Malmö högskola
Lärarutbildningen
Natur Miljö Samhälle
Examensarbete
10 poäng
Symbolens betydelse vid introduktion av
algebra
-med åldersaspekten som betydande faktor
The importance of the mathematical symbol when introducing algebra
Linda Ekman & Caroline Zettergren
Lärarexamen 180 poäng
Matematik och lärande
Höstterminen 2005
Handledare: Helena Mühr
Examinator: Tine Wedege
Sammanfattning
Vi har funderat över hur vi som blivande lärare skulle kunna förbättra elevernas förståelse
inom algebra. Syftet med detta arbete var att ta reda på vad symbolen har för betydelse vid
algebraräkning och huruvida det kan vara givande att introducera pre-algebra i större
utsträckning i tidigare årskurs. Med symbol menar vi det tecken som representerar den
okända variabeln i algebra. För att undersöka detta har en observationsstudie genomförts i
årskurs fem och två tester i årskurs två och sju. Sammanlagt deltog 178 elever.
Undersökningarna visade att valet av symbol har viss betydelse, men är dock ej helt
avgörande, i synnerhet i grundskolans tidiga år. Vidare visade studien att barn i årskurs två
är mogna för pre-algebra, vilket betyder att den kan introduceras i större utsträckning redan
då. För att underlätta övergången från pre-algebra till algebra kan läraren variera valet av
symbol. Förslagsvis en symbol det går att skriva inuti till att börja med, för att sedan
successivt skifta till en symbol som ej går att skriva i.
Nyckelord: algebra, grundskoleelever, pre-algebra, symbol, tidsaspekt.
Förord
Vi vill tacka vår handledare som genom arbetets gång kritiskt granskat och kommit med
konstruktiv kritik. Även de personer som kontrolläst och givit feedback har varit till stor
hjälp och förtjänar därför ett stort tack. Slutligen vill vi tacka de inblandade skolorna och
eleverna som har ställt upp på våra undersökningar. Vi ser fram emot att tillämpa våra
nyvunna kunskaper i vår framtida undervisning.
Innehållsförteckning
1 Inledning .............................................................................................................................. 1
2 Syfte och frågeställningar .................................................................................................... 3
3 Teoretisk bakgrund .............................................................................................................. 4
3.1 Förväntad kunskapsnivå ............................................................................................... 4
3.2 Symbol .......................................................................................................................... 4
3.3 Pre-algebra .................................................................................................................... 5
3.4 Algebra ......................................................................................................................... 6
3.5 Tidigare forskning ........................................................................................................ 7
3.6 Åldersperspektiv ........................................................................................................... 8
3.7 Matematikböcker .......................................................................................................... 9
4 Metod ................................................................................................................................. 10
4.1 Urval ........................................................................................................................... 10
4.2 Datainsamlingsmetoder .............................................................................................. 11
4.3 Procedur ...................................................................................................................... 12
4.4 Databearbetning och tillförlitlighet ............................................................................ 13
5 Resultat .............................................................................................................................. 14
5.1 Resultat observationsstudie ........................................................................................ 14
5.2 Resultat test årskurs två .............................................................................................. 16
5.3 Resultat test åk sju ...................................................................................................... 19
6 Diskussion och slutsatser ................................................................................................... 23
6.1 Vilken betydelse har symbolen vid algebraräkning? .................................................. 23
6.2 Övergången från pre-algebra till algebra .................................................................... 24
6.3 När bör pre-algebra introduceras? .............................................................................. 25
6.4 Sammanfattning av slutsatser ..................................................................................... 28
6.5 Resultatets tillförlitlighet ............................................................................................ 28
6.6 Förslag till fortsatt forskning ...................................................................................... 29
7 Referenser .......................................................................................................................... 30
8 Bilagor ............................................................................................................................... 33
1 Inledning
Under vår verksamhetsförlagda tid inom lärarutbildningen, då vi varit ute och undervisat,
har vi många gånger mött elever som är avigt inställda till algebra och finner det mycket
svårt. Ett flertal undersökningar visar att svenska barn och ungdomars algebrakunskaper
försämrats under de senaste tio till femton åren.1 Detta upplever vi som ett stort problem
eftersom algebra är ett så viktigt och grundläggande område inom matematiken. Det är
viktigt att eleverna förstår grunderna eftersom de annars kan komma att få svårt för att
förstå den fortsatta utvecklingen av matematiken. Efter att ha sett våra elevers svårigheter
och attityder har vi valt att försöka finna lösningen till denna problematik.
Diskussioner har ofta under vår tid på lärarutbildningen förts kring hur vi som blivande
lärare skulle kunna gå till väga för att underlätta för eleverna i deras algebra förståelse. En
fråga vi har ställt oss är ifall det skulle bli enklare och mer lättförståeligt om symbolen som
representerar det okända var något annat än en bokstav. Vår hypotes är att rätt vald symbol
underlättar förståelsen för algebra. Vi kommer genom hela vårt arbete att benämna
symbolerna bokstavssymbol och figursymbol. Då vi enbart skriver symbol kommer vi att
syfta till symboler generellt. En annan faktor som kan vara av betydelse är tidsaspekten.2
Ju mer du övar på något desto säkrare blir du. Om elever ges tillfälle att börja träna på
algebra i tidigare ålder, det vill säga med pre-algebra övningar, borde det resultera i att de
känner sig säkrare inom området när den verkliga algebran inleds. Pre-algebra är ett
förberedande stadie till algebra då eleverna arbetar med övertäckning av en term samt
likhetstecknets betydelse.3 Enligt Piaget är barn mottagliga för denna typ av matematik
redan i sjuårsåldern. Det borde därför vara det optimala att introducera pre-algebra i denna
ålder i en större utsträckning än vad som görs idag.4 När inledande algebra påbörjas byts
den övertäckta termen ut mot en bokstavssymbol istället. 5 Detta genomförs när eleverna är
Persson, P-E (2005), Skolverket (1996), Nämnaren tema (1997)
Persson, P-E (2005), Oltenau, C (2000)
3
Nämnaren tema (1997)
4
Gardner, H (1983)
5
Nämnaren tema (1997)
1
2
1
mer mottagliga för abstrakt tänkande och då ska de grundläggande kunskaperna i algebra
redan vara befästa.
2
2 Syfte och frågeställningar
Syftet är att ta reda på vilken betydelse symbolen har vid algebraräkning samt vid
övergången från pre-algebra till algebra. Vidare är syftet att undersöka ifall det kan vara
givande att introducera pre-algebra i större utsträckning i tidigare årskurs.
Vilken betydelse har valet av symbol vid introduktion av algebra?
3
3 Teoretisk bakgrund
3.1 Förväntad kunskapsnivå
I kursplanen för matematik i grundskolan står det att man ska sträva efter att eleven
utvecklar sin tal och rumsuppfattning samt sin förmåga att förstå och använda
- grundläggande algebraiska begrepp, uttryck, formler, ekvationer och olikheter.
- egenskaper hos några olika funktioner och motsvarande grafer.
