Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister
Per-Anders Svensson
http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html
Fakulteten för teknik
Linnéuniversitetet
Räta linjens och planets ekvationer II
Innehåll
Räta linjens ekvation – repetition
Planets ekvation på parameterform
Planets ekvation på normalform
Normalformen i ortonormerade system
 januari 
2(21)
Räta linjens ekvation – repetition
I ett givet koordinatsystem (O , e x , e y , e z )
för rummet gäller att varje rät linje kan
framställas på parameterform

x = x 0 + t α
y = y0 + t β

z = z0 + t γ.
v
P0
b
Detta är ekvationen för den räta linje som
går genom punkten P0 = (x0 , y0 , z0 ) och
som har vektorn v = (α, β, γ) som s.k. riktningsvektor.
Analogt ges ekvationen på parameterform för en linje i planet som
x = x0 + t α
y = y0 + t β.
 januari 
3(21)
Vi återger resonemanget för hur man kan härleda ekvationen på
parameterform för en rät linje i rummet:
Låt ett koordinatsystem (O , e x , e y , e z ) för punkterna i rummet vara
givet.
L
För att entydigt kunna bestämma en
linje L i rummet, behöver vi känna till
• en punkt P0 = (x0 , y0 , z0 ) på L
• en riktningsvektor
v = (α, β, γ) 6= 0 för L.
P
b
P0
−−→
P0 P
b
v
En punkt P = (x , y, z ) ligger på L, om
−−→
och endast om P0 P = t v för något t .
−−→
Ekvationen P0 P = t v blir (x − x0 , y − y0 , z − z0 ) = (t α, t β, t γ) på
koordinatform. Vi jämför koordinat för koordinat och får räta linjens
ekvation på parameterform:

x = x 0 + t α
y = y0 + t β

z = z0 + t γ.
När vi härnäst ska härleda ekvationen för ett plan i rummet, kommer
vi
resonera på ett liknande vis.
 januari 
4(21)
Planets ekvation på parameterform
För att kunna lokalisera ett plan i rummet, behöver vi känna till
• En punkt P0 som ligger i planet
• Två vektorer v 1 och v 2 som båda är parallella med planet, men
inte med varandra (vi säger att v 1 och v 2 spänner upp planet).
Låt P vara en godtycklig punkt i rummet. Då ligger P i planet, om
−−→
och endast om vektorn P0 P kan skrivas som en linjärkombination
av v 1 och v 2 , d.v.s. det ska finnas reella tal t1 och t2 sådana att
−−→
P0 P = t1 v 1 + t2 v 2 .
v2
−−→
P0 P
b
P0
P
b
v1
 januari 
5(21)
Vi inför ett koordinatsystem (O , e x , e y , e z ) för rummets punkter
(inte nödvändigtvis ortonormerat). Antag vi i detta koordinatsystem
har P0 = (x0 , y0 , z0 ) och P = (x , y, z ), samt att v 1 = (α1 , β1 , γ1 ) och
−−→
v 2 = (α2 , β2 , γ2 ). Ekvationen P0 P = t1 v 1 + t2 v 2 blir då på
koordinatform
(x − x0 , y − y0 , z − z0 ) = t1 (α1 , β1 , γ1 ) + t2 (α2 , β2 , γ2 )
= (t1 α1 + t2 α2 , t1 β1 + t2 β2 , t1 γ1 + t2 γ2 ).
Jämför vi koordinat för koordinat så får vi planets ekvation på
parameterform:

x = x0 + α1 t1 + α2 t2
y = y0 + β1 t1 + β2 t2

z = z0 + γ1 t1 + γ2 t2 .
Vi kallar t1 och t2 för parametrar. När t1 och t2 genomlöper alla reella
tal, kommer P = (x , y, z ) att genomlöpa alla punkter i planet, och
inga andra.
 januari 
6(21)
Exempel
Planet med ekvationen

x = −1 + 3t1 − 3t2
y = 3 − 2t1 + 2t2

z = 2 + t1 − 5t2
innehåller punkten P0 = (−1, 3, 2) och spänns upp av vektorerna
v 1 = (3, −2, 1) och v 2 = (−3, 2, −5) (som vi noterar inte är
parallella). Ligger någon av punkterna P = (5, −1, 0) eller
Q = (1, 2, 1) i detta plan?
Lösning.
Om P ligger i planet, måste det finnas värden på t1 och t2 så att


