MaI_2_141215

TENTAMEN
Kursnummer:
Moment:
Program:
Rättande lärare:
Examinator:
Datum:
Tid:
Hjälpmedel:
Omfattning och
betygsgränser:
HF0021
Matematik för basår I
TEN2
Tekniskt basår
Marina Arakelyan, Jonas Stenholm & Håkan
Strömberg
Niclas Hjelm
2014-12-15
08:15-12:15
Formelsamling: ISBN 978-91-27-72279-8
eller ISBN 978-91-27-42245-2 (utan
anteckningar). Inga andra
formelsamlingar är tillåtna!
Miniräknare, penna, radergummi, linjal,
gradskiva
För betyget P krävs 12p.
Slutbetyget på kursen ges av poängsumman
från TEN1 och TEN2. Dessa måste båda ha
avklarats med betyg P.
Poäng
24 – 28
29 – 34
35 – 40
41 – 46
47 – 52
Betyg
E
D
C
B
A
Till samtliga uppgifter krävs fullständiga
lösningar. Lösningarna skall vara tydliga
och lätta att följa.
Införda beteckningar skall definieras.
Uppställda samband skall motiveras.
Skriv helst med blyertspenna!
Lycka till!
Student som är godkänd på KS4 hoppar över uppgift 1-4
1. Beräkna 𝑓′(𝑥) om
a) 𝑓(𝑥) =
2
𝑥2
+ 7𝑥 4
(1p)
b) 𝑓(𝑥) = 3 ∙ 4𝑥 − 2𝑒 −2𝑥
(1p)
2. Beräkna derivatan av 𝑓(𝑥) = −𝑥 2 −
3. Bestäm tangenten till kurvan
𝑥
7
y( x) 
med hjälp av derivatans definition.
x  2 x då x=1
(2p)
(2p)
4. Lös ekvationen
𝑙𝑔2 + 𝑙𝑔𝑥 = 2 𝑙𝑔(𝑥 − 4)
(2p)
Dessa uppgifter gör alla
5. Albin sätter in 4000 kr på ett bankkonto med årsräntesatsen 1,40 %. Efter hur många år har Albin
mer än 5000 kr på kontot?
(2p)
6. En cirkel har medelpunkten i skärningspunkten mellan 𝑦 = 𝑥 + 6 och 𝑥 = −4. Bestäm ekvationen
för cirkeln om den tangerar y-axeln.
(2p)
7. Punkten P, med koordinaterna (-a; 0,94), ligger på enhetscirkeln i andra kvadranten. Bestäm talet a.
(2p)
8. I triangeln ABC är AB=6,0 cm, AC=4,0 cm och vinkeln C är 120°. Bestäm triangelns övriga vinklar.
(2p)
9. Ett område består av två halvcirklar samt ett rektangulärt område. Runt detta område ska ett
motionsspår med längden 5000 meter läggas (se nedan). Vilka mått ska den gula rektangeln ha om
dess area ska vara maximal?
(3p)
10. Funktionen 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 3𝑥 2 + 3𝑥 − 1 skär y-axeln i punkten A.
I punkten A dras en tangent till f(x) . Denna tangent skär x-axeln i punkten B. Bestäm exakt längden
av sträckan AB.
(2p)
11. En mugg med kaffe placeras utomhus där temperaturen är 0,0° C. Temperaturen i muggen med
kaffe avtar exponentiellt med tiden. Efter 5,0 minuter är temperaturen i kaffet 50° C och efter 9,0
minuter har temperaturen sjunkit till 30° C. Vid vilken tidpunkt har kaffet temperaturen 20°?
(2p)
12. Bestäm konstanterna a och b så att funktionen
𝑠(𝑡) = 𝑡 3 + 𝑎𝑡 2 + 𝑏𝑡 + 1 får ett minimum i punkten (1,1).
