dvs ( ) ( ) 1

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Andragradskurvor
NÅGRA VIKTIGA ANDRAGRADSKURVOR:
CIRKEL, ELLIPS, HYPERBEL OCH PARABEL
CIRKEL
Definition. En cirkel är mängden av de punkter i planet vars avstånd till en given punkt är
konstant.
1. Cirkelns ekvation
Cirkeln med centrum i
( , ) och radien
=
har ekvationen ( − ) + ( − ) = Cirkelns ekvation på parameterform:
x = p + a cos t
y = q + a sin t ,
där 0 ≤ t ≤ 2π
(*)
Anmärkning1 : Med hjälp av "trigonometriska ettan " ser vi att punkter definierade med (*) uppfyller
2
2
⎛ x − p⎞ ⎛ y −q⎞
2
2
2
2
⎟ = cos t + sin t = 1 dvs ( x − p ) + ( y − q ) = 1
⎜
⎟ +⎜
⎝ a ⎠ ⎝ a ⎠
som är ekvationen för cirkeln med radien a och centrum i punkten (p,q).
Anmärkning 2: Cirkelns ekvation definierar två explicita funktioner ( och därmed två
funktionskurvor) som vi får genom att lösa ut y ur ovanstående ekvation:
( y − q) 2 = a 2 − ( x − p ) 2 ⇒ y = q ± a 2 − ( x − p ) 2
Övre halvcirkeln ges av y = q + a 2 − ( x − p ) 2
medan y = q − a 2 − ( x − p ) 2 är ekvationen för nedre halvan
------------------------------------------------------------------------------------------------------Härledning av cirkelns ekvation: Låt P(x,y) vara en punkt på cirkeln med centrum i
radien = . Eftersom avståndet mellan P och C är lika med a har vi:
( x − p ) 2 + ( y − q) 2 = a .
Om vi kvadrerar båda leden får vi
( x − p ) 2 + ( y − q) 2 = a 2 .
1 av 13
( , ) och
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Andragradskurvor
------------------------------------------------------------------------------------------------------Anmärkning 3. Endast en punkt(0,0) satisfiera ekvationen
Anmärkning 4. Ingen punkt satisfierar ekvationen
+ =0
+ = −1.
-------------------------------------------------------------------------------------------De inre punkter (med randpunkter) uppfyller villkoret
( − ) + ( − ) ≤ -------------------------------------------------------------För de yttre punkter (med randpunkter) gäller
( − ) + ( − ) ≥ -------------------------------------------------------------------------------------
-------------
Uppgift 1. Rita cirkeln
+ + 4 − 2 = 4.
Lösning:
Vi kvadratkompletterar
+ + 4 − 2 = 4 ⇒ ( + 2) − 4 + ( − 1) − 1 = 4
⇒ ( + 2) + ( − 1) = 9
Om vi jämför med cirkelns ekvationen ( − ) + ( − ) = − = 2, −
= −1 ℎ
, ser vi att
= 9
y
eller
= −2, = 1 ℎ = 3
a=3
Alltså C(-2,1) är centrum och a=3 är cirkelns radie.
1
C(-2, ,1)
-2
Uppgift 2. Rita följande punktmängd i xy-planet
2 av 13
O
x
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Andragradskurvor
A= {(x,y) ∈ R 2 : x2+y2 ≤ 9 }
Svar:
===========================================================
2. ELLIPS
Definition. En ellips är mängden av de punkter i planet vars avstånd till två givna punkter,
brännpunkterna, har en konstant summa.
Ellipsen med centrum i origo (0,0) och halvaxlarna ,
har ekvationen
+
= 1.
Om y = 0 får vi x = ± a .
Om x = 0 får vi y = ±b .
Arean av en ellips vars halvaxlar är a och b är A = abπ .
Om F1 ( − c,0) och F2 ( c,0) är ellipsens brännpunkter då gäller
a 2 − b2 = c 2
3 av 13
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Andragradskurvor
Anmärkning 5: Ellipsen med centrum i origo,
x2 y2
+
= 1 , kan anges med två ekvationer på
a2 b2
parameter form:
x = a cos t
y = b sin t ,
där 0 ≤ t ≤ 2π
(**)
2
2
⎛ x⎞ ⎛ y⎞
2
2
( Med hjälp av "trigonometriska ettan " ser vi att ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = cos t + sin t = 1 dvs
a
b
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
punkter som uppfyller (**) satisfierar ellipsens ekvation
x2 y2
+
= 1 definierar två explicita funktioner:
a2 b2
Anmärkning 6: Ekvationen
y=±
b
a2 − x2
a
x2 y2
+
= 1)
a2 b2
( + tecken för övre halvan )
Härledning av ellipsens ekvation: Vi betraktar en ellips som har brännpunkterna F1(–c, 0) och F2(c, 0)
som består av de punkter vars sammanlagda avstånd till två brännpunkterna, har en konstant
summa d1 + d2 = 2a. Låt P(x,y) vara en punkt på
ellipsen.