 5 = −1 + 3t1 − 3t2
 3t1 − 3t2 = 6
t1 = 3
−1 = 3 − 2t1 + 2t2 ⇐⇒ −2t1 + 2t2 = −4 ⇐⇒
t2 = 1.


0 = 2 + t1 − 5t2
t1 − 5t2 = −2
Punkten P ligger alltså i planet. Avgör på egen hand ifall samma sak
gäller för Q .
 januari 
7(21)
Exempel
Bestäm en ekvation på parameterform för det plan som innehåller de
tre punkterna P = (1, 0, 3), Q = (−1, 2, 3) och R = (6, −2, 1).
Lösning.
Vi behöver två icke-parallella vektorer som spänner upp planet, samt
en punkt som ligger i planet.
Som vektorer kan vi välja
−→
−→
PQ = (−2, 2, 0) och PR = (5, −2, −2).
Om vi som punkt i planet väljer P, så får vi ekvationen

x = 1 − 2t1 + 5t2
y=
2t1 − 2t2

z =3
− 2t2 .
Precis som när vi plockar fram en rät linjes ekvation på
parameterform, kan vi få olika ekvationer beroende på hur vi väljer
punkter och vektorer.
 januari 
8(21)
Planets ekvation på normalform
På förra föreläsningen konstaterade vi att räta linjer i planet kan
framställas på normalform (förutom parameterform). Vi har då en
ekvation av typen
ax + by + c = 0,
där minst ett av talen a och b är skilt från noll.
Om det koordinatsystem (O , e x , e y ) vi använder oss av är ortonormerat, d.v.s. om (e x , e y )
är en ON-bas, så är n = (a, b) en normalvektor till en linje med ekvationen ax +by +c = 0.
Linjens riktningsvektor är alltså då ortogonal
mot n.
ax + by + c = 0
n = (a, b)
Vi ska nu se att även ett plan i rummet kan skrivas på s.k.
normalform, och att en motsvarande geometrisk tolkning som ovan
kan göras, så fort vi använder ett ortonormerat system.
 januari 
9(21)
Betrakta det plan som innehåller punkten P0 = (x0 , y0 , z0 ) och spänns
upp av vektorerna v 1 = (α1 , β1 , γ1 ) och v 2 = (α2 , β2 , γ2 ). Låt
P = (x , y, z ) vara en godtycklig punkt i rummet. Då spänner de tre
−−→
vektorerna v 1 , v 2 och P0 P = (x − x0 , y − y0 , z − z0 ) upp en
parallellepiped i rummet, vars volym (sånär som på tecknet) är lika
med determinanten av den matris, vars kolonnvektorer utgörs
−−→
av v 1 , v 2 och P0 P .
P
−−→
P0 P
b
v2
P0
b
v1
Speciellt intressant blir det om denna determinant är noll. Detta sker
om och endast om punkten P ligger i planet.
 januari 
10(21)
Detta betyder alltså P = (x , y, z )
α1 α2
β 1 β2
γ1 γ2
ligger i planet, om och endast om
x − x0 y − y0 = 0.
z − z0 Genom att beräkna determinanten med hjälp av Sarrus’ regel, så får
vi efter litet räkningar att ekvationen ovan kan skrivas som
Ax + By + Cz + D = 0,
(1)
där A, B, C och D är konstanter som beror av koordinaterna
hos v 1 , v 2 och P0 .
Antag att A = B = C = 0. Då måste också D = 0 för att (1)
överhuvudtaget ska vara uppfyllt för någon punkt P = (x , y, z ). Men
om A = B = C = D = 0, så blir (1) uppfyllt för alla punkter i
rummet, vilket vi inte vill; vi är bara ute efter en ekvation för alla
punkter i ett plan. Alltså måste minst ett av talen A, B och C vara
skilt från noll, för att vi ska få ekvationen för ett plan.
 januari 
11(21)
Vi har därmed åtminstone delvis bevisat följande sats:
Sats
Oberoende av vilket koordinatsystem för rummet som används, så kan
varje plan beskrivas med hjälp av en ekvation på formen
Ax + By + Cz + D = 0,
(2)
där minst ett av de tre talen A, B och C är skilt från noll. Omvänt
beskriver varje sådan ekvation ett plan i rummet.
Vad vi inte har bevisat är en ekvation på formen (2) kan tolkas som
ett plan: Vi vet att minst ett av talen A, B och C är skilt från noll;
låt oss anta att C 6= 0. Om vi då sätter x = t1 och y = t2 , så blir
Cz = D − Ax − By = D − At1 − Bt2 ⇐⇒ z =
D
A
B
− t1 − t2 ,
C
C
C
d.v.s. vi får

