FFM232, Klassisk fysik och vektorfält

FFM232, Klassisk fysik och vektorfält Föreläsningsanteckningar
Christian Forssén, Institutionen för fysik, Chalmers, Göteborg,
Sverige
Oct 13, 2016
11. Elektromagnetiska fält och Maxwells ekvationer
Vi startar med att betrakta statiska elektriska och magnetiska (elektrostatik
och magnetostatik) för att sedan ta med tidsberoendet och se hur det innebär en
koppling mellan de två fälten.
Maxwells ekvationer (tidsoberoende fält)
~ r) uppfyller
Elektrostatik. Statiska elektriska fält E(~
~ ·E
~ = ρ
∇
0
~
~
∇×E =0
(1)
(2)
där den första är Gauss lag och säger att elektriska fält kan ha elektriska
laddningar som källor.
• ρ(~r) = elektrisk laddningstäthet.
• 0 = dielektricitetskonstant i vakuum
~ ×E
~ = 0)
Den andra ekvationen säger att elektrostatiska fält är rotationsfria (∇
och därmed konservativa.
~ = −∇φ,
~
E
där φ är den elektrostatiska potentialen. Den uppfyller därmed Poissons ekvation
∆φ = −
ρ
0
~ r) uppfyller
Magnetostatik. Statiska magnetiska fält B(~
~ ·B
~ =0
∇
~ ×B
~ = µ0~
∇
(3)
(4)
där den första säger att det inte finns några magnetiska laddningar och den
andra är Amperes lag.
• ~(~r) = elektrisk strömtäthet.
• µ0 = magnetisk permeabilitet i vakuum
~ ·B
~ = 0)
Den första ekvationen säger att magnetostatiska fält är divergensfria (∇
(eller källfritt) och kan uttryckas med en vektorpotential
~ =∇
~ × A,
~
B
där Gaugeinvarians innebär att vektorpotentialen inte är fullständigt bestämd
~ r) 7→ A(~
~ r) + ∇Λ(~
~ r).
A(~
~ ·A
~ = 0 och vektorpoDetta gör det möjligt att välja Gaugeparameter så att ∇
tentialen uppfyller Poissons ekvation
~ = −µ0~.
∆A
SI enheter.
µ0 = 4π · 10−7 TA−1 m−1
1
µ0 0 = 2
c
c = 299 792 458 ms−1
Exempel: Bestämning av vektorpotentialen. ————————–
Betrakta en elektrisk ledare parallell med z-axeln. Genom ledaren flyter en
ström I. Då omges ledaren av ett magnetfält
~ = µ0 I ϕ̂.
B
2π ρ
~ och finn den differentialekvation som beskriver detta
Bestäm vektorpotentialen A
fält.
Comment 1: Notera att magnetfältet uppvisar en singularitet. Känns den
igen? Det är fältet från en virveltråd.
Notera att
ρ̂
ρϕ̂
ẑ 1
~ =∇
~ ×A
~ = ∂ρ
∂ϕ
∂z B
ρ Aρ ρAϕ Az 2
Vi kan därför bestämma vektorpotentialen ur ekvationerna
och
1 ∂Az
∂Aϕ
−
=0
ρ ∂ϕ
∂z
(5)
∂Aρ
∂Az
µ0 I
−
=
∂z
∂ρ
2π ρ
(6)
1 ∂
∂Aρ
(ρAϕ ) −
= 0.
ρ ∂ρ
∂ϕ
(7)
Vi skall finna en vektorpotential så att dessa ekvationer uppfylles. Vi provar
med Aρ = Aϕ = 0 och Az 6= 0. Denna ansatz ger
~ = − µ0 I log ρ ẑ,
A
2π
ρ0
(8)
där ρ0 är en godtycklig konstant.
Låt oss nu betrakta Amperes lag i det tidsoberoende fallet
~ × B.
~
µ0~ = ∇
(9)
~ med ∇
~ ×A
~ så har vi
Om vi nu ersätter B
~ ×∇
~ ×A
~ = µ0~.
∇
(10)
För vänsterledet har vi räknereglen
~ ·A
~ −∇
~ 2A
~
~ ×∇
~ ×A
~=∇
~ ∇
∇
(11)
~ gör det alltid möjligt att
Den frihet, gauge, som vi har i att bestämma A
~ ·A
~ = 0, så vi kan reducera ekvationen till
garantera att ∇
~ 2A
~ = −µ0~,
∇
(12)
och vi har på så sätt kommit fram till en Poisson-ekvation för vektorpotentialen.
~ ·A
~ = 0 faktiskt är uppfyllt för den vektorpotential som
Notera att gauge-valet ∇
vi konstruerade ovan.
—————————————————-
Maxwells ekvationer
Comment 2: Maxwell satte 1864 upp fyra stycken ekvationer som gav en
fullständig beskrivning av ett elektromagnetiskt fält. Dock, som vi skall se,
inskränkte sig hans eget bidrag till en term i en av ekvationerna.
För tidsberoende fält finns det en koppling mellan elektriska och magnetiska
fält
• Induktion (Faradays lag)
3
• Kontinuitet (konservering av elektrisk laddning)
Comment 3: Vi har nu funnit att elektriska laddningar kan skapa elektriska
fält och att elektriska strömmar kan skapa magnetfält.
Comment 4: Vi vet dock att elektriska fält också kan skapas genom
induktion. En förändring av det magnetiska flödet, Φ, genom en elektrisk ledare
inducerar en spänning, U , i ledaren då det magnetiska flödet förändras.
Faradays induktionslag
dΦ
U =−
,
(13)
dt
där Φ är ett magnetiskt flöde genom ytan S
Z
~ · dS.
~
Φ=
B
(14)
S
och U är den inducerade spänningen längs randen ∂S
I
~ · d~r.
U=
E
(15)
∂S
Använd Stokes sats på ekv. (15)
Z S
Z
~
∂B
~
~
~
~
· dS.
∇ × E · dS = −
S ∂t
Eftersom ytan är helt godtycklig måste likheten gälla för integranderna
~
~ ×E
~ = − ∂B .
∇
∂t
(16)
Comment 5: Det elektriska fältet är inte längre konservativt vilket ju
modifierar en av våra ekvationer.
Comment 6: Ekvationerna är dock inte kompletta i den här formen. Den
elektriska laddningen är en bevarad storhet i naturen.
Låt oss nu betrakta sambandet mellan elektrisk strömtäthet och (rotationen
av) ett magnetfält. Detta samband har konsekvenser för kontinuitetsekvationen
för elektrisk laddning
∂ρ
~ · ~.
= −∇
∂t
från Amperes lag får vi nämligen att HL i kontinuitetsekvationen blir
~ · ~ = 1 ∇
~ · ∇
~ ×B
~ = 0,
∇
µ0
enligt räknereglerna för vektoroperatorerna. Detta skulle betyda att
∂ρ
= 0,
∂t
vilket är orimligt! För det betyder att det inte går att flytta en elektrisk laddning.
4
Maxwells lösning var att lägga till en term (förskjutningsströmmen)
~
~ ×B
~ = µ0~ + µ0 0 ∂ E .
∇
∂t
(17)
Vi får nu alltså att Maxwells ekvationer blir
~ ·E
~ = ρ,
∇
0
~ ×E
~ = − ∂B ,
∇
∂t
~
~
∇ · B = 0,
~ ×B
~ = µ0~ + µ0 0 ∂E .
∇
∂t
(18)
(19)
(20)
(21)
~ kan vi alltid dela upp i en del som är virvelfri, och en
• Ett allmänt fält E
del som är källfri.
• För ett elektrisk fält gäller alltså att den virvelfria delen kan skrivas som
~
−∇φ.
Enligt induktionsekvationen är
~
~
~
~
~ × ∂A .
~ ×E
~ = − ∂ B = − ∂(∇ × A) = −∇
∇
∂t
∂t
∂t
~ som −∂ A/∂t,
~
Alltså kan vi skriva den källfria delen av E
så att vi totalt har
~
~ = −∇φ
~ − ∂A .