Mål som eleverna ska ha uppnått i slutet av det femte skolåret
Eleven ska ha förvärvat sådana grundläggande kunskaper i matematik som behövs för att
kunna beskriva och hantera situationer och lösa konkreta problem i elevens närmiljö. Inom
denna ram skall eleven
- förstå och kunna använda addition, subtraktion, multiplikation och division samt kunna
upptäcka talmönster och bestämma obekanta tal i enkla formler.
Mål som eleverna ska ha uppnått i slutet av det nionde skolåret
Eleven ska ha förvärvat sådana kunskaper i matematik som behövs för att kunna beskriva
och hantera situationer samt lösa problem som vanligen förekommer i hem och samhälle
och som behövs som grund för fortsatt utbildning. Inom denna ram skall eleven
- kunna tolka och använda enkla formler, lösa enkla ekvationer, samt kunna tolka och
använda grafer till funktioner som beskriver verkliga förhållanden och händelser.6
3.2 Symbol
Symboler används inom matematiken för att representera variabler som inte betecknar
bestämda storheter utan står för vilka värden som helst inom sina variationsområden.7 Man
kan endast sägas förstå algebra då man förstår att en symbol endast är en representant för
6
7
Skolverket (2000)
Nationalencyklopedin (2005)
4
ett okänt tal.8 I detta arbete kommer två olika uttryck för symbol att användas,
bokstavssymbol och figursymbol. Det ända som skiljer de två är utseendet och inte
innebörden.
3.3 Pre-algebra
De första grunderna till algebra ska introduceras innan slutet av årskurs fem 9 som prealgebra. Alla aktiviteter som görs i förberedande syfte inför den egentliga algebran kallas
pre-algebra. Detta är ett förstadium där eleverna ska ”gissa” sig fram till ett obekant tal,
vilket ofta görs genom att den ena ”termen” täcks över och sedan får eleven pröva sig fram
för att hitta det tal som saknas eller så införs en tom ruta där eleven ska gissa vilket tal som
rutan representerar. Tanken med detta är att eleverna ska få ett algebraiskt tänkande utan att
räkna med bokstavssymboler10 samt att övergången till algebra ska ske mer naturligt.11
Övergången mellan pre-algebra och algebra, då den tomma rutan för första gången byts ut
mot en bokstav, är särskilt kritisk. Det är här viktigt att eleverna får gott om tid på sig att ta
till sig förändringen. Om övergången går för snabbt finns risk att eleverna tappas bort på
vägen, antingen genom förlorat intresset eller att allting känns väldigt överväldigande och
svårt.12 Ett mellanled skulle kunna vara att eleverna får sätta in egna symboler i
räknehändelser och arbeta utefter dem.13 Det finns dock de som inte håller med om att
uppgifter innehållande tom ruta kan räknas till algebra alls utan anser att det endast handlar
om uteslutningsmetoden. Bara för att elever kan pröva sig fram till vilket tal som passar in
så betyder det inte att de algebraiskt kan räkna ut det okända talet.14 För vissa är det inte
algebra men det är pre-algebra vilket är grundläggande för elevers framtida algebra
förståelse. Alla lär vi olika, ingen undervisningsmetod kan därför sägas vara optimal, men
det finns studier att ta hjälp av som visar hur elever generellt sett uppfattar
Nämnaren (1997)
Skolverket (2000)
10
Persson, P-E (2005)
11
Nämnaren tema (1997)
12
Nämnaren tema (1997)
13
Persson, P-E (2005)
14
The roles of representation
8
9
5
bokstavssymboler. I Nämnaren15 skriver författarna Bergsten, Häggström och Lindberg
(1997) om matematikern Quinlands teorier om hierarkiskt ordnade nivåer av
elevuppfattningar:
Nivå 1: bokstaven ses som ett objekt som saknar mening, eller dess värde fås som
bokstavens plats i alfabetet.
Nivå 2: Det är tillräckligt att pröva med ett tal istället för bokstaven.
Nivå 3: Det är nödvändigt att pröva med flera tal.
Nivå 4: Man uppfattar bokstaven som representant för en klass av tal. Det räcker att pröva
med något av dessa tal.
Nivå 5: Man uppfattar bokstaven som representant för en klass av tal. Man behöver inte
pröva med något av dessa tal.
Många elever har svårt att se att algebra inte alltid behöver ”räknas ut”, utan att man ibland
kan nöja sig med att lämna det som ett uttryck. De kan inte förstå att ett uttryck anger hur
två tal förhåller sig till varandra, istället försöker de alltid finna ett specifikt värde för
symbolerna. För att få eleverna att nå upp till en högre förståelsenivå kan det vara en god
idé att verklighetsanknyta och översätta algebraiska uttryck till en nivå som eleverna kan
identifiera sig med.16
3.4 Algebra
Algebra är ett område inom matematiken där man räknar med bokstäver. Ursprungligen
betydde algebra ekvationslösning och påträffades för första gången i Persien år 830 e.Kr.
av den arabiska matematikern al-Khwarizmi i form av Kompendium i ekvationslösning. I
Nationalencyklopedin står att läsa: ”Ordet algebra anses härstamma från al-jabr, som i
denna lärobok betyder "addera lika termer till båda sidor av en ekvation för att eliminera
negativa termer"”.17 Dagens skolalgebra består av relationer mellan tal och användandet av
Nämnaren tema (1997)
Nämnaren tema (1997)
17
Nationalencyklopedin (2005)
15
16
6
variabler och bokstavssymboler. Många elever upplever skolalgebran som ett svårt område
inom matematiken och även de duktiga eleverna kan känna frustration inför den.18
3.5 Tidigare forskning
I följande undersökning: Svenska 13-åringars kunskap inom matematik och naturvetenskap
i ett internationellt perspektiv,19 redogörs det för elevers kunskaper i matematik ur ett
internationellt perspektiv. Undersökningen visar att svenska elever presterade ganska
genomsnittligt överlag i matematik och något över genomsnittet i områdena beskrivande
statistik och sannolikhetslära, mått och mätningar samt bråk och taluppfattning. Däremot
fann man att de svenska eleverna låg under det internationella genomsnittet i algebra och
ekvationer samt geometri. Ytterligare en undersökning genomfördes av TIMSS, en
organisation som ägnar sig åt studier inom undervisning och uppnående, år 2003 vilken
visade på en ytterligare försämring i jämförelse med tidigare undersökning. 20 Anledningen
till detta kan vara att i svenska skolor introduceras algebra senare än i övriga länder, vilket
ger resultatet att svenska ungdomar inte hinner få en övergripande förståelse för algebra. 21
I grundskolan är matematik ett av de ämnen som har mest tid till sitt förfogande jämfört
med de övriga ämnena i Sverige. Men internationellt sett är den avsatta tiden för
skolmatematik inte särskilt stor. I jämförelse med andra länder har Sverige relativt lite
undervisningstid i matematik.22 För att skapa en god miljö för lärande krävs bland annat
gott om tid. I Lusten att lära23 beskrivs meningsfull tid som ”den tid då man som lärare
möter eleverna och känner att man har tänt en gnista till fortsatt lärande och utveckling”.
