Moment 4.3.1, 4.3.2 Viktiga exempel 4.44, 4.46, 4.48 Handräkning 4

Moment
Viktiga exempel
Handräkning
Datorräkning
4.3.1, 4.3.2
4.44, 4.46, 4.48
4.53, 4.59, 4.60, 4.61, 4.62, 4.63, 4.64, 4.65
1-15 i detta dokument
Planet
Ett plan i rummet är bestämt då
• två icke parallella riktningar, ~v1 och ~v2 , och en punkt P1 i planet är givna.
• en riktning ~v1 och två punkter P1 och P2 i planet är givna.
• tre punkter P1 , P2 och P3 , som inte ligger på en rät linje, i planet är givna.
På ett liknande sätt som för linjen kan vi föra ett resonemang som leder fram till planets
ekvation på vektorform
~r = ~r0 + ~v1 s + ~v2 t
För varje par av värden på s och t får vi en ny punkt i planet.
Den snarlika framställningen av planet på parameterform ser ut så här

 x = x0 + α1 s + α2 t
y = y0 + β1 s + β2 t

z = z0 + γ1 s + γ2 t
Här är P0 = (x0 , y0 , z0 ) en punkt i planet och vektorerna ~v1 = (α1 , β1 , γ1 ) och ~v2 =
(α2 , β2 , γ2 ) riktningar parallella med planet.
Det kanske vanligaste sättet att återge ett plan är på normalform. Betraktar vi parameterframställningen som ett ekvationssystem med de obekanta s, t och z, kommer lösningen
på z att bli ett uttryck i x och y. Vi skriver om detta på formen
Ax + By + Cz + D = 0
och kallar framställningen planets ekvation på normalform.
~ = (A, B, C) som vi konstruerar med hjälp av koeffiVi ska nu titta närmare på vektorn n
cienterna från planets ekvation Ax + By + Cz + D = 0.
Genom att bestämma x och y kan vi beräkna z och på det sättet finna punkter som ligger
i planet. Med de tre punkterna
P1 = (x1 , y1 , −(D + Ax1 + By1 )/C)
P2 = (x2 , y2 , −(D + Ax2 + By2 )/C)
P3 = (x3 , y3 , −(D + Ax3 + By3 )/C)
Håkan Strömberg
1
KTH Syd
kan vi bestämma två riktningar som är parallella med planet.
−−→
−−→
−−→
~v1 = P1 P2 och ~v2 = P1 P3 . När vi nu väljer att beräkna n
~ ◦ ~v1 och ~n ◦ ~v2 får vi ~v1 = P1 P2 =
(P1 − P2 ) = (x1 − x2 , y1 − y2 , (D + Ax2 + By2 − D − Ax1 − By1 )/C). Denna vektor skalärt
med ~n ger
(x1 − x2 , y1 − y2 , (Ax2 + By2 − Ax1 − By1 )/C) ◦ (A, B, C) =
A(x1 − x2 ) + B(y1 − y2 ) + (Ax2 + By2 − Ax1 − By1 ) =
Ax1 − Ax2 + By1 − By2 + Ax2 + By2 − Ax1 − By1 = 0
n ◦ ~v2 = 0. Detta betyder att ~n är vinkelrät mot två vektorer ~v1
På samma sätt finner vi att ~
~ är vinkelrät mot alla vektorer i planet och därmed är
och ~v2 i planet, vilket betyder att n
vinkelrät mot planet!
~ = (A, B, C), är en normalvektor till planet
Sats 1. Vektorn n
Ax + By + Cz + D = 0
Exempel 1. Tre punkter P1 = (1, 4, 2), och P2 = (0, 2, 1) och P3 = (1, 0, 1) är givna. Tre
punkter som inte ligger på en rät linje bestämmer ett plan.
Med punkterna som hjälp, kan vi bilda två riktningar som är parallella med planet. ~v1 =
P1 − P2 = (1, 4, 2) − (0, 2, 1) = (1, 2, 1) och ~v2 = P1 − P3 = (1, 4, 2) − (1, 0, 1) = (0, 4, 1).
Vi kan nu skriva planets ekvation på vektorform
~r = (1, 4, 2) + (1, 2, 1)s + (0, 4, 1)t
Som du förstår finns det många olika val att göra denna framställning på. Det kan ibland
vara svårt att se om två olika framställningar av ett plan på parameterform definierar samma
plan.
På parameterform kan vi direkt skriva det hela

 x=1+s
y = 4 + 2s + 4t

z=2+s+t
Genom till exempel s = t = 1 framställer vi punkten (2, 10, 4), som alltså ligger på planet.
När vi nu ska bestämma planets ekvation på normalform ska vi alltså lösa ekvationssystemet ovan med avseende på s, t och z.
Ur första ekvationen får vi s = x − 1. Detta insatt i andra ekvationen leder till
y = 4 + 2(x − 1) + 4t
y = 4 + 2x − 2 + 4t
t = (y − 2x − 2)/4
Med dessa uttryck på s och t kan vi till sist uttrycka den tredje ekvationen utan inblandning
av s och t. z = 2 + (x − 1) + (y − 2x − 2)/4. Efter en del räknande kommer vi fram till
planets ekvation på normalform
2x + y − 4z + 2 = 0
Håkan Strömberg
2
KTH Syd
Problemställningar
Vi har nu definierat punkten, linjen och planet i rummet för att kunna lösa problem med
dessa objekt inblandade.
Skärningar. Vi börjar med skärningen mellan två linjer l1 och l2 .