E
∂t
(22)
Exempel: Bestämning av elektriskt fält. ————————–
En elektrisk laddning Q är jämnt fördelad i en sfär med radien a. Den omges
av ett tunt sfäriskt skal med radien 2a och laddningen −Q. Bestäm det elektriska
~ r) och potentialen φ(~r) överallt.
fältet E(~
Lösning: På grund av att laddningsfördelningen har sfärisk symmetri, så blir
Eϕ = Eθ = 0, och Er beror inte på θ och ϕ. Vi kan då beräkna Er med hjälp
av Gauss lag
I
~ · dS
~ = Q,
E
(23)
0
S
där vi låter S vara en sfär, och Q är den laddning som innesluts av S.
Om vi börjar med fallet att S har en radie r > 2a, så ser vi då att den totala
inneslutna laddningen är Q − Q = 0. Alltså har vi att
I
~ · dS
~ = 0,
E
(24)
S
och av detta följer att att Er = 0.
5
Om S har en radie r så att a < r < 2a, så är den laddningen, som S
innesluter, Q. Då ger oss Gauss lag att
I
~ · dS
~ = Q.
E
(25)
0
S
Integralen i vänsterledet har värdet
I
~ · dS
~ = 4πr2 Er ,
E
(26)
S
och vi kan lösa ut
1 Q
.
(27)
4π0 r2
Slutligen har vi fallet att sfärens radie r < a. Eftersom laddningen Q är jämt
fördelad över volymen, så innebär det att S innesluter laddningen
r 3
Q
.
(28)
a
Er =
Gauss lag ger oss alltså
I
3
~ · dS
~= Q r ,
E
0 a
S
vilket blir
Q r 3
.
0 a
4πr2 Er =
(29)
(30)
Vi kan nu lösa ut
1 Qr
.
(31)
4π0 a3
Om vi nu sammanfattar våra resultat, så har vi för det elektriska fältet
 1 Qr
r<a
 4π0 a3
Q
1
Er =
(32)
a < r < 2a
 4π0 r2
0
r > 2a
Er =
Vi skall nu utnyttja detta för att bestämma potentialen, för vilken det gäller att
~ = −∇φ.
~
E
I vårt fall kan vi uttrycka potentialen som integralen
Z ∞
φ (r) =
Er dr,
(33)
r
vilket sätter potentialen till 0 i oändligheten i enlighet med den vanliga konventionen. Vi börjar då med att bestämma potentialen för intervallet r > 2a.
Eftersom Er = 0 här så följer det att också potentialen blir 0.
Potentialen skall överallt vara kontinuerlig, vilket inte behöver vara sant för
E-fältet. Därför följer att när vi går till intervallet a ≤ r ≤ 2a så kan den övre
integrationsgränsen sättas till 2a, eftersom potentialen är 0 utanför.
2a
Z 2a
1 Q
Q
1
Q
1
1
φ (r) =
dr
=
−
=
−
.
(34)
4π0 r2
4π0
r r
4π0 r
2a
r
6
Speciellt så lägger vi märke till att potentialen i punkten r = a blir
φ (a) =
Q
.
8π0 a
(35)
Det enklaste sättet att garantera att φ blir kontinuerlig vid r = a är nu att
skriva potentialen för r ≤ a som
a
Z a
Z ∞
Qr
Q
Qr2
Q
dr
=
=
+
+
φ (r) =
Er dr =
3
8π0 a
8π0 a
8π0 a3 r
r 4π0 a
r
Q
Q
Q 2a2 − r2
Q
Qr2
Qr2
=
=
.
