Algebra och linjär algebra tillämpat i kombinatorik

Algebra och linjär algebra tillämpat i kombinatorik
Algebra and linear algebra applied in combinatorics
Examensarbete inom teknisk fysik, grundnivå
Institutionen för matematik
Handledare: Olof Sisask
Sebastian Angermund
2017-05-20
Sammanfattning
Detta arbete i kombinatorik undersöker i första hand storlekar av delmängder till vektorrum Fn , där
F är en ändlig mängd av q element. Arbetet börjar med att definiera begreppen kropp och linjära
rum och visar speciellt att Fn är ett vektorrum. Sedan visas hur speciella mängder som behandlas
i frågeställningarna kan ses både som delmängder till någon ändlig mängd {1, 2, 3, ..., n} och som
vektorer i Fn .
Resultaten som erhålls är delvis begränsningar och delvis explicita storlekar av vektormängder
i Fn . Det visas att delmängder till Fn2 bestående av mängder med udda storlek och parvis jämna
snitt är linjärt oberoende och har därmed storlek ≤ n. Sedan undersöks även variationen av detta
problem då endast mängder av jämn storlek tillåts, vilka visas kunna anta storleksordningar av
åtminstone 2bn/2c . Till slut visas en generalisering från Fn2 till Fnq , speciellt generaliseras arbetets
huvudsakliga frågeställning. Slutligen gås ett arbete [3] av Z. Dvir igenom, i vilket han bestämmer
en undre gräns till Kakeyamängder K ⊂ Fnq .
i
Innehåll
1 Inledning
1.1 Bakgrund och syfte
1.2 Inledande problem
1.3 Frågeställningar . .
1.4 Metod . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
1
1
1
1
2 Matematisk grund
2.1 Anmärkning gällande notation
2.2 Moduloräkning . . . . . . . . .
2.3 Kroppar . . . . . . . . . . . . .
2.4 Linjära rum . . . . . . . . . . .
2.5 Linjärt oberoende . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
2
2
2
5
7
3 Resultat
3.1 Problem 1 A,B . .
3.2 Frågeställning i A .
3.3 Frågeställning i B .
3.4 Frågeställning ii .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
9
9
10
13
13
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
16
4 Generalisering till Fnq
4.1 Generalisering av Frågeställning i A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5 Relaterat arbete
18
6 Diskussion
21
7 Tack
22
8 Referenser
22
ii
1
Inledning
1.1
Bakgrund och syfte
Det har många gånger visat sig nyttigt att tillämpa till synes orelaterade metoder i matematik
för att lösa vissa problem. Ett exempel är Gauss tillämpning av analys för att bevisa algebrans
fundamentalsats.
Detta arbete följer i spåren av ett modernare knep då linjär algebra tillämpas i kombinatoriska
problem. Speciellt visas ett exempel där Z. Dvir år 2008 bestämmer en undre gräns på storleken av
Kakeyamängder över ändliga kroppar m h a vektorrum av polynom.
1.2
Inledande problem
Innan den huvudsakliga problemformuleringen ges så behöver ett inledande problem presenteras.
Lösningen till detta kommer att ha relevans i de huvudsakliga problemen.
Problem 1:
Givet en mängd P med n medlemmar, P = {1, 2, 3, ..., n}, definiera mängden G som mängden av
alla delmängder till P .
A) Bestäm storleken på G, d v s bestäm |G|.
B) Låt B vara mängden av alla mängder i G med udda storlek. Bestäm |B|.
1.3
Frågeställningar
Frågeställning i:
Kalla en mängd B 0 ⊂ B, där B är mängden från Problem 1 B, parvis jämn om den uppfyller
att alla delmängder i B 0 parvis har ett jämnt snitt. Definiera en mängd B 0 som maximal om det
inte går att lägga till ytterligare en delmängd ur B i B 0 så att resultatet förblir parvis jämnt. Definiera vidare en mängd B 0 som maximum om den är av största möjliga storlek givet parvis jämnhet.
A) Bestäm maximum för parvis jämna mängder.
B) Bestäm den minsta maximala storleken för parvis jämna mängder.
Frågeställning ii:
Låt A vara mängden av alla mängder i G med jämn storlek. Vad händer om Frågeställning i A
formuleras om så att maximum istället ska bestämmas av parvis jämna mängder A0 istället för B 0 ?
1.4
Metod
Huvuddelen av arbetet behandlar ren matematik, så metoderna är de typiska för att lösa matematiska problem: Begrepp definieras och används sedan i satser och bevis som slutligen refereras till
i själva problemlösningen. En litteraturstudie har gjorts löpande under arbetets gång av några få
utvalda böcker och artiklar (se referenser).
1
2
Matematisk grund
De matematiska begrepp som kommer att användas i problemlösningen behöver presenteras för att
bygga upp den grund från vilken problemen ska angripas. Detta blir mestadels koncept från algebra
och linjär algebra, i form av av användbara definitioner, satser och bevis.
Arbetet börjar med att definiera ett begrepp som kommer att användas längre fram.
Definition 2.0.1: Om ett tal s är det största heltalet att dela heltalen {n1 , n2 , ..., nm }, så att
kvoten av divisionerna blir ett heltal, säger man att s = SGD(n1 , n2 , ..., nm ).
2.1
Anmärkning gällande notation
I detta arbete kommer elementet i den j:te variabeln i en vektor v att betecknas med underskrift,
vj . Detta innebär att om en mängd vektorer ska särskiljas kommer de att numreras med överskrift
v 1 , v 2 , .... Om det däremot är en variabel eller parameter som har en överskrift innebär detta
en potens, alltså särskiljs variabler och parametrar med underskrift n1 , n2 , .... Det ska framgå ur
sammanhanget om det gäller vektorer eller inte.
För mängder kommer det gälla att en mängd av individuella element beteckas med någon versal
A, B, ... En mängd av mängder betecknas med en kursiv versal tidigt i alfabetet, A, B, ... Samt
kommer mängder av vektorer att betecknas med någon av versalerna: U, V eller W .
2.2
Moduloräkning
Begrepp och räkningar framöver kräver moduloräkning. Därför är det en bra idé att här presentera
konceptet för att sedan kunna utnyttja det utan vidare.
Sats 2.2.1: För alla tal a, b ∈ Z, b 6= 0, finns det unika k, r ∈ Z, 0 ≤ r < |b| så att a = kb + r.
Speciellt innebär det att divisionen a/b ger den unika kvoten k och den unika resten r.
Beviset utelämnas från detta arbete.
Definition 2.2.1: Låt a, b ∈ Z. och m ∈ N \ 0. Då är a och b kongruenta modulo m om de
ger samma rest vid division med m. Eller med matematisk notation:
a ≡m b ⇐⇒ a = k1 m + r och b = k2 m + r,
2.3
k1 , k2 ∈ Z och 0 ≤ r < |m|.
(1)
Kroppar
Definition 2.3.1: En kropp är en mängd F som tillsammans med operationerna addition och
multiplikation uppfyller följande villkor: [1]
(i) Slutenhet
∀ λ, µ ∈ F,
λ + µ och λµ ∈ F.
(ii) Associativitet
∀ λ, µ, ν ∈ F, (λ + µ) + ν = λ + (µ + ν) och (λµ)ν = λ(µν).
2
(iii) Kommutativitet
∀ λ, µ ∈ F, λ + µ = µ + λ och λµ = µλ.
(iv) Additiv identitet
∃ 0 ∈ F så att ∀λ ∈ F,
λ + 0 = λ.
(v) Multiplikativ identitet
∃ 1 ∈ F så att ∀λ ∈ F,
1λ = λ.
(vi) Additiv invers
∀λ ∈ F ∃(−λ) ∈ F så att λ + (−λ) = 0.
(vii) Multiplikativ invers
∀λ ∈ F \ 0 ∃ λ−1 ∈ F så att λλ−1 = 1.
(viii) Distributivitet
∀λ, µ, ν ∈ F, λ(µ + ν) = λµ + λν.
För att styrka definitionen så bevisas att elementet 0 från (iv) är unikt. D v s, formulerat som
en sats:
Sats 2.3.1: I en kropp finns det en och endast en additiv identitet.
Bevis
Antag att det finns en annan additiv identitet 00 så att ∀λ : λ + 0 = λ + 00 = λ. Eftersom att
0 är identitet så gäller 00 + 0 = 00 . Samt, eftersom 00 också är identitet så gäller 0 + 00 = 0.
Kommutativitet ger nu att 00 + 0 = 0 + 00 =⇒ 00 = 0.
Härmed är definitionen av en kropp fastställd. I detta arbete spelar en viss typ av kropp en stor roll,
nämligen F2 som är mängden {0, 1} med operationerna addition mod 2 och multiplikation mod 2.
Denna typ av kropp tillhör en större klass av kroppar Fp , där p är ett primtal och operationerna
addition och multiplikation är definierade mod p. För att vara säker på att dessa mängder med