Från d1 + d2 = 2a har vi
( x + c ) 2 + y 2 + ( x − c ) 2 + y 2 = 2a
Vi flyttar en rot till den vänstra sidan
( x + c ) 2 + y 2 = 2a − ( x − c ) 2 + y 2
och kvadrerar båda sidor :
( x + c ) 2 + y 2 = 4a 2 − 4a ( x − c ) 2 + y 2 + ( x − c ) 2 + y 2
Efter förenkling har vi 4a ( x − c) 2 + y 2 = 4a 2 − 4cx
Vi delar med 4 och igen kvadrerar båda leden ( för att eliminera roten) och därefter förenklar
ekvationen :
4 av 13
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Andragradskurvor
a 2 [( x − c ) 2 + y 2 ] = a 4 − 2a 2 cx + c 2 x 2
⇒ a 2 [ x 2 − 2cx + c 2 + y 2 ] = a 4 − 2a 2 c 2 x 2 + c 2 x 2
⇒ a 2 x 2 − 2a 2 cx + a 2 c 2 + a 2 y 2 = a 4 − 2a 2 cx + c 2 x 2
⇒ (a 2 − c 2 ) x 2 + a 2 y 2 = a 2 (a 2 − c 2 )
Vi inför beteckningen a 2 − c 2 = b 2 och får ellipsens ekvation
b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2b 2
Om vi delar med a 2b 2 har vi ellipsens ekvation på formen
x2 y2
+
=1 .
a2 b2
Därmed har vi härlett ellipsens ekvation
x2 y2
+
= 1.
a2 b2
-----------------------------------------------------------------------------------------+ = 1 göra
Anmärkning 7: Ett sätt att få ekvation för en ellips är att i cirkelns ekvation
variabelbyte = / , = / (med andra ord ändrar vi skalan på x respektive y-axeln). Vi får
+
= 1.
Anmärkning 8: Om ellipsens centrum ligger i punkten C(p,q) då har ellipsen följande
(
)
+
(
)
= 1 .
Samma ellipsen kan skrivas på parameterform:
x = p + a cos t
y = q + b sin t ,
där 0 ≤ t ≤ 2π
(***)
2
2
⎛ x − p⎞ ⎛ y −q⎞
2
2
( Med hjälp av "trigonometriska ettan " ser vi att ⎜
⎟ = cos t + sin t = 1 dvs
⎟ +⎜
a
b
⎝
⎠
⎠ ⎝
punkter som uppfyller (***) satisfierar ellipsens ekvation
( x − p )2 ( y − q) 2
+
= 1)
a2
b2
Anmärkning 9: Endast en punkt(0,0) satisfierar ekvationen
Anmärkning 10: Ingen punkt satisfierar ekvationen
+
+
= 0
= −1.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Uppgift 2. En ellips har ( den horisontella) halvaxeln a = 5 och brännpunkter F1 ( −3,0) och
F2 ( 3,0) . Bestäms ellipsens ekvation.
5 av 13
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Andragradskurvor
Lösning: Från sambandet a 2 − c 2 = b 2 har vi b 2 = 25 − 9 = 16 .
Ellipsens ekvation
Svar:
x2 y2
x2 y2
+
=
1
blir
då
+
=1
a 2 b2
25 16
x2 y2
+
=1
25 16
Uppgift 3. Rita elipsen vars ekvation är x 2 + 4 y 2 = 4
x2 y2
Lösning: För att skriva ellipsen på formen 2 + 2 = 1 delar vi med 4 ekvationen x 2 + 3 y 2 = 4
a
b
och får
x2 3y 2 4
+
=
4
4
4
som vi kan skriva på följande sätt
x2
y2
+
=1
4 4/3
Om vi jämför med
x2 y2
+
= 1 får vi:
a2 b2
a 2 = 4 ⇐ a = 2 och b 2 = 4 / 3 ⇒ b = 4 / 3
Alltså har ellipsen halvaxlarna a = 2 och b =
4 / 3 ≈ 1.15 .
Uppgift 4. Bestäm tangenten till elipsen vars ekvation är x 2 + 2 y 2 = 3 i punkten P= (1, y) där y>0.
Lösning: Vi substituerar x=1 i ellipsens ekvation:
12 + 2 ⋅ y 2 = 3 ⇒ y 2 = 1 ⇒ y = ±1 . Eftersom, enligt antagande y>0 tar vi y = 1 .