+
−
−
3
3
8π0 a 8π0 a 8π0 a
4π0 a 8π0 a
8π0
a3
Vi kan till slut sammanfatta potentialen som

2
2
Q

r≤a
 8π0 2a a−r
3
Q
1
1
φ (r) =
−
a
≤
r
≤ 2a

 04π0 r 2a
r ≥ 2a
(36)
(37)
—————————————————Exempel: Bestämning av ett magnetfält. ————————–
En oändligt lång rak ledare har ett cirkulärt tvärsnitt med radien a och
leder en likström med strömstyrkan I. Använd Amperes lag för att härleda
magnetfältet i och kring ledaren om materialet i den antas homogent och isotropt.
Lösning: Det elektriska fältet är stationärt i detta fall och vi kan då använda
Amperes lag utan någon förskjutningsström
Z
Z
~
~
~
~ = µ0 Iρ ,
∇ × B · dS = µ0
~ · dS
(38)
Sρ
Sρ
där Iρ är strömmen som passerar genom en tvärsnittsyta Sρ som är en cirkelskiva
med z-axeln som centrum och radien ρ. Använder vi Stokes sats får vi
I
~ · d~r = µ0 Iρ ,
B
(39)
∂Sρ
där vi låter ∂Sρ vara randen till Sρ , dvs en cirkel som genomlöps moturs. Först
tittar vi på fallet att cirkelns radie ρ > a. Strömmen är då I, och Amperes lag
ger oss
I
~ · d~r = µ0 I.
B
(40)
∂Sρ
Vi vet att om den elektriska ledaren sammanfaller med z-axeln så är magnetfältet
riktat i ϕ-riktningen. Integralen blir då
I
~ · d~r = 2πρBϕ .
B
(41)
∂Sρ
7
Vi kan nu lösa ut
µ0 I
.
2πρ
Bϕ =
(42)
I fallet att cirkelns radie ρ < a så antar vi att strömmen är jämnt fördelad i
tråden, vilket ger oss att den inneslutna strömmen blir
Iρ = I
ρ 2
a
.
(43)
Integralen blir nu
I
2
~ · d~r = 2πρBϕ = µ0 I ρ .
B
a
∂Sρ
Vi kan då lösa
Bϕ =
µ0 I ρ
.
2π a2
~ = Bϕ êϕ med
Sammanfattningsvis har vi alltså att B
(
µ0 I
ρ<a
2πρ
Bϕ =
µ0 Iρ
ρ>a
2πa2
(44)
(45)
(46)
—————————————————-
Maxwells ekvationer i vakuum och den elektromagnetiska
vågekvationen
Comment 7: OBS! Resten av dessa anteckningar behandlar kap 11.3-11.7
som ej ingår i kursen. Anteckningarna är endast med för bättre koppling till
motsvarande material i andra kurser. OBS!
• En mycket viktig konsekvens av Maxwells ekvationer är att det existerar
våglösningar.
I vakuum (ρ = 0 och ~ = 0) blir Maxwells ekvationer
~ ·E
~ =0
∇
~
~ ×E
~ = − ∂B
∇
∂t
~ ·B
~ =0
∇
(47)
(48)
(49)
~
~ ×B
~ = µ0 ∂ E
(50)
∇
∂t
Vi kan nu till exempel beräkna rotationen av induktionsekvationen Ekv. (48)
~
~
~
~ ×∇
~ ×E
~ =∇
~ ∇
~ ·E
~ −∇
~ 2E
~ = −∇
~ × ∂ B = − ∂(∇ × B) .
∇
∂t
∂t
8
(51)
~ ·E
~ = 0 och Ekv. (50)
Vi kan nu utnyttja att ∇
~ 2E
~ =−
−∇
~
~
∂
∂E
∂2E
0 µ0
= −0 µ0 2 .
∂t
∂t
∂t
(52)
Eftersom 0 µ0 = 1/c2 kan vi skriva detta
2
~2− 1 ∂
~ = 0,
∇
E
c2 ∂t2
(53)
vilket är en vågekvation.
Exempel: Vågekvationen i D = 1. ————————–
~ = E(x, t) i en dimension och motsvarande vågekvation
Betrakta fältet E
2
∂
1 ∂2
− 2 2 E(x, t) = 0.