tillhörande operationer kan behandlas som kroppar behöver det visas att de uppfyller egenskaperna
(i) till (viii) från Definition 2.3.1.
Sats 2.3.2: Mängden Fp = {0, 1, ..., p − 1} med operationerna addition (a + b mod p) och multiplikation (ab mod p) bildar en kropp.
Bevis
Detta bevis utformas genom att visa att villkoren (i) till (viii) ur Definition 2.3.1 håller för Fp ett
och ett.
(i):
Låt λ, µ ∈ Fp . Då addition och multiplikation i kroppen är definierade mod p så gäller det enligt
Sats 2.2.1 att 0 ≤ λ + µ (mod p) < p, samt att λ + µ (mod p) ∈ N och samma villkor gäller för
produkten λµ. Detta visar att Fp uppfyller (i).
3
(ii):
Definitionen av addition i Fp ger att
(λ + µ) + ν = λ + (µ + ν) −→ (λ + µ) + ν ≡p λ + (µ + ν)
(2)
ska vara uppfyllt. Då λ, µ, ν är naturliga tal följer det trivialt att båda led ger samma rest vid
division med p. Med samma resonemang är det tydligt att (λµ)ν ≡p λ(µν). Detta visar att Fp
uppfyller (ii).
(iii):
Med samma resonemang som för (ii) så följer detta trivialt. Detta visar att Fp uppfyller (iii).
(iv):
Trivialt så är 0 en additiv identitet. Detta är även den enda additiva identiteten enligt Sats 2.3.1.
Detta visar att Fp uppfyller (iv).
(v):
Trivialt så är 1 en multiplikativ identitet. Detta visar att Fp uppfyller (v).
(vi):
Om det ∀λ ∈ Fp finns ett element µ ∈ Fp så att λ + µ ≡p 0 så är villkoret uppfyllt. Betrakta först
fallet då λ = 0. Låt µ = 0 så λ + µ ≡p 0. Vidare om λ > 0 så väljs µ = p − λ. Det är lätt att se att
µ ∈ Fp och vidare λ + (p − λ) = p ≡p 0. Detta visar att Fp uppfyller (vi).
(vii):
Vad som söks är alltså, givet λ ∈ Fp \ 0, något element µ ∈ Fp sådant att λµ ≡p 1. Först visas ett
lemma som används i beviset.
Lemma 2.3.1: Givet två heltal a och b så finns det ett tal d > 0 sådant att d = SGD(a, b) och
sådant att det finns nollskilda heltal m0 , n0 sådana att d = m0 a + n0 b.
Bevis
Låt d vara det minsta talet större än noll som kan skrivas på formen m0 a + n0 b = d med
m0 , n0 ∈ Z.där m0 , n0 6= 0. Låt vidare d0 ∈ {ma + nb : m, n ∈ Z}. Det går enligt Sats 2.2.1 att
hitta unika k, r så att d0 = kd + r, 0 ≤ r < d, vilket innebär:
ma + nb = kd + r =⇒ (m − km0 )a + (n − kn0 )b = r.
(3)
Men d var det minsta talet som uppfyllde denna relation, alltså måste r = 0 och därmed
ma + nb = kd.
(4)
Alltså är alla tal på formen ma + nb multiplar av d. Låt nu (m, n) = (1, 0) så att a = kd, då
måste d|a. På samma sätt, om (m, n) = (0, 1) så d|b. För att visa att d = SGD(a, b) noteras
först att d|a, b =⇒ d ≤ SGD(a, b). Från relationen m0 a + n0 b = d kan SGD(a, b) brytas ut i
VL. Låt SGD(a, b) = s så fås relationen s(m0 a0 + n0 b0 ) = d. Eftersom uttrycket i parentesen är
ett heltal så s|d =⇒ s ≤ d. Men det var redan känt att d ≤ s, alltså måste d = s = SGD(a, b).
4
Använd Lemma 2.3.1 för att skapa (m0 + tp)λ + (n0 − tλ)p = d, t ∈ Z. Eftersom att d = SGD(λ, p)
inses att d = 1, då p är ett primtal. Alltså gäller det att
(m0 + tp)λ = (tλ − n0 )p + 1 =⇒ (m0 + tp)λ ≡p 1.
(5)
Välj nu t så att µ = (m0 + tp) ∈ Fp och det är visat att Fp uppfyller (vii).
(viii):
På samma sätt som för (ii) så är det trivialt att λ(µ + ν) ≡p λµ + λν. Detta visar att Fp uppfyller
även (viii) och därmed är alla villkor uppfyllda.
2.4
Linjära rum
Definition 2.4.1: Med ett vektorrum menas en mängd V på vilken operationerna addition och
skalärmultiplikation med skalärer från kroppen F är definierade, så att följande relationer är uppfyllda: [2]
(V1) Kommutativitet
∀u, v ∈ V, u + v = v + u.
(V2) Additiv associativitet
∀u, v, w ∈ V, (u + v) + w = v + (u + w).
(V3) Additiv identitet
∃ 0 ∈ V så att ∀u ∈ V,
u + 0 = u.
(V4) Additiv invers
∀u ∈ V ∃(−u) ∈ V så att u + (−u) = 0.
(V5) Distributivitet 1
∀u, v ∈ V och ∀λ ∈ F,
λ(u + v) = λu + λv.
(V6) Distributivitet 2
∀u ∈ V och ∀λ, µ ∈ F,
(λ + µ)u = λu + µu.
(V7) Multiplikativ associativitet
∀u ∈ V och ∀λ, µ ∈ F, (λµ)u = λ(µu).
(V8) Multiplikativ identitet
För den multiplikativa identiten 1 från Definition 2.3.1(v) gäller det att ∀u ∈ V, 1u = u.
Med definitionerna av kropp och linjära rum avklarade så är det nu av intresse att kombinera
dessa begrepp och visa att det går att skapa ett vektorrum över kroppen F som kallas Fn .
5
Definition 2.4.2: Fn är mängden av alla vektorer med n element ∈ F. För vektorer u, v ∈ Fn och
skalärer λ ∈ F gäller vanlig komponentvis vektoraddition och skalärmultiplikation som:
u + v = (u1 + v1 , u2 + v2 , ..., un + vn ),
λu = (λu1 , λu2 , ..., λun ).
(6)
Sats 2.4.1: Fn är ett vektorrum.
Bevis
Beviset utformas på så sätt att varje egenskap (V1) till (V8) visas en och en:
(V1):
Elementen i vektorn u adderas ett och ett med sitt indexpar i v. Definition 2.3.1(iii) säger att
ordningen inte har någon betydelse vid addition vilket visar egenskapen.
(V2):
Definition 2.3.1(ii) garanterar att denna egenskap är uppfylld.
(V3):
Låt alla element i vektorn 0 vara den additiva identiten från Definition 2.3.1(iv) så är denna egenskap uppfylld.
(V4):
Låt varje element med index i i vektorn −u vara den additiva inversen från Definition 2.3.1(vi)
till elementet med index i i vektorn u. Detta ger med addition vektorn 0 definierad i (V3) och
egenskapen är uppfylld.
(V5):
Det räcker med att se vad som händer på en viss plats i en vektor, då det generaliseras till alla
andra platser i vektorn. Låt x = λ(ui + v i ) och y i = λui + λv i . Enligt Definition 2.3.1(viii) är då
xi = y i och egenskapen är visad.
(V6):
Samma resonemang som för (V5) ger xi = (λ + µ)ui och y i = λui + µui . Definition 2.3.1(viii) visar
även här att xi = y i och alltså är detta är uppfyllt.
(V7):
Även här används samma resonemang som för (V5) och det ger nu att xi = (λµ)ui och y i = λ(µui ).
Definition 2.3.1(ii) säger nu att xi = y i och dena egenskap är uppfylld.
(V8)
Det är redan visat att då den multiplikativa identiteten i F multipliceras med ett element i F fås
samma element. Definitionen av skalärmultiplikation ger oss att detta sker för alla element i vektorn.
Så är slutligen alla egenskaper visade att hålla för Fn .
6
2.5
Linjärt oberoende
Nu är det alltså visat att Fn är ett vektorrum. Därför också att man kan arbeta med begrepp
från linjär algebra över detta rum utan vidare. För att knyta ihop säcken av grundläggande teori
som används i arbetet och gå vidare med problemen visas slutligen en viktig sats angående linjärt
oberoende. Först en formell definition av linjärt oberoende:
Definition 2.5.1: Vektorerna v 1 , v 2 , ..., v m ∈ V är linjärt oberoende om det för {λi }m
i=1 ∈ F
gäller att
λ1 v 1 + ... + λm v m = 0 =⇒ λ1 = ... = λm = 0.
(7)
Satsen som nu skall presenteras gäller endast vektorrummen Fn och är därför svagare än den
för ett allmänt vektorrum. Däremot har beviset för denna sats mer relevans inför problemdelen och
visar exempel på beräkningar i dessa vektorrum.
Sats 2.5.1: Om v 1 , v 2 , ..., v m ∈ Fn är linjärt oberoende så m ≤ n.
Bevis
Låt m > n och {λi }m
i=1 ∈ F. Utgå från Definition 2.5.1 och ställ upp
m
X
λi v i = 0.
(8)
i=1
m
Antag nu att ∃ {v i }m
i=1 ∈ V med koefficienter {λi }i=1 ∈ F där den enda lösningen är λ1 = λ2 =
... = λm = 0.
Nu undersöks vad dessa antaganden leder till. Om någon vektor v = 0 så gäller:
λ1 v 1 + ... + λj · 0 + ... + λm v m = 0.
(9)
Detta håller för alla λj ∈ F vilket motsäger linjärt oberoende. Alltså blir ett nödvändigt villkor att:
v 6= 0 ∀v ∈ {v i }m
i=1 .
(10)
Skriv nu ut Ekvation (8) på matrisformen vij λj = 0. Nu går det att utföra Gauss-Jordan eliminering för att skapa ekvivalenta ekvationssystem (med samma lösningar {λi }m
i=1 ). Observera att
operationerna som krävs för att utföra Gauss-Jordan eliminering har visats tillåtna i Sats 2.3.2 och
Sats 2.4.1.
 1
  
