2007 Pedagogiska Fakulteten Åbo Akademi i Vasa Lars Burman 50
642210.2 : 5 sp : 40 h 0
13
100
110
0
12
60
70
[GEOMETRI] 10
0
2
0
3
0
80 17
0
1
40
6
01
5
0
14
0
80
90
100 1
10
12
0
80 7
13
0
0
60
50
170 180
160
0
15
10 0
0
20
4
1
30
0
4
1. Geometriska Transformationer Algebra: Geometri: funktioner = avbildningar transformationer = avbildningar tal tal punkter punkter I skolan behandlas kongruens (avbildningar) och likformighet (savbildningar). Vi betecknar kongruens med och likformighet med ~. Egentligen är likformigheten ett specialfall av kongruensen. Vanligen används koordinatsystem. Anteckning: Axiom i geometrin 1) Euklides Geometri (330 f.Kr.) • 23 definitioner, postulat, axiom, satser 2) Icke Euklidisk Geometri • Hyperbolisk Geometri (imaginär geometri) ‐ Bolyai ‐ Lobatjevskij • Elliptisk Geometri • Kaos Geometri Geometri i skolan 1) Euklidisk Geometri, eget skolämne • Axiom, satser, bevis 2) Ny matematik (1960‐ till 1970‐talet) • Mängder, avbildningar • Hög abstraktionsnivå 3) Nuläge • Euklidisk renässans? (deduktion) • Laborativ geometri (induktion) • Problemlösning • Små forskare Läroplanen säger: Åk 1‐2 Åk 3‐5 Åk 6‐9 former, bygga, rita, rymdgeometri, grundbegrepp mängder, skala, vinklar, klassificering, cirklar, laboration beräkningar, samband, begrepp, cirkeln, kroppar, Pythagoras sats, konstruktioner, enhetsbyten Geometri 642210.2 Sida 2 Exempel: 1)
2)
3)
4)
5)
6)
spegling i en linje translation = parallellförskjutning rotation spegling i en punkt sträckning (förstoring och förminskning) spiralsymmetri LIKFORMIGHETSAVBILDNING ISOMETRI LIKSTÄLLHETSAVBILDNING SPIRALSYMMETRI SPGLING I EN LINJE TRANSLATION ROTATION STRÄCKNING SPEGLING I EN PUNKT Egenskaper för likformighetsavbildningar ‐
‐
‐
‐
en likformighetsavbildning bevarar sträckors förhållanden och vinklars storlek en isometri bevarar sträckornas längder en likställighetsavbildning transformerar varje sträcka i en parallell sträcka en spiralsymmetri bevarar en fixpunkt och en omloppsriktning (orientering) Påståenden ‐
‐
‐
‐
en translation är både en isometri och en likställdhetsavbildning en rotation är både en isometri och en spiralsymmetri en sträckning är både en likställighetsavbildning och en spiralsymmetri en spegling i en punkt är en rotation (180°) och en sträckning Vidare gäller bl.a. att ‐
‐
‐
en spiralsymmetri utgör en sammansättning av rotationer och sträckningar en spegling i en linje kastar om omloppsriktningen transformationer som bevarar omloppsriktningen kallas med ett gemensamt namn likformighetsavbildningar (de är translationer eller spirasymmetrier) Geometri 642210.2 Sida 3 Gruppstruktur Mängden av alla translationer bildar en grupp med avseende på kompositionen ” sammansättning av avbildningar”. Motsvarande grupper fås också för mängden av alla Rotationer kring en given punkt direkta isometrier spiralsymmetrier speglingar i en given linje likformighetsavbildningar. sträckningar likställighetsavbildningar direkta likformighetsavbildningar isomerier Praktiska exempel med spegling 1) Experimentell spegling • Vik ett papper invid en färgfläck. Där du viker kommer det att bildas en symmetriaxel 2) Spegling i ett rutigt papper • Rutorna i pappret underlättar ritningen av en exakt spegelbild. Vi kan utnyttja symmetri – jämför med hur du ritar en parabel. 3) Jämför spegling i en linje med rotation • Man kan inte avgöra om en sträcka speglats i en linje eller om den roterat. Det behövs ett ”knä” på sträckan för att avgöra den saken. y