(54)
∂x2
c ∂t
Ekvationen har då lösningar på formerna E+ = E0 sin(kx − ωt) och E− =
E0 sin(kx + ωt), vilka beskriver vågor och motiverar varför Ekv. (53) kallas för
vågekvationen.
Med denna ansatz (E+ ) ger vågekvationen
−k 2 +
ω2
=0
c2
⇒
ω = c|k|,
vilket kallas för en dispersionsrelation.
Rita 8: funktionen E(x, t) med en x-axel och en t-axel. Illustrera våglängd
och periodtid.
• Vid given tid t: samma fas då x 7→ x +
2π
k .
• Dvs våglängden λ relaterar till vågtalet k enligt λ =
• Vid givet x: samma fas då t 7→ t +
2π
k .
2π
ω .
• Våghastigheten finner vi genom att notera att x − ωk t = konstant beskriver
punkter med samma fas. Detta ger
ω
dx
ω
dt = 0 ⇒
=
k
dt
k
Hastigheten är alltså v = ω/k = c. Ljushastigheten!
——————————————————I rummet kan vi skriva lösningarna
n
o
~ =E
~ 0 exp i(~k · ~r − ωt) = välj ~k = kx̂ = E
~ 0 exp (i(kx − ωt)) .
E
dx −
Den fysikaliska lösningen är (antingen) real- eller imaginärdelen av ovanstående.
Det betyder alltså att lösningen och tolkningen är analog med D = 1-exemplet
ovan.
9
Elektriska och magnetiska vågor. En motsvarande vågekvation för magnetfältet kan också härledas. Man finner därför
~ r, t) = E
~ 0 exp i(~k · ~r − ωt)
E(~
~ r, t) = B
~ 0 exp i(~k · ~r − ωt)
B(~
~ 0 till B
~ 0 och till riktningen på ~k?
Hur förhåller sig polarisationsvektorn E
• Sätt ~k = n̂k = n̂ ωc .
• Exponenten blir då (~k · ~r − ωt) =
ω
c (n̂
· ~r − ct).
~ ·E
~ = 0, vilket ger n̂ · E
~ 0 = 0.
• ME1: ∇
Visa gärna detta med indexnotation
h
i
~ ·E
~ = ∂j E0,j exp i ω (nl rl − ct) = E0,j ∂j i ω nl rl exp i ω (nm rm − ct)
∇
c
c
c
ω
ω
= {∂j rl = δjl } = i E0,j nj exp i (nm rm − ct)
ωc
c
ω
~ 0 exp i (n̂ · ~r − ct)
= i n̂ · E
c
c
~0 = 0
• Pss ME3 ger n̂ · B
• Fälten är alltså vinkelräta mot vågens rörelseriktning.
~ 0 − cB
~ 0 ) = 0, dvs B
~ 0 = 1 n̂ × E~0 .
• ME2 säger att i ωc (n̂ × E
c
• E- och B-fälten är alltså vinkelräta mot varandra.
~ 0 motsvarar de två
• De två möjliga riktningarna på polarisationsvektorn E
möjliga polarisationerna hos elektromagnetisk strålning.
Den elektromagnetiska vågen består därför av svängande elektriska och magnetiska fält, vilka genererar varandra
~ r, t) = E
~ 0 exp i ω (n̂ · ~r − ct) , n̂ · E
~0 = 0
E(~
(55)
c
~ r, t) = 1 n̂ × E
~ 0 exp i ω (n̂ · ~r − ct)
B(~
(56)
c
c
Vågekvationer för potentialerna
~
• Hur blir Maxwells ekvationer när fälten uttrycks i potentialerna φ och A.
• De två homogena ekvationerna (. . . = 0) är de som gör att fälten kan
uttryckas i termer av potentialer.
10
Sätt in uttrycken
~
~ = −∇φ
~ − ∂A
E
∂t
~ =∇
~ ×A
~
B
i de inhomogena ekvationerna:
~ ·E
~ =
∇
~
~ · (−∇φ
~ − ∂A ) = ρ ,
∇
∂t
0
~
~
~ ×B
~ − µ0 ∂ E =
~ − ∂ A ) = µ0~.