v1 v12 . . . v1m
0
v21 v22 . . . v2m  0

  
 ..
..
..  =  .. 
..
.
.
.
.  .
1
2
vn vn . . . vnm
0
Vektorn v 1 har minst ett nollskilt element (annars skulle en motsägelse finnas enligt Ekvation
(9)). Så med tillåtna operationer går det att skapa ett pivotelement i den vänstra kolumnen och
7
subtrahera bort de övriga elementen i v 1 :

1
0

 ..
.
0
∗
∗
..
.
...
...
..
.
∗
...
  
∗
0
0
∗
  
..  =  .. 
. .
0
∗
(Element utskrivna som ∗ är resultat av någon form av linjär operation eller radomkastning.) För
nästa kolumn finns det nu två alternativ:
i) Det finns inte ett pivotelement. Ekvationssystemet kan då reduceras till formen
  

2
0
1 v0 1 . . . ∗
0 0 . . . ∗ 0

  
.
..
..  =  .. 
..
 ..
.
.
. .
0
0
...
0
∗
Låt nu λ3 = λ4 = ... = λm = 0 så gäller det att
λ1
2
= −v 0 1
λ2
(11)
som är nollskilt och därför en motsägelse mot det inledande antagandet att alla skalärer måste vara
lika med noll.
ii) Det finns ett pivotelement och ekvationssystemet kan reduceras till
  

0
1 0 ∗ ... ∗
0 1 ∗ . . . ∗ 0
  

0 0 ∗ . . . ∗ 0
= 

 .. .. .. . .
..   .. 
. . .
. . .
0
0 0 ∗ ... ∗
Fortsätt nu med denna procedur successivt på nästkommande kolumner. Finns det en kolumn utan
pivotelement så kan inte {vi }m
i=1 vara linjärt oberoende. Slutligen kommer då, med antagandet att
vektorerna är linjärt oberoende, det reducerade ekvationssystemet att ta formen:

1 0
0 1

. .
 .. ..
0 0
...
...
..
.
0
0
..
.
v0 1
n+1
v0 2
..
.
n+1
...
...
..
.
  
