1 av 9
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Beroende och oberoende vektorer
n- dimensionella vektorer
Vi kan utöka vektorbegrepp och betrakta rader ( eller kolonner) med n reella element som
n-dimensionella vektorer. Mängden av alla sådana vektorer betecknar vi
och kallar
vektorrummet
.
⎡ − 3⎤
⎢4⎥
r ⎢ ⎥
r
T ex betraktar vi u = (1, 2, 0, 8, 4) och v = ⎢− 2⎥ som 5 dimensionella vektorer.
⎢ ⎥
⎢4⎥
⎢⎣ 8 ⎥⎦
DEFINITION: Vektorrummet
är mängden av alla reella n-tipplar (ordnade listor
med n reella tal) dvs
⎡ a1 ⎤
⎢a ⎥
n
( om vi skriver vektorer på kolonnform )
R = { ⎢ 2 ⎥, där a1 , a 2 , , a n ∈ R }
⎢M⎥
⎢ ⎥
⎣a n ⎦
eller, om vi använder radvektorer,
= {( , , … . , ) ä , … . ,
∈ }
------------------------------------------------------------------------------------------------Två vektorer
=( ,
,…,
) ℎ = ( ,
= omochendastom
=
,…,
,
)är lika
=
, … ℎ
=
Vi definierar addition av två vektorer och multiplikation med en reell skalär (tal)
enligt nedan
( ,
,….,
) + ( ,
( ,
Nollvektorn i rummet
,….,
) = (
) = (
+
,
,
+
,….,
,….,
)
är (0,0, … . ,0).
=( ,
Längden av en vektor
,….,
,…,
) ℎ = ( ,
,…,
= ( , , … , )definieras som
| | = ( ) + ( ) + ⋯ + ( ) Skalärprodukt ( dot product) definieras på följande sätt:
∙
=
+
+⋯
)
+
)
2 av 9
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Beroende och oberoende vektorer
Uppenbart gäller | | = √ ∙
Vi säger att två vektorer i
, ℎ är vinkelrätta ( normala eller ortogonala) om
∙ = 0.
Anmärkning: Vektorprodukt definieras endast för 3-dimensionella vektorer
Vektorerna
= (1,0,0, … ,0),
= (0,1,0, … ,0),
= (0,0,1, … ,0),
…
= (0,0,0, … ,1)
( som vi också kan skriva som kolonnvektorer)
⎡1 ⎤
⎢ ⎥
r ⎢0 ⎥
,
e1 =
⎢M⎥
⎢ ⎥
⎣0 ⎦
⎡0 ⎤
⎡0 ⎤
⎢1 ⎥
⎢0 ⎥
r ⎢ ⎥
r
,L , en = ⎢ ⎥
e2 =
⎢M⎥
⎢M ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣0 ⎦
⎣1⎦
kallas för STANDARDBASEN i Rn. Dem är enhetsvektorer och parvis ortogonala (
vinkelräta) mot varandra.
Varje vektor ( , , … , )kan uppenbart skrivas som en linjär kombination av
basvektorerna:
( ,
,…,
) = Exempel a)
(2,3,4) =2(1,0,0) +3(0,1,0)+4(0,0,1)=2
+
+3
+ ⋯+
+4
Exempel b)
⎡ 1 ⎤ ⎡1 ⎤
⎡0 ⎤
⎡0 ⎤ ⎡0 ⎤
⎢ 2 ⎥ ⎢0 ⎥
⎢1 ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ = 1⎢ ⎥ + 2 ⎢ ⎥ − 4 ⎢0⎥ + 3⎢0⎥ =
⎢ − 4 ⎥ ⎢0 ⎥
⎢0 ⎥
⎢1⎥ ⎢0⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ 3 ⎦ ⎣0 ⎦
⎣0 ⎦
⎣ 0 ⎦ ⎣1 ⎦
+2
−4
+ 3 3 av 9
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Beroende och oberoende vektorer
⎡1 ⎤
⎢ ⎥
r
r ⎢ − 2⎥
Uppgift 1. Låt v =
. Bestäm två enhetsvektorer som är parallella med v .