~ × (∇
~ × A)
~ − 1 ∂ (−∇φ
∇
∇
∂t
c2 ∂t
∂t
• Ett gaugeval för vektorpotentialen förenklar ekvationerna avsevärt
~ ·A
~ = − 12 ∂φ .
• Välj gaugeparameter så att ∇
c ∂t
Den första ekvationen blir
!
~
∂ ~ ~
1 ∂2
∂A
~
~
= −∆φ− (∇·
A) = {Gaugeval} = −∆ + 2 2 φ ≡ −φ,
∇· −∇φ −
∂t
∂t
c ∂t
∂2
där d’Alembert-operatorn ≡ ∆ − c12 ∂t
.
2
För den andra ekvationen utnyttjar vi att
1 ∂φ
~
~
~
~
~
~
~
~
~
∇ × ∇ × A = ∇ ∇ · A − ∆A = {Gaugeval} = −∇ 2
− ∆A.
c ∂t
VL i den andra inhomogena ekvationen blir därför
−
2~
~
~
1 ∂(∇φ)
~ + 1 ∂ ∇φ + 1 ∂ A = −A.
~
−
∆
A
c2 ∂t
c2 ∂t
c2 ∂t2
• Vi får alltså inhomogena vågekvationer för potentialerna
φ = −
ρ
,
0
~ = −µ0~,
A
• Man kan använda Greensfunktionen för vågekvationen för att skriva ned
generella lösningar när laddningar och strömmar är givna.
• Greensfunktionen är lösningen till följande vågekvation
1 ∂2
)G(~r, t; ~r 0 , t0 ) = −δ 3 (~r − ~r 0 )δ(t − t0 ).
c2 ∂t2
För enkelhets skull kan vi ta ~r 0 = 0, t0 = 0.
Greensfunktionen är
1
G+ (~r, t; 0, 0) =
δ(r − ct).
4πt
G(~r, t; ~r 0 , t0 ) ≡ (∆ −
11
• Detta är vad som brukar kallas en retarderad Greensfunktion.
• Termen kommer sig av att en källa bara påverkar fält vid efterföljande
tider (ljuskonen r = ct).
Comment 9: Ekvationen är symmetrisk under t → −t, vilket innebär att det
också finns en avancerad Greensfunktion G− ∝ δ(r + ct).
Comment 10: Det är värt att notera att det intuitivt “sunda” antagandet
att Greensfunktionen endast har stöd på ljuskonen faktiskt är mer subtilt än
det verkar. Det går under namnet Huygens pricip. Det visar sig vara sant i ett
udda antal rumsdimensioner, men falskt i ett jämnt antal. I ett jämnt antal
rumsdimensioner har Greensfunktionen stöd inom ljuskonen, inte endast på den.
I två dimensioner har man t.ex.
(
√σ(t)
, r < ct,
(2)
2π (ct)2 −r 2
G+ (~r, t; 0, 0) =
0
annars.
Tänk på en sten som släpps i en vattenyta. En punkt på ytan påverkas inte bara
just då vågfronten passerar, utan även vid alla senare tidpunkter. Tvådimensionell
musik är kanske problematisk...
Man måste förstås kunna bekräfta att man får rätt uttryck för en statisk
laddningsfördelning. Om ρ är oberoende av tiden ger Greensfunktionsmetoden
Z
Z ∞
ρ(~r 0 )
0
φ(~r, t) =
dV
dt0
G+ (~r, t, ~r 0 , t0 )
0
R3
−∞
Z
Z ∞
ρ(~r 0 )
0
δ(|~r − ~r 0 | − c(t − t0 ))
=
dV
dt0
4π0 (t − t0 )
R3
−∞
Z
ρ(~r 0 )
0
0
= {c(t − t ) ≡ (x − x ) ⇒ c försvinner} =
dV 0
,
4π0 |~r − ~r 0 |
R3
vilket är identiskt med vad man får med hjälp av Greensfunktionen för Poissons
ekvation.
12