10
5
-10
-5
5
10
x
-5
-10
4) Dubbel spegling • Spegla en vektor två gånger efter varandra i två olika punkter. Denna transformation kan också beskrivas som en parallellförskjutning. 5) Spegling i en spegel • Vänster blir höger och höger blir vänster, upp förblir upp och ner förblir ner. Egentligen är det fråga om spegling i ett plan. Geometri 642210.2 Sida 4 6) Biljardbord • Tänk dig att bordet speglas så att 2 x 4 bord uppstår. Ett denna spegling kan man rita kulornas väg som räta linjer: 7) Spegling med bokstäver (versaler) • Spegla bokstäver och bestäm symmetriaxlar och symmetricentrum. Symmetriaxel: A B C D E H I K M T U V X Symmetricentrum: H I N O S Z A B
S N
Geometri 642210.2 Sida 5 Problemlösning med transformationer Lös följande problem med hjälp av transformationer: 1. Två godtyckligt stora cirklar skär varandra. Låt A vara den ena gemensamma punkten. Rita en linje genom A så att det längs linjen faller två lika långa kordor till vardera cirkeln. Lösning: Använd spegling i en punkt. (den streckade cirkeln är speglingen) C
B
A
2. Givet en triangel ABC och en sträcka a. Inskriv i triangeln en sträcka som är lika lång som och parallell med a. Lösning: Använd parallellförskjutning. B
C
A
3. Inskriv en kvadrat i en triangel. (Kvadraten får börja från triangelns bas) Lösning: Börja med en liten kvadrat (ABCD) och sträck den sedan tills den är inskriven i triangeln (EFGH). H
G
D
C
~
Geometri 642210.2 A
E
B
F
Sida 6 4. Givet en cirkel och två linjer som tangerar den (utan att för den skull vara parallella). Konstruera en cirkel som tangerar linjerna och den givna cirkeln. Lösning: Dra bisektrisen till AOB. Då fås C och D. Sammanbind D med B. Upprita CE II DB. Alternativ 1: Dra mittpunktsnormalen till CE Alternativ 2: Dra en normal genom E till OB. Då fås P. En lösning har P som medelpunkt och PC som radie. B
E
D
O
C
A
5. P är en fix punkt på cirkeln, Q är en variabel (fritt rörlig) punkt på samma cirkel och R är mittpunkten på sträckan PQ. Bestäm orten för R. Lösning: (Orten är en punktmängd där varje punkt uppfyller samma givna villkor). Eftersom PR = ½ PQ oberoende av hur Q väljs utgör orten för R den cirkel som är likformig med den givna i skalan ½. Här används sträckning med mittpunkten P. R är i detta fall på den lilla cirkelns periferi. Q
Q
Q
Q
Q
Q
Geometri 642210.2 Q
Q
Q
Q
P
=R
Sida 7 6. Triangeln ABC transformeras med hjälp av en spiralsymmetri så att punkten A är fix och punkten B förskjuts längs linjen genom sträckan BC. Bestäm orten för punkten C. Lösning: C
~
A
~
B
C'
C och C’ befinner sig längs samma linje oberoende av valet av B. B'
