Majid Gorbani
[email protected]
CT3620
Mälardalens Högskola
13 oktober, 2005
___________________________________________________________________________
1
SAMMANFATTNING
Under 700- och 800-talen nådde den islamiska kulturen sin höjdpunkt efter den arabiska
anfallet från Kina och Persian enda ner till del av Europa. De områden som intogs bildade en
ganska enhetlig blandkultur. De samlade in alla länders kunskap kunde erbjuda, Från Indien
hämtades det mesta av siffersystemet, de tog också intryck från Persien. De ägnade sig åt
naturvetenskap och blev framstående inom astronomi, matematik, kemi och medicin.
Det rika kulturarvet gick förlorat i Västeuropa men levde kvar och utvecklades i Orienten
samt i den arabiska världen. Det var från de här områdena som den västeuropeiska kulturen
hämtade nya impulser.
Att Al-khwarizmi spelade en viktig roll inom den moderna matematiken och datavetenskap är
det inget tvivel om. Han är en viktig länk för matematikens utveckling och räknekonst som
har rötter från bland annat gamla Indien, Persien och Grekland. Han skrev många böcker och
introducerade de aritmetiska beräkningar, samt skrev böcker inom matematiken. Han skrev
bland annat en bok som kallades (Al -Jabr Va al-muqabala), som idag vi kallar den Algebra
och införde regler på hur man löser matematiska problem bland annat andragradsekvationer.
Efter Al-Khwarizmi, ungefär 400 år senare Omar Khayyam utvecklade Al-Khwarizmis arbete
och införde ytterligare nya ekvationer. Han införde också regler för att lösa
tredjegradsekvationer.
___________________________________________________________________________
2
INNEHÅLLSFÖRTECKNING
1
2
3
4
5
6
Introduktion ........................................................................................................................ 4
Vetenskapen, Religion och Makt ....................................................................................... 4
2.1
Bagdad ........................................................................................................................ 4
2.2
Europa, en isolerat kontinent ...................................................................................... 4
Al-Khwarizmi..................................................................................................................... 5
3.1
Aritmetisk ................................................................................................................... 6
3.2
Al-Khwarizmis algebra .............................................................................................. 7
Omar Khayyam................................................................................................................... 9
SLUTSATS ...................................................................................................................... 10
REFERENSER ................................................................................................................. 11
___________________________________________________________________________
3
1
Introduktion
År 622, då profeten Muhammed flydde från Mecka till Medina, startade ett ny skede inom
orienten och arabvärden. Redan under tiden han levde, inleddes en snabb utvidgning från den
arabiska halvön, och under hans närmaste efterträdande, kaliferna Abu-Bakr och Umar
erövrades Syrien och det Sasanidiska riket i persian. Araberna i början av 700 talet nådde ända
ner till Spanien. Perser efter många år motstånd besegrades slutligen mot den arabiska
invasionen, i öster av Persien (Khwarizm) genomfördes nu betydligt mer brutalt och till slut
det persiska imperiet föll. År 715 möttes den arabiska och kinesiska trupper vid slaget vid
Talas (nu Uzbekistan), där sattes stopp på den arabiska expansionen.
Samtidigt ledde spänningarna inom Centralasien och nordöstra Iran till ett uppror mot
araberna, som slutade med ett blodbad och massaker. De få efterlevande flydde så långt bort
de kunde bland annat till Spanien, och så småningom en ny arabisk ätt kom till makten
”Abbasiderna”. Det var i Bagdad allt vetenskap kom att ha sitt blomstrande tider under flera
århundraden framöver. Där möttes araber, syrier, perser, och indier som förmedlade sina
kulturers kunskap. [Johansson04]
2
2.1
Vetenskapen, Religion och Makt
Bagdad
Staden Bagdad, inte långt från det forna persiska centrat Ctesiphon (uttalas Tisfon),
grundlades år 762, och kalifen (ledare) al-Mansur förlade huvudstaden dit. Detta innebar att
centrum för det arabiska väldet nu låg i det forna persiska området. Även makteliten hade
starka persiska band; Abbasidernas släkt kom från Iran, det de hade flyttat i samband med den
arabiska erövringen. Därefter blev det officiella språket arabiska och det var till detta språk
(och inledningsvis också till syriska) som översättningarna av de grekiska och indiska verken
kom att uträttas och de senare stora vetenskapliga verken skrevs.