⎢0 ⎥
⎢ ⎥
⎣2⎦
r
Lösning: | v |= 1 + 4 + 0 + 4 = 3 .
r
Vi har två enhetsvektorer som är parallella med v :
⎡ 1 ⎤ ⎡ 1/ 3 ⎤
⎡ 1 ⎤ ⎡ − 1/ 3⎤
⎢− 2⎥ ⎢− 2 / 3⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎥
1 r
1⎢ ⎥ ⎢
−1 r
− 1 ⎢− 2⎥ ⎢ 2 / 3 ⎥
⎥
=
och r v =
=
r v =
|v |
|v |
3⎢ 0 ⎥ ⎢ 0 ⎥
3 ⎢0⎥ ⎢ 0 ⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎣ 2 ⎦ ⎣ 2/3 ⎦
⎣ 2 ⎦ ⎣− 2 / 3⎦
Uppgift 2. Bestäm alla vektorer som är vinkelräta ( ortogonala) mot både ℎ
⎡1⎤
⎡1 ⎤
⎢1⎥
⎢0 ⎥
r
r
där u = ⎢ ⎥ v = ⎢ ⎥ .
⎢0 ⎥
⎢1 ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣1⎦
⎣ 2⎦
⎡x⎤
⎢ y⎥
r
Lösning: Låt c = ⎢ ⎥ vara en vektor som är vinkelrät( ortogonal)
⎢z⎥
⎢ ⎥
⎣ w⎦
r r
Då är u ⋅ c = 0 dvs x + y + w = 0 och
r r
v ⋅ c = 0 dvs x + z + 2w = 0 .
För att finna alla sådana vektorer löser vi systemet (t ex Gaussmetoden)
+w=0
+w=0
⎧x + y
⎧x + y
⇒ ⎨
⇒
⎨
+ z + 2w = 0
− y+z+w=0
⎩x
⎩
( två ledande var x, y och två fria w och z )
Låt w = t , z = s ; då
y = s + t , x = − s − 2t
⎡ x ⎤ ⎡− s − 2t ⎤
⎢ ⎥ ⎢
⎥
r ⎢ y⎥ ⎢ s + t ⎥
Härav c =
=
, där s och t är godtyckliga ( reella) tal.
⎢z⎥ ⎢ s ⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎣ w⎦ ⎣ t ⎦
⎡− s − 2t ⎤
⎢ s+t ⎥
⎥.
Svar: ⎢
⎢ s ⎥
⎢
⎥
⎣ t ⎦
4 av 9
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Beroende och oberoende vektorer
LINJÄRA KOMBINATIONER AV VEKTORER
Låt , , … vara k skalärer och , , … ,
k vektorer.
Ett utryck av följande typ
+
kallas en linjär kombination av vektorer
+ ⋯+
, , … ,
.
Exempel 1.
Beräkna linjära kombinationen -3u + 10v
⎡1 ⎤
⎡5 ⎤
⎢ 2⎥
⎢ 2⎥
⎢
⎥
där u =
v=⎢ ⎥
⎢1 ⎥
⎢1 ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ 3⎦
⎣0 ⎦
⎡1 ⎤
⎡5⎤ ⎡ 47 ⎤
⎢ 2⎥
⎢2⎥ ⎢ 14 ⎥
⎢
⎥
Svar: –3u + 10v = − 3
+ 10⎢ ⎥ = ⎢ ⎥
⎢1 ⎥
⎢1 ⎥ ⎢ 7 ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ 3⎦
⎣0 ⎦ ⎣ − 9⎦
Exempel 2.
Skriv, om möjligt, vektorn w som en linjär kombination av vektorerna
⎡1⎤
⎡ 2⎤
⎢1⎥
⎢ 2⎥
⎢
⎥
u=
, v=⎢ ⎥
⎢1⎥
⎢1 ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣3⎦
⎣1 ⎦
då
⎡7⎤
⎡7 ⎤
⎢7⎥
⎢7 ⎥
⎢
⎥
a) w =
b) w = ⎢ ⎥
⎢5⎥
⎢5⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣11⎦
⎣ 4⎦
Lösning:
a) Vi kollar om systemet w= xu+yv har några lösningar på x och y.