∗
0
0
∗
  
..  =  .. 
. .
...
1
v0 n
n+1
...
∗
0
Här kan metoden i) upprepas för att finna relationen
λ1
λn
n+1
n+1
= −v 0 1 , ...,
= −v 0 n .
λn+1
λn+1
8
(12)
Detta kan göras även för de resterande vektorerna {v j }m
j=n+2 . Eftersom att det finns ett nollskilt
element i vare kolumn, och eftersom detta ekvationssystem är ekvivalen med Ekvation (8) som enligt
antagande var linjärt oberoende, uppstår en motsägelse (det finns åtminstonde m − n st lösningar
med någon λ nollskild.) Alltså kan inte antagandet m > n gälla. Vidare är det lätt att se i den sista
reducerade matrisekvationen att fram till m = n så är linjärt oberoende möjligt.
3
Resultat
3.1
Problem 1 A,B
I Sektion 1 presenterades mängden P = {1, 2, ..., n}, samt G som mängden av alla delmängder till
P . I följande avsnitt kommer det vara bra att lägga på minnet att |P | = n, då n kommer att spela
en stor roll. Först ges ett exempel på en delmängd i G.
Exempel 3.1.1
Om G = {11, 3047, 720431}, där 11, 3047, 720431 ∈ P , så G ∈ G.
Metoden för att angripa problemformuleringen kommer i detta arbete vara att först bestämma
hur många grupper det finns i G, d v s bestämma |G|. Sedan jämföra relationen mellan grupper av
udda och jämn storlek genom att försöka skapa en funktion mellan mängderna. För att bestämma
|G| kan man utnyttja dess relation med Fn2 .
Sats 3.1.1: Det finns 2n unika vektorer i Fn2 .
Bevis
Det går att konstruera varje vektor i Fn2 på ett sådant sätt att varje element väljs som en etta eller
en nolla. Detta ger två alternativ för varje element i vektorn och eftersom att det finns n element
så går det att konstruera en vektor på 2n olika sätt. Därför finns det 2n unika vektorer i Fn2 .
Sats 3.1.2: Funktionen f : G → Fn2 sådan att för G ∈ G, f (G) = v ∈ Fn2 , där
(
1,
om k ∈ G,
vk =
0,
om k ∈
/ G,
(13)
är en bijektiv funktion mellan G och Fn2 , därav finns det lika många grupper i G som vektorer i Fn2 .
Bevis
Funktionen f skapar en vektor med ettor på de platser som har indexnummer lika med elementen
i G och nollor på övriga platser. Man inser att f är surjektiv då alla vektorer v ∈ Fn2 kan skapas
på detta sätt. Samt inses att f är injektiv då varje G ∈ G är unik och avbildas därför som en unik
vektor i Fn2 . Alltså måste f vara bijektiv.
9
Det återstår att jämföra antalet delmängder till G med ett udda antal medlemmar mot delmängder
med ett jämnt antal. Definiera A som mängden av alla delmängder till P med ett jämnt antal
medlemmar och B på samma sätt med ett udda antal.
Sats 3.1.3: Det går att skapa en bijektion mellan A och B.
Bevis
Betrakta funktionen f : A → B som använder sig av det sista elementet n i P . För A ∈ A definieras
(
A ∪ {n}
om n ∈
/ A,
f (A) =
(14)
A \ {n}
om n ∈ A.
Betrakta sedan funktionen g : B → A som definieras på samma sätt åt andra hållet. För B ∈ B
definieras
(
B ∪ {n}
om n ∈
/ B,
(15)
g(B) =
B \ {n}
om n ∈ B.
För att se ifall f är en invers till g så betraktas sammansättningen f ◦ g. Låt först n ∈ B:
(f ◦ g (B) = f B \ {n} = B.
(16)
Låt sedan n ∈
/ B:
(f ◦ g (B) = f B ∪ {n} = B.
(17)
Detta visar invers åt ena hållet och att (f ◦ g) är identitet på B. Det är enkelt att på samma sätt
visa att (g ◦ f ) är en identitet på A och utelämnas därför. Detta garanterar att f är en bijektion
mellan A och B.
Resultatet av denna sektion presenteras här som en sats.
Sats 3.1.4: Delmängden till potensmängden av P = {1, 2, ..., n} av alla element med udda storlek
har storlek 2n−1 .
3.2
Frågeställning i A
I Sektion 1 presenterades snabbt begreppen parvis jämn, maximal och maximum. Här kommer dessa begrepp att definieras mera noggrant och på ett naturligt sätt. Låt fortfarande P = {1, 2, ..., n},
G vara mängden av alla delmängder till P och B vara mängden av alla mängder i G med udda storlek.
Definition 3.2.1: Kalla en mängd B 0 parvis jämn om B 0 ⊂ B och om alla mängder i B 0 har
jämnt snitt.
10
Situationen kan som i Sektion 3.1 överföras på ett problem i Fn2 .
Definition 3.2.2: Kalla en mängd U parvis jämn om U ⊂ Fn2 , samt om det finns en bijektion
från en parvis jämn mängd B 0 till U enligt funktionen f definierad i Sats 3.1.2.
Frågeställningarna i Sektion 1 kan nu istället behandlas genom att undersöka hur många vektorer som kan finnas i en parvis jämn mängd U . En sak att notera är att det finns fler än en parvis
jämn mängd U . Detta illustreras med ett exempel.
Exempel 3.2.1:
Tag vektorn u = (1, 0, 0, ..., 0) som tydligt har ett udda antal (ett) nollskilda element. Låt u vara
en vektor i en parvis jämn mängd U så inses att de övriga tillåtna vektorernai U endast kan
vara sådana som har noll gemensamma nollskilda element med u. T ex kan U = (1, 0, ..., 0), (0, 1, 0, ..., 0) .
Denna mängd U är alltså parvis jämn, men det är lätt att se att fler vektorer kan läggas till
enligt samma mönster
så att U fortfarande är parvis jämn. Observera att när man följt mönstret
upp till U = = (1, 0, ..., 0), ..., (0, ..., 0, 1) så kan inga fler vektorer läggas till utan att U inte
längre är parvis jämn. Detta sker alltså då |U | = n i detta fall.
En naturlig insikt som nu uppstår är att parvis jämna mängder U kan antingen ha ett maximalt
antal medlemmar eller rum för fler. En fråga som uppstår är om det maximala antalet medlemmar
i en maximal parvis jämn mängd kan variera. Det visar sig vara så, vilket illustreras i följande
exempel.
Exempel 3.2.2:
Låt U bestå av vektorerna (1, 1, 1, 0, ..., 0), (0, 0, 0, 1, 0, ..., 0), (0, 0, 0, 0, 1, 0, ..., 0), ...
..., (0, 0, 0, ..., 1). Nu finns det n − 2 vektorer i U som alla har ettor på unika platser.
Försök nu lägga till ytterligare en vektor så inses att den inte får ha en etta på indexeringsplatser
≥ 4 då det skulle innebära att den har endast en gemensam medlem med minst en annan vektor.
Den kan heller inte ha en etta på någon av de tre första indexeringsplatserna av samma
anledning. Detta utesluter alla andra möjliga vektorer och här blir det maximala |U | = n − 2.
Det är alltså konstaterat att maximala U kan bestå av bl a n och n − 2 vektorer. Det är därför
lämpligt att definiera följande:
Definition 3.2.3: Kalla en parvis jämn mängd U maximal om det inte finns någon vektor v ∈ Fn2