t1
x =
y=
t2

A
B
−
t
−
z=D
C
C 1
C t2 ,
vilken är ekvationen för ett plan på parameterform, närmare bestämt
det plan som går genom punkten (0, 0, D /C ) och spänns upp av
vektorerna (1, 0, −A/C ) och (0, 1, −B/C ). Nu är satsen helt bevisad!
 januari 
12(21)
Definition (Normalform)
Ekvationen för ett plan på formen
Ax + By + Cz + D = 0,
där minst ett av de tre talen A, B och C är nollskilt, kallas för planets
ekvation på normalform.
I stället för normalform säger man ibland affin form.
 januari 
13(21)
Exempel

t1 − 2t2
x =
Skriv en ekvation på normalform för planet y = 2 − 2t1 + 3t2

z = −1 + t1 + 5t2 ,
d.v.s. det plan som innehåller punkten P0 = (0, 2, −1) och spänns upp
av vektorerna v 1 = (1, −2, 1) och v 2 = (−2, 3, 5).
Låt P = (x , y, z ) vara en godtycklig punkt i rummet. Då
−−→
spänner v 1 , v 2 och P0 P = (x , y − 2, z + 1) upp en parallellepiped,
vars volym (sånär som på tecken) ges av determinanten
1 −2
x −2
3 y − 2 .
1
5 z + 1
 januari 
14(21)
Volymen (determinanten) blir noll, om och endast om P ligger i
planet. Vi får
1 −2
x −2
3 y − 2 = 0 ⇐⇒ −13x − 7y − z + 13 = 0,
1
5 z + 1
där determinanten kan beräknas med hjälp av Sarrus’ regel. Planets
ekvation på normalform blir alltså
−13x − 7y − z + 13 = 0
(eller om man så vill 13x + 7y + z − 13 = 0).
 januari 
15(21)
Alternativ lösning.
Vi utgår från planets ekvation på parameterform och försöker lösa det
som ett ekvationssystem med avseende på t1 och t2 :


t1 − 2t2
x
x =
 t1 − 2t2 =
y = 2 − 2t1 + 3t2 ⇐⇒ −2t1 + 3t2 = y − 2 2


z = −1 + t1 + 5t2
t1 + 5t2 = z + 1
−

x
t1 − 2t2 =
−t2 = 2x + y − 2
⇐⇒

7t2 = −x + z + 1.
I de två sista ekvationerna kan vi nu lösa ut t2 och sätta dessa två
uttryck för t2 lika med varandra:
2 − 2x − y =
−x + z + 1
⇐⇒ 7(2 − 2x − y) = −x + z + 1
7
⇐⇒ 13x + 7y + z − 13 = 0.
Vi får samma ekvation 13x + 7y + z − 13 = 0 för planet som vi fick
med ”determinantmetoden”.
 januari 
16(21)
Exempel
Skriv en ekvation på parameterform för planet 4x − 3y + z + 1 = 0.
Lösning.
Analogt med motsvarande problem för räta linjer i planet, döper vi
om två av variablerna x , y och z till parametrar t1 och t2 , och löser
sedan ut den tredje variabeln. Sätter vi t.ex. x = t1 och y = t2 så blir
z = −1 − 4x + 3y = −1 − 4t1 + 3t2 och vi får ekvationen