Orten för C är en linje. 7. Givet tre linjer ℓ₁, ℓ₂ och ℓ₃, som skär varandra i en punkt, samt en punkt A på en av dessa tre linjer. Rita en triangel ABC som har de givna linjerna som bisektriser till vinklarna. När saknas lösningar? Lösning: Spegla A i ℓ₃ resp. ℓ₂ Då fås A’ resp. A’’ Sammanbind A’ och A’’ Skärningspunkterna med ℓ₂ och ℓ₃ är då B resp. C. Problemet saknar lösningar om två av linjerna är (vinkelräta mot) varandra. linje 3
linje 2
B
A''
linje 1
A
C
A'
Geometri 642210.2 Sida 8 2. Matriser Vid en geometrisk transformation erhåller de givna punkter i planet som berörs av transformationen nya koordinater. Matriser kan användas för att beskriva hur en bestämd transformation påverkar dessa punkter. Exempel: a) Sträckning Sträckning är en enkel transformation. Multiplikation av en vektor med ett tal. T.ex. 2 sträckning i skalan 2 b) Translation Addition av två vektorer. Definition: En (tvådimensionell) m x n – matris bastår av m x n tal som är ordnade i m rader och n kolonner. 1
4
Exempel: 2
, 0
6
3
0
, 0
2 x 2 matriser Definition: ₁
₁ ₁
₂
₂
₂
Varje 2 x 2 matris svarar mot en tvådimensionell geometrisk transformation där origo lämnas invariant. ₁
= ₂
₁
₂
linjär transformation Exempel: Vilken vektor erhålls då matrisen 2
1
3
4
= 4
2
₁
₂
9
= 12
2
1
3
opererar på 4
= 5
₁
₂
= affin transformation Geometri 642210.2 Sida 9 Man definierar produkter av matriser så att de svarar mot sammansättning av transformationer. ₁
₂
₁
₂
= ₁
= ₂
₁
₁ ₂
₁
₂
₂ ₂ = Definition: Definition: 1) Produkten av en skalär (tal) och en matris Exempel: =
2) Summan av två matriser ₁
₁
₁
₁
₂
₂
₂
₂
₁
₁
₂
₂
₁
₁
₂
₂
En sträckning i skalan k kan med en matris beskrivas så här: ₂
= ₁
₂
₁
₂
₁
₂
Denna matris beskriver sträckning i skalan k Specialfall: 1
0
0
kallas enhetsmatris 1
0
0
0
kallas nollmatris 0
Geometri 642210.2 Sida 10 Uppgifter: 1)
Lösning: 3
2
1
1
3
2
2
2
2)
Lösning: 3
2
1
1
3
1
0
2
1
1
1
0
9
6
+ 3)
Lösning: 3
2
1
1
1
1
+ 4)
Lösning: 7 3
42 2
3
5
21
2 12
12 8
1
6
3
2
7
1
12
24
7
1
2
4
21 4
3 8
7
1
2
4
4
40
1
6
14
20
3
= 2
19
23
25
5
15
63
39
15
13
5
Märk: Trots att man utgår från samma matriser (bara omsvängda) i början blir inte resultatet 0. (härav följer att) Ordningen när man multiplicerar matriser är viktig. Geometri 642210.2 Sida 11 5)
cos sin
cos sin
cos
cos
Lösning: sin
sin
sin
sin
sin
cos
cos
cos
cos
cos
sin
cos
sin
sin
sin cos
sin cos
0
0
0
0
6)
3
1
2
5
1
4
1
2
3 8
1 20
3 4
1 10
11
19
7
9
7)
0
0
1
0
0
1
Vi definierar determinanten. Det är det som man får om man beräknar värdet av en matris. Huvuddiagonalen kallas och sidodiagonalen kallas . Om man multiplicerar dessa och beräknar skillnaden av dem får man ett tal som kallas determinant, dvs. i matrisen . Determinanten brukar skrivas med två streck (istället för parenteser) eller med ett ”det” före. 1
Om vi definierar får vi dvs. determinanten av matrisen , . Geometri 642210.2 Sida 12 8) Bestäm den inversa matrisen till a.
5
3
3
2
5
3
3
2
1
5 2
2
3
3 3
1
1
3
5
2
3
3
5
2
3
3
5
:
2
3
3
5
10 9
6 6
1
0
15 15
9 10
0
1
. . .
å b.