⎡1⎤
⎡2⎤ ⎡ 7 ⎤
⎢1⎥
⎢2⎥ ⎢ 7 ⎥
x⎢ ⎥ + y ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⇒
⎢1⎥
⎢1 ⎥ ⎢ 5 ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣3⎦
⎣1 ⎦ ⎣11⎦
Till slut x = 3, y = 2
⎧x + 2 y = 7
⎪x + 2 y = 7
⎪
⇒
⎨
x
+
y
=
5
⎪
⎪⎩3x + y = 11
⎧x + 2 y = 7
⎪y = 2
⎪
[Gauss elim] ⎨
⎪0 = 0
⎪⎩0 = 0
5 av 9
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Beroende och oberoende vektorer
Svar a) w= 3u+2v
b) Vi kollar om systemet w= xu+yv har några lösningar på x och y.
xu+yv = w implicerar
⎡1⎤
⎡ 2 ⎤ ⎡7 ⎤
⎢1⎥
⎢ 2 ⎥ ⎢7 ⎥
⎢
⎥
x
+ y⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⇒
⎢1⎥
⎢1 ⎥ ⎢ 5 ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣3⎦
⎣1 ⎦ ⎣ 4 ⎦
Svar b)
⎧x + 2 y = 7
⎪x + 2 y = 7
⎪
⇒
⎨
⎪x + y = 5
⎪⎩3 x + y = 4
[Gauss elim]
⎧x + 2 y = 7
⎪y = 2
⎪
⎨
⎪0 = −19
⎩⎪0 = 0
[ingen lösning]
Vektor w kan inte skrivas som en linjär kombination av u och v.
LINJÄRT BEROENDE OCH OBEROENDE VEKTORER
Definition
Låt V vara ett vektorrum t ex . Vektorerna ,
, … är LINJÄRT OBEROENDE om
+
+ ⋯+
= ⇒ =
= = 0.
( dvs ekvationen har endast den triviala lösningen)
=============================
Vektorerna , , … LINJÄRT BEROENDE om ekvationen
+
+ ⋯+
= (
)
har icke triviala lösningar ( dvs om det finns en lösning där minst ett ≠ 0 ) och därmed
minst en vektor bland ,
,…
är en linjär kombination av andra vektorer.
==============================
,…
är beroende vektorer då är minst en av skild från 0, då kan vi
Om ,
uttrycka vektor som en linjär kombination av andra vektorer. Därför begrepp
BEROENDE vektorer.
Om vi t ex i relationen (
)får ≠ 0 då är
−1
=
(
+ ⋯+
)
dvs vektor
,… .
" beror" av andra vektorer. Vi säger att
Exempel 3.
Är följande tre vektorer linjärt oberoende?
är en linjär kombination av
6 av 9
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
⎡0 ⎤
⎡0 ⎤
⎢1 ⎥
⎢0 ⎥
⎢
⎥
r
r ⎢ ⎥
u = ⎢0⎥ v = ⎢1⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢0 ⎥
⎢1⎥
⎢⎣2⎥⎦
⎢⎣1⎥⎦
Lösning:
Beroende och oberoende vektorer
⎡0 ⎤
⎢0 ⎥
r ⎢ ⎥
och w = ⎢1 ⎥ .
⎢ ⎥
⎢0 ⎥
⎢⎣2⎥⎦
r r r
Enligt definitionen, vektorerna u , v , w är linjärt oberoende om ( och endast om)
ekvationen
r
r
r r
xu + yv + zw = 0 (*)
har endast den triviala lösningen x=0, y=0, z=0.
⎡0 ⎤
⎢1 ⎥
⎢ ⎥
x ⎢0 ⎥ +
⎢ ⎥
⎢0 ⎥
⎢⎣2⎥⎦
⎡0 ⎤
⎡ 0 ⎤ ⎡0 ⎤
⎢0 ⎥
⎢ 0 ⎥ ⎢0 ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
y ⎢1 ⎥ + z ⎢ 1 ⎥ = ⎢ 0 ⎥ ⇒
⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢1 ⎥
⎢ 0 ⎥ ⎢0 ⎥
⎢⎣1⎥⎦
⎢⎣2⎥⎦ ⎢⎣0⎥⎦
0
=0
⎧
⎪
=0
x
⎪⎪
⎨ y + z =0 ⇒
⎪ y = 0 =0
⎪
⎪⎩2 x + y + 2 z = 0
x = 0, y = 0, z = 0 ,
Alltså har ekvationen (*) endast den triviala lösningen x=0, y=0, z=0 och därför är
r r r
vektorerna u , v , w oberoende.