 x = x0 + vx t
 x = x1 + ux t
l1 =
y = y0 + vy t
l1 =
y = y1 + uy t


z = z0 + vz t
z = z1 + uz t
I praktiken kan man säga att det endast är i undantagsfall, som två linjer i rummet skär
varandra. För att få reda på om l1 och l2 har någon gemensam punkt ska vi finna värden
på t och s, så att

 x1 + ux t = x0 + vx s
y + uy t = y0 + vy s
 1
z1 + uz t = y0 + vz s
Observera att t i l1 och t i l2 , som linjerna framställs från början, inte är samma parameter
och att vi här inför s som den andra linjens parameter.
Eftersom (x1 , y1 , z1 ), (ux , uy , uz ), (x0 , y0 , z0 ) och (vx , vy , vz ) alla är kända har systemet två
obekanta s och t och tre ekvationer. Systemet är överbestämt och vi kan ur de två första
ekvationerna lösa s och t. Om dessa värden satisfierar den tredje ekvationen är punkten
(x1 + ux t, y1 + uy t, z1 + uz t) gemensam för de båda linjerna.
Skärning mellan en linje och ett plan. En linje kan förhålla sig till ett plan på tre olika sätt:
•
Linjen skär planet
•
Linjen är parallell med planet och har ingen gemensam punkt med planet.
•
Linjen ligger i planet.
Det första fallet inträffar så fort linjens riktningsvektor inte är parallell med planet. I de två
andra fallen är riktningsvektorn dock parallell med planet.


 x = x0 + ux t
 x = x1 + wx s + vx t
y = y0 + uy t
y = y1 + wy s + vy t
l=
pl =


z = z0 + uz t
z = z1 + wz s + vz t
Från linjen l och planet pl skapar vi nu ett ekvationssystem med tre obekanta

 x0 + ux p = x1 + wx s + vx t
y + uy p = y1 + wy s + vy t
 0
z0 + uz p = z1 + wz s + vz t
där de tre obekanta är p, s och t. Från kapitlet om linjära ekvationssystem känner vi till
att detta system kan ha en, ingen eller oändligt många lösningar. Var och en av dessa fall
motsvarar ett förhållande mellan linjen och planet enligt punkterna ovan.
Skärning mellan två plan. Precis som tidigare reder vi ut vilka fall som är möjliga.
Två plan kan förhålla sig till varandra på tre olika sätt
Håkan Strömberg
3
KTH Syd
•
Planen skär varandra efter en rät linje.
•
Planen är parallella med varandra och har ingen gemensam punkt.
•
Planen sammanfaller.
Det första fallet inträffar då planens normalvektorer inte är parallella. I de andra två fallen
är just normalvektorerna parallella!
De två planen pl1 och pl2 , vi ska studera har följande ekvationer på parameterform.


 x = x0 + wx s + vx t
 x = x1 + ux s + rx t
pl1 =
y = y0 + wy s + vy t
pl2 =
y = y1 + uy s + ry t


z = z0 + wz s + vz t
z = z1 + uz s + rz t
~ , ~v, ~
där P0 , P1 , w
u, ~r alla är givna.
Vi får följande ekvationssystem

 x0 + wx s1 + vx t1 = x1 + ux s2 + rx t2
y + wy s1 + vy t1 = y1 + uy s2 + ry t2
 0
z0 + wz s1 + vz t1 = z1 + uz s2 + rz t2
där s1 , t1 , s2 och t2 är obekanta. Ett ekvationssystem med fyra obekanta och tre ekvationer.
Ett underbestämt system som aldrig kan ha en unik lösning. ”Två plan kan aldrig skära
varandra på ett sådant sätt att de endast har en gemensam punkt”.
Vi har av ekvationssystemet att vänta oss antingen
• en enparametrig lösning – planen har en gemensam linje.
• ingen lösning – planen är parallella utan gemensamma punkter.
• en tvåparametrig lösning – planen sammanfaller.
Avstånd. Vi börjar med avståndet mellan två punkter i rummet, som vi förresten meddelat
tidigare. Då P1 = (x1 , y1 , z1 ) och P2 = (x2 , y2 , z2 ) är två punkter i rummet är
q
−−→
|P1 P2 | = (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 + (z1 − z2 )2
När vi nu ska bestämma avståndet från en punkt till en linje där punkten P inte ligger på
linjen l, så är det förstås det vinkelräta avståndet från P till linjen som ska bestämmas –
avståndet från P till en punkt P1 = (x1 , y1 , z1 ) på linjen l

 x = x0 + ux t
l=
y = y0 + uy t

z = z0 + uz t
−−→
Vi förstår att vektorn PP1 ⊥ ~
u. Eftersom punkten P1 ligger på linjen l räcker följande
ekvationssystem för att finna P1 = (x1 , y1 , z1 )

x1 = x0 + ux t



y1 = y0 + uy t
z = z0 + uz t


 1
ux (x − x1 ) + uy (y − y1 ) + uz (z − z1 ) = 0
Håkan Strömberg
4
KTH Syd
−−→
Den sista ekvationen uttrycker skalärprodukten ~u ◦ PP1 = 0. När väl punkten P1 är bestämd
−−→
återstår endast att bestämma avståndet |PP1 |.
För avståndet från en punkt till ett plan menas avståndet från punkten P = (x, y, z) vinkelrätt mot planet pl.

 x = x0 + ux s + vx t
y = y0 + uy s + vy t
pl =

z = z0 + uz s + vz t
Ungefär som för avståndet från en punkt till linjen ska vi finna en punkt P1 = (x1 , y1 , z1 ) i
−−→
planet sådan att PP1 är vinkelrät mot både ~u och ~v.