Vi deriverar båda leden i implicit definierade funktionen x 2 + 2 y 2 = 3 och får
6 av 13
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
2 x + 4 y ⋅ y′ = 0 ⇒ y′ =
Andragradskurvor
−x
.
2y
I punkten P= (1,1) har vi y ′( P ) =
−1
.
2
( y − 1) =
Tangentens ekvation blir:
−1
( x − 1) eller efter förenkling x + 2 y = 3 .
2
Svar: x + 2 y = 3
Uppgift 5. Visa att ellipsen
Lösning: Från
x2 y2
+
= 1 har arean A = abπ .
a2 b2
x2 y2
x2
b 2
y
=
±
b
−
=±
+
=
1
får
vi
två
explicita
funktioner
1
a − x2 .
2
2
2
a
a
a
b
Vi bestämmer arean av fjärde delen av ellipsen som ligger i första kvadranten.
Substitutionen
a
A
b 2
=∫
a − x 2 dx
4 0a
=
π /2
∫
0
=
π /2
∫
0
x = a sin v där 0 ≤ v ≤
ger dx = a cos vdv
b 2
a − a 2 sin 2 v ⋅ a cos v dv
a
Gränser: x = 0 ⇒ a sin v = 0 ⇒ v = 0
x = a ⇒ a sin v = a ⇒ sin v = 1 ⇒ v =
b
⋅ a cos v ⋅ a cos v dv
a
π /2
π /2
= ab ∫ cos v dv = ab
2
0
∫
0
ab
1 + cos 2v
sin( 2v ) π / 2
dv = [v +
]
0
2
2
2
=
sin(π )
sin(0) ⎤ ab
ab ⎡
(π / 2 +
) − (0 +
) = [(π / 2 + 0) − (0 + 0)]
⎢
2 ⎣
2
2 ⎥⎦ 2
=
abπ
.
4
Från
A abπ
=
har vi A = abπ (vilket skulle bevisas) .
4
4
7 av 13
π
2
π
2
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Andragradskurvor
Uppgift 6. Rita följande punktmängd i xy-planet
b) M = {( x, y ) ∈ R 2 :
x2 y2
+
≤ 1}
4
1
x2 y2
+
= 1 . Från a 2 = 4 och b 2 = 1 får vi halvaxlarna
Svar: Området begränsas av ellipsen
4
1
a = 2 och b = 1 .
Uppgift 7. Rita följande punktmängder i xy-planet
a) M 1 = {( x, y ) ∈ R 2 :
x2 y2
+
≤ 1}
4
1
b) M 2 = {( x, y ) ∈ R 2 :
x2 y2
+
< 1}
4
1
c) M 3 = {( x, y ) ∈ R 2 :
x2 y2
+
= 1}
4
1
d) M 4 = {( x, y ) ∈ R 2 :
x2 y2
+
≤ 1, x > 0}
4
1
e) M 5 = {( x, y ) ∈ R 2 :
x2 y2
+
< 1, x ≥ 0}
4
1
f) M 6 = {( x, y ) ∈ R 2 :
x2 y2
+
≤ 1,
4
1
x ≥ 0}
Svar:
a)
1
2
b) Randpunkter tillhör inte mängden M 2
8 av 13
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Andragradskurvor
1
c)
d)
B
o
2
C
A
e)
B
f)
C
o
B
o
A
C
A
================================================================
3.HYPERBEL
Definition. En hyperbel är mängden av de punkter i planet vars avstånd till två givna
punkter, brännpunkter har en konstant skillnad.
( Ekvationen för en hyperbel härleder vi på liknande sätt som för en ellips.)
Två ofta förekomande är följande ekvationer:
−
och
= 1 (har 2 skärningspunkter med x-axeln)
−
= 1. (har 2 skärningspunkter med y-axeln)
Anmärkning 11: Ekvationen
y=±
b
x2 − a2
a
x2 y2
−
= 1 definierar två explicita funktioner:
a 2 b2
( + tecken för övre halvan ) .
Härav får vi definitionsmängden x 2 − a 2 ≥ 0 dvs x ∈ ( −∞,−a ] ∪ [a,+∞) och
två sneda asymptoter enligt formlerna:
T ex för y = +
b
x2 − a2
a
och x → ∞ har vi
9 av 13
Armin Haalilovic: EXTR
RA ÖVNINGA
AR
k = lim
m
x →∞
f ( x)
= lim
m
x →∞
x
+
Andragrradskurvor
b
a2
b
+ | x | 1− 2
x2 − a2
x =b
a
= lim a
x
→
∞
x
x
a
b
⎡b
n = lim
m( f ( x ) − kx ) = lim ⎢
x2 − a2 −
x →∞
x →∞ a
a
⎣
= lim
b
a
[x
x →∞
2
⎤
x⎥
⎦
]
x2 − a2 + x
b x2 − a2 − x
− a 2 − x = lim ⋅
=
⋅
2
2
a
1
a
+
x
x
−
x →∞
b x2 − a2 − x2
b
− a2
= lim ⋅
== lim ⋅
=0
a x2 − a2 + x
a x2 − a2 + x
x →∞
x →∞
n går mot ∞ , täljaren =
( nämnaren
konstantt).
Därmed är y =
b
b
x + 0 en snedd asymptot tiill y = +
x 2 − a 2 då
d x→∞.
a
a
b
b
x är en vännster asympttot till y = +
x 2 − a 22 då x → −∞ .
a
a
b
b
På liknan
nde sätt visar vi att y = + x och y = − x ärr sneda asym
mptoter ( vännster respektive
a
a
På samm
ma sätt får vi att y = −
höger) tiill nedre deleen av hyperb
beln.
Om F1 ( − c,0) och F2 ( e,0) är hyyperbelns bräännpunkter då gäller
a 2 + b2 = c2
Anmärkkning 12. Ekkvationen
−
= 0 kkan faktorise
eras och skrivas som
( − ))( + ) = 0.
och därm
med punkterr som satisfie
erar ekvatio nen ligger på
p två linjer
10 av 13
Armin Haalilovic: EXTR
RA ÖVNINGA
AR
Andragrradskurvor
− = 0 ℎ + = 0 .
Uppgift 8. Rita hyperbeln 2
−8
= 8.
Lösning:: För att beestämma a occh b skriver vi ekvatione
en
−
på form
men
= 1.
Vi delar ekvationen 2
−
−8
= 8 med 8 ooch får
= 1 ⇒ = 2 ℎ = 1.
=
Därför är
2 hyperbelns assymptoter.
Vi ritar aasymptoter och,
o
med hjäälp av en rekttangel ( se bilden),
skisserarr vi hyperbeln.
=============================
===============================
=========
4. PARA
ABLER
Här är tvvå ofta förekomande ekvvationer:
=
+
+
( där
0)
och
=
+
+
( dä
är
Exempel 3.
=============================
==============================
11 av 13
0)
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Andragradskurvor
Definition. En parabel är mängden av de punkter i planet vars avstånd till en given linje, styrlinje
(direktris) och en given punkt brännpunkt är lika.
Anmärkning 13: Parabelns vertex , ( toppunkt) ligger i mitten av vinkelrät sträckan från
brännpunkten till direktrisen.
Den reda linjen i figuren ovan är parabelns styrlinje, F betecknar brännpunkt (fokus) och V är
parabelns vertex (toppunkt)
Uppgift 9. Bestäm ekvationen för den parabel vars avstånd till linjen x = − a och punkten F (a, 0)
är lika.
Lösning:
y
P(x,y)
Q(-a,y)
(-a,0)
O
F(a,0)
x
Låt P(x,y) vara en punkt på parabeln. Avståndet mellan P och direktrisen ( styrlinjen) är d1 = x + a
medan avståndet mellan P och brännpunkten är d 2 =
Från d 1 = d 2 ⇒ x + a =
( x − a)2 + y 2 .
( x − a ) 2 + y 2 ⇒ (kvadrera båda leden) ⇒
12 av 13
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Andragradskurvor
⇒ ( x + a ) 2 = ( x − a ) 2 + y 2 ⇒ x 2 + 2ax + a 2 = x 2 − 2ax + a 2 + y 2
⇒ y 2 = 4ax
Svar:
y 2 = 4ax
Uppgift 8. Bestäm ekvationen för den parabel som har brännpunkten F (1,5 ) och vertex V(1.6).
Lösning: Genom brännpunkten F (1,5 ) och vertex V(1.6) går parabelns symmetrilinje medan
direktrisen (styrlinjen) skär vinkelrät symmetrilinjen i den punkt D som uppfyller kravet att
avståndet mellan D och V är lika med avståndet mellan V och F. Direktrisens ekvation är därmed
y = 7 . (Se figuren.)
För en punkt P(x,y) på parabeln har vi
d1 = d 2 ⇒ (7 − y ) = ( x − 1) 2 + ( y − 5) 2 ⇒ (kvadrera båda leden)
⇒ (7 − y ) 2 = ( x − 1) 2 + ( y − 5) 2
⇒ 49 − 14 y + y 2 = x 2 − 2 x + 1 + y 2 − 10 y + 25
⇒ −4 y = x 2 − 2 x − 23
− x 2 + 2 x + 23
⇒y=
4
2
− x + 2 x + 23
Svar: y =
4
13 av 13