Exempel 4.
a) Är följande tre vektorer linjärt oberoende?
b) Om vektorerna är beroende bestäm maximalt antal linjärtoberoende vektorer bland
dem.
c) Om vektorerna är beroende skriv en vektor som en linjär kombination av andra
vektorer
⎡1 ⎤
⎡1 ⎤
⎢1 ⎥
⎢ ⎥
r ⎢ ⎥ r ⎢ 2⎥
u=
v=
⎢0 ⎥
⎢0 ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ 2⎦
⎣1 ⎦
Lösning:
⎡3⎤
⎢ ⎥
r ⎢4⎥
och w =
.
⎢0 ⎥
⎢ ⎥
⎣5 ⎦
r r r
Vektorerna u , v , w är oberoende om ( och endast om) ekvationen
7 av 9
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Beroende och oberoende vektorer
r
r
r r
xu + yv + zw = 0
har endast den triviala lösningen x=0, y=0, z=0.
x + y + 3z = 0
⎡1 ⎤
⎡1 ⎤
⎡ 3 ⎤ ⎡0 ⎤
⎢1 ⎥
⎢ 2⎥
⎢ 4 ⎥ ⎢0 ⎥
x + 2 y + 4z = 0
⇒
x⎢ ⎥ + y ⎢ ⎥ + z ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⇒
⎢0⎥
⎢0⎥
⎢ 0 ⎥ ⎢0 ⎥
0=0
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
2 x + y + 5z = 0
⎣ 2⎦
⎣1 ⎦
⎣ 5 ⎦ ⎣0 ⎦
( Vi byter plats på tredje och fjärde ekv.)
⎧ x + y + 3z = 0
⎧ x + y + 3z = 0
⎧ x + y + 3z = 0
⎪x + 2 y + 4z = 0
⎪
⎪
y+z =0
y+z =0
⎪
⎪
⎪
⇒
⇒
⎨
⎨
⎨
0=0
⎪2 x + y + 5 z = 0
⎪ −y−z =0
⎪
⎪⎩
⎪⎩
⎪⎩
0=0
0=0
0=0
Systemet är lösbart, med två ledande variabler x, y och en fri variabel, z=t.
Lösbart system och minst en fri variabel implicerar oändligt många lösningar.
( z = t , y = – t, x = – 2t )
I vårt fall betyder detta att vektorerna är linjärt beroende.
r
r
r r
r r r r
c) xu + yv + zw = 0 ⇒ −2tu − tv + tw = 0 för alla t. Vi förkortar med t eller t ex
substituerar t=1och får en linjär kombination
r r r r
− 2u − v + w = 0
r
r
r
r r
r
( d v s w är en linjärkombination av u och v )
Härav w = 2u + v
r r r
Svar a) Vektorerna u , v , w är beroende.
b) Maximalt antal linjärt oberoende vektorer bland dem är 2 ( 2 ledade variabler) .
r
r r
c) w = 2u + v
Exempel 5.
a) För vilka värden på talet k är följande tre vektorer linjärt oberoende?
b) Bestäm om det finns ett värde på talet k så att vektorerna blir beroende och, för detta
k, uttryck en vektor som en linjär kombination av två andra vektorer.
⎡1 ⎤
⎡1 ⎤
⎡ 3⎤
⎢k ⎥
⎢ 2⎥
⎢5 ⎥
r
r
r
u = ⎢ ⎥ v = ⎢ ⎥ och w = ⎢ ⎥ .
⎢0⎥
⎢0 ⎥
⎢0 ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣2⎦
⎣1 ⎦
⎣ 4⎦
Lösning: r r r
Vektorerna u , v , w är oberoende om ( och endast om) ekvationen
r
r
r r
xu + yv + zw = 0
har endast den triviala lösningen x=0, y=0, z=0.