6
4
1
8
6
36
6
4
32
1
4
8
6
6
4
1,5
2
1 1,5
8
6
:
1
4
6
4
8
6
6
4
1
4
8
6
36 32
24 24
48 48
32 36
1 4
4 0
0
4
1
0
0
1
9) Bestäm 1
3
2
4
1
4
6
4
3
2
1
1
2
4
3
2
1,5
2
1
1
0,5
: 1
2
4
3
2
1
1
3
2
4
1
2
4 6
3 3
8 8
6 4
1
2
2
0
0
2
1
0
0
1
Geometri 642210.2 Sida 13 3. Avbildningar med matriser Affina transformationer a) bevarar skärande linjer som skärande b) bevarar parallella linjer som parallella c) sträckors längd och vinklars storlek behöver inte ens vara definierade Definition: I ett Euklidiskt plan ₁
₁ ₂
₂
₂
definieras den skalära produkten av vektorerna ₁
som det reella talet ₁ ₂
₁ ₂ Definition: Längden av vektorn är | |
Definition: Vinkeln mellan vektorerna ₁ och ₂ bestäms av √ ·
cos
₁ · ₂
| ₁| · | ₂|
₁· ₂
| ₁| · | ₂| · cos | ₁|
| ₁|
| ₂|
| ₂|
Likformighetsavbildningen 1) sträckors förhållanden bevaras 2) Vinklars storlek bevaras samma omloppsriktning cos
ombytt omloppsriktning cos Geometri 642210.2 Sida 14 Härledning: ₁
₁
₁
₁
₁ ₁
₁ ₁
₁ ₁ ₂
₂
₂
₂
₂
₂
₂
₂
₂ ₂ ·
·
·
·
|·|
|
₁ · ₂
|
·
||
|
|
| ₁|·| ₂|
| ₁| · | ₂|
·
₁ · ₂ Olikheter bör därför gälla för godtyckligt valda x₁, y₁, x₂, y₂ d.v.s. ₂ 0
För att lösa detta görs en ansats: Sätt cos
cos
sin
sin
Geometri 642210.2 0
0
2 2 Sida 15 · cos
0 d.v.s. cos
sin
cos
sin
Uppfyller ekvationssystemet och leder till att och skiljer sig från varandra med 90° . 1 ä
ex. .
0 Rotationen β efterföljs av rotationen α: cos
sin
sin
cos
cos
sin
sin
cos
cos cos
sin cos
cos
sin
sin sin
cos sin
cos sin
sin sin
sin cos
cos cos
Om β = α har man: cos
sin
sin
cos
sin
cos
cos 2
sin 2
sin 2
cos 2
Inverterade matrisen: cos
sin
sin
cos
cos
sin
sin
cos
Geometri 642210.2 cos
sin
sin
cos
cos
sin
sin
cos
Den inversa matrisen fås om α byts till ‐α (omloppsriktningen byts) Sida 16 y
4
Definition 2
f(x)=cos(-x)
För en jämn funktion gäller ex. cos
₂ -4
-2
2
x
4
-2
-4
y
För en udda funktion gäller ex. sin
4
2
-4
-2
2
4
x
f(x)=-sin(-x)
-2
-4
ex. Rotation 30° moturs, dvs. α 30° ä ,
cos 30°
sin 30°
√
sin 30°
cos 30°
√3
1
√
1
√3
y
3
(1,2; 1,9)
2
(2, 1)
1
1
2
-1
-2
√3
1
kontroll: 3
1
√3
√
,
,
√
30° å 2, 1
√3
1
1
√3
ä 1,2; 1,9
x
√
√
,
,
-3
Geometri 642210.2 Sida 17 2 sin 30°
minnestrianglar: 1 cos 30°
√3 1 1 sin 45°
cos 45°
45°
45°
√
√
√
√2 minnesvinklar: 0° 30° sin 0 cos 1 √
45° √
√
60° 90° √
1 0 y
3
f(x) = sin x
f(x) = cos x
2
1
-3
-2
-1
1
2
3
x
-1
-2
-3
Geometri 642210.2 Sida 18 exempel 2: Vart flyttas sträckan från A a
b
2, 1 och B 3, ‐1 Vid rotation 45° medurs? Vid rotation 45° medurs och sedan rotation 60° moturs? cos
sin
a
45°
45°
sin 45°
cos 45°
cos 45°
sin 45°
√
sin 45°
cos 45°
√2
1
1
2
√
√
√
1
1
√
√
1
1
1
1
1
1
1
1
√
√
,
√
√
,
√
,
√
,
45°
60°
cos 15°
sin 15°
b
15°
sin 15°
cos 15°
√
√
√
√
√
√
√
√6
√6
√
√2
√2
√6 √2 √6 √2
√6
√6
√2
√2
√6 √2 √6 √2
√6
√6
√2
√2
√6 √2 √6 √2
√
√
√
√
,
,
√
√
√
√
,
,
Detta kan kontrolleras med att fortsätta från a fallet. Geometri 642210.2 Sida 19 Exempel: 1 Translation 1
0
0
1
1
0
. 0
1
y
(1, 2)
2
2 Spegling i x‐axeln 1
0
1
-2
-1
1
2
x
. 1
0
0
1
0
1
-1
(1, -2)
-2
3 Spegling i y‐axeln 1
0
0
1
4 Spegling i origo 1
0
0
1
5 Rotation kring origo cos
sin
sin
cos
Geometri 642210.2 Sida 20 exempel: Undersök den transformation som förmedlas av matrisen. cos
sin
sin
cos
Vi skriver: cos
sin
sin
cos
cos
sin
sin
cos
1
0
rotation kring origo 0
1
Spegling i x‐axeln ex. rotationen α 90° cos
sin
linjen sin
cos
1
0
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
1
1
0
förblir på stället En linje vars riktningsvinkel är halva rotationsvinkeln transformeras på sig själv. Vår transformation innebär en spegling i ovannämnda linje. definition: En fixpunkt är en punkt som transformeras på sig själv. Linjen ovan bestod enbart av fixpunkter. exempel: Bestäm fixpunkten för transformationen √
√
2
2
√3
1
2
2
√
Geometri 642210.2 √3
1
√
och √
√
√3
Sida 21 √
√3 √
0
√
3
0
√
2
0
3
0
· √3 √
0 √
√
√ ·√
·√
√
ä ANDRA AFFINA AVBILDNINGAR √3 3
, 2 2
(fortfarande i euklidiskt plan) 1. sträckning i y‐led 1
0
0
transformation av en cirkel till en ellips ‐ area transformeras i skalan s ‐ vinklar bevaras inte 2. sträckning i x‐led exempel: 0
0
0
0
0
1
1
o.s.v. 1 0
0
sträckning i x‐led , sträckning i y‐led (s) Geometri 642210.2 Sida 22 Transformationen av en cirkel till en ellips med samma area som cirkeln. ·
· ·
3. Skjuvning 1
0
1
Om t = 1 (x, y) (‐2, 0) (‐2, 3) (3, 0) (3, 3) y
(x’, y’) (‐2, 0) (1, 3) (3, 0) (6, 3) 5
-5
5
Skjuvning bevarar areorna! Dylika affina transformationer kallas ekviaffina. Villkoret för en Transformation med matrisen |det |
|
|
-5
skall vara ekviaffin är 1 Vilken linjär avbildning som helst kan åstadkommas som en sammansättning av transformationerna cos
sin
1 0
0 5
1
0 1
ä
sin
cos
.
1 . ; ä
.
. ; .
.
0 Geometri 642210.2 Sida 23 x
Plangeometriska Konstruktioner 1. Konstruktion av en normal till en linje från en given punkt på linjen. E
C
1
P
D
P
C
D
P
C
D
P
Linjen 1 och punkten P är givna. Med P som medelpunkt uppritas en halvcirkel med godtycklig radie. Halvbågen skär linjen 1 i punkterna C och D. Med C och D som medelpunkter dras två nya cirkelbågar. Radien är i detta fall lika för båda bågarna men något större än för halvcirkeln. De två nya bågarna skär varandra i punkten E. P och e sammanbindes E. Linjen som går genom PE är nu normal till linjen 1. EP står vinkelrätt mot linjen 1 för att är kongruent med vid P är lika stora sidovinklar. E får inte vara för nära P! (sss). Vinklarna 2. Konstruktion av en normal till en linje från en given punkt utanför linjen. P
P
P
P
1
1 C
1 C
1 C
D
D
D
E
E
Linjen 1 och punkten P är givna. Med P som medelpunkt dras en cirkelbåge med godtycklig radie. Cirkelbågen ska vara större än avståndet mellan P och Linjen 1. Cirkelbågen skär linjen 1 i punkterna C och D. C och D blir medelpunkter för två nya cirkelbågar med samma radie. Dessa bågar skär varandra i punkten E. E och P binds samman och utgör normalen. PE är en normal till linjen för att PCED är en romb och att i en romb skär diagonalerna varandra vinkelrätt. (Dessutom halverar diagonalerna varandra) Geometri 642210.2 Sida 24 3. Konstruktion av en normal till en given sträcka från dess ena ändpunkt. F
E
D
D
E
A
B A
C
B
A
B
C
A
C
B
Sträckan AB är given. Med B som medelpunkt dras en cirkelbåge med godtycklig radie. Denna cirkelbåge skär sträckan AB i punkten C. Cirkelbågens radie (BC) ritas sedan på cirkelbågen två gånger efter varandra med utgångspunkt från C – då erhålls punkterna D och E. D och E tas till medelpunkter för två cirkelbågar med samma radie. Dessa bågar skär varandra i punkten F. BF blir då normalen till sträckan AB. BF är normal till ‐ AB för att och är liksidiga – BF halverar DE i romben BCFE – BF halverar då också bågen DE och vinkeln DBE. 4. Konstruktion av en given sträckas mittpunktsnormal C
A
B
A
C
B
D
A
B
D
Sträckans ändpunkter A och B är givna. De tas till medelpunkter för två cirkelbågar av samma radie. Dessa bågar skär varandra i C och D. C och D binds tillsammans – då blir linjen CD mittpunktsnormal till linjen AB. Diagonalerna i en romb halverar varandra och skär varandra vinkelrätt. Geometri 642210.2 Sida 25 5. Konstruktion av en vinkel av samma storlek som en given vinkel B
D
D
v
P
A
C
P
C
Vinkeln v är given. På en rät linje placeras punkten P. Med P som medelpunkt ritas en cirkel med godtycklig radie. Med samma radie ritas en cirkelbåge över den givna vinkeln med medelpunkten i vinkelspetsen. Denna cirkelbåge skär den givna vinkelns ben i punkterna A och B. Motsvarande cirkelbåge skär den räta linjen i C. Längden av bågen AB avsätts från C till D. Vinkeln CPD är den sökta vinkeln. Vinklarna är lika stora för att – i kongruenta trianglar (sss) är motsvarande vinklar lika. 6. Konstruktion av en given vinkels bisektris B
B
B
v
C
v
v
A
S
C
A
S
A
S