Att använda termen ”arabiska matematik” för den matematiska vetenskap som skrevs behöver
inte innebära att författarna var araber, framför allt under den senare perioden var många av de
bland annat från Persien och några arbeten skrevs också på persiska [Johansson04].
Den snabba expansionen av imperiet var avslutad och den nya härskande ätten hade behov av
kunskaper för administrationen. De vetenskapliga områden som först kom att vinna insteg
tycks dock ha varit inom medicin, alkemi, astrologi och matematik.
2.2
Europa, en isolerat kontinent
Efter när Romariket föll med undantag av några få storstadscentra, i ett barbari som man
kunde tro att 1200 års romerskt styre skulle ha ”civiliserat bort” för alltid. Under kyrkans
ledning hamnade europierna i en primitiv fundamentalism med återföljande intolerans och
fientlighet mot sekulariserat vetande. Bibeln auktoritet och den absoluta tilltron till ett fåtal
favoriserade ”hedningar” som Aristoteles förkvävde inte bara all ny kunskap som tycktes
___________________________________________________________________________
4
strida mot den uppenbarade sanningen utan också själva forskarandan, människornas
intellektuella nyfikenhet [Johansson04].
Men däremot i arabvärden med sitt hela utsträckta välde inrättade araberna bibliotek,
observatorier och forskningsinstitutioner. Med utgångspunkt i Koranens ord: ”Han har skapat
himmel och jord för att uppenbara sin sanning” [McLeish91] föresatte sig de arabiska
vetenskapsmännen att registrera allt vetande som människorna hade samlat och själva
utveckla det vidare. De gjorde upp omfattande program för publicering av sina egna
vetenskapliga och matematiska verk och för översättning av skrifter från persika, kinesiska
och grekiska och andra språk.
3
Al-Khwarizmi
Muhammad ibn Musa Al-Khwarizmi, som var född 780 , död 850, persisk matematiker. Han
var ursprungligen från Khwarizm. Den latinska stavningen av hans namn varierar AlKhwarazmi, Al-Khwarizmi, Al-Khowarizmi, Al-Chorezmi. [1]
Under kalifen al-Mamuns herravälde var han bosatt i staden Bagdad. Det var där han skrev
sina böcker och utförde sina astronomiska upptäckter. [1]
Det finns inte så mycket skriven om Al-Khwarizmi liv men han är mest känd via de verk som
finns kvar från honom. Bland dessa verk kan man bland annat se två aritmetiska arbeten, ett
berömt verk om algebra och ett trigonometriskt arbete. I de europiska länderna är han, som
nämnts tidigare, mest känd för att han fått ge namn åt "algoritm". En algoritm är systematisk
procedur som beskriver hur man genom ett begränsat antal steg utför en beräkning eller löser
ett problem. I de nya vetenskapliga samhällena används algoritmerna främst inom matematik
och datavetenskap. [2]
Al-Khwarizmis insatser fick utomordentligt stor betydelse för matematikens utveckling. Hans
bok om aritmetik introducerade exempelvis de arabiska siffror I Europa och inledde en
process som slutade med att de nio arabiska siffrorna och tecknet för noll blev ett utvecklade
ämnet.
Hans verk omfattar bland annat två aritmetiska arbeten (varav ett finns bevarat i latinska
översättningar), ett berömt verk om algebra och ett trigonometriskt arbete.
För att nämna några böcker som han har författat: [McLeish91]
Hesabolhend: som förklarar det indiska beräkningssystemet, översattes av Edgar Bath
för första gången till latin, översättningen av denna skrift heter Algorithmi de Numero
Indorium. Sedan översatte Rosen denna bok från latin till engelska, år 1831. Den
engelska versionen bevaras idag i Oxfords bibliotek, det arabiska originalet är dock
försvunnet.
Al -Jabr Va al-muqabala: En annan bok, som västerländerna känner via dess
översättning till latin ”algebra”, är "al Jabr va moghabelah". Till skillnad från
"Hesabolhend" är originalet till "al Jabr va moghabeleh" inte förkommet.
Zidj: är historiens äldsta arabiska bok om astronomi som är bevarad till sin helhet, de
astronomiska tabellerna i denna bok är till stor del påverkad av Batlamis astronomiska
tabeller.
Sorat-ol-arz: boken om Aritmetiskt beräkningar.
___________________________________________________________________________
5
3.1
Aritmetisk
Aritmetik är en gren inom matematiken som innefattar elementära egenskaper hos speciella
aritmetiska operationer på tal. De traditionella operatorerna är addition, division,
multiplikation, och subtraktion; även om mera avancerade operatorer, såsom exponenter och
kvadratrötter, är del av detta fält. Aritmetik utförs enligt en operatorordning.[3]
Det finns två manuskripten om aritmetisk som brukar kallas ”Dixit algorizmi” som betyder i
latinsk ”algorizmi har sagt” som ena är bevarat i Cambridge och den andra som nyligen
påträffats i New York. Både är utgivna och finns i översättning från latinskt till tyska (Folkerts
& Kunitzsch 1997) som är troligen är kopierats under 1200 talet från en nu okänd 1100talsöversättning. Det arabiska verket finns inte kvar. Dixit algoritm behandlar det decimala
positionssystemet. I New York manuskriptet finns alla siffror utskrivna. [Johansson04]
Manuskriptet inleds (översätts efter Folkerts & Kunitzsch 1997): [Johansson04]
Dixit algorizmi behandlar det decimala positionssystemet. I Cambridge manuskriptet
förekommer de indiska siffrorna bara mycket sporadiskt. Bara siffrorna 1, 2, 3, 5 och 0
förekommer, på övriga platser har kopisten lämnat en lucka för symbolen. I New Yorkmanuskriptet finns däremot alla siffror utskrivna. Det inleds sålunda (övers. efter Folkets &
Kunitzsch 1997) se bild1: [Johansson04]
Al-khwarizmi har sagt: Låt oss lovprisa Gud, vår Herre och vårt bistånd,
[---]
Att han leder oss på den rätta vägen och på sanningens väg och att han hjälper
oss i vår goda avsikt i det som vi har beslutat framlägga och förklara om
indiernas räknesätt med ix skrivtecken, genom vilka de på grund av sin
enkelhet och korthet framställa samtliga tal, på det att detta arbete må göra det
lättare för den som bemödar si om aritmetiken, det vill säga om såväl mycket
stora som mycket små tal och allt det som uppträder bland dess vid
multiplikation och division, men också om sammanräkning och fråndragning
et cetera.
Sedan presteras siffrorna:
Det gjorda ix skrivtecken, vars former är dessa: 9 [8 7 6 5 4 3 2] 1.
Bild
1: Ett
exempel på hur Al-Khwarizmi skrev sina verk
Manuskriptet i helhet är delad i olika kapitel som bland annat behandlar:
Utvidgning och för minskning (Capitulum augmentationis)
Hur man bör fördubbla eller halvera ett tal
Multiplikation (Capitulum in Multiplicatione)
Division (Capitulum division)
Bråk (fractiones)
___________________________________________________________________________
6
3.2
Al-Khwarizmis algebra
Al-Khwarizmis berömda algebra, som kom att få en enorm genomslagskraft i den arabiska
matematiken från 800-talet och framåt och senare, från 1100-talet, också i Europa som jag har
nämnt tidigare, heter ”Kitab al-mukhatasar fi alhisab al-jabr va al-muqabala” (Kort Bok om
Beräkning med Återställande och Reduktion). Denna bok finns idag kvar i några arabiska och
persiska handskrifter (en från 1342 finns i Oxford) samt i handskrifter som går tillbaka på
latinska översättningar av Robert av Chester (1145) eller av (troligen) Gerad av Cermona
(mitten av 1100-talet). Det är i detta verk vi första gången möter termen algebra, som ungefär
betyder att ”återställa” termerna i en ekvation. Redan ganska tidigt har termen gradvis fått den
generella innebörd som den har idag. [Johansson04]
Boken inleds med ett avsnitt som behandlar lösning av ekvationer. Det är här vi finner det
algebraiska innehållet. Här introduceras de grundläggande termerna, som sedan återkommer i
alla följande algebraiska verk. Därefter följer lösningsregler för de sex typer av ekvationer
som vi ska gå lite längre ner i rapporten. Efter att algebraiska förenklingsregler presenteras
följer ett trettiotal enkla problem som löses med hjälp av reglerna. Efter ovannämnda avsnitt
presenteras den praktiskt inriktade matematiken, som består av tre regler och slutligen
kommer det största avsnitt i hela arbetet som behandlar problem i anslutning till exempelvis
uppdelningen av arvtagarna bland släktet efter barnens kön och ålder enligt den islamiska
regeln! Andra användningsområde var till exempel avtal, friköpta slavar med mera, allt som
sagt enligt den tidens arabiska regler.
Termen algebra ”al-jabr” menade Al-Khwarizmi att återställa eller komplettera ekvationernas
både sidor så att negativa termer ”återställs”. Se exempel nedan:
X^2 – 7 = 3 X^2 + 4X = 10
Termen al-mugqabala används för det slags förenkling, reduktion, av en ekvation som innebär
att en term som finns med i båda sidor av en ekvation kan elimineras se i exemplet nedan:
[Johansson04]
X^2 + 7X= 3X + 5 X^2 + 4X = 5
Och när jag betraktade vad människorna önskar av räknekonsten, fann jag att
det alltid är ett tal. Och jag fann att varje tal är uppbyggt av enheten och att
enheten ingår i alla tal.
[---]
Och jag fann att de tal som man behöver i beräkning med återställande och
reduktion är av tre slag. De är RÖTTER och KVADRATER och ENKLA
TAL inte relaterad till ROT och inte KVADRAT. Och ROT är det ting som
ska multipliceras med sig själv, och består av enheten eller av det som är över
Den av talen eller det som är under den av bråken. Och KVADRATEN är
allt det som förenas av ROTEN multiplicerad med sig själv. Och det
ENKLA TALET är allt det som kan uttalas av tal utan referens till ROT
eller KVADRAT.
Bild 2: Ett exempel på hur Al-Khwarizmi skrev sina verk
___________________________________________________________________________
7
Med bråk menade han att det finns tal som är mindre än 1. Rot är den ”obekanta” tal i
ekvationen som senare i Europa betecknades som x.
Al-khwarizmi med denna begreppsapparatur urskiljer sex huvudtyper av ekvationer och
formulerar för var en av dem en Algoritm som ger lösningar för varje enskild matematiska
problem, dvs. Den positiva roten, Negativa tal eller noll förkommer inte som lösning.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
kvadrat är lika med rötter, ax^2 = bx
kvadrater är lika med tal, ax^2=c
rötter är lika med tal, bx = c
rötter och kvadrater är lika med tal, ax^2 + bx = c
kvadrater och tal är lika med rötter, ax^2 +c = bx
rötter och tal är lika med kvadrater, bx + c = ax^2
Regel nummer 1 är en förstagrads ekvation och nummer 6 är en andragradsekvation!
[McLeish91]
I allmänhet dessa både operationer, al-jabr och al-muqabala, var de första stegen i den
algoritm som al-khwarizmi utvecklade för lösningen i andragradsekvation.
Ett exempel visar att hur det går till att beräkna en matta med okänd bredd som har längden 10
enheter skär av ett stycke med arean 21 kvadratenheter så att det återstår, och att vi vill veta
hur bred mattan är [se bild 3]. Först ritar man en bild av problemet. Den obekanta storheten är
bredden. Han kallade den för Roten.
Om man läser problemet och visar det med hjälp av beteckningar så får vi fram ekvationen:
B^2 + 21 = 10B. Detta problem kan lösas med beräkningsmetod nummer 5 ovan
(andragradsekvation).
Problemet definieras som
följande:
B gånger B plus 21 är lika
med 10 gånger B
21 kvadratenheter
10
B
B
Bild 3: en matta med okända bredden
___________________________________________________________________________
8
4
Omar Khayyam
Omar Khayyam matematiker, poet, astronom föddes 1048 i Nishapur, Iran och dog i samma
stad året1122. En stor del av sitt liv var han på resande fot, innan han fyllde 26, arbetat han i
observationerna i städer som Samarkand, Isfahan (Iran), Rei (Iran), Merv (Iran), och andra
centralasiatiska städer. Senare utnämndes han till hovastronom hos sultanen Alp Arsalan och
kunde under återstoden av sitt liv stanna hemma i sin födelsestad och ägna sig åt astronomi,
matematik och poesi.
Under sin vistelse i Samarkand skev Khayyam en bok om algebra som påminde mycket om
Al-Khwarizmi. Senare skrev han en kommentar till Euklides och en avhandling om metoder
för beräkning av kvadratrötter och andra talrötter. [Johansson04]
Trots att al-khwarizmis bok om algebra redan var omkring 400 år gammal när Khayyam
började sitt arbete, hade man ännu inte dragit någon klar gräns mellan aritmetik och algebra.
Med andra ord båda var hjälpmedel för att finna värdena på obekanta tal genom at relatera
dem till bekanta tal. Omar Khayyam definierade formellt algebran som användningen av
ekvationer för att finna de obekanta talen med hjälp av fullständiga polynom. (Med polynom
menas ett matematiskt utrycks som innehåller bokstavsbeteckningar för variabler som kan ha
en eller flera potenser.) [Johansson04] Till skillnad från grekerna accepterade han även de
”irrationella” talen (tal som inte kan uttryckas som bråk, exempelvis kvadratroten ur 2)
[Johansson04]. Det unika i hans insats var emellertid att han delade in ekvationerna i 25 olika
typer istället för Al-Khwarizmis 6 ekvationer [se avsnitt 4.2].14 av dessa 25 typer var
förknippade med nya metoder som fick nya algoritmer som byggde på de så kallade
kägelsnitten. Dessa kunde representeras av andra gradekvationer, som stod för sådana
geometriska figurer som cirkeln, ellipsen, parabeln och hyperbeln eller för tredimensionella
kroppar som kuben, dodekaeder och tetraeder. Det var Omar Khayyam som kunde hitta regler
för att kunna lösa tredjegradekvationer.
Khayyams matematiska verk blev kända mycket sent i Europa. Hans algebra översattes först
under mitten av 1800-talet. Hur kom det sig att Khayyams verk inte översatte till latinskt
under 1100- och 1200-talet? Det grundläggande skälet är kanske, att den matematiska
kunskapen i Europa vid denna tidpunkt, stod på en så låg nivå, att intresset helt fokuserade på
äldre och mer elementära verk, som Al-Khwarizmis algebra från 825-talet vilken översattes
till latin under 1100-talet. [Johansson04].