x1 = x0 + ux s + vx t




 y1 = y0 + uy s + vy t
z1 = z0 + uz s + vz t


v (x − x1 ) + vy (y − y1 ) + vz (z − z1 ) = 0


 x
ux (x − x1 ) + uy (y − y1 ) + uz (z − z1 ) = 0
−−→
−−→
De två sista ekvationerna uttrycker ~v ◦ PP1 = 0 och ~u ◦ PP1 = 0.
~ , ~v, P0 och P är kända och där de fem
Ett ekvationssystem med fem ekvationer, där u
obekanta är P1 = (x1 , y1 , z1 ), s och t. Värden för parametrarna s och t är vi mindre
−−→
intresserade av, men då vi får reda på P1 kan vi bestämma |PP1 |.
Avståndet mellan två linjer l1 och l2

 x = x0 + ux t
y = y0 + uy t

z = z0 + uz t

 x = x1 + vx t
y = y1 + vy t

z = z1 + vz t
Här handlar det om att finna två punkter P2 = (x2 , y2 , z2 ) och P3 = (x3 , y3 , z3 ), som ligger
−−→
på var sin linje, sådana att det P2 P3 är vinkelrät mot både ~u och ~v.
Detta leder till följande























ekvationssystem
x2 = x0 + ux s
y2 = y0 + uy s
z2 = z0 + uz s
x3 = x1 + vx t
y3 = y1 + vy t
z3 = z1 + vz t
vx (x2 − x3 ) + vy (y2 − y3 ) + vz (z2 − z3 ) = 0
ux (x2 − x3 ) + uy (y2 − y3 ) + uz (z2 − z3 ) = 0
Åtta ekvationer och åtta obekanta, P2 = (x2 , y2 , z2 ) och P3 = (x3 , y3 , z3 ), s och t. När P2
−−→
och P3 är bestämda kan |P2 P3 | bestämmas och problemet är löst.
Att tala om avståndet mellan två plan är endast meningsfullt då planen är parallella och ej
sammanfallande. Alla punkter i det ena planet ligger lika långt ifrån det andra planet och
därmed är problemet återfört till avståndet från en punkt till ett plan.
Håkan Strömberg
5
KTH Syd
Avståndet mellan en linje och ett plan är det meningsfullt att tala om endast då linjen är
parallell med planet och de saknar gemensamma punkter. Eftersom alla punkter på linjen
då ligger lika långt från planet kan vi välja ut en punkt och problemet är återfört till
avståndet från en punkt till ett plan.
Vinklar. Vi börjar med att bestämma vinkeln mellan två plan genom att definiera att
vinkeln mellan två plan är lika med vinkeln mellan två normalvektorer till planen.
Om planens ekvationer är givna på formen A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 och A2 x + B2 y +
~ 1 = (A1 , B1 , C1 ) och n
~ 2 = (A2 , B2 , C2 ) vi är ute efter.
C2 z + D2 = 0 är det vinkeln mellan n
Vinkeln θ mellan två vektorer bestäms som vi tidigare meddelat genom
cos θ =
~n1 ◦ n
~2
|~n1 ||~n2 |
Vinkeln mellan två linjer l1 och l2 , bestäms genom vinkeln mellan linjernas riktningsvektorer ~v1 och ~v2 . Detta oavsett om linjerna skär varandra eller inte.
Vinkeln mellan en linje och ett plan är π/2 − arccos θ, där θ är vinkeln mellan en normalvektor till planet och en riktningsvektor till linjen. Om linjen är parallell till planet är
θ=0
Läxa 1. 4.53 Vi har de tre punkterna P1 (1, 2, 3), P2 (2, 4, 5) och P3 (4, 5, 6) och bildar två
vektorer ~v = (2, 4, 5) − (1, 2, 3) = (1, 2, 2) och ~u = (4, 5, 6) − (2, 4, 5) = (2, 1, 1). Observera
att vi kan göra andra val och få andra vektorer – som också fungerar. Nu kan vi enkelt
skriva planets ekvation på parameterform:

 x = 1 + s + 2t
y = 2 + 2s + t

z = 3 + 2s + t
Men nu var det planets ekvation på normalform det var frågan om. Ett sätt är att lösa ut s
och t ur de två första ekvationerna.
x = 1 + s + 2t
y = 2 + 2s + t
Vi får


 s = − 3 + x − 2y
3

 t = − y − 2x
3
Dessa två uttryck substituerar vi sedan med i den tredje ekvationen.
2(3 + x − 2y) y − 2x
−
3
3
3z = 9 − 6 − 2x + 4y − y + 2x
3z = 3 + 3y
z−y=1
z=3−
Ett alternativt sätt
reda på en vektor
~
n = Håkan Strömberg
att lösa problemet: Vi använder vektorerna ~v och ~u från ovan och tar
som är vinkelrät mot dessa och därmed också vinkelrätt mot planet.
~ex ~ey ~ez 1 2 2 = 2~ex + 4~ey + ~ez − 2~ex − ~ey − 4~ez = (0, 3, −3)
2 1 1 6
KTH Syd
~n innehåller nu koefficienterna A, B, C till Ax + By + Cz + D = 0 och vi får 3y − 3z + D = 0.
För att få tag i D sätter vi in en av punkterna P1 , P2 eller P3 i denna ekvation och får med
P1 , 3·2−3·3+D = 0 ger D = 3. Vi skriver nu ekvationen 3y−3z+3 = 0 eller y−z+1 = 0.
För att få samma svar som vid första lösningen avslutar vi med att multiplicera båda leden
med (−1). z − y = 1
Läxa 2. 4.59 En punkt P(1, 2, 4) och en vektor ~v = (1, 1, 2) ger oss linjens ekvation