sådan att unionen v ∪ U uppfyller parvis jämnhet. Kalla en mängd U maximum om den innehåller
det maximala antalet vektorer som kan tillåtas enligt kraven för parvis jämna mängder.
Maximala U kommer att behandlas i nästa sektion. I denna sektion är det maximum av U som
ska bestämmas. Baserat på de konstruerade mängderna U hitintills skulle det kunna föreslås att
11
maximum |U | är n. Det kan vidare noteras att de mängder U konstruerade hitintills består av linjärt
oberoende vektorer. Detta stämmer överrens med att maximum |U | är n (se Sats 2.5.1). Detta är
nog med motivering för att följa denna teori, problemet angrips här genom att formulera en sats
och ett motsägelsebevis.
Sats 3.2.1: Alla parvis jämna mängder U består av linjärt oberoende vektorer.
Bevis
Börja med att konstatera att vektorerna i U antingen är linjärt oberoende eller inte. Antag nu att
det finns en parvis jämn mängd U sådan att vektorerna i U är linjärt beroende. Utgående från
Definition 2.5.1 inses det att det då finns distinkta vektorer u1 , u2 , ..., ui ∈ U sådana att
1 · u1 + 1 · u2 + ... + 1 · ui−1 + 1 · ui = 0,
(18)
då 1 är den enda nollskilda skalären i F2 . Ekvation (13) kan ses som en augmenterad matris med i
kolumner och n rader till vänster om augmentationen och en nollkolumn till höger (kalla detta VL
och HL) där vektorerna utgör kolumnerna:
1
u u2 ... ui 0 .
Att HL är nollvektorn innebär att alla rader i VL måste ha ett jämnt antal ettor, detta eftersom
att alla udda multiplar av 1 i F2 blir 1. Flytta över ui till HL så erhålls
1
u u2 ... ui−1 −ui .
Men −1 ≡2 1, så
u1
u2
...
ui−1
ui
.
De rader i HL som har ettor motsvarar nu ett udda antal adderade ettor i VL. Då dessa rader är
de enda av intresse reduceras matrisen till
1
v v 2 ... v i−1 v i .
där {v 1 , v 2 , ..., v i } ärver raderna från {u1 , u2 , ..., ui } där ui har ettor, och övriga rader tas bort.
Observera nu att antalet ettor i varje rad i VL måste vara udda eftersom att summan av elementen
i vektorerna radvis måste bli 1 (mod 2). Summerat över alla rader blir det ett udda antal ettor
totalt i VL. Men om varje kolumn (vektor) i VL ska ha ett jämnt antal ettor gemensamt med ui
så måste varje kolumn i VL ha ett jämnt antal ettor. Därmed måste det totala antalet ettor i VL
vara jämnt. Detta är en motsägelse. Motsägelsen betyder att antagandet att vektorerna i U inte är
linjärt oberoende är felaktigt. Alltså är vektorerna i U linjärt oberoende.
Resultatet i denna sektion kan presenteras som en sats:
Sats 3.2.2: Storleken av en maximum parvis jämn mängd B 0 är lika med n, där |P | = n.
Ett annat sätt att uttrycka detta på är att en mängd U som är parvis jämn består av linjärt
oberoende vektorer.
12
Anmärkning
Det är alltså visat att en parvis jämn mängd U består av linjärt oberoende vektorer. Hurvida dubbel
implikation gäller, d v s om en mängd linjärt oberoende vektorer av udda storlek implicerar parvis
jämnhet, är inte visat. Det vore också intressant att undersöka om det finns fler mängder än den
presenterad i Exempel 3.2.1 som har maximum storlek. Dessa frågor lämnas öppna tills vidare.
3.3
Frågeställning i B
I denna sektion undersöks möjliga storlekar av maximala parvis jämna mängder, speciellt storleken
av den minsta möjliga. Två olika storlekar bestämdes i Sektion 3.2 till n och n − 2 där n = |P |. För
att få en mer generell bild av hur en parvis jämn mängd kan se ut så presenteras en sats. Låt U
vara en sådan mängd som presenteras i Definition 3.2.2.
Sats 3.3.1: Om U är en maximalt parvis jämn så finns det för varje element k ∈ P åtminstone en vektor i U sådan att vk = 1.
Bevis
Om det inte finns k ∈ P sådant att vk = 1 så kan {k} läggas till i U så att U fortfarande är parvis
jämn. Alltså är inte U maximal.
När nu en minsta maximal parvis jämn mängd U ska bestämmas så är det känt att alla element
ur P måste finnas med pånågot sätt bland U :s vektorer.
Låt därför U = {(1, 1, ..., 1)} om |P | = n
är udda. Låt istället U = (1, 1, ..., 1, 0), (0, 0, ..., 0, 1) om |P | = n är jämnt. I båda dessa fall kan
ingen ytterligare vektor läggas till i U så att U fortfarande är parvis jämn.
Svar
Låt U i stycket ovan representera B 0 enligt Definition 3.2.2. Beroende på om P har udda eller jämn
storlek så är nu det minsta maximala |B 0 | lika med 1 eller 2 respektive.
Det är intressant att notera att om |P | = n är udda så är U = {(1, 1, ..., 1)} en unik lösning
enligt Sats 3.3.1. Om |P | = n är jämnt finns det däremot n olika U som uppfyller minsta maximala
storlek.
3.4
Frågeställning ii
Frågeställningarna som hitintills har besvarats kan på många sätt formuleras om. En naturlig fråga
som uppstår efter att ha fastställt Sats 3.2.2 är om egenskapen linjärt oberoende hos parvis jämna
mängder även gäller om mängderna måste ha jämn storlek. Om detta inte är fallet, vad är i så fall
maximum av en sådan mängd?
Låt som i Sektion 3.1 G vara mängden av alla delmängder till P = {1, 2, ..., n}, samt A ⊂ G
vara mängden av alla mängder i G med jämn storlek. Frågeställning ii handlar nu alltså om att
bestämma maximum av en mängd A0 , där A0 ⊂ A och alla element i A0 har jämnt snitt.
I Definition 3.2.1 definierades en parvis jämn mängd. Denna definition gäller endast mängder bestående av element av udda storlek. Det kan därför vara av intresse att göra en liknande definition
13
för mängder bestående av element av jämn storlek:
Definition 3.4.1: Kalla en mängd A0 parvis jämnt jämn om A0 ⊂ A, samt om alla mängder
i A0 har parvis jämnt snitt.
Precis som tidigare överförs problemet till Fn2 :
Definition 3.4.2: Kalla en mängd V parvis jämnt jämn om V ⊂ Fn2 , samt om det finns en
bijektion från en parvis jämnt jämn mängd A0 till V enligt funktionen f definierad i Sats 3.1.2.
För att bestämma maximum av V är den första tanken givetvis att följa resonemanget i lösningen av Frågestälning i A. Resonemanget ledde till antagandet att en parvis jämn mängd U består av
linjärt oberoende vektorer vilket visades sant i beviset av Sats 3.2.1. Snabbt inses dock att beviset
inte håller för parvis jämnt jämna mängder. Faktum är att parvis jämnt jämna mängder kan bestå