8 av 9
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
⎡1 ⎤
⎢k ⎥
x⎢ ⎥ +
⎢0⎥
⎢ ⎥
⎣2⎦
Beroende och oberoende vektorer
x + y + 3z = 0
⎡1 ⎤
⎡ 3 ⎤ ⎡0 ⎤
⎢ 2⎥
⎢ 5 ⎥ ⎢0 ⎥
kx + 2 y + 5 z = 0
⇒
y⎢ ⎥ + z⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⇒
⎢0 ⎥
⎢ 0 ⎥ ⎢0 ⎥
0=0
⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
2x + y + 4z = 0
⎣1 ⎦
⎣ 4 ⎦ ⎣0 ⎦
( Vi byter plats på tredje och fjärde ekv.)
⎧ x + y + 3z = 0
⎪kx + 2 y + 5 z = 0
⎪
⇒
⎨
⎪ 2x + y + 4z = 0
⎪⎩
0=0
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪⎩
x + y + 3z = 0
( 2 − k ) y + (5 − 3k ) z = 0
⇒
− y − 2z = 0
0=0
( Först multiplicerar vi tredje ekv med –1.
Därefter byter vi plats på andra och tredje ekv.)
x + y + 3z = 0
⎧
⎪
y + 2z = 0
⎪
⇒ [ -(2-k)*ekv 2 +ekv 3 ]
⎨
−
+
−
=
(
2
k
)
y
(
5
3
k
)
z
0
⎪
⎪⎩
0=0
⎧ x + y + 3z = 0
⎪ y + 2z = 0
⎪
= ⎨
⇒
(
1
−
k
)
z
=
0
⎪
⎪⎩
0=0
Nu har vi följande två fall:
a) Om k ≠ 1 ( vi kan dela med 1-k) har systemet exakt en lösning, den triviala lösningen
z=0 , y= 0 , x=0 och därmed är vektorerna oberoende.
b) Om k= 1 blir systemet
⎧ x + y + 3z = 0
⎪ y + 2z = 0
⎪
⇒
⎨
0
=
0
⎪
⎪⎩
0=0
I det här fallet har vi en fri variabel z och därmed har systemet oändligt många lösningar
9 av 9
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Beroende och oberoende vektorer
x = −t
y = −2t
z=t
och därmed är vektorerna beroende
Vi kan skriva ( om vi t ex väljer t=1 och därmed x= –1, y= -2 och z= 1)
r
r r r
− u − 2v + w = 0
r r
r
eller t ex w = u + 2v
r
r r
r
Kontroll: Om vi substituerar k=1 i vektorn u , ser vi direkt att relationen w = u + 2v
stämmer för vektorerna
⎡1 ⎤
⎡1 ⎤
⎡ 3⎤
⎢1 ⎥
⎢ 2⎥
⎢ ⎥
r ⎢ ⎥ r ⎢ ⎥
r ⎢5 ⎥
u=
v=
och w =
.
⎢0 ⎥
⎢0 ⎥
⎢0 ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ 2⎦
⎣1 ⎦
⎣ 4⎦
Exempel 6.
Låt u och v vara två linjärt oberoende vektorer i ett vektorrum V.
Bestäm om a och b är linjärt oberoende där
i) a = u + v och b = u – v
ii) a = u + v och b = 2u +2 v
i)Lösning:xa+yb=0⇒ ( + ) + y( – ) = ⇒ ( + y) + ( − y) = (∗)
Eftersom och ärenligtantagandeoberoende(*)ärmöjligtendastom
+ = 0
− = 0
Systemetharendastdentrivialalösningenx=0ochy=0.
Därförära och b linjärt oberoende vektorer.
ii)Lösning:xa+yb=0⇒ ( + ) + y(2 + ) = ⇒ ( + 2y) + ( + 2y) = (∗)
Eftersom och ärenligtantagandeoberoende(*)ärmöjligtendastom
+ 2 = 0
+ 2 = 0
Systemetharoändligtmångalösningar(x=–2tochy=t)
Därförära och b linjärt beroende vektorer.
Anmärkning: Det är uppenbart att = 2 .