Den givna vinkeln är v och vinkelspetsen S. S tas som medelpunkt för en cirkelbåge med godtycklig radie. Denna cirkelbåge har vinkelbenen i A och B. A och B tas till medelpunkter för cirkelbågar med en och samma radie, som skär varandra i punkten C. Linjen SC blir då den sökta bisektrisen. SC är en bisektris för att – för att och är kongruenta (sss) – vinklarna vid S är motsvarande och lika stora. 7. Konstruktion av en linje som är parallell med en given linje och går genom en given punkt. C
P
C
P
l
P
l
A
B
l
A
B
A
Geometri 642210.2 Sida 26 Linjen l och punkten P är givna. Med P som medelpunkt och med godtycklig radie uppritas en cirkelbåge som skär den givna linjen i A. Med A som medelpunkt dras sedan en cirkelbåge genom P som skär den givna linjen i B. Längden av bågen BP sätts från A till C. Linjen genom P och C är den sökta. Linjerna är parallella för att – triangeln ABP är kongruent med triangeln PCB – BP=AC och AB=CP=AP – ACPB är en parallellogram. 8. Konstruktion av en triangel med tre givna sträckor som sidor. a
b
c
C
b
C
b
a
A
B
a
A
B
De givna sträckorna är a, b och c. Med den ena ändpunkten A på sträckan c som medelpunkt och sträckan b som radie ritas en cirkelbåge. Sedan ritas en annan cirkelbåge med a som radie och ändpunkten B som medelpunkt. De båda cirkelbågarna skär varandra i C. ABC är den sökta triangeln. 9. Konstruktion av en liksidig triangel med en sträcka som sida. C
A
B
A
C
B
A
B
Den givna sträckan är AB. Med A och B som medelpunkter ritas två cirkelbågar med AB som radier. Bågarna skär varandra i C. ACB är den sökta triangeln. 10. Konstruktion av en rätvinklig triangel med hypotenusan och höjden mot densamma givna. Geometri 642210.2 Sida 27 AB
h
h
C
C
D
D
h
A
B
A
B
A
B
A
B
Den givna hypotenusan är AB och höjden h. Sträckan AB delas mitt itu och mittpunkten blir medelpunkt för en halvbåge ked halva AB som radie. En linje dras parallellt med AB på ett avstånd = den givna höjden. Denna linje skär halvcirkelbågarna i punkterna C och D. Den sökta triangeln är ACB eller ADB. 11. Konstruktion av en regelbunden åttahörning, inskriven i en given kvadrat A
B
A
B
A
B
C
B
O
O
O
D
A
D
C
D
C
D
C
ABCD är den givna kvadraten. Diagonalerna AC och BD dras, de skär varandra i O. A, B, C och D blir medelpunkter för cirkelbågar genom O. De punkter som uppstår när cirkelbågarna skär kvadratens sidor sammanbinds som i figuren. 12. Konstruktion av en regelbunden sexhörning med en given sida O
A
B
A
O
B
A
O
B
A
B
Sträckan AB är sexhörningens sida. A och B tas till medelpunkter för cirkelbågar med radien AB. Dessa cirkelbågar skär varandra i O. O blir medelpunkt för cirkeln genom A och B. I denna cirkel ritas kordor av samma längd som AB med A eller B som utgångspunkt. Geometri 642210.2 Sida 28 13. Konstruktion av en regelbunden femhörning och en regelbunden tiohörning – inskrivna i en given cirkel O
O
A
O
A
F
A
F
F
C
C
D
D
E
B
O
A
C
D
E
B
E
B
B
I den givna cirkeln dras två mot varandra vinkelräta diametrar. Hälften av den ena delas på mitten i punkten A. A binds samman med den andra diameterns ena ändpunkt B. A tas som medelpunkt för en cirkelbåge med radien AO. Denna cirkelbåge skär AB i C. Med B som medelpunkt dras en cirkelbåge genom C. Denna cirkelbåge skär den givna cirkeln i punkterna D och E samt sträckan BO i punkten F. Sträckan BO sägs nu vara delad med ”gyllene snittet” i delarna BF och FO. Sträckan DE är den inskrivna regelbundna femhörningens sida och BD den regelbundna tiohörningens sida. Om vi koncentrerar oss på det gyllene snittet i figuren kan vi börja med att lyfta ut triangeln BOA. Om sträckan OA sätts till 1, blir sträckan AC 1 och BO 2. Enligt Pythagoras sats blir 1