av linjärt beroende vektorer, vilket inses lätt då nollvektorn är tillåten. Även utan nollvektorn visas
detta med ett exempel:
Exempel 3.4.1:
Låt n = 4 och V = (1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1), (1, 1, 1, 1) . Nu blir vektorsumman av vektorerna
nollvektorn och V består alltså av linjärt beroende vektorer.
När det är känt att en parvis jämnt jämn mängd V inte behöver bestå av linjärt oberoende
vektorer behövs det alltså ett nytt tillvägagångssätt för att bestämma maximum. Ett försök till detta
inleds med att istället betrakta maximala parvis jämnt jämna mängder eftersom att en maximum
mängd även är maximal.
Efter en del grubblande inses att m h a kombinatoriska resonemang kan en storlek bestämmas
explicit på en viss typ av maximal parvis jämnt jämn mängd.
Sats 3.4.1: Det finns maximala parvis jämnt jämna mängder V ⊂ F2m
sådana att |V | = 2m .
2
Bevis
Resonemanget som kommer att föras bygger på att studera hur man successivt på något visst sätt
kan lägga till vektorer i en mängd V så att den alltid uppfyller kraven för att vara parvis jämnt
jämn.
Betrakta nollvektorn v0 = (0, 0, ..., 0) av längd 2m och para godtyckligt ihop platserna i vektorn
två och två så att det finns m st par av nollor. Nu inses det (kanske efter en stunds begrundan) att
alla unika vektorer som kan skapas genom att ersätta ett antal par av nollor till ettor har både jämn
storlek och parvis jämna snitt. Elementär kombinatorik gör det möjligt att beräkna hur många sätt
ett antal sådana par unikt kan väljas ut på:
m
m
m
kombinationer =
+
+ ... +
.
(19)
0
1
m
14
Med summationsymbolen fås det kända uttrycket för binomialkoefficienterna:
m X
m
k=0
k
=
m X
m
k=0
k
1k · 1m−k = (1 + 1)m = 2m ,
(20)
vilket visar storleken. Det återstår att övertyga sig om att en mängd V bestående av alla vektorer
av detta slag är maximal:
Eftersom två vektorer i en parvis jämnt jämn mängd inte får vara identiska så kan det endast
tänkas att en vektor som bryter mönstret med ettor på de förutbestämda parvisa platserna skulle
kunna tillhöra V , men en vektor med ett jämnt antal ettor som bryter pariteten för åtminstone
ett förutbestämt par kommer att ha ett snitt av storlek ett med vektorn bestående av endast det
paret. Alltså är V maximal.
Några intressanta observationer kan nu göras. Först så är det lätt att bestämma en undre gräns
(detta är en explicit gräns om det kan visas att denna storlek är maximum) för hur många olika
maximala parvis jämnt jämna mängder V ⊂ F2m
av storlek 2m det finns:
2
Återigen utnyttjas enkel kombinatorik då svaret ges av hur många sätt man kan välja de förutbestämda paren, d v s 2m
= m(2m − 1) ollika sätt.
2
Det är också intressant hur snabbt en maximal parvis jämnt jämn mängd växer till skillnad mot
de parvis jämna. Speciellt så växer alltså maximum parvis jämnt jämna mängder exponentiellt med
dimensionen, till skillnad från parvis jämna som växer linjärt.
Till slut, och viktigast, så måste det understrykas att storleken ovan inte är bevisad att vara
maximum. Heller säger gränsen ingenting om vektorrum av udda dimensioner. Man kan däremot
säga något om en undre begränsning av maximum för både jämna och udda dimensioner. Storleken
som bestäms i Sats 3.4.1 gäller även för en dimension 2m + 1, observera bara att det då inte är
visat hurvida mängden har maximal storlek. Detta inses då man kan lägga till en dimension som
får vara tom. Nu kan en sats presenteras gällande en allmän undre begränsning:
Sats 3.4.2: för en maximum parvis jämnt jämn mängd V ⊂ Fn2 gäller det att |V | ≥ 2bn/2c .
Anmärkning
Att inget explicit svar erhölls i denna sektion beror främst på att mycket tid lades på att försöka
hitta en metod från linjära algebran som var tillämpbar. Därav valet att utnyttja vektorrepresentationen i Definition 3.4.2. Det kan mycket väl vara så att det finns tillämpbara metoder från linjär
algebra som kan användas, men tidsbegränsningen tvingade fram en ad hoc-lösning.
15
4
Generalisering till Fnq
Mängderna i Fn2 som har undersökt hitintills har vektorer som medlemmar med element av två
möjliga värden: 0 eller 1. Elementen kan illustreras geometriskt som koordinaterna 0 eller 1 på en
axel i ett n-dimensionellt rum. Men med kopplingen till delmängder av P = {1, 2, ..., n} kan man
tänka på det som att elementet k ∈ P är ”med eller inte med” i en grupp som representeras av en
vektor i Fn2 . Mer abstrakt kan man se det som att elementet k ∈ P kan ha en av två godtyckliga
egenskaper i en vektor, som representeras av 0 eller 1.
Generaliseringen till Fnq tillåter nu ett element k ∈ P att ha en av q st egenskaper i en vektor.
Problem 1 A kan alltså formuleras om till:
Problem 1 A2: Låt varje element k ∈ P = {1, 2, ..., n} kunna anta någon av egenskaperna
{0, 1, ..., q − 1} i en grupp av n medlemmar. Hur många sådana unika grupper kan det då finnas?
Lösning
Precis som i lösningen till Problem 1 A tillåter vektorrepresentationen varje plats i vektorn att anta
ett av q st värden. Alltså finns det q n unika vektorer i Fnq , vilket också är svaret till problemet.
Med denna grund kan det tänkas att problem såsom de i sektion 3 kan generaliseras till vektorrum
över större mängder än F2 .
Notera att i Problem 1 A2 kan q vara något godtyckligt positivt heltal. Det är dock endast visat
i Sektion 2 att man kan behandla mängder Fq som kroppar med operationerna a + b mod q och
ab mod q om q är ett primtal. Detta är något som skall utnyttjas i följande problem.
4.1
Generalisering av Frågeställning i A
I denna sektion ska Frågeställning i A generaliseras från ett problem som behandlades i Fn2 till att
behandlas i Fnp , för något primtal p.
En del metoder som användes i Sektion 3.2 kommer också att användas här. Det är speciellt
Sats 3.1.2 och begreppet maximum från Definition 3.2.3 som kan användas oförändrat.
Frågeställning i A2: Låt G vara potensmängden av {1, 2, ..., n} och låt A ⊂ G vara någon
mängd som uppfyller att för A, B ∈ A =⇒ |A| ≡p |B| ≡p 1 och |A ∩ B| ≡p 0, där p är ett
primtal. Kalla en sådan mängd A för parvis jämn. (Namnet är kanske inte längre så tilltalande,
men eftersom Frågeställning i A erhålls för p = 2 så är det rimligt).