 x=1+t
y=2+t

z = 4 + 2t
Denna linje skär planet x + 3y − 4z = 5 då
1 + t + 3(2 + t) − 4(4 + 2t) = 5
1 + t + 6 + 3t − 16 − 8t = 5
t = − 27
Med detta t = − 27 insatt i linjens ekvation får vi skärningspunkten
5 3
− , − , −3
2 2
Läxa 3. 4.60 Från ekvationerna för de två planen 2x + y − 2z = 5 och 3x − 6y − 2z = 7,
~ 1 = (2, 1, −2) och n
~ 2 = (3, −6, −2). Svaret får vi genom
plockar vi ut normalvektorerna n
att bestämma vinkeln mellan dessa vektorer.
~1 ◦ ~
n
n2
|~
n1 | · |~
n2 |
(2, 1, −2) ◦ (3, −6, −2)
p
cos θ = p
22 + 12 + (−2)2 32 + (−6)2 + (−2)2
4
cos θ =
21
cos θ =
θ ≈ 1.38
~ = a − b = (3, 1, 2) − (1, −2, −4) = (2, 3, 6) är normalvektor till
Läxa 4. 4.61 a) Vektorn n
planet. Därför kan vi direkt skriva 2x + 3y + 6z + D = 0. D kan vi nu bestämma genom att
sätta in punkten Q(1, −2, −4), som vi vet ligger i planet. Vi får 2·1+3·(−2)+6·(−4)+D = 0
ger D = 28 och ekvationen kan skrivas 2x + 3y + 6z + 28 = 0
Läxa 5. 4.61 b) Avståndet från punkten P(−1, 1, 1) till planet 2x + 3y + 6z + 28 = 0 ska
bestämmas. Vi startar med att bestämma ekvationen för den linje som går genom punkten
P och som är parallell med normalvektorn (2, 3, 6). Vi får

 x = −1 + 2t
y = 1 + 3t

z = 1 + 6t
Nu vill vi veta var denna linje skär planet. Vi får ekvationen
2(−1 + 2t) + 3(1 + 3t) + 6(1 + 6t) + 28 = 0
−2 + 4t + 3 + 9t + 6 + 36t + 28 = 0
t = − 75
Håkan Strömberg
7
KTH Syd
Med detta t = − 75 kan vi nu ta reda på skärningspunkten

17
 x = −1 − 10
7 =−7
8
15
y = 1 − 7 = −7

23
z = 1 + 30
7 =− 7
Vi avslutar så med att bestämma avståndet mellan de två punkterna
s
8 2
23 2
17 2
+ 1+
+ 1+
=5
−1 +
7
7
7
Om Du lyckas lära dig formeln
Ax0 + By0 + Cz0 + D √
d = A2 + B 2 + C 2
så är det fritt fram att använda den
2 · (−1) + 3 + 6 + 28 =5
√
d=
22 + 32 + 62
Läxa 6. 4.62 P(1, −1, 3) och Q(3, 3, −1) ger ~v = (3, 3, −1) − (1, −1, 3) = (2, 4, −4). Planet
2x + 4y − 4z = 5 har normalvektorn ~n = (2, 4, −4). Eftersom ~v = ~n går vektorn ~v vinkelrätt
planet.
Det andra planet med ekvationen 12x−15y+16z = 10 har normalvektorn ~n = (12, −15, 16).
Vi får
(2, 4, −4) ◦ (12, −15, 16)
p
cos θ = p
2
2 + 42 + (−4)2 122 + (−15)2 + 162
θ ≈ 48.2◦
(överensstämmer inte med facit!)
Läxa 7. 4.63

 x = 1 + (1 − 2)t = 1 − t
y = 2 + (2 − 0)t = 2 + 2t

z = 3 + (3 + 1)t = 3 + 4t
Vi löser ut t ur de tre ekvationerna och får
1−x=
Den andra linjens ekvation
z−3
y−2
=
2
4

 x = 0 + (0 − 1)t = −t
y = 0 + (0 − 0)t = 0

z = 1 + (1 − 1)t = 1
Vi ser direkt att denna linje inte skär den första.
Läxa 8. 4.64 Först de två linjernas ekvationer


 x = 4 + 2t
 x = −7 + 3s
y = −2 + t
y = −2 + 2s


z=3−t
z=1+s
Håkan Strömberg
8
KTH Syd
~ = (3, 2, 1)
Vi söker nu en vektor som är vinkelrät mot ~v = (2, 1, −1) och u
(11 − 3s + 2t, −2s + t, 2 − s − t) ◦ (2, 1, −1) = 0
(11 − 3s + 2t, −2s + t, 2 − s − t) ◦ (3, 2, 1) = 0
(11 − 3s + 2t, −2s + t, 2 − s − t) är den vektor som bildas då man väljer ett t på första linjen
och ett s på den andra. Lösningen t = −1 och s = 2 ger vektorn (3, −5, 1). Denna vektor
är vinkelrät mot riktningsvektorerna hos de båda linjerna. Längden hos denna vektor är
liktydigt med det kortaste avståndet mellan linjerna.
q
√
d = 32 + (−5)2 + 12 = 35
Läxa 9. 4.65 Att skriva ned planets ekvation på parameterform är busenkelt!

 x = 1 + 2t + s
y = −3 + t + 2s

z = 4 + t + 3s
För att få det på normalform löser vi först ut s och t ur de två första ekvationerna.
x = 1 + 2t + s
y = −3 + t + 2s
med lösningen


