HH/ITE/BN
Tillämpad Matematik II, Övning 1
1
Tillämpad Matematik II
Övning 1
Allmänt
Övningsuppgifterna, speciellt Typuppgifter i första hand, är exempel på uppgifter du kommer att möta på tentamen. På denna är
du ensam, så det är viktigt att du klarar av uppgifterna på egen hand! Trots detta rekommenderas och uppmuntras arbete i grupp
samt användning av Mathematica även där endast handräkning förväntas! I lösningsförslagen hittar du oftast både handräkning och
Mathematica, detta för att du ska få träning på båda! Avsaknad av lösningsförslag eller "snåla" sådana ska tolkas positivt som en
inspiration och utmana dig till att fylla igen luckor och verifiera det som är gjort. Ha teorikompendierna till hands, där finns många
lösta exempel.
Uppgifter
Låt
1, 2, 3 ,
1, 4, 2 och
Typuppgifter i första hand
1. Rita
a
b
c
d
e
3
f 3
g 2
3
h 2 2
i 2
2
2. Rita 3
͒
͓
2
.
͒
͓
͔
3. Bestäm
2 och
4 .
4. Bestäm längden av 2 .
5. Bestäm längden av 3
.
6. Ange x-komposanten av
7. Bestäm
,
,
,
8. Beräkna 2
9. Beräkna 5
, samt z-komponenten av
,
.
2
2
och
3
4
.
.
6 samt 5
.
3, 2, 1 .
2
Tillämpad Matematik II, Övning 1
10. Bestäm
2
och
HH/ITE/BN
samt vinkeln dem emellan.
11. Bestäm en enhetsvektor i :s riktning.
12. Bestäm en vektor med längden 5 motsatt riktad .
13. Bestäm en enhetsvektor i riktningen 4 .
14. Bestäm en enhetsvektor i riktningen 3
15. Bestäm en vektor så att
5 .
3 och har samma riktning som .
16. Låt punkterna A och B ha ortsvektorerna
så långt från A som från B.
17. Bestäm vinkeln mellan vektorerna
respektive . Sök koordinaterna för en punkt P som ligger på sträckan AB tre gånger
och .
18. Bestäm vinkeln mellan AB och BC om punkterna A, B, C har ortsvektorerna ,
19. Bestäm vinkeln mellan
2 och .
20. Bestäm s så att vektorn
s blir vinkelrät mot vektorn .
21. Bestäm s så att längden av vektorn
22. Bestäm s så att vektorn
23. Bestäm projektionen av
24. Låt
1
2
s
respektive .
s blir minimal.
2
blir parallell med vektorn
3
3
.
4
på .
vara en enhetsvektor med samma riktning som . Bestäm projektionen av
på .
25. Hur många % längre är :s projektion på än :s projektion på ? Rita!
26. Bestäm en enhetsvektor som är vinkelrät mot
27. Bestäm vektorn
28. Dela upp
om
och
och !
, har längden 3 samt bildar spetsig vinkel med .
i två vinkelräta komposanter varav den ena är vinkelrät mot !
29. Bestäm arean av den parallellogram som som spänns upp av
30. Bestäm arean av den triangel som spänns upp av
och .
och .
31. Bestäm vinkeln mellan diagonalerna i den parallellogram som spänns upp av
32. Bestäm volymen av den parallellepiped som spänns upp av ,
33. Bestäm volymen av den tetraeder som spänns upp av ,
34. Låt
r, 0, 2 och
5, 7, r . Sök r så att a)
35. Bestäm en enhetsnormal till det plan som innehåller
och .
och .
och .
och b)
. Går det?
och .
36. En robot flyttar med kraften
N en motor från en lagerplats till en annan. De två platserna definieras av ortsvektorerna
respektive . Sök det uträttade arbetet.
37. Sök arbetet som uträttas då en kraft på 5 N i riktning
38. En kraft på 8 N är vinkelrät mot
en låda 5 m från origo i riktning ?
39. Kraften
och
flyttar en låda 8 m i riktning
.
och bildar spetsig vinkel med positiva x-axeln. Vilket arbete uträttas om den förflyttar
N angriper i en punkt vars ortsvektor har riktningen
och längden 3 m. Bestäm momentet kring origo.
40. En 5 m lång stång är fast inspänd med ena änden i origo och pekar i riktningen 3, 2, 5 . I andra änden angriper kraften 1000 N
verkande i riktningen 5, 4, 6 . Bestäm momentet med avseende på origo samt en linje genom origo med riktning .
41. Sök avståndet från punkten 7, 1, 3 till den räta linjen som går genom punkterna 0, 1, 0 och 2, 3, 3 .
42. Sök avståndet från punkten 1, 2, 3 till det plan som går genom origo och innehåller
43. Bestäm skärningspunkten mellan linjen
och .
t och planet som går genom punkten 1, 2, 3 och har som normalvektor.
