n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2) ⋅ ... ⋅ (n − k + 1) =
Kombinationer
 n  P(n, k )
n!
C (n, k ) =   =
=
där 0 ≤ k ≤ n
k!
k!(n − k )!
k 
14-01-21
© Skolverket