 s = − −7 + x − 2y
3
5 − 2x + y

 t=−
3
Vi sätter så in dessa uttryck för s och t i den tredje ekvationen och får
z = 4 + t + 3s
5 − 2x + y
− 7 + x − 2y
z=4+−
3
3z = 12 − (5 − 2x + y) + 3(7 − x + 2y)
3z = 12 − 5 + 2x − y + 21 − 3x + 6y
x − 5y + 3z − 28 = 0
Vi kan nu teckna ekvationen x − 5y + 3z + D = 0. Genom att sätta den givna punkten
(1, −3, 4) kan vi till sist bestämma D. 1−5·(−3)+3·4+D = 0 ger D = −28 och ekvationen
x − 5y + 3z − 28 = 0
Exempel 2. Bestäm (x, x, x) × (x, −x, x).
Vi får determinanten
Som ger
(1, 0, 0) (0, 1, 0) (0, 0, 1)
|~v × ~
u| = x
x
x
x
−x
x
x2~ex + x2~ey − x2~ez − x2~ez − x2~ey + x2~ex =
2x2~ex − 2x2~ez = 2x2 (1, 0, 0) + 2x2 (0, 0, 1) = (2x2 , 0, −2x2 )
Svar: (2x2 , 0, −2x2 )
Håkan Strömberg
9
KTH Syd
1 Vi har två punkter och ett plan givna och önskar skärningspunkten mellan den linje,
som går genom de två punkterna, och planet. Vilken är din plan?
2 Vi har tre punkter givna och vill ha ekvationen för det plan som innehåller dessa
punkter. Vilken är din plan?
3 Vi har en vektor ~v och vill ha dess projektion på vektorn ~u. Vilken är din plan?
4 Vi vill lösa olikheten
x2 + x − 2
>0
x+3
Vilken är din plan?
Till tre givna punkter, till exempel, P1 = (1, 4, 3), P2 = (2, 0, 1), P3 = (4, 3, 2), kan man
finna ett plan genom punkterna. Vi bildar först två riktningsvektorer ~u = P1~P2 = (2, 0, 1) −
(1, 4, 3) = (1, −4, −2) och ~v = P1~P3 = (4, 3, 2) − (1, 4, 3) = (3, −1, −1). Tänk på att man
med hjälp av tre punkter kan bilda sex olika vektorer, av vilka dessa är två. Tillsammans
med en punkt vilken som helst av de tre kan vi så teckna planets ekvation:
p1={1,4,3};
p2={2,0,1};
p3={4,3,2};
u=p2-p1;
v=p3-p1;
plan1[s_,t_]:=p1+s*u+t*v
För varje par av värden hos s och t får vi en ny punkt i planet. Genom
plan1[1,2]
plan1[0,0]
får vi punkterna (8, −2, −1) och (1, 4, 3)
Vi har två punkter P1 = (3, 1, −1) och P2 = (5, 1, −2) genom vilken det går en linje. Vi har
tre punkter P3 = (1, 1, 0), P4 = (3, 0, 1) och P5 = (0, 0, 2) som alla ligger i samma plan.
Bestäm skärningspunkten mellan linjen och planet.
p1 = {3, 1, -1};
p2 = {5, 1, -2};
p3 = {1, 1, 0};
p4 = {3, 0, 1};
p5 = {0, 0, 2};
plan1[s_, t_] := p3 + s*(p3 - p4) + t*(p3 - p5)
linje1[s_] := p1 + s*(p1 - p2)
Solve[plan1[s, t] == linje1[u]]
Håkan Strömberg
10
KTH Syd
Vi får lösningen s = 0, t = 0 och u = 1. Vi kan nu få fram skärningspunkten på två sätt
plan1[0,0]
linje1[1]
Skärningspunkten är (1, 1, 0)
Problem 1. Bestäm a, så att punkterna p1 = (1, 2, 6), p2 = (2, a, 3), p3 = (2, 2, 4) och
p4 = (a, a, 5) ligger i samma plan.
Svar 1. Vi definierar först de fyra punkterna och skapar med tre av dem planet pl1 . Genom
att låta P4 tillhöra planet kan vi genom ekvationen i sista satsen finna lösningarna a = 2
och a = 1.
p1={1,2,6}; p2={2,a,3};
p3={2,2,4}; p4={a,a,5};
pl1=p1+s*(p1-p2)+t*(p1-p3);
Solve[pl1==p4]
Problem 2. Bestäm ekvationen, på normalform, för det plan i vilket de tre punkterna
p1 = (1, 3, 0), p2 = (3, 2, 1) och p3 = (3, 3, 2) ligger.
Svar 2. Linjens ekvation på normalform skrivs Ax+By+Cz+D = 0. Vi ska här bestämma
A, B, C och D och kommer att göra det på två sätt. Först definierar vi dock de tre
punkterna P1 , P2 och P3 .
I första lösningen definierar vi planet i parameterform. För att göra det behöver vi en
punkt och två rikningar. Vi tar punkten P1 ”som punkt” och skapar riktningarna P1 − P2 =
(1, 3, 0) − (3, 2, 1) = (−2, 1, −1) och P1 − P3 = (1, 3, 0) − (3, 3, 2) = (−2, 0, −2). Planets
ekvation på parameterform kan nu skrivas

 x = 1 − 2s − 2t
y=3+s

z = 0 − s − 2t
För varje par av värden på (s, t) får vi en ny punkt i planet. Om vi nu löser ekvationssystemet ovan med avseende på s, t och z får vi z uttryckt i x och y. Genom att sedan placera
alla termer på vänster sida har vi nått målet – planets ekvation på normalform.
p1={1,3,0};p2={3,2,1};p3={3,3,2};
pl1[s_,t_]:=p1+(p1-p2)s+(p1-p3)t
u2=Solve[{x,y,z}==pl1[s,t],{z},{s,t}]
Mathematica svarar med z = −4 + x + y.
Den andra lösningen bygger på det faktum
genom att beräkna determinanten
x y
1 3
3 2
3 3
Håkan Strömberg
11
att linjens ekvation på normalform erhålls
z
0
1
2
1
1
1
1
KTH Syd
För ändamålet skapar vi en funktion linekv som tar emot tre punkter och returnerar den
~ Sist i varje rad, som består av
eftersökta ekvationen. I första raden skapar vi matrisen M.
koordinaterna för en punkt, fogar vi talet 1. Detta åstadkoms med Append. I sista raden
anropar vi funktionen linekv med våra punkter, som argument.
linekv[p1_,p2_,p3_]:=Block[{m},
m={{x,y,z,1},Append[p1,1],Append[p2,1],Append[p3,1]};
Det[m]
]
linekv[p1,p2,p3]
Som tur är får vi samma svar 8 − 2x − 2y + 2z = 0.
Problem 3. Två plan som inte är parallella eller sammanfaller skär varandra utefter en
linje. Ofta ges linjens ekvation som normalekvationen för två plan där alltså skärningen
mellan planen är den avsedda linjen.
Vilken linje utgör skärningen av dessa plan ?
x+y+z+1=0
2x + 3y + 4z + 5 = 0
Svar 3. Detta underbestämda linjära ekvationssystem har antingen ingen eller oändligt
många lösningar. Ingen lösning har det då planen är parallella och oändligt många lösningar kan det ha på två olika sätt. Antingen är ekvationerna identiska – planen sammanfaller, vilket ger en tvåparametrig lösning – eller så finns det en parameter och lösningen
är en linje
e1=x+y+z+1==0;
e2=2x+3y+4z+5==0;
Solve[{e1,e2},{x,y}]
Svaret från Mathematica, x = 2 + z, y = −3 − 2z betyder att linjens ekvation kan skrivas

