Svar till: TENTAMEN I MATEMATIK Tal och räkning ML (1MA067

Svar till:
TENTAMEN I MATEMATIK
Tal och räkning ML (1MA067)
2009-01-10
1) I en geometrisk serie är det tredje elementet 27 och det femte elementet är 243.
a) Bestäm kvoten i denna serie (det finns två möjliga värden för kvoten).
b) Skriv upp seriens fem första element för de två olika k-värdena.
Lösning:
Första elementet: a , n:te elementet: a⋅k n− 1 (där k är seriens kvot)
243
a⋅k 4
a⋅k 2
27
2
= 9=
= k ⇒ k = ±3 , a = 2 =
=3 .
2
27
9
a⋅k
k
Svar: a) k = ±3
b) 3, 9, 27, 81, 243 (för k = 3)
3, -9, 27, -81, 243 (för k = -3)
2)
a)
c)
d)
e)
N är mängden av alla naturliga tal, och Z är mängden av alla hela tal.
Vad är N ∩ Z ? b) Vad är N ∪ Z ?
Är mängderna N resp Z slutna (closed) under addition?
Är mängderna N resp Z slutna (closed) under subtraktion?
Är mängderna N resp Z slutna (closed) under division?
Svar: a) N ∩ Z = N , (N är en delmängd av Z)
b) N ∪ Z = Z
c) Ja, båda är slutna under addition, eftersom addition av två heltal alltid ger ett nytt
heltal.
d) Z är sluten under subtraktion, men N är inte det, eftersom subtraktion av två naturliga
tal kan ge ett negativt heltal.
e) Nej, ingen av dessa mängder är sluten under division, eftersom en kvot av heltal i
allmänhet är ett rationellt tal, men inte ett nytt heltal.
3) Två positiva tal, a och b, är givna (a är större än b). Man vet att a – b = 15 och a/b = 8.
Bestäm a och b.
Lösning: a – b = 8b – b = 7b = 15, b = 15/7 = 2 1/7
a = 8b = 120/7 = 17 1/7
Svar: a = 17 1/7, b = 2 1/7
4) Talet x skrivs 111111 i basen b , men 444 i basen b 2 .
Vad är talet x? Vilken är basen b ?
x = 1bb 2 b3b 4 b5 (i basen b)
x = 44⋅b 24⋅b 4 (med kvadraten av b som bas)
Sätt uttrycken lika:
Lösning:
1bb 2b 3b 4 b5 = 1b1b⋅b 21b⋅b 4 = 44⋅b 2 4⋅b 4
Detta stämmer om 1 + b = 4, d.v.s. om b = 3.
Talet x är då: x = 1bb 2b 3b 4 b5 = 139 2781243 = 364
Svar: x = 364 och b = 3.
5) Talet p är ett heltal.
a) Vilka rester är möjliga då p divideras med 21, om p ger resten 3 vid division med 7 ?
b) Vilka rester är möjliga då p divideras med 10, om p ger resten 2 vid division med 11 ?
Svar: a) Möjliga rester är 3, 7 +3 och 14 + 3, d.v.s. 3, 10 och 17.
b) Alla rester som kan uppträda vid division med 10 är möjliga, d.v.s. 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
6) Bestäm största gemensamma delare (SGD) och minsta gemensamma multipel (MGM) till
de båda talen m = 441 och n = 392.
Lösning: Primtalsfaktorisering av m och n ger: m = 7⋅7⋅3⋅3 och n = 7⋅7⋅2⋅2⋅2 .
Då blir SGD m , n = 7⋅7 = 49 och MGM  m , n = 7⋅7⋅3⋅3⋅2⋅2⋅2 = 3528
Svar:
SGD m , n = 49 och
MGM  m , n = 3528 .
7) Skriv följande decimaltal som ett bråk (d.v.s. som en kvot mellan två hela tal): 1,074
Lösning:
⇒
x = 1,074074074... ,
999⋅x = 1073
Svar: 1,074 =
⇒x=
1000⋅x = 1074,074074 ...
1073 29⋅37 29
=
=
999
27⋅37 27
29
.
27
8) Följande tal skrivs som decimaltal. Blir de då: 1) avslutade (terminating), 2) periodiska
(repeating) eller 3) varken avslutade eller periodiska. Ge ett svar och motivera för vart och ett
av följande tal (användning av miniräknare duger inte som motivering, man får ju bara reda på
de första decimalerna efter decimalkommat):
4939256958433
17
63
4
a)  11 b)
c)
d)
e)
17 12
3
60
2 ⋅5
9
Svar: a) Varken avslutat eller periodiskt (rötter ur heltal är irrationella om heltalet inte är en
jämn kvadrat).
b) Avslutat decimaltal (de enda primtalsfaktorer vi hittar i nämnaren är 2 och 5).
c) Periodiskt decimaltal (rationellt tal med nämnare som innehåller annat än 2 och 5).
d) Avslutat decimaltal (förkortas till 21/20, vars nämnare endast innehåller 2 och 5).
e) Periodiskt decimaltal (förenklas till 2/3).