hypotenusan i triangeln √5 dvs. 2
. Detta gör att sträckan BC och BF är √5 1 samt att OF är 3
förhållandet mellan BF och OF räknas ut: √5
3
1
√5
√5
3
1 3
·
√5 3
√5. 3√5
√5
√5
5 3
9 5
√5
2√5 2
4
√
√5 i nämnaren kan man multiplicera nämnaren och täljaren med (När man vill komma undan ett tal som 3
nämnarens konjugattal, i detta fall 3
√5.) förhållandet mellan OF och BF räknas ut: 2
√5
2
1
√5
√5
1
1 √5
1
·
2 √5 1
4
√5 1
2
Geometri 642210.2 Sida 29 Det gyllene snittet D
F
C
~
1
A x-1
√
E
B
1
x
²
1 ²
1
√
√
· ·
·
√
1,61803398875 √
√
0 0,61803398875 C
s
r
36°
72°
108°
36°
D
72°
r-s
72°
36°
A
72°
s
B
²
²
²
²
1
0 ² 0 När man har en ekvation med två okända faktorer kan man bara räkna ut förhållandet mellan dem Ekvationen behandlas som en vanlig andragradsekvation. 1,61803398875 Geometri 642210.2 Sida 30 14. Konstruktion av en regelbunden femhörning med en given sida E
E
D
D
D
C
C
C
A
A
B
B
A
B
B
A
AB är den givna sidan. Till den dras en mittpunktsnormal, på vilken AB avsätts från mittpunkten till C. C och B binds samman, och denna linje förlängs med halva AB till D. B tas till medelpunkt för en cirkelbåge med radien BD. Cirkelbågen skär AB:s mittpunktsnormal i E. A tas som medelpunkt för en till cirkelbåge med samma radie. Från E sätts på dessa cirkelbågar sträckan AB till F och B. AFEGB är den sökta femhörningen. 4
5
4
2
√5
2
2
√5 2
√5
1 15. Konstruktion av en cirkels medelpunkt. O
En cirkels periferi är given, men cirkelns medelpunkt är inte känd. För att ta reda på medelpunkten dras två godtyckliga kordor till cirkeln. Kordornas mittpunktsnormaler konstrueras och de skär varandra i punkten O. Punkten O är den sökta medelpunkten. Geometri 642210.2 Sida 31 Konstruktion av sträckor med viss längd 1)
√2 Vi konstruerar en kvadrat med sidlängden s, då är det lätt att dra diagonalen och dess längd kommer då att vara √2 enligt Pythagoras sats. 2)
√3 Genom att halvera en liksidig triangel (vid höjden) får man typtriangeln ”30‐60‐90” som har ena sidan 1, andra 2 och tredje √3 3)
√5 Genom att sätta två kvadrater sida vid sida och dra en diagonal genom båda får man en triangel med sidan 1, 2 och √5. √6 4)
Genom att konstruera √2 och √3 i följd. √6
√3 · √2 En annan parentes är att i en kvadrat med sidan √3 blir diagonalen √6. 5)
√7 Genom en konstruktion av en rätvinklig triangel med hypotenusan 4s och katet 3s. 6)
√8 En möjlighet är en rätvinklig triangel med kateterna 2s. Den andra möjligheten är en rätvinklig triangel med kateterna 3s och 2s. 7)
√10 En rätvinklig triangel med kateterna 3s och s. Geometri 642210.2 Sida 32 √11 8)
Om man ser till rutan nedan är det lätt att använda sig av två kvadrater för att komma till ett udda tal. I detta fall skulle man använda sig av kateten 5 och hypotenusan 6 för att få en katet med längden √11 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 3 5 7 9 11 13 15 17 19 Om man vill veta √14
9)
√7 · √2 √2 ä ä ö
√ ä ä .
4 . ö
. Hur konstruerar man √44 samt √46 ? Geometri 642210.2 Sida 33