HH/ITE/BN
Tillämpad Matematik II, Övning 1
3
44. Bestäm skärningspunkten mellan linjen
s och det plan som innehåller punkterna 2, 3, 1 , 5, 7, 4 och
45. Bestäm skärningspunkten mellan linjen
s och planet x
2y
4z
3
2, 3, 9 .
0. Sök även vinkeln mellan linjen och planets normal.
46. Låt koordinataxlarna ha enheten km. En båt befinner sig i punkten 8, 4 och håller rak kurs mot punkten 4, 6 med konstant
fart 10 km/h. Bestäm den punkt i vilken båten ska göra en 90 kursändring för att sedan med rak kurs och oförändrad fart segla rakt i
hamn som är beläget i 4, 3 .
47. Bestäm en enhetsnormal till det plan som innehåller
48. Punkten A har
2, 3, 9 .
och .
som ortsvektor. Bestäm sedan A:s spegelpunkt i det plan som innehåller punkterna 2, 3, 1 , 5, 7, 4 och
49. Bestäm ekvationen för det plan som skär planet 2x
50. Bestäm skärningslinjen mellan planen x
linjen.
2y
51. Linjen med ekvationen
s skär planet
som går genom P och som är vinkelrät mot .
52. Sök avståndet i riktning
z
3y
1
z
5
0 under rät vinkel och innehåller linjen
0 och 3x
med ekvationen x
från den punkt som har ortsvektorn
y
2y
2z
2z
4
5
s .
0. Sök även avståndet från punkten 2, 1, 3 till
0 i punkten P. Bestäm ekvationen för den linje i
till det plan som går genom origo och har som normalvektor.
53. Bestäm det kortaste avståndet mellan rymddiagonalen i en kub med sidan a och en av sidoytornas diagonaler som inte skär
rymddiagonalen.
54. Bestäm ekvationen för det normalplan till planet x
55. En vektor bildar vinkeln
Π
3
y
2z
1 som innehåller linjen
x 1
2
y 3
3
z 2
.
1
med två av basvektorerna i ett ON-system i rummet. Vilken vinkel bildar den med den tredje
basvektorn?
56. Dela upp vektorn 1, 1, 1
i två vinkelräta komposanter varav den ena är vinkelrät mot planet x
57. Beräkna spegelbilden av punkten 1, 1, 6 i planet 2x
58. Punkterna A och B med ortsvektorerna
59. Låt ,
och
vara tre vektorer i
3
respektive
. Om nu
2y
z
0 och
0 medför det då allmänt att
3
2
3
͒
2
͓
61. Bestäm längden av 2 .
62. Bestäm längden av 3
63. Beräkna 5
.
.
64. Bestäm en enhetsvektor i riktningen 3 .
65. Bestäm en vektor så att
4 och har samma riktning som
66. Bestäm vinkeln mellan vektorerna
och .
0.
är varandras spegelbilder i ett visst plan. Sök ekvationen för detta plan!
60. Rita
a
2
b 2
c 3
e
f
z
1.
Extrauppgifter i andra hand i mån av tid
d
2y
.
0? Bevis eller motexempel!
4
Tillämpad Matematik II, Övning 1
67. Bestäm s så att vektorn
HH/ITE/BN
s blir vinkelrät mot vektorn .
68. Bestäm s så att vektorn
1
3
69. Bestäm projektionen av
på .
s
2
2
blir parallell med vektorn
.
1
5
70. Bestäm arean av den triangel som spänns upp av
och .
71. Dela upp i två vinkelräta komposanter varav den ena är parallell med planet som spänns upp av
72. Sök arbetet som uträttas då en kraft på 6 N i riktning
och !
flyttar en låda 2 m i riktning .
73. Bestäm momentet kring origo om kraften N verkar i en punkt vars ortsvektor är 15 m lång och har samma riktning som .
74. Sök avståndet från punkten 2, 1, 3 till den räta linjen som går genom punkterna 1, 1, 0 och 2, 3, 3 .
75. Bestäm skärningspunkten mellan linjen
t och planet som går genom punkten
76. Bestäm skärningspunkten mellan linjen
1, 3, 2 och har
som normalvektor.
s och det plan som går genom origo och innehåller linjen
77. Bestäm de punkter på z-axeln, som ligger lika långt från planen 12x
9y
20z
15
0 och 4x
78. Bestäm ekvationen för det plan genom punkten 1, 1, 1 som är vinkelrät mot planen x
79. Bestäm det plan som går genom punkterna 1, 1, 6 och
y
z
3z
1
2, 3, 1 och som är parallell med linjen
10
t .
0.
0 och 2x
y
z
1
s .
Fördjupningsuppgifter i tredje hand eller inte alls
80. Bestäm det kortaste avståndet mellan linjerna
s och
t .
81. Låt
och vara givna vektorer.
Sök sedan vektorerna och så att
2
3
5 .
5
Rita ut dem
͒
͓
82. En partikel rör sig längs kurvan
3 y
z
4
t
t 10
, cos t , sin t . Sök den punkt i vilken hastigheten är parallell med planet
0. Ange även accelerationen i denna punkt.
0.