Men Omar Khayyam är inte bara känd för sitt matematiska verk utan för sina oerhört vackra
poesier som jag personligen tycker mycket om. Hans poesi som kallas för ”robaiyat” handlar
mest om liv och död, vin och kärlek. Han ställer skönheten och lyckan i nuet mot död och
förintelse. Han påminner att livet är för kort. Avslutningsvis ska vi njuta av Omar Khayyams
vackra poesi.
Drick vin, ty fyllest får du sofva under leran;
Förutan tröstare och vän, kamrat och maka.
Märk! Yppa denna gömda hemlighet för ingen:
”Den vissnade tulpanen blommar aldrig mer.”
När, på vårens första dag, molnet sköljer Tulpanens Kind,
Så upp med dig ur sömnen! Gjut med frejdigt mod, i Bägarna Vin!
Denna blomsterprakt, som idag är din ögonfägnad
Skall i morgon, oförminskad, spira upp ur stoftet efter dig.
Av Omar Khayyam [Johansson04]
___________________________________________________________________________
9
5
SLUTSATS
Östervärdens främsta bidrag till matematiken och naturvetenskaperna gjorde under islams
storhet i Bagdad där alla gamla kunskapen samlades och utvecklades. Deras omfattande
program för översättning till arabiska av perser, indier, greker och egypter räddade vad som
ännu fanns kvar och gjorde det tillgängligt för vetenskapen i framtiden. Denna kunskap blev
grunden till en vetenskaplig revolution i Europa på 1400- och 1500-talet. Bortsätt från det
kunde de också utveckla nya grenar inom matematik, till exempel algebra och trigonometri.
Det har påpekats att många som hänför förtjänsten av ett märkligt framsteg inom ”arabiskt”
matematik i själva verket var perser (bland annat Al-Khwarizmi, Omar Khayyam), egypter
och judar som har bidragit till allt dessa framsteg och upptäckter.
Al-Khwarizmi var en av de många (kanske 100-tals vetenskapsmän) som har varit ett
bidragande till utvecklingen av matematiken.
Arabernas tre viktiga insatser var: [McLeish91]
Uppfann och spred kunskap om decimalsystemet. De utvecklade positionsmetoden för
representation av tal.
Öppnade de våra ögon för att såväl bråk och heltal som alla andra slag av tal kan
inordnas under samma allmänna lagar. Och presenterade de negativa talen och
behandlingen av rötter och potenser.
Visade att olika slag av talsystem inte bara är möjliga utan också utbytbara. Vi får
samma resultat oavsett om vi använder decimalsystem eller binärtsystem
Det skulle vara omöjligt utan Al-Khwarizmis enorma bidragande arbete och andra
matematiker som fortsatte hans arbete som (Omar Khayyam).
”Bagdad, de östra och västra arabiska kalifaten… [var] som de båda ändpunkterna i ett
jättelikt interkontinentalt system … mellan vilka den intellektuella strömmen … strömmen …
flöt … genom ett enda arabiskt språks supraledande kabel … strömmen gick, om vi fullföljer
liknelsen, från öster till väster därför att Orienten i allmänhet var sändaren och Västerlandet
mottagare. Karl Menniger[4]”. [McLeish91]
___________________________________________________________________________
10
6
REFERENSER
[McLeish91] John McLeish, “Matematikens kulturhistoria”, publisher: ScandBook AB, page
148-160, ISBN 0747509212
[Johansson04] Bo Göran Johansson, “Matematikens historia”, Publisher: Studentlitteratur,
page 148-160, ISBN 0747509212
[1] Wikipedia entry: Al-Khwarizmi, http://en.wikipedia.org/wiki/Khwarizmi (cited 051008)
[2] Wikipedia entry: Algorithm, http://sv.wikipedia.org/wiki/Algoritm (cited 051002)
[3] Wikipedia entry: Aritmetik, http://sv.wikipedia.org/wiki/Aritmetik (cited 051011)
[4] Wikipedia entry: Karl Meninger, http://en.wikipedia.org/wiki/Karl_Menninger (cited
051001)
___________________________________________________________________________
11