(3p)
Förslag till lösningar:
1. Beräkna 𝑓`(𝑥) om
2
a) 𝑓(𝑥) =
𝑥2
+ 7𝑥 4 = 2𝑥 −2 + 7𝑥 4
𝑓´(𝑥) = (−2) ∙ 2𝑥 −3 + 7 ∙ 4𝑥 3 = −4𝑥 −3 + 28𝑥 3
b) 𝑓(𝑥) = 3 ∙ 4𝑥 − 2𝑒 −2𝑥
𝑓´(𝑥) = 3 ∙ 𝑙𝑛4 ∙ 4𝑥 − (−2) ∙ 2𝑒 −2𝑥 = 3 ∙ 𝑙𝑛4 ∙ 4𝑥 + 4𝑒 −2𝑥
Svar:
a) 𝒇´(𝒙) = −𝟒𝒙−𝟑 + 𝟐𝟖𝒙𝟑
b) 𝒇´(𝒙) = 𝟑 ∙ 𝒍𝒏𝟒 ∙ 𝟒𝒙 + 𝟒𝒆−𝟐𝒙
2. 𝑓(𝑥)
𝑥
= −𝑥 2 − 7
𝑓´(𝑥) = lim
1
𝑥+ℎ
𝑥
)−(−𝑥 2 − )
7
7
−(𝑥+ℎ)2 −(
ℎ→0
ℎ
1
= lim
𝑥 ℎ
7 7
−𝑥 2 −2𝑥ℎ−ℎ2 − − +𝑥 2 +
ℎ→0
ℎ
𝑥
7
= lim
ℎ→0
ℎ − 7 = − 2𝑥 − 7
Svar: 𝒇´(𝒙) = −𝟐𝒙 −
𝟏
𝟕
1
3. 𝑦(𝑥) = √𝑥 − 2𝑥 = 𝑥 2 − 2𝑥
(І)
Tangentens ekvation är:
y(x)=kx+m där k är lutningen. Lutningen beräknas genom att derivera (І):
1
𝑦´(𝑥) =
−
𝑥 2
2
−2
Vi söker 𝑦´(1):
1
𝑦´(1) =
−
1 2
2
3
3
2
2
− 2 = − dvs 𝑘 = −
Vi får tangentens ekvation:
3
𝑦(𝑥) = − 𝑥 + 𝑚
2
(ІІ)
ℎ
7
−2𝑥ℎ−ℎ2 −
ℎ
= lim −2𝑥 −
ℎ→0
Vi sätter in x=1 i (І) för att få fram y-koordinaten:
𝑦(1) = √1 − 2 ∙ 1 = −1
Insättning av (1, -1) i (ІІ):
3
1
2
2
−1 = − + 𝑚 ⟺ 𝑚 =
Dvs. tangentens ekvation är:
𝑦=−
3𝑥
2
+
1
2
Svar: Tangentens ekvation är 𝒚 = −
𝟑𝒙
𝟐
+
𝟏
𝟐
4.
𝑙𝑔2 + 𝑙𝑔𝑥 = 2 lg(𝑥 − 4)
Ekvationen skrivs om med logaritmlagarna:
𝑙𝑔2𝑥 = lg(𝑥 − 4)2
2𝑥 = (𝑥 − 4)2
2𝑥 = 𝑥 2 − 8𝑥 + 16
0 = 𝑥 2 − 10𝑥 + 16
Pq- formeln ger:
𝑥 = 5 ± √52 − 16 = 5 ± 3
𝑥 =8
{ 1
𝑥2 = 2
Ekvationens definitionsmängd är x>4 (eftersom 𝑙𝑔𝑥 och 𝑙𝑔(𝑥 − 4) inte är definierade annars)
Lösningen 𝑥2 = 2 är därför inte giltig.
Svar: Ekvationen har lösningen x=8.
5. Vi beräknar den tidpunkt då Albin har 5000 kr på sitt konto.
Albins pengar ökar enligt formeln:
𝑦 = 𝐶 ∙ 𝑎 𝑥 där C är startvärdet och a är förändringsfaktorn.
y är antalet kronor på kontot och x är tiden i år.
I uppgiften är årsräntesatsen 1,4 % , dvs a=1,014 och startvärdet 4000 kr.
Vi får
𝑦 = 4000 ∙ 1,014𝑥
Vi ska bestämma x år, då y=5000 kr:
5000 = 4000 ∙ 1,014𝑥
5
4
= 1,014𝑥
Logaritmering ger:
5
ln( ) = ln( 1,014𝑥 )
4
5
ln( ) = 𝑥 ∙ ln 1,014
4
5
𝑥=
ln(4)
ln 1,014
≈ 16,05
Svar: Efter 17 år har Albin över 5000 kr på kontot.
6. Cirkelns ekvation är:
(𝑥 − 𝑥0 )2 + (𝑦 − 𝑦0 )2 = 𝑟 2
(1)
Där medelpunkten är (𝑥0 , 𝑦0 ) samt r är cirkelns radie.
I vårt fall är medelpunkten skärningspunkten mellan 𝑦 = 𝑥 + 6
(1)
och 𝑥 = −4
(2)
Insättning av (2) i (1) ger:
𝑦 = −4 + 6 = 2 dvs. cirkelns medelpunkt har koordinaterna (-4,2)
Radien r fås till 4 enheter eftersom, enligt uppgift, cirkeln ska tangera y-axeln(avståndet från cirkelns
medelpunkt med koordinaterna (-4,2) och till y-axeln (där x=0) blir 4 enheter).