 x = 2+t
y = −3 − 2t

z=t
Problem 4. Ett plan är givet genom de tre punkterna p1 = (1, 0, 4), p2 = (3, −2, 0) och
p3 = (0, 0, −3). Ett annat plan genom de tre punkterna p4 = (3, 0, 2), p5 = (2, 2, 2) och
p6 = (0, 4, 0). Bestäm ekvationen för skärningslinjen mellan de två planen.
Svar 4. Planens ekvationer definieras med hjälp av de sex punkterna. Första steget blir nu
att bestämma planens ekvation på normalform, vilket är samma sak som att lösa ut s och
t ur dessa ekvationssystem


 x = 1 + 2s − t
 x = 3 − s − 3t
y = 0 − 2s
y = 0 + 2s + 4t


z = 4 − 4s − 7t
z = 2 − 2t
Eftersom de båda systemen innehåller fem obekanta och tre ekvationer är systemet underbestämt. s och t är vi inte intresserade av. Som den tredje obekanta väljer vi z.
Håkan Strömberg
12
KTH Syd
Resultatet från de två systemen blir z = −3 + 7x + 9y och z = −4 + 2x + y eller omskrivet
7x + 9y − z − 3 = 0 och 2x + y − z − 4 = 0. Något man kan fixa till direkt med Mathematica
genom satserna som ger e1 ochh e2 .
Återstår nu att lösa ekvationssystemet
7x + 9y − z − 3 = 0
2x + y − z = 0
Återigen ett underbestämt ekvationssystem, som vi väljer att lösa med avseende på x och
y. Datorn ger oss svaret

 x = (33 + 8t)/11
y = −(22 + 5t)/11

z=t
som är ekvationen till den eftersökta linjen.
p1={1,0,4}; p2={3,-2,0}; p3={0,0,-3};
p4={3,0,2}; p5={2,2,2}; p6={0,4,0};
pl1[s_,t_]:=p1+(p2-p1)s+(p3-p1)t
pl2[s_,t_]:=p4+(p5-p4)s+(p6-p4)t
u1=Solve[pl1[s,t]=={x,y,z},z,{s,t}]
u2=Solve[pl2[s,t]=={x,y,z},z,{s,t}]
e1=(z/.u1[[1]])-z==0
e2=(z/.u2[[1]])-z==0
Solve[{e1,e2},{x,y}]
Problem 5. Nedan följer fyra par med ekvationer för plan. Du ska avgöra vilka par som
är parallella, har en gemensam linje och är identiska
4x − y + 2z − 5 = 0
x − 4y − 3z − 2 = 0
a)
b)
7x − 3y + 4z − 8 = 0
3x − 12y − 9z − 7 = 0
2y − 8x + 4z − 5 = 0
3x + y − 2z + 5 = 0
c)
d)
4x − y − 2z = 0
−6x − 2y + 4z − 10 = 0
Svar 5. Genom att lösa ekvationerna med hjälp av Reduce får man svaret direkt.
e1=4x-y+2z-5==0;
e2=7x-3y+4z-8==0;
e3=x-4y-3z-2==0;
e4=3x-12y-9z-7==0;
e5=2y-8x+4z-5==0;
e6=4x-y-2z==0;
e7=3x+y-2z+5==0;
e8=-6x-2y+4z-10==0;
Reduce[{e1,e2},{x,y}]
Reduce[{e3,e4},{x,y}]
Reduce[{e5,e6},{x,y}]
Reduce[{e7,e8},{x,y}]
Håkan Strömberg
(*
(*
(*
(*
Linje *)
Ingen *)
Ingen *)
Plan *)
13
KTH Syd
Planen i a) ger parameterlösningen x = (7 − 2t)/5, y = (3 + 2t)/5, z = t, vilket alltså
betyder att planen har en gemensam linje.
Planen i b) och c) ger svaret False, vilket betyder att, att de inte har någon gemensam
punkt. Planen är parallella.
Planen i d) ger en tvåparametrig lösning x = −(5 + s − 2t)/3, y = s, z = t vilket betyder
att planen sammanfaller eller är identiska.
Problem 6. Tre punkter p1 = (1, 0, −1), p2 = (3, −2, 1) och p3 = (−1, 2, 0) ligger i samma
plan och två punkter p4 = (2, 4, 3) och p5 = (0, 0, 2) ligger på samma linje. Bestäm linjens
skärningspunkt med planet.
Svar 6. Som vanlig inleder vi med ett antal definitioner. Förutom de fem punkterna också
planets och linjens ekvationer på parameterform.
p1={1,0,-1};
p2={3,-2,1};
p3={-1,2,0};
plan[s_,t_]:=p1+(p1-p2)s+(p1-p3)t
p4={2,4,3};
p5={0,0,2};
linje[t_]:=p4+(p4-p5)t
Om det finns värden på t, u och v sådana att planet genom u och v och linjen genom t
ger samma punkt så har vi hittat skärningspunkten.
Ekvationen nedan ger lösningen t = −5/6, u = −17/18 och v = −23/18. I de två sista
satserna gör vi en dubbelkoll på att skärningspunkten verkligen är (1/3, 2/3, 13/6).
Solve[linje[t]==plan[u,v]]
linje[-5/6]
plan[-17/18,-23/18]
Problem 7. Nedan ges i två grupper ekvationen för en linje och ett plan. Bestäm skärningspunkten mellan linjen och planet.