Vidare är det viktigt att läraren i sin undervisning ger tid till reflektion så att eleverna
verkligen får tid att befästa sina kunskaper. Samtal om matematik mellan elever och lärare
måste finnas där alla får komma till tals, argumentera och tänka till. Konstruktiv feedback
Grønmo, L S (1999), Grønmo, L S & Rosén, B (1998), Nämnaren tema (1997)
Skolverket (1996)
20
Skolverket (2003)
21
Nämnaren tema (1997)
22
Skolverket (1996)
23
Skolverket (2003)s.34
18
19
7
är viktigt då elever numera endast får feedback i facit och i och med detta tas inte hänsyn
till kvaliteten i lösningarna utan endast rätt svar. Tyvärr finns inte tillräcklig tid för detta då
varje klass i dagens skola består av cirka 30 elever.24 Enligt en studie som genomförts på
gymnasiet av Persson (2005) om elevers attityder till algebra framkom att de flesta
upplevde tidspressen som en avgörande faktor för förståelse. En senare undersökning där
två grupper jämfördes, varav den ena hade mer schemalagd matematikundervisning än den
andra, visade att den grupp som haft mer matematikundervisning hade bättre förståelse
inom algebra.25
Resursbrist och brist på undervisningstimmar är inte det enda problemet, pre-algebra
undervisning inleds för sent. Flera undersökningar har visat på samma resultat, att algebra
är ett område som kräver god tid för att mogna fram.26 Det har visat sig vara en betydande
faktor vid inlärningen av algebra. Det är viktigt att det finns en progression i
algebraundervisningen genom hela grundskolan, så att övergången till bokstavssymboler
inte kommer som en överraskning. Algebraundervisningen bör ligga som ett stråk genom
hela skoltiden, från pre-algebra via inledande algebra till den färdiga algebran. Detta visar
att inte bara antalet matematiktimmar i veckan är viktigt utan även det långsiktiga
tidsperspektivet är av betydelse, det vill säga att det är viktigt att eleverna arbetar med detta
från förskolan hela vägen till eftergymnasial utbildning.27
3.6 Åldersperspektiv
Enligt Piaget är sjuårsåldern den blivande matematikens ålder, då barnet kan klara av att
räkna antalet enheter i varje grupp och jämföra storleken på grupperna. I denna ålder börjar
barnet att använda sig av mentala bilder för att klara av enkla beräkningar och klarar av att
dra ifrån summor för att bekräfta likhet i antal. Med hjälp av deras vardagsliv, exempelvis
när de spelar kula, köper godis eller byter bokmärken, lär de sig att utföra räkneoperationer
som innefattar addition, subtraktion, multiplikation och division. Det är inte förrän i tonåren
24
Skolverket (1996)
Persson, P-E (2005)
26
Oltenau, C (2001)
27
Nämnaren tema (1997)
25
8
som barnet utvecklar ett mer abstrakt tänkande. Det behöver då inte längre anknyta de
matematiska operationerna till fysiska föremål utan klarar av att utföra abstrakta
operationer då symboler indirekt representerar föremålen. De matematiska åren i ens liv
kan sägas ligga mellan sjuårsålder till 30-40årsålder, efter denna period avtar ens
matematiska intellekt enligt Gardner (1983) och Lefrancois (1994).28
3.7 Matematikböcker
Redan i årskurs ett finns ett fåtal pre-algebra uppgifter med i vissa matematikböcker,
tillexempel Matematikboken 1A och Talriket A
29
, medan det i andra förekommer först i
årskurs två, som i Alfa C .30Uppgifter barnen får bekanta sig med är av typen ”tom ruta”
eller ett streck där det saknade talet ska skrivas in. Denna sorts uppgifter ändrar sig inte
nämnvärt under låg- och mellanstadietiden, med andra ord ser eleverna ingen annan typ av
pre-algebra än just denna. Första gången eleverna stöter på ett uttryck är på högstadiet. I en
del matematikböcker förekommer pre-algebra uppgifter fortfarande i årskurs sju vilket vi
funnit i Möte med matte.31 Det varierar beroende på matematikbok när och i vilken
utsträckning algebra introduceras. Det vanligaste är att eleverna möter algebra som sista
område i sjuan eller någon gång under årskurs åtta. Av sex granskade högstadieböcker är
det endast Möte med matte som introducerar algebra först i årskurs åtta. Övriga
matematikböcker som granskats är: Matte Direkt, Matte till 1000, Tetra, X Y Z samt Beta.32
28
Gardner, H (1983), Lefrancois, G R (1994)
Rockström, B & Lantz, M (1995), Öreberg, C et al. (1991)
30
Öreberg, C et al. (1984)
31
Skoogh, L et al. (2002)
32
Undvall, L & Olofsson, K-G & Forsberg, S (2001), Carlsson, L-G & Ingves, H & Öhman, K (1998),
Skoogh, L et al. (2002). Carlsson, S & Hake, K-B & Öberg, B (2002). Björk, L-E et al. (1997). Mårtensson, G
& Svensson, L (1988).
29
9
4 Metod
Vid användning av en observationsstudie får man en tydlig överblick över elevernas
tankegångar då de i diskussion med varandra löser uppgifter och därför valdes detta
tillvägagångssätt. En enkätundersökning i form av ett test är en effektiv metod då man vill
genomföra en undersökning i en större grupp samt då uppgifterna som ska besvaras är av
enkel karaktär och endast kräver ett svar och ingen utförlig motivering.33
Tre delundersökningar ingick i denna studie; först en observationsstudie i årskurs fem och
sedan två test där tre klasser i årskurs två och fyra matematikgrupper i årskurs sju deltog.
Dessa test bestod endast av två pre-algebrauppgifter i årskurs två och en algebrauttryck i
årskurs sju.
4.1 Urval
Observation
Observationerna genomfördes i årskurs fem på två olika skolor i södra Sverige. Det föll sig
naturligt att använda sig av våra partnerskolor då vi redan var bekanta med skolmiljön.
Sammanlagt deltog 32 elever och det externa bortfallet var sju.
Test årskurs två
Undersökningen genomfördes i årskurs två på tre olika skolor i södra Sverige. Skolorna
valdes även här ifrån våra partnerområden. Sammanlagt delades testet ut i tre klasser, till 58
elever. Det externa bortfallet var fem.
Test årskurs sju
33
Johansson & Svedner. (2001)
10
Testet i årskurs sju utfördes på två olika skolor i södra Sverige. Återigen gjordes
undersökningen på våra partnerskolor. Testet delades ut till två matematikgrupper på varje
skola. Åttioåtta elever fyllde i det och det externa bortfallet var fem.
4.2 Datainsamlingsmetoder
Observation
Inför observationsstudien i årskurs fem lämnades ett formulär (se bilaga 1) ut till
föräldrarna för att få deras tillstånd att videofilma deras barn under observationen.