Insättning i (1) ger:
(𝑥 − (−4))2 + (𝑦 − 2)2 = 42 ⇔ (𝑥 + 4)2 + (𝑦 − 2)2 = 16
Svar: Cirkelns ekvation är (𝒙 + 𝟒)𝟐 + (𝒚 − 𝟐)𝟐 = 𝟏𝟔
7. Koordinaterna för punkten P är (-a; 0,94) men enligt definitionen av sinus och cosinus gäller även
att:
𝑃 = (cos 𝑣 , sin 𝑣)
Därför fås:
0,94 = sin 𝑣 ⇒ 𝑣 ≈ 70,05° eller 𝑣 ≈ 180° − 70,05 ≈ 109,95°
Eftersom punkten P ligger i andra kvadranten är det vinkeln 𝑣 ≈ 109,95° vi söker. Talet a blir då:
−𝑎 = 𝑐𝑜𝑠𝑣 ⇒ 𝑎 ≈ −𝑐𝑜𝑠109,95° ≈ 0,34
Svar: a=0,34
8. I triangeln ABC är AB=6,0 cm, AC=4,0 cm och vinkeln C är 120°. Bestäm triangelns övriga vinklar
Vinkeln B kan bestämmas genom sinussatsen:
sin 120°
6,0
=
sin 𝐵
4,0
⇔ sin 𝐵 =
4∙sin 120°
6,0
⇒ 𝐵 = 35,26° eller (B=180°-35,26°=144,74°.)
Den sistnämnda lösningen förkastas eftersom B inte kan vara större än 180°-120°=60°.
Triangelns sista vinkel gås genom:
180°-120°-35,26°=24,74°
Svar: De övriga vinklarna i triangeln är 35° och 25°.
9.
Med beteckningar enligt figur blir arean av rektangeln:
𝐴 =𝑑∙𝑥
(1)
Omkretsen för det inneslutna området är:
𝑂 = 𝜋 ∙ 𝑑 + 2𝑥 där O enligt uppgift är 5000 m.
Insättning ger:
5000 = 𝜋 ∙ 𝑑 + 2𝑥 ⇔ 𝑥 =
5000−𝜋∙𝑑
2
Ersätt x i ekvation (1):
𝐴 =𝑑∙(
5000−𝜋∙𝑑
2
) = 2500 ∙ 𝑑 −
𝜋𝑑 2
2
Arean är alltså här en funktion av d:
𝐴(𝑑) = 2500 ∙ 𝑑 −
𝜋𝑑 2
2
För att ta reda på funktionens extrempunkter ska 𝐴´(𝑑) = 0 beräknas:
𝐴´(𝑑) = 2500 − 𝜋 ∙ 𝑑
𝐴´(𝑑) = 0 ⇒ 0 = 2500 − 𝜋 ∙ 𝑑 ⇔ 𝑑 =
2500
𝜋
≈ 795,8 𝑚
Extrempunktens karaktär kontrollera med andraderivatan:
𝐴´´(𝑑) = −𝜋 < 0 för alla d, dvs. en maximipunkt
Värdet på x beräknas:
𝑥=
5000−𝜋∙𝑑
2
=
2500
𝜋
5000−𝜋∙
2
= 1250 𝑚
Svar: Rektangeln ska ha måtten 1250x796 m.
10.
𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 3𝑥 2 + 3𝑥 − 1 skär y-axeln i punkten A. Då gäller att x=0:
𝑓(0) = 03 − 3 ∙ 02 + 3 ∙ 0 − 1 = −1 (vilket också är tangentens m-värde)
Tangentens ekvation i punkten A (då x=0) fås genom att derivera f(x):
𝑓´(𝑥) = 3𝑥 2 − 6𝑥 + 3
f´(0) beräknas:
𝑓´(0) = 3 ∙ 02 − 6 ∙ 0 + 3 = 3
Dvs. tangenten har ekvationen:
𝑦 = 3𝑥 − 1
Punkten B fås då tangenten skär x-axeln dvs. då y=o:
𝑦 = 3𝑥 − 1
0 = 3𝑥 − 1 ⇔ 𝑥 =
1
3
1
Sträckan AB utgör hypotenusan i en rätvinklig triangel med kateterna och 1 enhet.
3
Sträckan AB:
1
1
9
3
9
9
𝐴𝐵 = ±√( )2 + 12 =± √ + = ±
Svar: Sträckan AB är
√𝟏𝟎
𝟑
√10
3
enheter (AB>0)
enheter lång
11.
Eftersom temperaturen y avtar exponentiellt med tiden fås följande samband:
𝑦(𝑡) = 𝐶𝑒 𝑘𝑡 där t är tiden i minuter samt y är temperaturen i °C.