 x = −5 − 4t
y=1−t
a)
x + 2y + 3z − 9 = 0

z = 3 + 2t

 x = 3t
b)
y = 1 + 2t
4x − y + 2z − 1 = 0

z=2−t
Svar 7. Första ekvationen ger svaret {} vilket betyder att linjen aldrig skär planet, linjen är
parallell med planet.
Den andra ekvationen ger (−3/4, 1/2, 9/4) som skärningspunkt.
l1={-5-4t,1-t,3+2t};
pl1=x+2y+3z-9==0;
l2={3t,1+2t,2-t};
Håkan Strömberg
14
KTH Syd
pl2=4x-y+2z-1==0;
Solve[{l1=={x,y,z},pl1}]
Solve[{l2=={x,y,z},pl2}]
Problem 8. Är planen 3x − y + z − 4 = 0 och x + 2z = 0 vinkelräta mot varandra? Samma
fråga för planen x − 2y + 3z − 4 = 0 och −2x + 5y + 4z + 1 = 0.
Svar 8. Från planens ekvationer kan vi skapa dess normalvektorer. Om dessa vektorer är
vinkelräta mot varandra är planen förstås vinkelräta.
n1={3,-1,1};
n2={1,0,2};
n1.n2
n3={1,-2,3};
n4={-2,5,4};
n3.n4
~n1 · ~n2 = 5 vilket betyder att planen inte är vinkelräta mot varandra. I det andra paret
~3 · ~
n4 = 0.
däremot är n
n = (−1, 2, 4) är normalvektor till ett plan i vilken punkten p0 =
Problem 9. Vektorn ~
(−1, 2, 4) befinner sig. Bestäm planets ekvation på normalform.
Svar 9. Ett plan är bestämt om man har en punkt och två (olika) riktningar. Vi har en
punkt och behöver ta reda på de två riktningarna. Riktningarna ~v1 och ~v2 är vinkelräta mot
~.
normalvektorn n
Först antar vi att ~v1 = (a, 4, 2) och ~v2 = (b, −1, 0) och genom ekvationerna ~v1 · ~n = 0 och
~v2 · ~n = 0 får vi tag i a och b.
Med dessa två vektorer kan vi skriva ner planets ekvation på parameterform

 x = −1 + 9s − 2t
y = 2 + 4s − t

z = 4 + 2s
I sista steget löser vi ut z ur detta ekvationssystem och får linjens ekvation på formen
z = 14 + 2x − 4y som vi snabbt skriver om till 2x − 4y − z + 14 = 0.
p0={-1,2,4};
n={-2,4,1};
v1={a,4,2};
v2={b,-1,0};
Solve[n.v1==0]
Solve[n.v2==0]
v1={9,4,2};
v2={-2,-1,0};
pl[s_,t_]:=p0+v1*s+v2*t
Solve[pl[s,t]=={x,y,z},z,{s,t}]
Lösningen ovan kan kanske betraktas som lite omständlig när vi vet att komponenterna i
~n är koefficienter i Ax + By + Cz + D = 0. Alltså att −2x + 4y + z + D = 0, som med hjälp
av p0 ger D enligt
Håkan Strömberg
15
KTH Syd
Solve[n.p0+d==0]
Med svaret d = −14
Problem 10. Visa att linjen
ligger i planet 6x + 4y − 4z = 0

 x=0
y=t

z=t
Svar 10. Vi börjar med att definiera plan och linje. När vi löser ekvationen i sista satsen
kan vi få tre olika kategorier av svar: Ingen lösning vilket betyder att linjen är parallell med
planet. en punkt vilket betyder att linjen skär planet och en parameterlösning, som i detta
fall, x = 0, y = t, z = t som betyder att linjen ligger i planet.
pl1[x_,y_,z_]:=6x+4y-4z
l1[t_]:={0,t,t};
Solve[{l1[t]=={x,y,z},pl1[x,y,z]==0},{x,y}]
Problem 11. Nedan presenteras ekvationen för en rät linje och ett plan i rummet. Du ska
avgöra om linjen är vinkelrät mot planet.

 x = −2 − 4t
a)
y = 3 − 2t
2x + y − z − 5 = 0

z = 1 + 2t
Samma uppgift för denna linje och plan.

 x=2+t
b)
y=1−t

z = 5 + 3t
6x + 6y − 7 = 0
Svar 11. Linjens riktningsvektor ska vara parallell med planets normalvektor för att linjen
ska vara vinkelrät mot planet. Sambandet
cos θ =
~v · ~u
|~v||~u|
säger oss, att då cos 0 = 1 är ~v · ~u = |~v||~u|. Vi behöver därför en funktion norm som kan
beräkna vektorns längd.
Planets normalvektor skriver vi ~
n1 = (2, 1, −1) och linjens riktningsvektor till ~v1 = (−4, −2, 2).
v1={-4,-2,2};
n1={2,1,-1};
v1.n1/(Norm[v1]*Norm[n1])
Resultatet från sista satsen blir −1, vilket alltså betyder att linjen är vinkelrät mot planet.
Med samma teknik löser vi så det andra problemet
v2={1,-1,3};
n2={6,6,0};
v2.n2/(Norm[v2]*Norm[n2])
Håkan Strömberg
16
KTH Syd
och får genom svaret 0 reda på att linjen i stället är parallell med planet!
Problem 12. Var och en av dessa linjer


