Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén Algebra I

Uppsala Universitet
Matematiska institutionen
Isac Hedén
Algebra I, 5 hp
Några uppgifter av ”dugga-klass”. På duggan blir det bara 4 uppgifter (eventuellt med deluppgifter).
1. Bestäm basen m sådan att (114)elva = (253)m .
2. Låt p och q vara två primtal. Visa att pq + 1 är kvadraten på ett heltal om och endast om
p och q är primtalstvillingar. Två primtal är tvillingar om dears differens är lika med 2.
3. Visa att x2 − 5y 2 = 3 inte har några heltalslösningar.
4. Bestäm alla lösningar till den diofantiska ekvationen 16x + 27y = 2.
5. Visa att SGD(7k + 16, 3k + 7) = 1 för alla heltal k.
6. Vad blir resten då 1313 divideras med 5 (löses med kongruensräkning, som vi tar upp på
F9).
7. Visa att log3 2 är irrationellt.
8. Bestäm det minsta positiva heltal m sådant att (17)m · (21)m = (327)m .
9. Finn en lösning till kongruensekvationen 67x ≡ 2 (mod 23).
10. Gör en sanningsvärdestabell för utsagan:
(¬(p ∧ ¬q) ∧ q) ⇒ p.
11. Låt A och B vara delmängder av en mängd X. Visa att (A ∪ B c )c = Ac ∩ B.