Lösning
Låt nu U ⊂ Fnp vara vektorrepresentationen av A enligt Sats 3.1.2. Observera att alla vektorer i U
har element som är antingen 1 eller 0 (med eller inte med).
Parvis jämnhet innebär att
(
0, A 6= B,
A, B ∈ A =⇒ |A ∩ B| ≡p
(21)
1, A = B.
Detta betyder bl a att vektorer i en parvis jämn mängd är parvis linjärt oberoende. Eftersom att
16
linjärt oberoende spelade en stor roll i lösningen av Frågeställning i A så är detta något som bör
undersökas.
För att översätta beroendet till vektorerna i U är det av intresse att utveckla relationen (21)
till något lite mer användbart. Eftersom man i (21) räknar gemensamma element, och vektorerna i
U består av elementen 0, 1, så påminner (21) lite om skalärprodukten, som är ett vanligt redskap i
linjär algebra. Skalärprodukten kan även definieras för vektorer i Fnp :
Definition 4.1.1: Låt u, v ∈ Fnp och definiera skalärprodukten som
u·v =
n
X
uk vk .
(22)
k=1
Observera att för λ, µ ∈ Fp så
(λu) · (µv) =
n
X
λuk µvk = λµ
k=1
n
X
uk vk = (λµ)u · v.
(23)
k=1
Precis som i relation (21) ger skalärprodukten att
(
i
j
i
j
u , u ∈ U =⇒ u · u ≡p
0,
1,
i 6= j,
i = j.
(24)
Nu kan viss information om beroendet mellan vektorerna fås genom att ta skalärprodukter. Notera
att enligt egenskaperna för kroppar (Definition 2.3.1) så uppfyller även skalärprodukten distributivitet. D v s för ui ∈ Fnp och λi ∈ Fp så gäller det enligt relationen (23) att
λ1 u1 · (λ2 u2 + ... + λm um ) = (λ1 λ2 )u1 · u2 + ... + (λ1 λm )u1 · um .
(25)
m
Låt nu den parvis jämna mängden U = {uk }m
k=1 , så att |U | = m. Låt samt {λk }k=1 ∈ Fp och ställ
upp
m
X
λk uk = 0.
(26)
k=1
Ta sedan skalärprodukten av båda led med ui ∈ U . Relationerna (24) och (25) ger att detta blir
λ1 (ui · u1 ) + ... + λi (ui · ui ) + ... + λm (ui · um ) = ui · 0 =⇒ λi = 0.
(27)
Eftersom att ui valdes godtyckligt betyder det att ekvationen (26) endast har den triviala lösningen
λ1 = ... = λm = 0. Detta känns igen som definitionen av linjärt oberoende och enligt Sats 2.5.1 så
är alltså m ≤ n.
Denna övre gräns inses vara en explicit gräns då samma exempel används som i lösningen av
Frågeställning i A:
Exempel 4.1.1:
Låt U ⊂ Fnp , U = {1, 0, ..., 0}, {0, 1, 0, ..., 0}, ..., {0, ..., 0, 1} . Nu uppfyller U alla krav för parvis
17
jämnhet samt så är |U | = n.
Sats 4.1.1: För en mängd A som är en delmängd till potensmängden av {1, 2, ..., n} och som
har egenskaperna att för A, B ∈ A =⇒ |A| ≡p |B| ≡p 1, |A ∩ B| ≡p 0, gäller det att maximum
storlek av A är n.
5
Relaterat arbete
I publikationen [3], publicerad 2008 av Zeev Dvir, bestäms en förbättrad undre gräns av storleken
på en Kakeyamängd över en ändlig kropp. En Kakeyamängd är ett delrum K till Fnq , där q är något
heltal, sådant att K innehåller en linje i varje riktning. Mer formellt kan detta uttryckas som att en
mängd K är en Kakeyamängd om det för varje u ∈ Fnq \ 0 existerar en punkt v ∈ Fnq så att linjen
l := {v + a · u| a ∈ Fq }
(28)
finns i K. När det gäller just diskreta vektorrum så är problemet ganska lätta att visualisera,
speciellt i två dimensioner. Ett bra sätt att få en intuition om problemet är att rita upp exempelvis
F25 som ett koordinatsystem, nu ska alla punkter tas med i K så att en linje i varje riktning i
koordinatsystemet kan dras m h a dessa punkter. Ett sådant rum skulle givetvis kunna vara F25
självt.
Den undre gräns för en Kakeyamängd K som erhålls i arbetet [3] är Cn · q n , där Cn är en
konstant enbart beroende av n. Talet q n är känt sedan Problem 1 A2 som antalet unika vektorer i
Fnq . Detta innebär alltså att storleken av en mängd K är i storleksordning av vektorrummet självt.
Målet med denna sektion är att gå igenom beviset för denna undre gräns. Innan detta görs behöver dock några förberedande begrepp tas upp. Mycket av det som gås igenom är hämtat från T.
Taos artikel [4] beskrivande Dvirs bevis.
Definition 5.1: Låt F[x1 , x2 , ..., xn ] vara mängden av alla polynom i variablerna x1 , x2 , ..., xn
med koefficienter i F.
Ett polynom P ∈ F[x1 , x2 , ..., xn ] kan nu skrivas som
P =
d
X
Pi
(29)
i=0
där Pi är polynomets homogena del av grad i. D v s summan av de termer av polynomet som består
av i multiplicerade variabler ∈ {x1 , x2 , ..., xn } och varje variabel får förekomma mer än en gång.
Polynomet P i relationen (29) har alltså en homogen del av högsta gradtal d och man säger då att
grad(P )=d om P inte är nollpolynomet.
Låt till en början P vara ett polynom i endast en variabel x. Det är nu enkelt att övertyga sig
om att följande två påståenden är riktiga:
(i):
Om P ∈ F[x] är ett nollskilt polynom och grad(P )≤ d så har mängden {x ∈ F : P (x) = 0} storlek
≤ d.
18
Detta följer av faktorsatsen.
(ii):
Låt K ⊂ F vara en mängd av storlek ≤ d. Det existerar då ett nollskilt polynom P ∈ F[x],
grad(P )≤ d, som är identiskt noll på K. (Se Lemma 5.2 för bevis.)
Vad som ska noteras här är att graden av polynomet inte kan understiga storleken av K.
Det senare påståendet ger en metod för att bestämma en undre storlek av en mängd K:
(iii):
Låt K ⊂ F och P ∈ F[x], grad(P )≤ d. Om det går att visa att det enda polynom P som är identiskt
noll på K är nollpolynomet så måste |K| ≥ d + 1. (Detta följer från faktorsatsen som antas vara
familjär.)
Dessa idéer går att generalisera till polynom i flera variabler, så att mängden K i påstående (iii)
kan vara en mängd vektorer i högre dimensioner. Allmänna sätt att göra detta hittas bl a i [4].
Ett argument som strax kommer att användas handlar om storlekar på vektorrum av polynom.
Hur sådana storlekar bestäms presenteras här som ett lemma:
Lemma 5.1: Låt V vara vektorrummet bestående
av polynom P ∈ F[x1 , x2 , ..., xn ] där grad(P )≤ d.
Då gäller det att V har dimension n+d
n .
Bevis
P
Ett polynom P i n variabler, där grad(P )≤ d, kan skrivas som
ci pi , där ci ∈ F och pi har formen
pi = xa1 1 xa2 2 . . . xann ,
(30)
a1 + a2 + ... + an ≤ d.
(31)
där a ≥ 0 och
Antalet sätt att kombinera en sådan produkt pi definierar dimensionen av vektorrummet V , och
att bestämma detta antal är alltså ekvivalent med att bestämma antalet lösningar till olikheten
(31). Introducera an+1 = d − (a1 + a2 + ... + an ) (denna term representerar pi :s antal grader under
d) så kan olikheten (31) skrivas om till ekvationen
a1 + a2 + ... + an + an+1 = d.
(32)
Antalet lösningar till denna
ekvation kan bestämmas m h a ”stars and bars”-metoden [5] från
kombinatoriken till n+d
.
n
Nu är tillräckligt med begrepp introducerade för att börja genomgången av Dvirs bevis [3] vilket
alltså görs i enlighet med T. Taos tolkning [4]. Till att börja med behöver ett lemma presenteras
som används i beviset:
Lemma 5.2: Låt K ⊂ Fn vara en mängd av storlek <
19
n+d
n
för något d ≥ 0. Det existerar då
ett nollskilt polynom P ∈ F[x1 , x2 , ..., xn ], grad(P )≤ d, som är identiskt noll på K.
Bevis
Börja med observationen att om n = 1 så fås fallet i punkt (ii) ovan. Detta kan användas som en
intuition för generaliseringen.
Låt V vara vektorrummet av polynomen P ∈ F[x1 , x2 , ..., xn ], grad(P )≤ d. Låt vidare K =
{x1 , x2 , ..., x|K| }. Betrakta nu den linjära (detta verifieras lätt) avbildningen f : V → F|K| sådan
att
f (P ) = P (x1 ), P (x2 ), ..., P (x|K| )
(33)
och speciellt avbildningens kärna, d v s mängden L = {P ∈ V : f (P ) = 0}.
L är nu precis de
polynom i V som är identiskt noll på K. Från antagandet att |K| < n+d
och Lemma 5.1 så
n
gäller det att dimensionen av V > |K|. Enligt dimensionssatsen i linjär algebra gäller
det att L är
nollskilt om f har en större värdemängd än målmängd dim(F|K| )+dim(L)=dim(V ) , och eftersom
dim(F|K| )= |K| så måste dim(L)>0 vilket bevisar lemmat.
Det bör nu vara uppenbart vilken metod som används för att bestämma den undre gränsen till
Kakeyamängden. Innan beviset slutförs så är det hjälpsamt att sudera punkt (iii) ovan. Det, kombinerat med Lemma 5.2, ger en stark känsla av att beviset bör vara utformat som: ”om det enda
polynom P∈ F[x1 , x2 , ..., xn ], grad(P )≤ d som är identiskt noll på K är nollpolynomet, så måste
n
|K| ≥ n+d
n .” Sedan är frågan hur graden av polynomet relateras till dimensionen av Fq . T. Tao, i
[4], visar denna relation som följande:
Sats 5.1: Låt P ∈ F[x1 , x2 , ..., xn ], grad(P ) ≤ |F| − 1, vara ett polynom som är identiskt noll
på en Kakeyamängd K ⊂ Fnq . Då måste P vara nollpolynomet.
Bevis
Antag motsatsen, d v s att P är ett nollskilt polynom som kan skrivas
P =
d
X
Pi .
(34)
i=0
Eftersom att P inte är noll, samt eftersom P ej kan vara en nollskild konstant (i så fall kan inte P
vara noll på K) så måste d > 0.
Definitionen av en Kakeyamängd säger att för varje u ∈ Fnq \ 0 så finns det en punkt v ∈ Fnq så
att linjen l := {v + a · u| a ∈ F} finns i K. Det gäller alltså att P (v + a · u) =
0 ∀a ∈ F. Det inses
att P (v + a · u) är ett polynom i en variabel, a, sådan att grad P (v + a · u) ≤ d ≤ |F| − 1. Men
enligt faktorsatsen så är detta polynom nollpolynomet, vilket innebär att alla dess koefficienter är
identiskt noll. Betrakta nu utvecklingen av P (v + a · u). Denna kommer att ha utséendet
P (v + a · u) =
k
X
α
α
n,i
ci u1 1,i u2 2,i . . . uα
ad + ...
n
(35)
i
där de k utskrivna termerna i parentesen är högstagradstermerna i P (u) (alltså är α1,i + α2,i + ... +
αn,i = d.) Se Exempel 5.1 för ett belysande exempel.
20
Eftersom alla koefficienter i relationen (35) är noll innebär det speciellt att Pd (u) = 0, då detta
är koefficienten av ad . Nu inses att, eftersom u kan väljas godtyckligt ur Fnq \ 0, Pd måste vara
identiskt noll på hela Fnq (Pd (0) är såklart också noll). Det gäller fortfarande att d ≤ |F | − 1, så
upprepad applicering av faktorsatsen för en variabel i taget ger att det enda polynom som uppfyller
detta är nollpolynomet =⇒ d = 0, vilket är en motsägelse mot antagandet att d > 0.
Exempel 5.1:
Låt P ∈ F[x, y, z] och välj Fq så att q ≥ 4. För att följa Sats 5.1 sätts grad(P ) till 3. Låt vidare
P3 = 2x3 + xyz, v = (vx , vy , vz ) och u = (ux , uy , uz ), u, v ∈ Fn . Nu blir
P3 (v + a · u) = 2(vx + ux a)3 + (vx + ux a)(vy + uy a)(vz + uz a) =
= 2u3x a3 + ux uy uz a3 + ... = P3 (u)a3 + ...
Observera att inga andra termer, inklusive de homogena delarna av grad lägre än 3, har en
faktor a3 .
Med Lemma 5.2 och Sats 5.1 går det enkelt att ge en undre gräns för storleken av en Kakeyamängd K. I och med att det enda polynom P , grad(P ) ≤ |F| − 1, som är identiskt noll på K är
nollpolynomet, så måste |K| ≥ n+|F|−1
. Vidare innebär detta att
n
1
(|F| − 1 + n)!
n + |F| − 1
≥ |F|n .
(36)
=
|K| ≥
n!(|F| − 1)!
n!
n
Detta sätter alltså ett värde på konstanten Cn i den undre begränsningen Cn · |F|n som bestämdes
av Dvir, och därmed är genomgången av denna undre begränsning av Kakeyamängder färdig.
6
Diskussion
Vad som relaterar Dvirs arbete, från föregående sektion, med lösningen av speciellt Frågestälning
i A och Frågeställning i A2 är faktumet att ett kombinatoriskt problem löses med koncept tagna
ur linjär algebra. I Frågestälning i A och Frågestälning i A2 görs detta med begreppet linjärt
oberoende medan Dvir använder något som kallas för polynommetoden och bygger på användningen
av vektorrum av polynom. T. Tao säger speciellt i sin artikel [4] om Dvirs metod att
”It now seems sensible to revisit other problems in extremal combinatorics over finite fields to
see if the polynomial method can yield results there.”
Och med dessa ord avslutas detta arbete.
21
7
Tack
Jag vill passa på att tacka min handledare Olof Sisask, som har lagt ned mer tid åt att vägleda
mig än vad som förväntas av handledare, för ett stort tålamod och en utmärkt handledning.
8
Referenser
[1]: Beachy, John A., Blair, William D. 2006. Fields: Roots of polynomials. Abstract Algebra. 3.
uppl. Northern Illinois University: Waveland Press INC. Definition 4.1.1, sida 181.
[2]: Blyth, T.S., Robertson E.F. 2002. Vector spaces. Basic Linear Algebra. 2. uppl. London:
Springer.
[3]: Dvir. Z. 2008. On the size of Kakeya sets in finite fields. Cornell University Library. 20 mars.
https://arxiv.org/abs/0803.2336v3 (Hämtad 2017-05-06).
[4]: Tao. T. 2008. Dvir’s proof of the finite field Kakeya conjecture. terrytao.wordpress.com. 24
mars.
https://goo.gl/mLZaob (Hämtad 2017-05-06).
[5]: Wikipedia. 2017. Stars and bars (combinatorics).
https://en.wikipedia.org/wiki/Stars_and_bars_(combinatorics) (Hämtad 2017-05-06).
22