 x = 2 + 2t
 x = −18 + 4t
l1 =
y=4+t
l2 =
y = 2 − 2t


z=1
z = −1 + t

 x = 12 + 6t
l3 =
y = 9 − 25t

z = 1 + 7t
skär de andra två och bildar därmed en triangel. Bestäm med hjälp av Herons formel, där
triangelns sidor är a, b och c
s=
a+b+c
2
denna triangelns area.
A=
p
s(s − a)(s − b)(s − c)
Svar 12. Först bestämmer vi skärningspunkterna mellan de tre linjerna, p1 , p2 och p3 . Med
den definierade funktionen norm, kan vi beräkna avståndet mellan två punkter. heron är
en implementation av Herons formel.
Genom en kombination av norm och heron kan vi direkt ta reda på triangelns area.
l1[t_]:={2,4,1}+{2,1,0}t
l2[t_]:={-18,2,-1}+{4,-2,1}t
l3[t_]:={12,9,1}+{6,-25,7}t
u1=Solve[l1[t1]==l2[t2]]
u2=Solve[l1[t1]==l3[t2]]
u3=Solve[l2[t1]==l3[t2]]
p1=l1[t1]/.u1[[1]]
p2=l1[t1]/.u2[[1]]
p3=l2[t1]/.u3[[1]]
norm[p1_,p2_]:=Sqrt[Apply[Plus,(p1-p2)^2]]
heron[a_,b_,c_]:=Block[{s=(a+b+c)/2},
Sqrt[s(s-a)(s-b)(s-c)]
]
heron[norm[p1,p2],norm[p1,p3],norm[p2,p3]]//N
De tre skärningspunkterna är p1 = (−10, −2, 1), p2 = (12, 9, 1) och p3 = (18, −16, 8).
Arean är 319.805.
Problem 13. Vi söker här ekvationen till det plan som går genom punkten p1 = (−2, 1, 7)
och är vinkelrät mot linjen

 x = 4 + 2s
y = −2 + 3s

z = −5s
Svar 13. Vi har tidigare lärt oss det snabbaste sättet att lösa detta problem. Normalvektorn
~ = (2, 3, −5) och därmed har vi allt
har ju samma riktning som linjens riktning, vilket ger n
i planets ekvation utom D, som vi får genom ekvationen nedan.
p1={-2,1,7};
n={2,3,-5};
Solve[n.p1+d==0]
Håkan Strömberg
17
KTH Syd
Svaret blir i sin helhet 2x + 3y − 5z + 36 = 0.
Problem 14. Sök ekvationen till det plan, som går genom punkten p1 = (1, 2, 3) och som
är parallellt med xy-planet.
Svar 14. Den enda svårigheten med detta problem är att komma på att normalvektorn
~n = (0, 0, 1), vilket leder till att ekvationen är z + d = 0 där vi får d på numera känt manér!
p1={1,2,3};
n={0,0,1};
Solve[n.p1+d==0]
Planets ekvation är 3z − 3 = 0.
Problem 15. Vi söker här ekvationen för det plan som går genom origo och som är
parallellt med 7x + 4y − 2z + 3 = 0.
Svar 15. Det ny planet ska ha samma normalriktning som det givna planet. Något som
~n = (7, 4, −2) ger. Dessutom ska ju planet gå genom punkten p = (0, 0, 0).
n={7,4,-2};
p={0,0,0};
Solve[n.p+d==0]
Du kanske också tycker att det var onödigt att lösa den sista ekvationen eftersom alla plan
genom origo har en konstant term som är 0. Ekvationen för planet blir 7x + 4y − 2z = 0.
Svar till : Katter

a+d+g+h=7




c+f+g+h=6




 a+b+c+h=5
g+h=4


 a+h=3




c + h = 2h = 1


e=0
Håkan Strömberg
18
KTH Syd
e = 0, h = 1, a = 2, c = 1, b = 1, g = 3, d = 1, f = 1
Svar: Det finns 10 katter
Dagens problem: Fotbollsturneringen
Här är slutresultatet i påskturneringen
Hammarby IF
AIK
Djurgården iF
IFK Göteborg
3
3
3
3
2
1
1
0
1
2
0
1
0
0
2
2
8-2
4-2
6-6
1-9
5
4
2
1
Alla lag mötte varandra var sin gång. I ingen match gjordes det fler än 5 mål. Inget resultat
förekom två gånger. Till exempel vann ett lag med 3 − 1 så slutade ingen annan match
med 3 − 1 eller 1 − 3. Hur slutade matcherna?
AIK
Hammarby IF
IFK Göteborg
Djurgården IF
AIK
IFK Göteborg
-
Djurgården IF
IFK Göteborg
AIK
Hammarby IF
Hammarby IF
Djurgården IF
-
De åtta kolumnerna i tabellen har följande förklaring:
1 Lagets namn
2 Antal spelade matcher
3 Antal vunna matcher
4 Antal oavgjorda matcher
5 Antal förlorade matcher
6 Antal gjorda mål
7 Antal insläppta mål
8 Antal poäng (2 för vunnen och 1 för oavgjord match)
1
1 Ta fram linjens ekvation på parameterform.
2 Ersätt x, y och z i planets ekvation med motsvarande uttryck i t.
3 Lös den uppkomna ekvationen med avseende på t.
4 Sätt in detta t-värde i linjens ekvation
2
1 Bilda två vektorer ~v och ~u med hjälp av de tre punkterna
2 Eftersom de bildade vektorerna ~v och ~u är parallella med planet är ~v × ~u en
normalvektor till planet. Ta fram denna normalvektor ~n.
3 Vi kan nu skriva planets ekvation för allt utom den konstanta koefficienten.
Denna får vi fram genom att sätta in en av de tre punkterna.
3
1 Bestäm en enhetsvektor ~r i samma riktning som ~v
2 Beräkna ~u ◦ ~r
Håkan Strömberg
19
KTH Syd
4
3 Beräkna (~u ◦ ~r)~r
1 Faktorisera täljaren
3 Sortera nollställena i täljare och nämnare i stigande ordning och ställ upp tabell
för teckenstudium.
4 Utläs svaret ur tabellen
Håkan Strömberg
20
KTH Syd