Genom att vi vet att 𝑦(5,0) = 50 och 𝑦(9,0) = 30 får vi följande ekvationssystem:
kan vi bestämma värdena på C och k:
𝑦(5,0) = 𝐶𝑒 𝑘5,0
50 = 𝐶𝑒 𝑘5,0
{
𝑘9,0 ⇒ {
𝑦(9,0) = 𝐶𝑒
30 = 𝐶𝑒 𝑘9,0
Ledvis division ger:
50
30
=
𝐶𝑒 𝑘5,0
𝐶𝑒 𝑘9,0
5
𝑒 𝑘5,0
3
𝑒 𝑘9,0
⇔ =
5
⇔ = 𝑒 −𝑘4,0
3
5
ln ( ) = −𝑘 ∙ 4,0 ⇒ 𝑘 ≈ −0,1277
3
Insättning ger:
50 = 𝐶𝑒 −0,1277∙5,0 ⇒ 𝐶 ≈ 94,68
Vi får då:
𝑦(𝑡) = 94,68𝑒 −0,1277𝑡
Vi söker t då 𝑦(𝑡) = 20 :
20 = 94,98𝑒 −0,1277∙𝑡
20
= 𝑒 −0,1277∙𝑡
94,98
Logaritmering ger:
ln (
20
94,98
20
) = −0,1277 ∙ 𝑡 ⇔ 𝑡 =
ln(94,98)
−0,1277
≈ 12,2 min
Svar: Efter ca 12 minuter har kaffet temperaturen 30°.
12. Bestäm konstanterna a och b så att funktionen
𝑠(𝑡) = 𝑡 3 + 𝑎𝑡 2 + 𝑏𝑡 + 1 får ett minimum då s(1)=1.
Vi söker extrempunkterna till
𝑠(𝑡) = 𝑡 3 + 𝑎𝑡 2 + 𝑏𝑡 + 1
𝑠´(𝑡) beräknas:
𝑠´(𝑡) = 3𝑡 2 + 2𝑎𝑡 + 𝑏 . Vi vet att extrempunkter finns då t=1:
𝑠´(1) = 3 ∙ 12 + 2𝑎 ∙ 1 + 𝑏 = 3 + 2𝑎 + 𝑏 . Extrempunkter finns då 𝑠´(𝑡) = 0 :
0 = 3 + 2𝑎 + 𝑏
(1)
Villkoret att 𝑠(1) = 1 ger:
𝑠(1) = 13 + 𝑎12 + 𝑏 ∙ 𝑎 + 1 = 1 + 𝑎 + 𝑏 + 1
1= 1+𝑎+𝑏+1⇔ 0=1+𝑎+𝑏
(2)
(1) och (2) ger ekvationssystemet:
0 = 3 + 2𝑎 + 𝑏
{
0 =1+𝑎+𝑏
Ledvis subtraktion ger:
0 = 2 + 𝑎 ⇔ 𝑎 = −2
b fås då genom insättning i (2):
0 = 1 + (−2) + 𝑏 ⇔ 𝑏 = 1
Vi har alltså att
𝑠(𝑡) = 𝑡 3 − 2𝑡 2 + 𝑡 + 1
Kontroll behövs för att säkerställa att det är ett minimum. Andraderivatan beräknas:
𝑠´´(𝑡) = 6𝑡 − 4 men t=1 ger:
𝑠´´(1) = 6 ∙ 1 − 4 > 0 dvs ett minimum.
Svar:
a=-2, b=1
Rättningsmall:
1. a) rätt/fel
+1p/0p
b) rätt/fel
+1p/0p
2. Något smärre formellt fel
-1p
Fel svar
-2p
Använder ej derivatans definition
-2p
3. Korrekt beräknat k-värde
+1p
4. Ej förkastat falsk rot
-1p
5. Helt korrekt uppställt samband med insatta värden
+1p
Svarar med 16 år
6. Korrekt beräknad medelpunkt för cirkeln samt insatt i cirkelns ekvation
inget avdrag
+1p
7. Beräknar vinkeln v korrekt eller beräknar ett värde på a med pythagoras sats
+1p
8. En korrekt vinkel beräknad med någon metod
Använder sinussatsen utan att ta fram/kommentera två lösningar på en vinkel
9. Korrekt uttryck för arean i en variabel
+1p
-1p
+1p
Anger ej funktionens definitionsmängd
Kontrollerar ej typ av extrempunkt
10. Korrekt beräknad tangent
Svarar inte exakt
-1p
-1p
+1p
-1p
11. Korrekt beräknat k-värde
+1p
12. Korrekt uppställt samband mellan a och b
+1p
Kontrollerar ej typ av extrempunkt
-1p