Uppgifterna till denna (se bilaga 2a och 2b) konstruerades för att vi skulle få veta om
symbolen har någon betydelse för lösningsfrekvensen. Hälften av grupperna skulle lösa
uppgifter som innehöll bokstaven x som okänd variabel och de andra grupperna hade en
stjärna som okänd variabel. Bokstaven x föll sig naturligt att välja, då den är vanligt
förekommande inom algebra. Stjärnan valde vi för att den är en ganska neutral figursymbol
som inte redan har någon speciell betydelse. Vi funderade över att använda andra
figursymboler såsom ett hjärta, ett kinesiskt tecken eller en triangel. Anledningen till att vi
inte valde dessa är att hjärtat betyder ofta kärlek för många, det kinesiska tecknet vore för
invecklat och triangeln skulle kunna förknippas med geometri.
Test årskurs två
Uppgifterna till testet (se bilaga 3a och 3b) i årskurs två valdes för att vi var intresserade av
att se ifall symbolen påverkade lösningsfrekvensen samt för att se om barnen i denna ålder
är mogna för att börja med pre-algebra övningar. Vi valde samma figursymbol här som i
observationen.
Test årskurs sju
Uppgifterna i testet (se bilaga 4a och 4b) till årskurs sju valde vi av samma anledning som
enkäten till årskurs två. Men detta test gjordes svårare för att det skulle användas i en högre
årskurs. Vi ville se om eleverna upplever det enklare att tyda ett uttryck om det innehåller
figursymboler istället för bokstavssymboler. Dessa elever är inte bekanta med algebraiska
11
uttryck sedan tidigare då detta inte tas upp i matematikböckerna förrän senare i årskurs sju
eller tidigt i årskurs åtta, beroende på matematikbok.
4.3 Procedur
Observation
Undersökningarna utfördes direkt efter lunch då eleverna ätit och haft rast. Eleverna
delades in i åtta grupper, fyra grupper från vardera skola. Grupperna bestod av fyra elever
åt gången, oberoende av kön. Då vi inte kände eleverna bad vi klassläraren om assistans
med att sätta samman väl fungerande grupper. Vikt skulle läggas vid att alla elever skulle
känna sig bekväma i gruppen samt att de skulle ligga på ungefär samma kunskapsnivå
matematik grupperna emellan. På den ena skolan delade dock klassläraren in sina fyra
duktigaste elever i samma grupp. Eleverna placerades i avskilda grupprum där de kunde
arbeta ostört. Hälften av grupperna fick uppgifter med figursymbol och andra halvan
bokstavssymbol. De hade obegränsat med tid för att lösa våra uppgifter. Observationerna
videofilmades av oss. Då tanken med studien var att se om eleverna tillsammans kunde
komma fram till hur uppgifterna skulle lösas, valde vi att inte ge några instruktioner.
Test årskurs två
Testet i årskurs två genomfördes under en paus i den ordinarie undervisningen på
förmiddagen. Hälften av eleverna fick ett test innehållande figursymbol och den andra
halvan bokstavssymbol. Vi delade ut testet och gav dem instruktionen att försöka lösa
uppgifterna enskilt. Ingen ytterligare information gavs till eleverna.
Test årskurs sju
Testet i årskurs sju genomfördes under de första tio minuterna av en matematiklektion.
Hälften av eleverna fick ett uttryck innehållande figursymboler och den andra halvan
bokstavssymboler. Vi var närvarande när testet delades ut och instruktioner fanns på
pappret. Eleverna blev tillsagda att uttrycket skulle lösas enskilt. Inga frågor besvarades.
12
4.4 Databearbetning och tillförlitlighet
Observation
Videoupptagningen
av
observationsstudien
i
årskurs
fem
transkriberades
och
svarsalternativen delades in i löser och löser inte samt fördelningen bland de lösta
uppgifterna mellan bokstavssymbol och figursymbol. Reliabiliteten kan i vårt fall ha
påverkats av att den ena klassläraren valde att placera sina fyra duktigaste elever i samma
grupp, detta kan ha lett till missvisande resultat då deras kunskaper kan ha legat över
genomsnittet och kan därför inte sägas representera den genomsnittliga femteklassaren.
Test årskurs två
Testen från årskurs två sammanställdes i kategorierna löser och löser inte samt
fördelningen bland de lösta uppgifterna mellan bokstavssymbol och figursymbol.
Test årskurs sju
Testen från årskurs sju sammanställdes i kategorierna löser, löser delvis och löser inte samt
fördelningen bland de lösta och delvis lösta uppgifterna mellan bokstavssymbol och
figursymbol.
För samtliga delundersökningar bör försiktighet tas gällande generalisering av resultaten då
studien är utförd i ett fåtal klasser i skolor belägna i mindre städer i södra Sverige. Vidare
kan det externa bortfallet vara av betydelse då vi inte vet hur väl dessa elever skulle ha
klarat av uppgifterna.
13
5 Resultat
I detta avsnitt presenteras resultaten från undersökningarna i följande ordning:
observationsstudie i årskurs fem följt av testet i årskurs två och slutligen testet i årskurs sju.
5.1 Resultat observationsstudie
Elevsvaren har delats in i löser och löser inte.
Tabell 1. Sammanställning av resultat för de grupper som
arbetat med stjärna i uppgifterna.
Uppgifter
Grupp 1
Grupp 2
Grupp 3
Grupp 4
1. 8 = 5+
Löser
Löser
Löser
Löser
2. 4
=12
Löser
Löser
Löser
Löser
3. 2
-2 = 6
Löser
Löser
inte
Löser
Löser
inte
Löser
Löser
inte
Löser
Löser
inte
4.
+3 = 2
Som framgår av tabell 1 klarade ingen av grupperna att lösa uppgift fyra, men övriga
uppgifter löstes av samtliga grupper.
Elevkommentarer:
Några exempel på utmärkande kommentarer från eleverna som hade stjärna i uppgiften
följer här:
Man ska skriva siffran inne i stjärnan. (grupp 2, uppgift 1).
Man kanske kan säga att det är två stycken av stjärnorna liksom, så blir det liksom
gånger. (grupp 4, uppgift 3).
Men det är ju inget tecken, då måste det va´ gånger. (grupp 1, uppgift 2).
Men då måste man kunna skriva vilken siffra man vill. (grupp 3, uppgift 4).
Det blir 20, skriv en nolla i stjärnan bara. (grupp 2, uppgift 4).
Tabell 2. Sammanställning av resultat för de grupper som
14
arbetat med bokstav i uppgifterna.
Uppgifter
1. 8 = 5+ x
2. 4x = 12
3. 2x – 2 = 6
4. X+3 = 2x
Grupp 5
Löser
Löser
inte
Löser
inte
Löser
inte
Grupp 6
Löser
Löser
Löser
Löser
inte
Grupp 7
Löser
Löser
inte
Löser
inte
Löser
inte
Grupp 8
Löser
Löser
Löser
Löser
inte
Som tabell 2 visar klarade ingen av grupperna att lösa uppgift fyra, men samtliga grupper
löste uppgift ett. Lösningsfrekvensen för uppgift två och tre var 50 procent.
Elevkommentarer:
Några exempel på utmärkande kommentarer från eleverna som hade bokstav i uppgifterna
följer här:
Om vi sätter 8:a där, så kan vi bara lägga till på andra sidan så stämmer det ju.
(grupp 7, uppgift 2).
Elev1: fyra plus åtta blir tolv. Elev 2: men det står faktiskt inte plus. Elev 1: nä, men
det kan man bara skriva dit där. (grupp 6, uppgift 2).
Elev 1 skriver en nolla ovanför x:et. Elev2: men nu stämmer inte den, 20 minus två
är inte sex. Elev1: men vi kan ju inte, så det får stå så. (grupp 5, uppgift 3).
15
5.2 Resultat test årskurs två
Nedan följer svaren till de uppgifter som årskurs två genomförde. Först redovisas
lösningsfrekvensen oberoende av symbol, följt av symbolfördelningen bland de lösta
uppgifterna.
Slutligen
redovisas
lösningsfrekvensen
för
figursymbol
respektive
bokstavssymbol. Elevsvaren har delats in i löser och löser inte.
Lösningsfrekvens för samtliga åk två
löser
48%
52%
Figur 1.
löser inte
Lösningsfrekvensen för samtliga elever i årskurs två
oberoende av figursymbol och bokstavssymbol.
Som figuren visar klarade mindre än hälften av eleverna att lösa uppgifterna, 5 = 2 +
respektive 5 = 2 + a och 6 – = 4 respektive 6 – a = 4, oberoende av om de fick en
bokstavssymbol eller en figursymbol. Det framgår inte av figuren vilken symbol som har
störst lösningsfrekvens, då ett delmål med detta test var att enbart se ifall barn i denna ålder
klarar av uppgifter av denna sort.
16
Jämförelse bokstav/stjärna bland de lösta uppgifterna
29%
bokstav
stjärna
71%
Figur 2.
Procentuell skillnad mellan bokstav och stjärna
bland de elever som löst uppgiften.
I figur 1 visas att endast 48 procent löste uppgifterna. Men i figur 2 kan ses att av dessa 48
procent hade 71 procent uppgifter innehållande stjärna, vilket är en stor majoritet.
17
Lösningsfrekvens för elever med stjärna åk två
31%
löser
löser inte
69%
Lösningsfrekvens för de elever som fick en stjärna
Figur 3.
i uppgiften.
Lösningsfrekvens för elever med bokstav åk två
28%
löser
löser inte
72%
Figur 4.
Lösningsfrekvens för de elever som fick en bokstav
i uppgiften.
Dessa diagram illustrerar den skillnad vi ville undersöka angående själva symbolens
betydelse. Av figur 3 och 4 går att utläsa att av de elever som hade en stjärna i sin uppgift
klarade mer än två tredjedelar att lösa den. För de elever som hade en bokstav i uppgiften
blev resultatet nästan det omvända, det vill säga mer än två tredjedelar klarade inte av att
lösa den.
18
5.3 Resultat test åk sju
Resultaten inleds med en presentation av lösningsfrekvensen för alla elever oberoende av
symbol. Därefter redovisas fördelningen av symbol i relation till helt och delvis löst
uppgift. Slutligen illustreras andelen elever som förstått helt och delvis beroende av
symboltilldelning.
Vi har valt att dela in elevsvaren i tre olika kategorier efter hur väl de besvarat uppgiften,
= 2 +
respektive a = 2 + b. Dessa kategorier är: Förstår helt, förstår delvis samt
förstår inte. De elever som placerats i kategorin förstår helt har visat att de förstått både att
respektive a är större än
respektive b och att den är två större. Eleverna i kategorin
förstår delvis har visat på en förståelse för att
respektive a är större än
respektive b
men inte kunnat specificera hur mycket större. I den sista kategorin förstår inte har eleverna
inte visat någon förståelse för denna uppgift. De har inte klarat av att säga något korrekt om
storleksförhållandena.
Resultat för alla
10%
27%
förstår helt
förstår delvis
förstår inte
63%
Figur 5. Resultatet sammantaget för alla elever
oberoende av figursymbol och bokstavssymbol.
Figur 5 illustrerar i vilken utsträckning eleverna förstod uttrycket, den visar att en majoritet
av eleverna inte kunde redogöra för något korrekt svar. Endast en tiondel av alla elever
kunde ge ett fullständigt svar på uppgiften och något fler, nästan tre tiondelar, kunde ange
rätt variabel som den största men nådde inte ända upp till att förstå helt.
19
Förstår helt
33%
Symbol
Bokstav
67%
Figur 6. Andelen elever av dem som gav ett korrekt svar
som haft figursymbol respektive bokstavssymbol i uppgiften.
Figur 6 illustrerar att två tredjedelar av de fullständigt korrekta svaren kom från elever som
fått bokstäver i uppgiften. Lösningsfrekvensen för de elever med figursymbol var inte
bättre, utan bara hälften så bra som de med bokstavssymbol.
Här följer några exempel på olika svarsalternativ vi fick på vår uppgift från de elever som
gav ett korrekt svar:
Stjärnan är två större än månen.
a är störst. Den är en 2 större än b.
Stjärnan är två av någon enhet större än månen.
20
Förstår delvis
38%
Symbol
Bokstav
62%
Figur 7. Andelen elever av dem som gav ett delvis
korrekt svar som haft figursymbol respektive
bokstavssymbol i uppgiften
För att fastställa ifall figursymboler främjar förståelsen för algebra infördes svarskategorin
förstår delvis, som visar på någon grad av förståelse, vars resultat visas i figur 7. Ur figur 5
går att utläsa att knappt en tredjedel av alla elever förstod uppgiften till viss del, men av
dessa elever hade en majoritet en figursymbol istället för en bokstavssymbol, se figur 7.
Här följer några exempel på olika svarsalternativ vi fick på vår uppgift från de elever som
bara delvis givit ett korrekt svar:
Om vi säger att stjärnan representerar fem och månen tre så kan det bli typ så här:
5=2+3 = 3+2=5
Stjärnan är större men jag vet inte hur mycket större men kanske två gånger större.
a är störe än b. om b är 1+2 då blir a 3.
Här följer några exempel på olika svarsalternativ vi fick på vår uppgift från de elever som
inte klarade av att lösa uppgiften:
från en planet så ser det ut som en stjärna.
Svaret blir 10. tjärnan har 10 hörn och där är en tvåa och 2+8=10.
Stjärnan är större än månen för att 2:an är stjärnan!? (på något sätt).
En måne är en stjärna så två halv månar är en stjärna.
21
Månen är störst eftersom att stjärnor är mindre.
b är större för att a är den första bokstaven i alfabettet så b är är större.
Det blir ett d. de är lika mycket värda. De är grannar.
a och b = lika mycket (2). b= dubbelt så mycket.
Om man tänker sig en våg är b+_=a.
Där är en 2 imellan. Det är bokstäver.
Bokstav
Symbol
7%
13%
20%
förstår helt
förstår helt
35%
förstår delvis
förstår inte
förstår delvis
förstår inte
58%
67%
Figur 8. Resultat för eleverna som hade bokstavs-
Figur 9. Resultat för eleverna som hade figur-
symboler i sin uppgift.
symboler i sin uppgift.
Vi vill visa på skillnaden mellan de som helt och delvis förstått i en jämförelse av olika
typer av symbol. Figurerna 8 och 9 illustrerar att i jämförelsen mellan bokstavssymbol- och
figursymboluppgifterna var det större andel elever som sammantaget helt eller delvis
förstod uppgiften bland dem som fick figursymboler i uppgiften i relation till de elever som
hade bokstavssymboler. Dock var andelen som gav ett helt korrekt svar större bland de
elever som fick räkna med bokstäver.
22
6 Diskussion och slutsatser
6.1 Vilken betydelse har symbolen vid algebraräkning?
Denna frågeställning grundar sig på att vi hade en hypotes om att eleverna skulle uppleva
algebra enklare om vi bytte de vanligt förekommande bokstäverna mot figursymboler
istället. Många elever vi mött under vår verksamhetsförlagda tid har uttryckt att de tycker
att det är svårt att förstå varför det står en bokstav bland siffrorna och de kan inte förstå hur
det kan ha med matematik att göra. Andra undersökningar ger också stöd för detta.34
Anledningen, tror vi, är att bokstäverna redan har en bestämd betydelse i form av alfabetet.
Eleverna har inte blivit förberedda på att matematiken kan ta sig andra uttryck än i siffror.
Detta kan bero på att eleverna under sin pre-algebra tid endast har arbetat med en tom ruta
eller övertäckande av term och sedan blir negativt överraskade när det istället står en
bokstav på denna plats.35 Man skulle kunna hävda att användandet av tom ruta inte är annat
än uteslutningsmetoden och har inget med algebra att göra.36 Förvisso är det sant att man
inte algebraiskt räknar ut dessa tal men vi vill påstå att det är en oerhört viktig förberedande
del inför algebran då eleverna lär sig arbeta med obekanta tal. Skulle detta förarbete saknas
skulle eleverna bli överraskade då de för första gången stöter på en bokstav i matematiken.
Algebra måste föregås av inledande algebra, som i sin tur måste föregås av pre-algebra.
Observationsstudien vi genomförde i årskurs fem gav bara delvis stöd för vår hypotes om
att figursymboler skulle underlätta algebran. Det visade sig att den ena skolans elever hade
stött på ganska mycket pre-algebra sedan tidigare och hade därför inga problem att lösa
uppgifterna oberoende av bokstavssymbol/figursymbol. Den andra skolans elever var
relativt nya inför denna typ av uppgift och skillnad kunde märkas mellan de olika
grupperna. De hade enbart stött på ett fåtal exempel av denna sort i matematikboken från de
första skolåren. Det är svårt att dra en slutsats då gruppernas kunskapsnivåer inte var
homogena. Det verkar dock som att de som inte räknat så mycket pre-algebra uppgifter
Grønmo, L S (1999), Nämnaren tema (1997)
Persson, P-E (2005), Nämnaren tema (1997)
36
The roles of representation
34
35
23
tidigare hade lättare för att lösa uppgifterna innehållande stjärna än med bokstav. Detta
resultat fick vi även i årskurs två där vi genomförde ett test. Mer än 70 procent av alla
elever som lyckades lösa uppgiften hade en uppgift innehållande en stjärna. Dessa elever
har endast vid ett fåtal tillfällen räknat uppgifter med tom ruta eller dylikt. Resultatet visar
att valet av symbol har viss betydelse. Testet som genomfördes i årskurs sju visade att av
dem som helt kunde förklara uttrycket var majoriteten elever som fick en bokstav i sitt
uttryck. Vad som är intressant att poängtera är däremot att sammantaget av de elever som
helt och delvis kunnat förklara uttrycket hörde majoriteten till gruppen som hade stjärna
och måne i uttrycket. Detta syns tydligt i en jämförelse av figur 8 och 9.
6.2 Övergången från pre-algebra till algebra
Övergången från pre-algebra till algebra utgör ett kritiskt skede37 och av den orsaken anser
vi att det är viktigt att ta upp som frågeställning om läraren kan underlätta denna med hjälp
av valet av symbol. En lyckad övergång från pre-algebra till algebra kan inte endast
tillskrivas valet av symbol, många andra faktorer spelar också stor roll. Ofta är
algebrauppgifterna på en för hög nivå för eleverna och de kan inte relatera matematiken till
verkligheten. Av betydelse är att försöka komma ifrån att bara använda ett streck eller en
tom ruta att fylla i sin pre-algebra. Risken med detta kan vara att eleverna kan skapa sig en
felaktig uppfattning om algebra och tro att det alltid ser ut på detta sätt. När de sedan för
första gången möter en bokstav i matematiken så blir de förvirrade. Faran med en hastig
övergång från pre-algebra till algebra är att eleverna ser bokstaven som en del av alfabetet
och inte kan se den som representant för en klass av tal.38 Om eleverna istället får
konstruera sina egna uppgifter med egenvalda symboler för att ersätta den tomma rutan39
skapas en bättre förståelse för att vilket tecken som helst kan beteckna det okända. I våra
undersökningar, från årskurs två och fem, skrev de flesta barnen in siffran i stjärnan. En
förklaring kan vara att de upplever det enklare när de kan skriva siffror inuti symbolen då
de vet att det är på den platsen siffran ska stå. Läraren bör därför, enligt oss, i början välja
symbol efter detta kriterium. Vilken symbol som väljs, till exempel en boll, ett hjärta, en
Nämnaren tema (1997)
Nämnaren tema (1997)
39
Persson, P-E (2005)
37
38
24
fisk, spelar mindre roll så länge som eleverna kan skriva inuti den. När eleverna väl är
bekanta med detta introduceras symboler som inte längre går att skriva inuti. På så vis
vänjer sig eleverna vid att det okända kan ta sig många olika uttryck och övergången till
bokstavsräkning blir mer naturlig.
6.3 När bör pre-algebra introduceras?
Under arbetets gång började vi fundera över om svenska elevers algebrakunskaper skulle
kunna förbättras genom en tidigare introduktion av pre-algebra. Studier har visat att
svenska elever är under genomsnittet ur ett internationellt perspektiv i algebra. 40 Vår tanke
var då att deras förkunskaper möjligen var för dåliga och att det eventuellt beror på att de
inte haft tillräcklig pre-algebra undervisning under grundskolans tidiga år. Efter att ha
kritiskt granskat matematikböcker41 för olika årskurser fann vi en väldig brist på prealgebra övningar. Det kan vara så att avsaknaden på tillräcklig undervisning är orsaken till
elevernas bristfälliga kunskaper inom området. Då väcktes frågan om när pre-algebra bör
introduceras för att ett bättre resultat ska uppnås. Piaget är en framstående forskare inom
matematik och beteendevetenskap vars teorier fortfarande är aktuella. Enligt honom klarar
ett barn i sjuårsåldern av att göra enkla beräkningar såsom att räkna med kulor och
pengar.42 De borde därför också klara av enkla pre-algebra uppgifter. Vi ville undersöka
detta och genomförde därför ett test i årskurs två där eleverna fick lösa en enkel algebraisk
uppgift.
Undersökningen visade att lösningsfrekvensen var betydligt högre hos de barn som hade en
stjärna som symbol, se figur 2 s.17. Den visade också att cirka häften lyckades lösa
uppgiften, se figur 1 s. 16, vilket visar på att de inte är för unga för denna typ av uppgifter.
Bokstäver är för abstrakt för denna åldersgrupp43 vilket tydligt visade sig då endast åtta av
29 elever lyckades lösa uppgifter innehållande bokstav. Däremot bland de elever som fick
lösa uppgifter innehållande stjärna var resultatet det omvända, 20 elever löste uppgiften och
40
Persson, P-E (2005), Skolverket (1996)
Rockström, B & Lantz, M (1995), Öreberg, C et al. (1991), Öreberg, C et al. (1984)
42
Gardner, H (1983)
43
Gardner, H (1983)
41
25
nio klarade det inte. Denna undersökning visar på att barn är mogna för pre-algebra redan i
tidig ålder men att valet av symbol bör vara genomtänkt och varierat, gärna uppgifter med
symboler eleverna kan skriva inuti. Det finns dock en risk med detta, eleverna kan felaktigt
få uppfattningen att de alltid ska skriva svaret inuti symbolen och förstår då inte att
symbolen ska representera något okänt, som inte alltid har ett givet svar utan ibland bara
anger förhållandet till ett annat tal.
Då svenska elever upplever tidspressen som den största påverkande faktorn för varför de
inte har tillräckliga kunskaper inom algebra44 måste vi lärare fråga oss hur vi kan minska
denna känsla. Algebra är ett omfattande område inom matematik som måste ges tid att
mogna fram.45 Då kan det verka märkligt att vi i Sverige introducerar algebra senare än i
övriga länder.46 Man kan fråga sig varför det skiljer sig när människor i alla länder mognar
i samma ålder, borde då inte alla börja med algebra samtidigt? Inte nog med att vi i Sverige
börjar med algebra senare, vi har även, internationellt sett, lite tid avsatt för matematik i
skolan. Med tanke på detta är det kanske inte så konstigt att svenska elever presterar sämre
i algebra än elever i övriga länder. För att kunna befästa sina kunskaper krävs tid till
reflektion och konstruktiv feedback. Det är viktigt att alla elever ges möjlighet att komma
till tals och få argumentera för sin åsikt, men för detta krävs tid som idag inte finns. Enligt
oss borde den bästa lösningen vara att elever ges tid genom hela grundskolan att bygga upp
algebra kunskaper redan från tidig ålder. I en sådan situation får eleverna en kontinuerlig
kontakt med algebra vilket torde resultera i en större erfarenhet och självsäkerhet.
Förtjänsten med detta blir att när eleverna börjar på högstadiet har de redan tillräckliga
kunskaper för att börja med den verkliga algebran med dess abstrakta tänkande. Läraren
behöver då inte ta viktig tid från detta område för att repetera pre-algebra kunskaper som de
redan borde ha med sig från mellanstadiet.47 Det är viktigt att vi tar till vara på tiden vi har
till vårt förfogande, inte bara antalet matematiktimmar som finns per vecka utan även i ett
långsiktigt perspektiv, att man börjar tidigt och låter matematiken mogna fram. Resultatet
44
Persson, P-E (2005)
Oltenau, C (2001)
46
Nämnaren tema (1997)
47
Skolverket (2000)
45
26
vi vill uppnå är att eleverna ska känna minskad stress och därmed bli mer mottagliga för
kunskap.
Även om tanken bakom idén till tidigare och mer intensiv introducering av pre-algebra är
god så finns vissa ovissheter med den. Risken är att ett större utrymme för pre-algebra tas
på bekostnad av den övriga matematikundervisningen och den grundläggande aritmetiken.
Lyckas läraren finna en bra balans mellan de två kan vi inte se något hinder för att lära prealgebra samtidigt som aritmetik, för vi anser att de båda går hand i hand.
I kursplanen för matematik i grundskolan står att man i årskurs fem ska kunna bestämma
obekanta tal i enkla formler.48 Vi anser att detta inte efterlevs och att kunskaperna är alltför
bristfälliga då elever börjar på högstadiet. Av de elever i årskurs sju, som deltog i vår
enkätstudie, klarade över 50 procent inte av att tyda ett enkelt uttryck. Ett uttryck som
enligt oss är inte är svårare än en enkel formel, som elever enligt kursplanen ska kunna lösa
redan efter årskurs fem. Vi undrar då var det brister? Är det kursplanen som ställer för låga
krav eller är det lärarna i grundskolans tidiga år som brister i sin undervisning? Enligt vår
mening är det en kombination av de båda, för om kursplanen ställer högre krav tidigare
tvingas lärarna anpassa sig efter dem. Vi menar inte att eleverna ska behärska algebra när
de kommer upp på högstadiet men att en fullgod pre-algebra kunskap ska finnas som
omfattar de fyra räknesätten, inte bara addition och subtraktion. Ett första steg i rätt riktning
vore att skriva om matematikböckerna, då vi anser att de innehåller alldeles för lite prealgebra uppgifter. De få uppgifter som finns ter sig i samma konstellation, det är alltid ett
streck eller en tom ruta som ska fyllas i. Variation mellan olika utseende på den obekanta
tror vi är viktigt för att barnet ska förstå att det kan se olika ut.
Vidare står i kursplanen för matematik i grundskolan att man efter årskurs nio ska kunna
tolka och kunna använda enkla formler, lösa enkla ekvationer, samt kunna tolka och
använda grafer till funktioner som beskriver verkliga förhållanden och händelser. 49 Vi
tycker att detta är rimliga uppnående mål men vi betvivlar att de uppnås i de flesta skolor.
48
49
Skolverket (2000)
Skolverket (2000)
27
Av egna erfarenheter har vi sett att det inte är så då vi under vår verksamhetsförlagda tid
har lagt märke till brister inom i synnerhet användandet av grafer. Orsaken skulle kunna
vara att då eleverna inte behärskar den grundläggande pre-algebran måste tid tas av
undervisningen på högstadiet till att lära dem det som de redan borde kunna. Detta
resulterar i att de tre åren då man skulle undervisa i algebra blir till ett eller två år och denna
tid är inte tillräcklig för att uppnå målen.
6.4 Sammanfattning av slutsatser
Följande är resultaten i denna studie:
Typen av symbol, som väljs för att representera det okända, har viss betydelse,
framförallt i de tidiga skolåren.
För att underlätta övergången från pre-algebra till algebra bör man välja en symbol
som går att skriva inuti.
Tendensen visar att elever är mogna för pre-algebra i tidig ålder.
6.5 Resultatets tillförlitlighet
Vi kan inte dra några generella slutsatser utifrån någon av undersökningarna då de bara har
genomförts i södra Sverige och ingen av dem i en storstad. Eleverna som deltagit kan därför
inte sägas representera Sveriges elever generellt då kunskapsnivån kan skilja sig mellan
storstad och småstad samt mellan södra och norra Sverige.
Observationen som genomfördes i årskurs fem brister i tillförlitlighet då eleverna på den
ena skolan hade mer förkunskaper inom algebra än de på den andra skolan. Även
kunskapsnivån grupperna emellan skilde sig åt, vilket kan ha lett till ett felaktigt resultat. I
efterhand har vi insett att uppgifterna vi valde inte var optimala för denna undersökning då
de snarare undersökte elevernas algebra färdigheter hellre än symbolens betydelse. Skulle
vi få möjlighet att göra om undersökningen hade vi valt att istället lämna ut ett test även till
årskurs fem, utan nivåstegring på uppgifterna då det inte är elevernas algebra kunskaper vi
ämnat undersöka utan själva symbolens betydelse.
28
6.6 Förslag till fortsatt forskning
Det vore intressant att genomföra en longitudinell undersökning som sträcker sig över hela
grundskolans tid där två skolor jämförs. Den ena skolan skulle då arbeta med algebra som
det görs idag och den andra efter vår modell med tidigarelagd och mer intensiv prealgebra/algebra undervisning. Vår skola skulle då introducera pre-algebra i årskurs ett med
laborativa inslag och ett varierat val av symbol. Nivån skulle sedan stegras så att eleverna i
årskurs sex har så pass befästa algebrakunskaper att de behärskar formler innehållande alla
de fyra räknesätten. Vår förhoppning är att de då skulle vara redo för att möta den mer
abstrakta algebran på högstadiet. Detta skulle kunna mätas genom två test, ett i slutet av
årskurs sex och ett i slutet av årskurs nio, för att se om kunskaperna har förbättrats.
29
7 Referenser
Björk, L-E et al. (1997). Matte till 1000. Falköping: Gummessons Tryckeri AB.
Carlsson, L-G & Ingves, H & Öhman, K (1998) Tetra A. Malmö: Bäcklunds Boktryckeri
Aktiebolag.
Carlsson, S & Hake, K-B & Öberg, B (2002). Matte Direkt. Trelleborg: Berlings Skogs.
Gardner, H (1994). De sju intelligenserna. Falun: Scandbook.
Grønmo, L S (1999). Att sätta ord på algebra, Nämnaren nr 1, s.19-25.
Grønmo, L S & Rosén, B (1998). Att förstå algebra, Nämnaren nr 4, s.35-41.
Johansson, B & Svedner, P O (2001). Examensarbetet i lärarutbildningen. Uppsala:
Kunskapsföretaget
Lefrancois, G R (1994). Psychology for teaching. Wadsworth publishing company:
Belmont, California
Mårtensson, G & Svensson, L (1988). Beta. Arlöv: Berlings Tryckeri.
National council of teachers of mathematics reston (2001). The roles of representation in
school mathematics. USA.
Nationalencyklopedin. Hämtat från http://www.ne.se. Uppdaterad 2005. Hämtat 15
november 2005.
Nämnaren Tema (1997). Algebra för alla. Kungälv: Grafikerna Livréna i Kungälv AB.
Oltenau, C (2000). Varför är skolalgebran svår? Hämtat från http://tsunami.hkr.se/.
Publicerad 02-2003. Hämtat 14 november 2005.
Oltenau, C (2001). Vilka är elevernas svårigheter i algebra? Hämtat från
http://tsunami.hkr.se/. Publicerad 03-2003. Hämtat 14 november 2005.
Persson, P-E (2005). Bokstavliga svårigheter. Faktorer som påverkar gymnasieelevers
algebralärande. Luleå: Universitetstryckeriet.
Rockström, B & Lantz, M (1995) Matteboken 1a. Uppsala: Almqvist & Wiksell Tryckeri.
30
Skolverket (2000) Grundskolan kursplaner och betygskriterier. Stockholm:
Skolverket/Fritzes.
Skolverket (2003). Lusten att lära – med fokus på matematik. Skolverkets rapport nr 221.
Hämtat från http://www.skolverket.se. Publicerad 2003. Hämtat 15 november 2005.
Skolverket (1996). Svenska 13-åringars kunskap inom matematik och naturvetenskap i ett
internationellt perspektiv. Hämtat från http://www.skolverket.se. Publicerad 1996. Hämtat
15 november 2005.
Skolverket (2003). TIMSS 2003- Trends in International Mathematics and Science Study.
Hämtat från http://www.skolverket.se. Uppdaterad 2005. Hämtat 16 januari 2006.
Skoogh, L et al. (2002) Möte med matte D. Falköping: Elanders Gummessons.
Undvall, L & Olofsson, K-G & Forsberg, S (2001) Matematikboken X. Örebro: DB
Grafiska AB.
Öreberg, C et al. (1984) Alfa C. Kristianstad: Kristianstads Boktryckeri AB.
Öreberg, C et al. (1991) Talriket A. Arlöv: Berlings.
31
32
8 Bilagor
Bilaga 1
Hejsan föräldrar,
Vi heter Linda och Caroline och vi går sista terminen på lärarhögskolan i Malmö. Det enda
som är kvar för oss att göra innan vi är färdiga lärare är att skriva vårt examensarbete och
det tänker vi göra inom ämnet matematik. Då ett examensarbete måste grunda sig i
forskning hoppas vi kunna göra denna forskning i bl a ert barns klass. Vi vill därför be om
ert tillstånd att observera ert barn då han/hon löser matematikproblem. Vi kommer att
dokumentera detta genom att videofilma. Filmen kommer endast att användas i
forskningssyfte och ingen annan än vi och ett fåtal lärare på Malmö lärarhögskola kommer
att se den. Era barn kommer inte att namnges i vårat examensarbete, de kommer att få
påhittade namn vid behov.
Vi vore väldigt tacksamma om ni ville ge ert tillstånd till att vi observerar ert barn.
Tack på förhand/
Linda & Caroline
Ja, vi ger tillåtelse att vårat barn observeras och filmas.
Nej, vi ger inte tillåtelse att vårat barn observeras och filmas.
Elevens namn:____________________________________________
Målsmans underskrift:____________________________________
33
Bilaga 2a
1.
8=5+x
2.
4x = 12
3.
2x – 2 = 6
4.
x + 3 = 2x
34
Bilaga 2b
1.
8=5+
2.
4
=12
3.
2
–2=6
4.
+ 3 =2
35
Bilaga 3a
1.
5=2+a
2.
6-a=4
36
Bilaga 3b
1.
5=2+
2.
6-
=4
37
Bilaga 4a
Vad kan man säga om storleksförhållandet mellan a och b?
a=2+b
38
Bilaga 4b
Vad kan man säga om storleksförhållandet
mellan
och
?
=2+
39