t1
x =
y=
t2

z = −1 − 4t1 + 3t2 .
Detta är planet genom punkten P = (0, 0, −1) som spänns upp av
vektorerna v 1 = (1, 0, −4) och v 2 = (0, 1, 3).
 januari 
17(21)
Normalformen i ortonormerade system
Vi påminner än en gång om att vi i ett ortonormerat koordinatsystem
i planet kan tolka vektorn n = (a, b) som en normalvektor till den
räta linjen som på normalform har ekvationen ax + by + c = 0.
Något liknande gäller även för ett plans ekvation på normalform:
Sats
I ett ortonormerad koordinatsystem gäller att ett plan, som på
normalform har ekvationen
Ax + By + Cz + D = 0,
har vektorn n = (A, B, C ) som normalvektor, d.v.s. för varje vektor v
som är parallell med planet gäller att n · v = 0.
n = (A, B , C )
Ax + By + Cz + D = 0
 januari 
18(21)
Bevis.
Låt P0 = (x0 , y0 , z0 ) vara en punkt i planet. Då uppfyller P0 :s
koordinater planets ekvation, så Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0. Om
punkten P = (x , y, z ) är en annan godtyckligt vald punkt i planet, så
gäller av samma anledning Ax + By + Cz + D = 0. Utifrån detta kan
vi skriva
0 = (Ax + By + Cz + D ) − (Ax0 + By0 + Cz0 + D )
= A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C (z − z0 ).
Sätt n = (A, B, C ). Högerledet ovan kan då tolkas som
skalärprodukten mellan vektorerna n = (A, B, C ) och
−−→
P0 P = (x − x0 , y − y0 , z − z0 ), eftersom vi använder oss av ett
ortonormerat system. I och med att denna skalärprodukt är noll, visar
detta att vektorn n är ortogonal varje vektor v som är parallell med
planet.
 januari 
19(21)
Vi kan nu redogöra för en tredje metod att omvandla ett plans
ekvation från parameterform till normalform.
Exempel

t1 − 2t2
x =
Vi tittar på samma ekvation på parameterform y = 2 − 2t1 + 3t2

z = −1 + t1 + 5t2
som tidigare, men med tillägget att koordinatsystemet nu är
ortonormerat. Vi söker en ekvation på normalform
Ax + By + Cz + D = 0.
Eftersom koordinatsystemet är ortonormerat, kan vektorn
n = (A, B, C ) tolkas som en normalvektor till planet. Då planet
spänns upp av v 1 = (1, −2, 1) och v 2 = (−2, 3, 5), ska n vara
ortogonal mot såväl v 1 som v 2 . Vi kan därför som n välja
vektorprodukten v 1 × v 2 av v 1 och v 2 (se definitionen av
vektorprodukt i kapitel 5).
 januari 
20(21)
Formeln för beräkning av vektorprodukt ger
−2 1 1
,
v 1 × v 2 = (1, −2, 1) × (−2, 3, 5) = 3 5 5
= (−13, −7, −1)
1 1 −2
,
−2 −2
3
Alltså är n = (A, B, C ) = (−13, −7, −1) vilket så här långt ger
ekvationen
−13x − 7y − z + D = 0
för planet. Det återstår att bestämma D . Men eftersom punkten
P = (0, 2, −1) ligger i planet, så måste koordinaterna för denna punkt
uppfylla planets ekvation, vilket ger
−13 · 0 − 7 · 2 − (−1) + D = 0 ⇐⇒ D = 13,
och vi får på nytt ekvationen −13x − 7y − z + 13 = 0.
 januari 
21(21)

Vektorgeometri för gymnasister

Related documents

Products

Support

Vektorgeometri för gymnasister

Related documents

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib